MATRIKS

“Kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang/bujursangkar, serta termuat di antara sepasang tanda kurung”

A = =

Unsur matriks : unsur matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Contoh:

Kesamaan Matriks & Kesamaan Vektor

A = B, bila keduanya berorde & berunsur sama

, bila keduanya sejenis, sedimensi & semua unsur yang terkandung

sama.

Matriks kumpulan vektor.

Amxn m buah vektor baris & n buah vektor kolom

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

4/17/2023 1

A B = C dimana

KK: A + B = B + AKA: A (B+C) = (A+B)+C = A+B+C

Perkalian Matriks dengan skalar

Dimana

Contoh:

Perkalian Antar-matriks

Contoh:

A= B=

Maka AB = C =

4/17/2023 2

KK:

KD:

KA: A (BC) = (AB)C = ABCKD: A (B+C) = AB – AC (A+B)C = AC + BC

=

=

Perkalian matriks dan vektorMatriks bukan berbentuk vektor X vektor kolom = vektor kolom

n > 1

Misalnya:

maka:

BENTUK-BENTUK KHAS MATRIK

1. Matriks Satuan/Matriks Identitas (I n)

4/17/2023 3

2. Matriks Diagonal

1. Matriks nol

2. Matriks Ubahan (transpose matrix)

ubahannya:

5. Matriks Simetrik A = A’6. Matriks Simetrik Miring (skew symmetric matrix) A = -A’

7. Matriks Balikan (inverse matrix)

8. Matriks Skalar, matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama atau

seragam ( ).

9. Matriks Ortogonal AA’ = I10. Matriks Singular: matriks bujursangkar yang determinannya

sama dengan nol.

4/17/2023 4

11. Matriks Nonsingular: matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol.

Pengubahan Matriks

Matriks Asli Matriks Ubahan

ubahan dari matriks ubahan adalah matriks aslinya.

ubahan dari matriks bujursangkar adalah matriks bujursangkar juga.

Matriks bujursangkar = matriks ubahannya matriks simetrik.

ubahan dari matriks diagonal adalah matriks diagonal itu sendiri.

4/17/2023 5

A menjadi A’ Amxn menjadi A’nxm

ubahan dari suatu vektor kolom adalah vektor baris.

ubahan dari suatu vektor baris adalah vektor kolom.

Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya.

Contoh:

maka:

4/17/2023 6

CBACBA mnmnmnnmnmnm

''''

Jadi (A+B+C)’ = A’ + B’ + C’ Terbukti.

Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian skalar dengan matriks ubahannya.

Contoh: maka:

Jadi Terbukti

4/17/2023 7

KK: atau

KD:

Ubahan dari perkalian antar-matriks adalah perkalian matriks-matriks ubahannya dengan urutan yang terbalik.

Contoh:

atau alternatifnya:

4/17/2023 8

(Amxn X Bnxp X Cpxq)’ = C’qxp X B’pxn X A’nxm

(ABC)’ = C’B’A’ TERBUKTI

4/17/2023 9

MATRIKS BERSEKAT

Matriks

Disekat

Garis-garis horizontal dan/atau vertical

Matriks-matriks skalar-skalar yang lebih kecil

Contoh 1:

A4x4 disekat dengan satu sekatan horizontal menjadi A1; 2x4 dan A2; 2x4.

4/17/2023 10

Jika sebuah matriks berorde mxn disekat dengan satu sekatan horizontal, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde m1xn dan m2xn, dimana m1+m2=m.

Contoh 2:

B3x4 disekat dengan satu sekatan vertikal menjadi B1; 3x2 dan B2; 3x2

Jika sebuah matriks berorde mxn disekat dengan satu sekatan vertikal, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde mxn1 dan mxn2, dimana n1+n2=n.

Penyekatan paling umum adalah sekali secara horizontal dan sekali secara vertikal.

