TUGAS MATEMATIKA

CONTOH SOAL SERTA PEMBAHASAN APLIKASI PROGRAM LINIER KELAS XII IPA

BADZLIN TARADIPA

XII IPA 4

07

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

APLIKASI PROGRAM LINIER

1.) Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.

6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapatmemuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kgdan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..(http://jagoanbelajarprimamedica.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-dan-pembahasan-program.html)

a. Rp 192.000 d. Rp 300.000

b. Rp 200.000 e. Rp 429.000c. Rp 292.000

Jawab:

Misal : x = mangga ; y = pisangModel matematikanya:

x ≥ 0 ; y≥ 08000x + 6000y ≤ 1200.000 --> dibagi 2000⇔ 4x + 3y ≤ 600 ….(1)

x + y ≤ 180 ….(2)Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200

Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000Laba maksimum = 1200x + 1000y

maka grafiknya,,,

Titik potong:

Dari pers (1) dan (2)eliminasi x

4x + 3y = 600 x1 ⇒ 4x + 3y = 600x + y = 180 x4 ⇒ 4x + 4y = 720 -

- y = - 120y = 120

x + y = 180x = 180 – 120 = 60

titik potong = (60,120)

Titik pojok 1200x + 1000y(0, 0) 0

(150, 0) 180.000(60, 120) 192.000(0, 180) 180.000

Maka: Laba maksimum adalah 192.000

2.) sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian 1 memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir. Rangkaian 2 memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai.jika rangkaian satu di jual seharga Rp 200.000,00 dan rangkaian dua dijual seharga Rp 100.000,00 per rangkaian. Maka penghasilan maksimum yang di peroleh

adalah….. http://qedems.wordpress.com/2010/03/14/soal-40/

a. Rp 1.600.000 d. Rp 1.900.000b. Rp 1.700.000 e. Rp 2.000.000c. Rp 1.800.000

3.) Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp

1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu

adalah....http://www.matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-soal-pembahasan-program-linier

A. Rp 176.000,00B. Rp 200.000,00

C. Rp 260.000,00D. Rp 300.000,00E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Membuat model matematika dari soal cerita di atasMisal:mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadix + 5y ≤ 440.......(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:

x + y ≤ 200 ..............(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:

f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,Garis 1

x + 5y = 440Titik potong sumbu x, y = 0x + 5(0) = 440x = 440Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =00 + 5y = 440y = 440/5 = 88

Dapat titik (0, 88)

Garis 2x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0x + 0 = 200

x = 200Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + y = 200y = 200Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2

Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440 x + y = 200

____________ _4y = 240y = 60

x + y =200

x + 60 = 200x = 140Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah

himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0

Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

4.) Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual

seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?http://www.matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-soal-pembahasan-program-linier

A. 6 jenis IB. 12 jenis IIC. 6 jenis I dan 6 jenis IID. 3 jenis I dan 9 jenis II

E. 9 jenis I dan 3 jenis II

PembahasanBarang I akan dibuat sebanyak x unit

Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y ≤ 18

2x + 2y ≤ 24

Fungsi objektifnya:f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong x + 3y = 18 |x2| 2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 362x + 2y = 24____________ _4y = 12y = 3

2x + 6(3) = 362x = 18x = 9Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000

Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

5. Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah mobil dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2. Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jika biaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00.

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/nilai-optimum-suatu-fungsi-objektif-program-linear-fungsi-objectif-cara-menentukan-contoh-soal-rumus-pembahasan-metode-uji-titik-sudut-metode-garis-selidik-matematika.html#ixzz2f9fKIpcx

a. Rp 60.000 d. Rp 90.000b. Rp 70.000 e. Rp 100.000c. Rp 80.000

Jawaban :

Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dengan cara membuat tabel seperti berikut.

Mobil (x) Bus (y) Persediaan

Luas Lahan 6 24 360Daya Tampung 1 1 30

Biaya Parkir 1.500 3.000

Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Dari tabel di atas dapat dibuat model matematika berikut. Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000y

Kendala: 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60x + y ≤ 30x ≥ 0y ≥ 0x, y ϵ C

Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada kedua tabel berikut.

X 0 60Y 51 0

(x, y) (0, 15) (60, 0)

X 0 30Y 30 0

(x, y) (0, 30) (30, 0)

Kita buat daerah himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang Cartesius.

Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.

