FUNGSI PEMBANGKIT DAN RELASIREKURSI

Pada bab 9 yang lalu telah dibahas eara menyelesaikan suatu relasi rekursi. Umumnya bila diberikan s~atu problema peneaeahan, maka sangat sulit untuk dapat ditentukan relasi rekursi yang memenuhi problema tersebut. Bila misalnya telah berhasil diketemukan relasi rekursi yang memenuhi problema tersebut, maka penyelesaiaan relasi rekursi tersebut biasanya sulit sekali dikerjakan. Jadi sedapat mungkin harus dieari eara lain untuk dapat menyelesaikan problema peneaeahan tanpa harus menyelesaikan suatu relasi rekursi. Pada Bab ini akan diperkenalkan suatu eara penyelesaian relasi rekursi menggunakan teknik fungsi pembangkit, yang pertama kali dijabarkan oleh Euler.

FUNGSI PEMBANGKITDefinisi 10.1 Pandang ~, aI''''' an' ... adalah barisan bilangan dengan indeks n. Fungsi pembangkit atau generating function dari barisan tersebut didefinisikan sebagai deret pangkat

Dalam membicarakan fungsi pembangkit ini masalah konvergensi deret tersebut tidak akan diperhatikan. Dalam hal ini yang diperhatikan adalah bahwa penulisan tanda Xo= I, x\, "., xn' yang diinterpretasikan sebagai penulisan tanda aljabar atau simbol yang mewakili bermaeam-maeam suku dari barisan

~

+ al"'"

an' dan seterusnya.

Karena suatu barisan yang hingga dapat dikatakan sebagai barisan yang takhingga dengan an+\

= an+2 = ." =0, maka

semua pembicaraan pCldabab ini juga

berlaku untuk barisan yang hingga.

CONTOH Contoh 10.1Misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka fungsi pembangkit fm(x) untuk barisan koefisien binomial

204

adalah

dan menurut rumus binomial Newton. maka bentuk ini adalah sarna dengan (1+x)m. Lebih umum lagi bila a. suatu bilangan riil sembarang. maka fungsi pembangkit fa.(x) untuk barisan koefisien binomial,

...

adalahfa. (x)

yang berdasarkan teorema binomial Newton dapat ditulis sebagai fa.(x)

= (1 + x)a.

Contoh 10.2Akan dicari fungsi pembangkit gx(x) daTi barisan bilangan aQ' an' di sini an menyatakan jumlah kombinasi-n dari suatu himpunan ganda dengan k > o obyek yang berbeda. dan masing-masingobyek meinpunyai faktor pengulangan yang tak hingga. Pada pembahasan terdahulu telah dapat dihitung bahwa

205

Jadi fungsi pembangkit yang dieari adalah

dengan menggunakan teorema binomial Newton, maka dapat diperoleh bentuk

1 gk(x) = (l-x)k

=

(l-x)"k

sebagai salah satu hal khusus, yaitu barisan bilangan 1, 1, 1, 1,..., untuk mana fungsi pembangkitnya adalah

dan fungsi pembangkit dari barisan lain yaitu I, 2, 3, ..., n adalah

Sekarang pandang suatu eontoh yang mirip dengan perl1itungan (l+x)D, yaitu eara perhitungan (a+x)3. Bentuk ini dapat ditulis sebagai (a+x)(a+x)(a+x)

= aaa

+ aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xu

untuk harga a

= 1, diperoleh

(1+x)(1+x)(1+x)= 111 + 11x + Ixi + Ixx + xlI + xIx + xxi + xu Hal ini membentuk suatu daftar semua eara untuk mengalikan suatu suku pada faktor yang pertama dengan suku pada faktor yang kedua dan suku lain pada faktor yang ketiga. Problema menentukan koefisien dari xr, pada ekspansi (x+1)3atau (l +X)D pada umumnya, berubah menjadi problema menghitungjumlah eara yang berbeda untuk membentuk faktor yang terdirir dari sejumlah r dari x 206

dan sejumlah (n-r) dari 1. Jadi koefisien dari xr dalam (x+ 1)3 adalah

( ~) dan dalam (1+X)n, adalah

(;)

Yang paling penting dalam hal ini adalah menginterpretasi hasil perkalian sejumlah faktor yang masing-masing merupakansuatu polimonial dalam x. Dalam

hal .ini perkaliantersebut dilihat sebagai suatu cara untuk membentuksemuahasil perkalian yang dapat dilakukan dengan mengalikan semua suku dari tiap-tiap faktor polinomial yang ada. Bila ada sejumlah n faktor polinomial, serta setiap faktor polinomial ke-Lmengandung sejumlah ri, suku yang berbed~ maka akan dapa~ dibentuk sejumlah

hasil perkalian berbeda. Hal ini mudah dilihat untukspansi bentuk (1+x)n, yang mengandung n faktor polinomial dan masing-masing polinomial mengandung 2 suku, maka akan diperoleh 2n bentuk perkalian yang berbeda.

