BAB 1 Konsep Dasar1.1 Klasi kasi Persamaan DifrensialPada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam de nisi berikut.

De nisi 1.1.1 Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunanfungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difrensial Parsial (PDP)

Contoh 1.1.1 Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDBdan PDP. 1.@y @x

+ @y + @t

xy

=5 1

BAB 1. KONSEP DASAR2. 3. 4. 5. 6.dy dx d2 + dxy + 2y

2

dy dx

2

;3 =0x

@2y @s2 d3 y dx3 @u @x

+ @y ; = 0 @t +d2 y dx23

+

dy dx

2

; =2x

y

+ @u + @u = 5 @y @z5

dy dx

+

d2 y dx2

+

dy dx

2

y = 7x

Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada Persamaan Difrensial Biasa (PDB). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat pada satu variabel bebas.

De nisi 1.1.2 Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunandalam persamaan F (xy0

y

00

:::

y

(n)

) = 0.n

De nisi 1.1.3 Linieritas dan Homogenitas PDB Order dikatakan linierbila dapat dinyatakan dalam bentuka0 x y

( )

(n)

+ 1( )a

x y

(n;1)

+

+ n( ) = ( )a x y F x

dimana a0 (x) 6= 0

Selanjutnya: 1. Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier 2. Bila koe sien a0 (x)a1 x

( )

:::

an x

( ) konstan dikatakan mempunyai koe sien

konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koe sien variabel. 3. Bila F (x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak, disebut nonhomogen.

BAB 1. KONSEP DASAR

3

1.2 Solusi PDBBerikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB.

De nisi 1.2.1 Suatu PDB order yang ditulis dalam persamaan berikut:n F

;

x y y

0

y

00

:::

y

(n)

)=0

(1.1)

dimana

F

adalah fungsi real dengan (n + 2) argumen akan mempunyai solusi

eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Bila f adalah suatu fungsi dimana f 2 C (I ) dan f 2 C n (I ) untuk 8x 2 I dan I adalah sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari (1.1) jikaF

;

x f f

0

f

00

:::

f

(n)

) 2 ( ) danC I

F

;

x f f

0

f

00

:::

f

(n)

)=0

untuk 8x 2 I . 2. Sedangkan g(x y) = 0 disebut solusi implisit dari (1.1) jika fungsi pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit minimal satu merupakan solusi eksplisitnya.f C I x g

da-

2 ( ) untuk 8 2 danI

Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis solusi yaitu 1. Solusi umum, yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial, katakanlah . Sebagai contoh, diketahui sutau PDBC y0

= 3 + 1 maka solusiy

umunnya adalah = ;1 3 +y =

Ce

3 x

.

2. Solusi khusus, yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB. Misal PDB ituy0

= 3 + 1 (0) = 1 maka solusi khususnya adalah = ;1 3 + 4 3y y y =

e

3 x

.

BAB 1. KONSEP DASAR

4

3. Solusi singular, yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh =y Cx

+

C

2

adalah solusi umum dari ( )2 +y0

xy

0

= , namun demikian disisi lain PDBy x

ini mempunyai solusi singular = ; 1 2. 4y

1.3 Metoda PenyelesaianTerdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB yaitu: 1. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit, yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup eksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE. Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut: %Menggunakan fungsi dsolve dsolve('Dy=3*y+1, y(0)=1') 2. Metoda kualitatif . Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola gra k gradien " eld" (direction eld) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui, dan juga kurang

BAB 1. KONSEP DASAR

5

eksibel untuk kasus yang komplek. Dengan MATLAB direction eld dapat digambar sebagai berikut: %Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot %Misal akan diamati pola solusi dari PDB = 1 ; 2 with(plots): eldplot( 1 ; 2 ] = ;1 4 = ;1 2 = %Atau dengan menggunakan fungsi DEplot eq1:=di (y(t),t)=1-2*t*y(t) DEplot(eq1,y(t),t=-1..4,y=-1..2)y0

ty

t

t

y

t

::

y

::

arrows

LI N E color

= )t

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambar 1.1: Diagram kekonvekan untuk

D

2 R2

Atau dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada dalam matematika untuk menggambar suatu fungsi, (lihat KALKULUS). 3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda

BAB 1. KONSEP DASAR

6

yang sangat eksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam gra k sehingga dapat dianalisis dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan). Sebagai konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan rumusyn+1

=

yn

+

hf t y

( ), (lihat catatan Algoritma dan Pemerograman).

Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan MATLAB programming. %Programming Untuk Menyelesaikan PDB % = ; 2 + 1 (0) = 0 5 %Dengan menggunakan metoda Eulery0

y

t

y

:

n=input('Jumlah iterasi :') y(1)=0.5 t(1)=0 h=0.2 for i=2:n fprintf('nn ( ) = 1 2 ( ; 1) ; 0 2 ( ; 1)2 + 0 2 ( ) = (1) + ( ; 1) end plot(t,y) hold on = 2+2 +1;05 () plot(t,f,'o')y i : y i : t i : t i t i h f t: : t : : exp t

BAB 1. KONSEP DASAR

7

1.4 Masalah Nilai Awal (MNA)Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengany0

=

dy dx

= (x y

f x y

)D

dimana adalah kontinyu atas variabelf

pada domain

(dalam bidangy

xy

).