4/17/2023 11

C11 berorde m1 x n1 C12 berorde m1 x n2

C21 berorde m2 x n1 C22 berorde m2 x n2

(Perhatikan perpindahan sekat antara C12 dan C21!)

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS BERSEKAT

4/17/2023 12

Sekatan Vertikal

(A1 dan B1 berorde mxn1; A2 dan B2 berorde mxn2 ) maka:

contoh:

4/17/2023 13

Sekatan Horizontal

(A1 dan B1 berorde m1 x n ; A2 dan B2 berorde m2 x n)maka:

contoh:

maka:

4/17/2023 14

Perkalian Antar Matriks Bersekat

A1 berorde m x n1 ; A2 berorde m x n2

B1 berorde n1 x p ; B2 berorde n2 x p

maka:

4/17/2023 15

Bila matriks-matriks disekat sekali secara horizontal dan sekali secara vertikal, perkalian dilakukan melalui perkalian sekat-sekatnya.

A11 berorde m1 x n1

A12 berorde m1 x n2

A21 berode m2 x n1

A22 berorde m2 x n2

4/17/2023 16

B11 berorde n1 x p1

B12 berorde n1 x p2

B21 berorde n2 x p1

B22 berorde n2 x p2

maka

Contoh:

4/17/2023 17

DETERMINAN

4/17/2023 18

Determinan :

Hubungan antara kofaktor dengan minor:

4/17/2023 19

maka:

Jadi penyelesaian determinan dalam notasi minor:

dalam notasi kofaktor menjadi:

atau

untuk setiap baris: i= 1,2,….,n

untuk setiap kolom: j= 1,2,….,n

4/17/2023 20

ADJOIN MATRIKSAdjoin matriks adalah ubahan dari matriks kofaktor-kofaktornya.

Contoh:

maka

Karena , maka:

4/17/2023 21

PEMBALIKAN MATRIKSMembalik sebuah matriks berarti mencari suatu matriks balikan yang bila dikalikan dengan matriks aslinya menghasilkan matriks satuan.

- Pembalikan matriks berorde 2 x 2

Misalkan , maka:

4/17/2023 22

Contoh: Tentukan, kalau ada, balikan dari :

1) 2) 3)

- Pembalikan matriks dengan Adjoin dan Determinan

Contoh: Tentukan balikan dari:

1) 2)

Sifat-sifat balikan:

4/17/2023 23

1)

2)

3)

4)

5)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sekumpulan persamaan linier, yang terdiri dari m persamaan dengan n bilangan tertentu, dapat disajikan dalam bentuk notasi matriks.

Contoh:

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4/17/2023 24

dapat ditulis

menjadi:

dan bila:

- m = n- A adalah matriks bujursangkar nonsingular mempunyai balikan,

maka notasi diatas dapat dituliskan menjadi:

Penyelesaian untuk vektor-vektor kolom dapat diperoleh dengan

membalik matriks A:

Contoh:

Penyelesaian atas dapat pula diselesaikan dengan

“cara determinan”, yaitu dengan membagi determinan-determinannya (Kaidah Crammer):

4/17/2023 25

i = 1, 2, …….., n

Penyebut: determinan dari matriks koefisien persamaan-persamaannya.

Pembilang: determinan dari matriks koefisien tetapi setelah kolom ke-i diganti dengan kolom konstanta yang diperoleh dari ruas kanan persamaan.

- Penyelesaian sistem linear dengan cara eliminasi Gauss

1. Persamaan-persamaan linear diterjemahkan dalam bentuk matriks (matriks gandengan)

2. (saling ganti posisi antar baris)

3. (kalikan sebuah baris dengan sebuah skalar bukan 0

k≠0)

4.

(Tempatkan kembali sebuah persamaan ke posisinya sendiri dengan menjumlahkan persamaa itu terhadap sebuah perkalian scalar dari satu persamaan lain)

5. Sistem kaitan matriks gandengan dapat dipecahkan melalui substitusi langkah mundur.

Contoh:

4/17/2023 26