Contoh 10.3 Akan dihitung suatu fungsipembangkityang dibentukoleh

maka himpunan semua hasil kali yang mungkin diperoleh adalah[1] [x], [1] [x], [1] [x], [1] [x], [x2] [1] [x]. [x2]

Jadi setiap hasil perkalian akan ada 1 atau x pada 3 tempat yang pertama, dan ada satu atau x atau x2 dan tempat ke 4 dan ke 5. Salah satu hasil perkalian yang mungkin adalahIx lx2x

207

yaitu tempat pertama diisi suku 1; tempat kedua diisi suku x, tempat ketiga diisi suku 1, keempat diisi suku x2 dan tempat kelima diisi suku x. Karena harga suku 1 dapat ditulis sebagai xfJ,maka bentuk perkalian yang mungkin dibuat dalam hal ini dapat juga dituliskan sebagai[xfJ] [x], [xfJ] [xfJ] [xfJ] [xfJ] [x], [x], [x2] [x], [x2] [x].

Persoalan untuk menentukan koefisien dari suku xl dari perkalian beberapa faktor polinomial seperti di atasdapat dinyatakan sebagai jumlah suku dari pangkat. Pada contoh di atas, pandang koefisien dari x4, yang merupakan hasil ekspansi dari

Koefisien ini merupakan jumlah dari semua perkalian yang menghasilkan faktor X4. Persoalan ini dapat pula dilihat sebagai suatu problema mencari sejumlah bilangan bulat yang memenuhi suati persamaan tertentu. Persoalan itu dapat ditulis sebagai berikut. Carilah semua bilangan bulat yang mungkin diperoleh pada persamaan

di sini e1, e2, e3, masing-masing bemilai 0 atau I, sedangkan e4 dan es masing-masing bemilai 0, 1 atau 2. Perhatikan bahwa dalam problema yang baru didefinisikan ini harga masing-masing eI merupakan pangkat atau eksponen dari setiap suku yang ada pada tiap faktor polinomial.Persoalan inijuga dapat dilihat sebagai suatu problema yang menghitung banyaknya cara untuk mengambil 4"'buahbola dari 5 jenis bola yang ada. Dalam hal ini bola jenis pertama, kedua dan ketiga hanya ada satu, sedangkan jenis bola keempat dan kelima ada dua buah. Cara pengambilan bola ini boleh berulang, dalam arti setiap jenis bola boleh tidak diambil, atau diambil sebanyak mungkin, tergantung dari jumlah bola yang ada untuk tiap jenis bola. Hanya saja kendala yang hams dipenuhi adalah jumlah keseluruhan bola yang hams diambil adalah 4. 208

Cara lain untuk melihat problema di atas adaIah banyaknya eara untuk mendistribusikan 4 buah bola yang sarna ke daIarn 5 buah kotak yang tersedia, di mana kotak pertama, k~ua dan ketiga hanya marnpu menerima maksimum satu bola, sedangkan kotak keempat dan kelima dapat menerima maksimum 2 bola. Dari pembatasan ini semua dapat disimpulkan bahwa koefisien x4 dari ekspansi.

merupakan jawab dari problema I. 2. 3. el + ez + e3 + e4 + es

= 4 p73

.dengan

0 ~ el' ez' e3 ~ I, dan 0 ~ e4, es ~ 2

Koefisien tersebut juga menyatakan banyaknya eara memilih 4 bola dari 5 jenis bola yang ada. Atau juga banyaknya eara mendistribus~an 4 bola yang sarna ke daIarn 5 kotak yang berbeda seperti diterangkan di atas. Dalam hal ini fungsi