Dengan mensubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (20, 10).

Gambar 3. Titik potong garis 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60.Dari gambar di atas, terlihat daerah penyelesaiannya mempunyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan C(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut.

Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)

X 0 30 20 0Y 0 0 10 15

Z = x + 3.000y 0 45.000 45.000 60.000

↑z maks

Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalah z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y =10Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp 60.000,00 jika ia dapat menerima parkir mobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.

6.) Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I

harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut.

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/nilai-optimum-suatu-fungsi-objektif-program-linear-fungsi-objectif-cara-menentukan-contoh-soal-rumus-pembahasan-metode-uji-titik-sudut-metode-garis-selidik-matematika.html#ixzz2f9fgQsTe

a. Rp 367.000 d. Rp 667.000b. Rp 467.000 e. Rp 767.000

c. RP 567.000

Pembahasan :

Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita terjemahkan ke dalam model matematika. Untuk mempermudah, kita buat tabel seperti berikut.

Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) Kebutuhan

Fosfor 30 20 600 g

Nitrogen 30 40 720 g

Harga 17.500 14.500

Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.

Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.

Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.

Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan perpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan koordinat titik B sebagai berikut.

Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah satu persamaan garis di atas, diperoleh x =

16. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah B(16, 6).

Gambar 5. Koordinat titik B.

Terlihat dari Gambar 5, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik B(16, 6), yaitu :

z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.

Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II.

7. Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi

kebutuhan anak balita tersebut adalah…A. Rp 12.000,00 C. Rp 18.000,00 E. Rp36.000,00

B. Rp14.000,00 D. Rp24.000,00

Jawab:

Program Linearmisal x =jumlah tablet kalsium

y = jumlah tablet zat besi5x + 2y ≤ 60 , jika x = 0 maka y = 30, jika y = 0 maka x = 12 didapat titik (0,30) dan (12,0)2 x + 2y ≤ 30, jika x = 0 maka y = 15, jika y = 0 maka x = 15 didapat titik (0,15) dan (15,0)

1000 x + 800 y, biaya minimum ?eliminasi y:

5x + 2y = 602x + 2y = 30 -3x = 30x = 10

2x + 2y = 302y = 30 – 2xy = 15 – x= 15 – 10 = 5titik potongnya (10,5)

ambil titik-titk yang lain, karena ≤ , maka ambil titik yang mendekati sumbu masingmasing:dari sumbu y:Dari titik (0,30) dan (0,15) , titik (0,15) yang belaku

dari sumbu x:Dari titik (12,0) dan (15,0) , titik (12,0) yang belaku(0,15) (12,0) (10,5)1000 x + 800 y 12000 12000 12000ketiganya nilainya sama sehingga nilai minimumnya adalah Rp. 12.000,00

Jawabannya A

8. Kebutuhan gizi minimum tiap pasien suatu rumah sakit per harinya adalah 150 unitkalori dan 130 unit protein. Apabila dalam tiap kilogram daging mengandung 500 unitkalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap ikan basah mengandung 300 unit kalori

dan 400 protein dengan harga masing-masing kilogramnya adalah Rp40.000,00 dan

Rp20.000,00. Tentukan biaya minimum untuk kebutuhan 100 pasien tiap harinya padarumah sakit tersebut. http://diniptek.files.wordpress.com/2010/01/05-bab-43.pdf

a. Rp 950.000 d. Rp 900.000b. Rp 850.000 e. Rp 800.000

c. Rp 700.000

Penyelesaian: Model matematika disusun dengan memisalkan

Banyaknya daging sapi perharinya = x kgBanyaknya ikan basah perharinya = y kg

Banyaknya

Kalori protein harga

X 500/kg 200/kg 40.000

Y 300/kg 400/kg 20.000

150/orang 130/orang

Maksimumkan Z = 1.000.000x + 500.000y

Syarat daya tampung : x + y ≤ 48Syarat kapasitas bagasi: 60x + 20y ≤ 1440x ≥ 0 ; y ≥ 0

Dari model matematika didapat daerah feasible ABC(daerah tak terarsir) pada gambar 4-16dengan titik B dicari seperti berikut

Uji titik-titik pojok, yaitu titik-titik A, B dan C.

