~~-_.

BabVProbabilitasKondisional

KATA KUNCI

Probabilitas kondisional adalab probabilitas suatu kejadian tertentu yang terjadi bilakejadian lain telab terjadi.Kejadian bebas adalab dua kejadian yang tidak saling mempengamhi

Kejadian random (acak) tidak dapat kita duga terjadinya. Tetapi kadang-kadang kitamendapat informasi dari suatu kejadian yang akan menjelaskan kepada kita apakab suatukejadian acak tertentu akan terjadi atau tidak.

Sebagai contoh, misalnya kita ingin mengetahui probabilitas bahwa kita akanmendapatkan mata dadu berjumlab 8dari pelemparan dua buah mata dadu. Kita tabu babwaprobabilitas hal ini terjadi adalah 5/36. Tetapi, bilakita mendapatkan dadu bermata 5 dalampelemparan dadu pertama, maka untuk mendapatkan mata dadu berjumlab 8 hamsmendapatkan dadu berm~ta tiga pada pelemparan dadu kedua. Dan kita juga mengetahuibahwa probabilitas kejadian kedua terjadi adalab 1/6. Pertama-tama kita dihadapkan padasuatu kenyataan bahwa mata dadu yang muncul pada pelemparan pertama adalab bermata5, maka untuk mendapatkanjumlab mata dadu 8 kita mempunyai kemungkinan antara 5/36 sampai 1/6.

Dengan kata lain, bila pada pelemparan pertama kita mendapatkan dadu bermata satu,makatidak adacarauntukmendapatkanmatadaduberjumlab8.Dengandemikianprobabilitasuntuk mendapatkan mata dadu berjumlab 8 dimana pada pelemparan dadu yang pertamamenghasilkan dadu bermata satu adalah nol (0).

Andaikata kita melakukan pelemparan mata uang sebanyak4 kali dan kita tertarik padaprobabilitas terjadinya sisi H berturut-turut sebanyak4 kali. Kita tabu babwa probabilitasnyaadalab 1/16.Bila kita telab melakukan pelemparan mata uang sebanyak 2 kali dan hasil darikeduanya adalab munculnya sisiH,maka probabilitasuntukmendapatkan 2sisi Hberikutnyaadalah 1/4. Di sisi lain bila pada pelemparan pertama kita mendapatkan sisi H dan padapelemparan kedua kita mendapatkan sisi T, maka tidak ada kesempatan untuk mendapatkanempat sisi H secara berturut-turut.

CONTOH SOAL MENGHITUNG PROBABILIT AS ROY AK FLUSH

61

---

;, :_,'__' w__.

PERHITUNGANPROBABILITASKONDISIONAL

Semua situasi disini adalah contoh dari probabilitas kondisional atau probabilitasbersyarat. probabilitas kondisional adalah probabi8litas bahwa suatu kejadian akan terjadibila kita telah mengetahui kejadian khusus lain telah terjadi. Anggaplah kita mengetahuikejadian B telah terjadi dan kita ingin mengetahui probabilitas kejadian A akan tejadi.Probabilitas kondisional bahwa kejadian A akan terjadidengan syarat kejadian Btelah terjadidapat ditulis sebagai berikut:

Pr(AIB)

Garis vertikal berarti "dengan syarat"

Sekarangkita telahmendapatgambaranbagaimanamenghitungprobabilitaskondisional.Dalam keadaan normal, probabilitas kejadian A terjadi adalah N (A)/s, dimana s adalah totalhasil dan N(A) adalah jumlah kejadian A. Kita tahu tidak semua kemungkinan hasil akanterjadi. Bilakita tahubahwa kejadian B telahterjadi, makahanya hasil dalam kejadian B yangharns dipertimbangkan. Dengandemikianjumlah kemungkinannya adalahN(B). Pertanyaanberikutnya adalah: Berapa besarnya kemungkinan kejadian A terjadi? Secara normal adaN(A)jalan untuk terjadinyakejadian A, tetapi tidak semuanyaakan terjadi. Kejadiandi dalamA dan tidak di dalam B tidak mungkin terjadi. Jadi jumlah kemungkinan hasil dimanakejadian A terjadi sama denganjumlah hasil kejadian A dan kejadian B. Kita telah memberinama untuk kejadian ini yaitu:

A dan B =A (lB

Kejadian seperti ini disebut A irisan B. Dengan demikian kemungkinan kejadian Aterjadi mana kejadian B diketahui telah terjadi adalah :

N(A (I B)Pr (AIB) =

N(B)

Kita dapat menulis kembali formula di atas dengan membagi pembilang dan penyebutnyadengan s:

62

N(A (I B)/sPr (AIB) =

N(B)/s

Pr (A (lB)=

Pr (B)

Dengan kata lain probabilitas kejadian A terjadi dimana Kejadian B diketahui telahterjadi samadengan probablitas terjadinya kejadian A dan B, dibagi dengan probablitasterjadinya kejadian B. (catatan: definisi ini tidak dapat bekerja bila probabilitas terjadinyakejadian B adalah nol).