dikatakan sebagai fungsi pembangkit dengan koefisien ar yang menyatakan banyaknya jawaban yang mungkin pada ketiga problema yang telah disebutkan di atas. Pada bagian ini hanya diperhatikan bagaimana earanya membentuk suatu fungsi pembangkit yang dapat memberikan jawaban pada suatu problema peneacahan. Bagian berikutnya akan dilihat bagaimana manipulasi aIjabar yang dapat dilakukan pada suatu fungsi pembangkit sehingga dapat dihitung koefisien-koefisien yang diperlukan. Pada contoh tadi diterangkan bagaimana koefisien dari ekspansi beberapa fungsi polinomial dapat digunakan untukmenjawab berbagai problema kombinatorik yang diberikan. Contoh berikut ini akan melihat problema tersebut dari arah yang berlawanan. Di sini akan dijelaskan eontoh untuk membentuk fungsi pembangkit yang memenuhi suatu problema komb!natorik tertentu. 209

Contoh 10.4 :Pandang 4 buah kotak, masing-masing berisi 3 buah bola hijau, 3 buah bola putih, 3 buah bola biru,Jian 3 buah bola merah. Akan ditentukanfungsi pem'bangkit dari ar yang menyatakan banyaknya cara untuk memilih r buah bola dari kotak tersebut. Seperti pada pembahasan soal yang baru lalu, maka pada soal ini problema yang diberikan dapat dirubah ke dalam model berikut.e I + e2 + e3 + e4

=r

' , . d1 sml 0 < el, e2, e3, e4 < 3 , _ -

Dalam hal ini e I menyatakan jumlah boi-'ahijau' yang diambil, e2 menyatakan jumlah bola putih yang diambil, e3 menyatakan jumlah bola biru yang diambil, sedangkan e4 menyatakan jumlah bola merah yang diambil. Untuk problema ini fungsi pembangkit dapat dibentuk dengan memperhatikan 4 buah faktor polinornial yang masing-masing mempunyai tingkat antara 0 sampai dengan 3. Suku-suku dari faktor polinomial yang akan membentuk fungsi pembangkit adalah [xO]

[1>] [xl] [xl] [x2] , [x2] , [x3] [x3]

[1>] [xl] [x2] , [x3]

[1>] [xl] [x2] [x3]

Dengan demikian jumlah perkalian keempat pangkat yang jumlahnya r akan merupakan jawab dari problema yang diberikan. Jadi fungsi pembangkit yang dicari adalah

Contoh

10.5

Tentukan fungsi 'pembangkit dari ar yang menyatakan jumlah cara untuk mendistribusikan r buah bola yang sarna ke dalarn 5 buah kotak yang diberikan dengan kendala sebagai berikut. Kotak pertama dan kedua masing-masing hanya dapat diisi oleh sejumlah genap bola dan maksimum akan berisi 10 bola saja, sedangkan kotak ketiga, keempat dan kelima masing-masing hanya dapat diisi oleh paling sedikit 3 bola dan paling banyak 5 bola saja. 210

Walaupun kendala yang diberikan kelihatannya sedikit rumit, tetapi eara penyelesaian dari problema ini temyata mudah sekali. Dengan menggunakan persamaan dengan jawab bilangan bulat, maka problema di atas dapat ditulis sebagai berikut: Cari jawab problema berikut dengan e) ... es adalah bilanganbulat.

di sini e) dan e2 adalah bilangan genap dan 0 ~ e)' e2 ~ 10, serta 3 ~ e3, e4, es ~ 5. Dari bentuk problema ini maka jelas bahwa fungsi pembangkit yang dieari akan berbentuk

Dalam hal ini dua faktor polinomial yang pertama berhubungan dengan dua kotak yang pertama dengan kendala yang diberikan pada kedua kotak terse"ut, sedangkan tiga faktor polinomial yang terakhir.berhubungan dengan tiga kowk yang terakhir lengkap dengan kendala yang didetinisikan padanya. Dari eontoh-eontoh ini terlihat bahwa bila problema awal sudah dituliskan kembali dalam bentuk persamaan dengan jawab s~jumlah bilangan bulat positif, maka probler.la untuk meneari fungsi pembangkit yang memenuhi problema awal tersebl't akan menjadi mudah sekali untuk diselesaikan. Dalam hal ini setiap faktor polinomial hanya akan dilihat sebagai harga dari pangkat saja. Artiny untuk setiap harga k yang diberikan oleh ej, maka faktor polinomial ke i akan mempunyai suku xk. Dalam hal ini faktor polinomial ke i memberikan semua kemungkinan dari pangkatnya untuk menjadi harga dari ej. Dengan sedikit latihan maka fungsi pembangkit dapat dengan mudah dibuat, berdasarkan problema eara pemilihan atau distribusi sejumlah bola. Tetapi konsep dasar dari fungsi pembangkit sebenamya jauh lebih rumit dari hal yang baru saja diterangkan. Penyelesaikan eara pemilihan atau distribusi bola dapat juga duseleseikan dengan menggunakan koetisien binomial. Sekarang problema ini diselesaikan hanya dengan menuliskan hasil perkalian dari sejumlah faktor polinomial saja. Dalam hal ini fungsi pembangkit tidak dapat dibuat untuk menjawab satu problema saja, misalnya untuk menjawab satu problema dengan sepuluh bola saja. Fungsi pembangkit digunakan untuk menjawab semua kemungkinan yang 211