Titik X y 30.000x+20.000y

A (0, 50)

B (15, 25)C (65, 0)

0

1565

50

250

1.000.000

950.0001.950.000

Jadi, biaya minimum tiap hari untuk 100 pasienadalah Rp950.000,00 yaitu untuk 15 kg dagingdan 25 kg ikan perharinya

9. Suatu perusahaan mengeluarkan sejenis barang yang diperoduksi dalam tiga ukuran,yaitu ukuran besar, ukuran sedang dan ukuran kecil. Ketiga ukuran itu dihasilkandengan menggunakan mesin I dan mesin II . Mesin I setiap hari menghasilkan 1 ton

ukuran besar, 3 ton ukuran sedang dan 5 ton ukuran kecil. Mesin II setiap hari

menghasilkan masing-masing ukuran sebanyak 2 ton. Perusahaan itu bermaksudmemperoduksi paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang dan 200 tonukuran kecil. Bila biaya operasi mesin I adalah Rp500.000,00 tiap hari dan mesin IIadalah Rp400.000,00 tiap hari. Dalam berapa hari masing-masing mesin bekerjauntuk pengeluaran biaya sekecil-kecilnya dan berapa biaya tersebut.

http://diniptek.files.wordpress.com/2010/01/05-bab-43.pdfa. Rp 27.000.000 d. Rp 30.000.000b. Rp 28.000.000 e. Rp 31.000.000c. Rp 29.000.000

Jawab:

Model matematika disusun dengan memisalkan:

Jumlah hari kerja mesin I adalah xJumlah hari kerja mesin II adalah y

Fungsi objektifnya Z = 500.000x + 400.000ySyarat ukuran besar x + 2y > 80Syarat ukuran sedang 3x + 2y > 160

Syarat ukuran kecil 5x + 2y > 200Dengan cara seperti contoh sebelumnya, sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai

himpunan penyelesaian seperti tampak pada gambar 4-17 yang merupakan daerahtanpa arsiranTitik A ditentukan dengan cara eliminasi atau substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan 5x +

2y = 200 diperoleh x = 20 dan y = 50.Titik B ditentukan dengan cara eliminasi atau substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan x +

2y = 80 diperoleh x = 40 dan y = 20 Dari daerah penyelesaian di samping, maka dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian tersebut tidak memiliki nilai maksimum.

10. Suatu perusahaan tambang batubara memiliki dua lokasi penambangan. Lokasi I setiap hari menghasilkan 1 ton batubara kualitas A, 3 ton kualitas B dan 5 ton kualitas C. Lokasi II

menghasilkan setiap hari menghasilkan 2 ton batubara untuk masingmasing kualitas. Dalam

waktu kurang dari dua bulan perusahaan harus memenuhi pesanan 80 ton batubara kualitas A, 160 ton kualitas B dan 200 ton kualitas C. Jika diketahui biaya penambangan di lokasi I adalah Rp 2.000.000/hari dan di lokasi II adalah Rp 1.500.000, tentukan jumlah hari penambangan di lokasi I dan lokasi II agar pesanan dapat terpenuhi dengan biaya semurah mungkin! (minimum)

Pembahasan :

Misalkan : Lokasi I = xLokasi II = y

Kualitas Lokasi I Lokasi II Batasan

A 1 2 80

B 2 2 160

C 3 2 200

sehingga :Kualitas A : x + 2y ³ 80

Kualitas B : 3x + 2y ³ 160Kualitas C : 5x + 2y ³ 200

Model :Minimumkan fungsi obyektif: z = 2.000.000x + 1.500.000y

dengan batasan : x + 2y ≥ 803x + 2y ≥ 1605x + 2y ≥ 200

x ≥ 0, y ≥ 0

X + 2y ≥ 80 3x + 2y ≥ 160 5x + 2y ≥ 200

X 0 80 0 53.5 0 40

y 40 0 80 0 100 0

Buat persamaan garis selidik awal 20x + 15y = 300 yang memotong sumbu x pada titik (15,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,20), kemudian gambar garis selidik awal tersebut.

Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yang melalui titik potong antara garis x + 2y = 80 dengan garis 3x + 2y ³ 160, yaitu titik (40,20). Jadi titik optimumnya adalah (40,20) artinya biaya produksi minimum jika perusahaan mengoperasikan lokasi selama 40 hari dan lokasi II selama 20 hari , yaitu:

40(Rp 2.000.000) + 20(Rp 1.500.000) = Rp 110.000.000.

Jawaban : 110.000.000