CONTOH PERHITUNGAN SOAL PROBABILIT AS KONDISIONAL

SOAL

A =Kejadian untuk mendapatkan mata dadu berjumlah 8 dari sepasang dadu.B =Kejadian mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan dadu pertama.

Hitung Pr (AIB)

PENYELESAIAN

A n B =Kejadian untuk mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan dadu pertamadan mendapatkan mata dadu berjumlah 8.

A n B dapat terjadi bila hasillemparan kita (5,3) jadi Pr (A N B) = 1/36. Sehingga:

1/36

Pr (AIB)= 6/36 =1/6

1/6

SOAL

A =kejadian untuk mendapatkan 4 sisi H berturut-turut dari 4 kali pelemparan mata uang.B =kejadian mendapatkan 2 sisi H pada dua lemparan pertama.

Hitung Pr (AIB)

PENYELESAIANPr (B) !Pr (A nB) = 1/16

1/16Pr (AIB) = - =4/16 =1/4

1/4

SOAL

A =kejadian untuk mendapatkan royal flushB = kejadian untuk mendapatkan AH, KH pada pengambilan dua kartu pertama.

Hitung Pr (AIB)!

PENYELESAIAN

(53°)Pr(B) =

(5; )63

----

-~----

19600= =7.54 x 103

2598960

A n B adalah untuk mendapatkan KH dan AH serta royal flush, jadi ini berarti kejadianuntuk mendapatkan AH, KH, QH, JH, WH.

Pr (A n B) = 1/2598960Dengan demikian:

1/2598960

Pr (AIB)=19600/2598960

= 1/19600

SOAL

A =kejadian mendapatkan mata dadu berjumlah 8 dari dua buah dadu.B =kejadian mendapatkan dadu bermata J pada pelemparan pertama.

Hitung PR (AIB)!

PENYELESAIAN

Dalam kasus ini kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama. Dengan demikianAn B = 0, jadi Pr(A n B) adalah kosong, Pr (AIB)juga kosong. Situasi lain terjadi bilakejadian A adalah himpunan bagian dari kejadian B. Sebagai contoh, Anggaplah A adalahkejadian mendapatkan dadubermata 1dan B adalahkejadian munculnya dadudenganjumlahmata merupakan bilangan ganjil. Hasil A = {I} dan hasil B = {l,3,5} dan A N B = {l}kemudianPr (AN B) = Pr (A),jadi Pr (AIB)= Pr (A)/Pr (B).Secara umum A adalahhimpunanbagian dari B, kemudian:

Pr (A)Pr (AIB)=

Pr (B)

YANG HARUS DIINGAT

Probabilitas kondisional adalah bahwa kejadian A akan terjadi bila kejadian B telahterjadi, yaitu:

Pr (A dan B)Pr (AIB)=

Pr (B)

Garis vertikal, Iberarti "dengan syarat"

64

_u u______

KEJADIANBEBAS

Ada beberapa kasus dimana suatu kejadian kita ketahui telah terjadi tetapi tidakmemberikan petunjuk atau garnbaran apakah kejadian l~ akan terjadi. Sebagai contoh,anggaplahandamengetahyui suatukeluargabaru saja mendapatkanseorangbayiperempuan.Berapa probabilitas bahwa pada keluarga yang sarna akan mendapatkan bayi perempaunlagi? Dalarn kasus ini, kelahiran bayi yang terdahuh.ltidak memberikan informasi tentangkelahiran bayi berikutnya.

Atau anggaplah anda mendapatkan dadu bemata 3 pada pelemparan pertama sebuahmata dadu. Berapa probabilitas anda mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparanberikutnya? Ketahuilah bahwa 3 yang kita hasilkan pada lemparan pertama tidak akanmembantu kita untuk mengetahui apa yang akan terjadi pada pelemparan berikutnya. Dalarnkasus ini bila A =kejadian mendapatkan dadu bermata 3 pada pelemparan pertama dan B =kejadian mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan kedua, maka Pr (A) =1/6,Pr (B)=1/6 dan Pr (AIB) = 1/6, bila kejadian B telah terjadi maka tidak akan mempengaruhiprobabilitas terjadinya kejadian A.