terjadi. Beberapa problema peneaeahan yang sulit akan dipeeahkanmenjadi.

beberapaproblemakeeiluyangtidakterlalusuiit. Fungsipembangkitini dengansendirinya telah melakukan pembagian problema ini kes dalam beberapa problema yang lebih mudah dalam satu fungsi pembangkit yang diberikan. Bagian berikut ini akan diterangkan bagaimana manipulasi aljabar dapat dilakukan pada beberapa problema yang b~rhubungan dengan fungsi pembangkit suatu problema. Oalam eara ini model dari problema peneaeahan dari pemilihan atau pendistribusian bola yang rumit tidak perlu diperhatikan.

PERHITUNGAN KOEFISIEN FUNGSI PEMBANGKITPada bagian ini akan dikembangkan beberapa teknik aljabar yangdapat digunakan iuntuk menghitung koefisien dari fungsi pembangkit. Semua metode ini digunakan untuk mengurangi tingkat kesulitan dari suatu fungsi pembangkit ke dalam fungsi pembangkit yang lebih sederhana yang berhubungan dengan ekspansi fungsi binomial atau multi nomial. Untuk memuadahakan perhitungan selanjutnya, maka berikut ini diberikan beberapa persamaan yang berhubungan dengan ekspansi suatu polinomial. I - xn+\ 1. 1- x Hal ini mudah ditunjukkan dengan mengalikankedua sisi dari persamaan diatas dengan faktor (I-x). Sisi kiri akan menghasilkan I

=I +x

+ x2 + x3 +

... + x"

- x"+\,

sedangkan

sisi

kanan merupakan penjumalahan dari 1 + x + x2 + x3 + ... + x" dan - x - x2 - ... - x" - x"+1 lumlah dari kedua polinomial ini adalah 1 - x"+\. 2.

=I-x

1+x +

r

+ x3+ ... + X' + ...

Hal ini dapat. ditunjukkan dengan eara yang hampir sarna dengan eara sebelumnya. Hanya saja dalam hal in. harga n dibuat menuju tak berhingga 212

atau besar sekali. Dengan demikian setiap koefisien xk di mana k > 0 akan bernilaiO.Jadi dapat disimpulkan bahwa 0, maka koefisien dari

ada1ah

1 4

4r.

227

METODE PENJUMLAHANPada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana membentuk suatu fungsi pembangkit biasa h(x) di mana koefisien r yang dieari memenuhi suatu fungsi tertentu p(r~ yang tergantung dari r. Misalnyap(r) ;", ,2. atau p(r) = (r). Bila rumusan ini telah dapat diperoleh, maka h(x) akan digunakan untuk menghitung jumlah p(Q) + p(l) + ... + p(n), untuk setiap bilangan bulat n. Sebelum hal ini dibahas, pertama-mma akan diberikan dulu 4 aturan sederhana yang sering digunakan untuk membentuk fungsi pembangkit yang baru dari suatu fungsi ~mbangkit yang diberikan. Untuk keempataturan ini dimisalkanbahwa A(x) = LanXn,B(x) = I,bnxn, C9x) = I,C/ dan D(x) = Ld~xn. 1. Bila bn 2. 3.4.

= dan, maka B(x) = d A(x). untuk tiap konstanta

d.

Bila cn

= an + bn makan i=O

C(x)

= A(x) + B(x). = B(x) A(x).

Bila cn = I, a,bn_j,maka C(x)Bila bn

= an_k,keeuali bj=Ountuk i < k. maka B(x) = xk A(x).