Misal (

x0 y0

) adalah titik pada , maka masalah nilai awal yang berkenaanD y0

dengan dengan

= (

f x y

) adalah masalah untuk menentukan solusiy

yang

memenuhi nilai awal ( 0) = 0. Dengan notasi umum sebabagai berikut:y x y0

= (

f x y

)

y

(0) =

y0

(1.2)y x y0

Permasalahannya sekarang apakah solusi ( ) yang memenuhi ( 0) =y x

selalu ada (principle of existence) , kalau benar apakah solusi itu tunggal (principle of uniqueness). Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif. Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard.

De nisi 1.4.1 (Sarat Lipschitz) Suatu fungsi ( ) dikatakan memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel di suatu domain 2 R 2 jika ada konstanta 0f t y y D L >

sedemikian hingga

jj (stanta Lipschitz.

f t y1

); (

f t y2

)jj

L

jj 1 ; 2jjy y

untuk sebarang (t y1 ) (t y2 ) 2 D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kon-

BAB 1. KONSEP DASARD

8

De nisi 1.4.2 (Konvek) Suatu himpunan 2 R 2 dikatakn konvek bila untuk sebarang ( 1 ) ( 2 ) 2 maka titik ((1 ; ) 1 + 2 (1 ; ) 1 + 2 ) juga merupakan elemen dari untuk 2 0 1].t y t y D t t y y D

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

(t , y )1 1

(t , y ) (t , y )2 2 1 1

(t 2 , y 2 )Tidak Konvek

Konvek

Gambar 1.2: Diagram kekonvekan untukf t y

D

2 R2

Teorema 1.4.1 Teorema Lipschitz. Andaikata ( ) terde nisi dalam himpunan konvek 2 R 2 dan ada konstanta 0 dimanaD L > d f dy

( )t y

L

untuk semua ( ) 2t y

D

(1.3)

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz.

Teorema 1.4.2 Misal = f( )jD t y

a

t

b

;1

y

1g dan ( ) adalahf t y

fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel y maka masalah nilai awaly0

()= ( )t f t y

a

t

b

y a

( )=

mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a

t

b

.

Contoh 1.4.1

y

0

= 1 + sin( )t ty

0

t

2

y

(0) = 0. Tentukan apakah

persamaan ini mempunyai solusi tunggal.

BAB 1. KONSEP DASARf t y t ty

9

Penyelesaian 1.4.1 ( ) = 1 + sin( ), kemudian terapkan teorema nilairata-rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarangy1 < y2

, maka ada bilangan

2(

y1 y2

) sedmikian hinggaf t y2

(

); (

y2

;

f t y1 y1

)=

@ @y

f t

( ) = 2 cos( )t t

:

Kemudianf t y2

(

); (

f t y1

) = ( 2 ; 1) 2 cos( )y y t t y y t t

jj (

f t y2

); (

f t y1

)jj = jj( 2 ; 1) 2 cos( )jj

jj 2 ; 1jjjj 2 cos( )jjy y t t

jj 2 ; 1jjjj 0max2 2 cos( )jj ty y t t

= 4jj 2 ; 1jjy y

:

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjf (t y1 ) ; f (t y2 )jj solusi tunggal.

L

jj 1 ; 2jj,y y

dimana konstanta Lipschitznya adalah L = 4, berarti persamaan itu mempunyai

y

Teorema 1.4.3 Teorema Picard. Suatu masalah nilai awal = ( ) ( 0) = , dimana adalah 0 mempunyai solusi tunggal = ( ) pada interval j ; 0 jy0

f x y

y x

y

x

x

x

bilangan positif dan kecil sekali, bila 1.f

x < b c < y < d

2 ( ) dimana adalah daerah pada bidang , yaitu = f( ) gC D D xy D x y

a

;2 =1ty

y t

()=

e

t2

Rt0

0e;

y1 t

()= +e

1

y2 t

()=

t

;

1

s2 ds

t2

5. Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah nilai awal yang bersesuaian (a) (b) (c)y0

=;

y

y

(0) = 2y

y x

( )=2y0

e

;

x

y

00

+4 =0y y0

(0) = 1y

(0) = 0y0

y x

( )=

cos

(2 )x e;

y

00

+3 +2 =0y

(0) = 0

(0) = 1

y x

( )=

x

;

e

;

2x

6. Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz:

BAB 1. KONSEP DASAR(a) ( ) = cosf t y y f t y t t

12 0y t

1t

y

(0) = 1y

(b) ( ) = 1 + sin (c) ( ) = 2 + tf t y y t e

0 1t

2 2y

(0) = 0

2 2

t

y

(1) = 0

4t (d) ( ) = 1+3ty4f t y

0

1

(0) = 1

dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini. 7. Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal pada interval yang memuat kondisi awal berikut (a) (b) (c) (d)y0

= ;1 ; 2t

y

y

(0) = 0y

y

0

= ;2 + ; =e;

y

(0) = 1

y

0

t

+

y

y

(1) = 3

y

0

y = ;x

y

(0) = 1x0 y0

8. Tentukan untuk titik-titik ( (a) (b) (c) = xx2 +yy;

) yang mana PDB berikut ini memenuhi

teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard.y0

y

0

1 = (2 ; ) 3x y

y

0

= (1 ;0

x

2

; 2 2)xy y

3 2

(d) 2

xy

=

x

2

+

2