Kejadian seperti kasus di atas kita narnakan kejadian bebas. Dua kejadian dikatakansebagai kejadian bebas bila kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Kejadian ini dapatdidefmisikan sebagai berikut:

Kejadian A dan kejadian B adalah kejadian bebas jika

Pr (AIB) = Pr (A)

Berikut ini adalah contoh kejadian bebas:

· Probabilitas bahwa anda mendapatkan dua pasang kartu dalarn permainan kartu tidakdipengaruhi oleh kenyataan bahwa anda telah mengarnbil dua pasang kartu padapermainan kartu kemarin.· Probabilitas bahwa andamendapatkandadu bermata4 pada suatupelemparan dadu tidakdipengaruhi oleh kenyataan bahwa anda baru saja melemparan mata uang dan daripelemparan itu muncul sisi H.

Dari formula-formula di atas yaitu:

Pr (A nB)Pr (AIB)=

Pr (B)

Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka:

Pr (AIB) = Pr (A)

Dengan demikian jika A dan B adalah kejadian bebas, maka kita dapat menulis:Pr(ANB)

Pr (A) =Pr(B)

65

- - -- ---- ----

-Jadi: Pr (A f1 B) =Pr (A) Pr (B) atau

Pr (A dan B) =Pr (A) Pr (B)

YANG HARUS DIINGAT

Dua kejadian A dan B adalah kejadian bebasjika probabilitas bahwa N akan terjadi tidakdipengaruhi oleh terjadi-atau tidaknya kejadian B, dan sebaliknya. Sehingga:

Pr (AIB) =Pr (A)

Pr (A dan B) =Pr (A) x Pr (B)

Dengan kata lain untuk menghitung probabilitas bahwa dua kejadian bebas akan terjadi,hanya dengan mengalikan masing-masing probabilitas dari dua kejadian tersebut.

HUKUM SA YES

Andaikan ikan tuna dikemas dalam dua warna kaleng: kaleng hijau dan kaleng ungu.Suatu studi telah menunjukkan bahwa 5 persen dari keseluruhan ikan tuna telah rusak padawaktu dijual. Penelitian berikutnya menunjukkan bahwa 35 persen dari tuna yang rusakberasal dari tuna dalam kaleng ungu dan 60 persen dari tuna yang baik berasal dari tuna dalamkaleng ungu. Jika anda membeli tuna dalam kaleng ungu, berapa probabilitas bahwa yanganda dapatkan telah rusak?

Untuk memeeahkan masalah ini kita harus mengetahui bagaimana membalik probabilitaskondisional. Dengan kata lain jika kita mengetahui Pr (AIB), kemudian kita ingin mengetahuiPr (BIA). Anggaplah P adalah kejadian mendapatkan tuna dalam kaleng ungu, S adalahkejadian mendapatkan tuna kaleng yang rusak, dan G adalah kejadian mendapatkan tunakaleng yang baik. Kemudian kita mengetahui bahwa:

Pr (PIS) =0.35

(jika diketahui bahwa dari tuna yang rusak 35% berasas dari kaleng ungu)

Pr (S) =0.05

Pr (G) =Pr (S) =0.95

Untuk menurunkan Pr (SIP) kita harus menggunakan formula yang disebut hukumBayes. Hukum Bayes menyatakan:

Pr (AIB) Pr (B)Pr (BIA)=

Ingatlah huruf e di atas berarti komplemen. Be adalah semua kemungkinan hasil yangtidak termasuk dalam kejadian B.

66

Penggunaan hukum Bayes dalam kasus ikan tuna adalah sebagai berikut:

Pr (PIS) Pr (S)Pr (SIP) =

Pr (PIS) Pr (S) + Pr (PIG) Pr (G)

=(0.35) (0.05)

(.35) (0.05) + (0.6) (0.95)

= 0.030

YANG BARDS DIINGAT

Bayes Bayes mengatakan bahwa untuk menemukan probabilitas kondisional Pr (BIA)jika diketahui Pr (AIB)

Pr (AIB) Pr (B)Pr (BIA)=

Pr (AIB) Pr (B) + Pr (AIBC) Pr (BC)

67

- - - - -