Salah satu operasi pembentukan koefisien penting lainnya adalah mengalikan setiap koefisien a, dari fungsi pembangkit g(x) dengan suatu konstanta r. Fungsi pembangkit yang baru g*(x} mempunyai koefisien a*, = ra" diperoleh dengan menurunkan g(x) terhadap variabel x dan kemudian mengalikan hasilnya dengan x. d Jadi g*(x) = x (g(x. Kebenaran akan hal ini ditunjukkan dx sebagai berikut: g(x)

= ao + atx + a~

+ ... + a,r + ....

turunan dari g(x) terhadap x adalah

228

d _ -1 ,- g(X) - a) + 2ar + ... + ra~ + ..., dx dan bila hasil penurunan ini dikalikan dengan x, maka akan diper oleh g*(x)

=x

(:

g(X))

=

a)x + 2af

+

... + ra~ + ...,

Perhatikan bahwa pada persamaan yang terakhir ini koefisien ao hHang,karena koefisien yang barn adalah Oao

= O.

Bila operasi ini digabungkan dengan aturan pertama dan kedua di atas, maka koefisien xr dapat dikalikan dengan r atau konstanta dan dapat dilakukan penambahan koefisien berkali-kali. Hal ini memberikan peluang untuk membentuk suatu polinomial dalam r. Yang menjadi pertanyaan adalah pada koefisien sejenis apa operasi ini patut dilakukan? Bila tidak ada informasilainnya, maka diambil s~atu fungsi pemabngkit yang paling sederhana yaitu fungsi pembangkit dengan koefisien ar = 1, dengan fungsi pembangkit

=I-x

I + x + x2 + x3 + ... r + ...

Contoh 10.17 :Buatlah suatu fungsi pembangkit h(x) dengan ar = 2?-. Proses dimulai dengan fungsi pembangkit

-I-x

1

Bila dilakukan operasi penurunan dan perkalian dengan x, maka akan diperoleh x

=" Ix + 2i2 + 3x3+ ... rr + ...

229

Bila proses ini diulangi sekali lagi, maka akan diperoleh

x --;j;"

(

d

X

(l-x)2

)=(l-x)2

x(l +x)

(l-xf

= l2x + 22x2+ 32x3+ ... r2xr + ...

Akhirnya hasil ini dikalikan dengan 2, dan diperoleh =2x(1+x)

h(x)

Contoh 10.18 :Akan dibentuk fungsi pembangkit h(x) dengan ar = (r+l)r(r-l). Untuk ar = (r+l)r(r-l) = ,J -r, dapatdilakukan prosesseperticontohyang barn dikerjakan, yaitu dengan melakukan mencari fungsi pembangkit dengan koefisien ,J dan r, lalu melakukan proses pengurangan dua fungsi pembangkit. T~pi selain itu dapat juga dilakukan sebagai berikut. Misalkan fungsi pembangkit

mempunyai koefisien ar' di sini

ar

= 3!

( )

r+4-1 r

= 3! (r+3)! = r!3!

(r+3)! = (r+3)(r+2)(r+l)!r!

Maka ekspansi deret pangkat dari 3!.(l-x)-4 adalah3!

= 3.2.1 + 4.3.2x + 5.4.3x2 + ...+ (r+3)(r+2)(r+l)r + ...

230

bila hal ini dibandingkan dengan fungsi pernbangkith(x)

= 3.2;lx2 + 4.3.2i3 + 5.4.3x4 + ...+ 4 (r+l)(r-l)r + ...

rnaka jelas bahwa h(x) adalah sarna dengan 3!x2(1-x)-4

Contoh yang terakhir ini dapat diperluas untuk tiap koefisien yang melibatkan hasil kali dari suku yang rnenurun, seperti (r+l)r(r-l). Dalam hal ini fungsi pernbangkit (n-l)!(1-x)-n, rnernpunyai koefisien

ar = (n-l)!

= (r+(n-l (n-2) ... (r+l).(r+:-l)

di sini n-l adalah jurnlah suku dalam hasil kali. Sejauh ini eontoh yang diberikan rnenunjukkaneara rnernbentukh(x) dengan rnanipulasi aljabar dari fungsi .pernbangkit. TeoreJ1laberikut ini rnudah untuk dibuktikan dan berguna untuk rnenghitungjurnlah koefisien lir untuk dari suatu fungsi pernbangkit tertentu.

Teorema 10.1 Bila h(x) adalah suatu fungsi pembangkitdengankoefisienar, rnakah*(x)=

I-x

h(x) adalah fungsi pernbangkit dengan koefisien

jurnlah dari ar atau* h (x)= 2