3. UKURAN LOKASI DAN DISPERSI

Pada bab II telah dijelaskan bahwa melalui tabel, diagram, atau grafik dapat

diperoleh informasi mengenai gambaran umum dari suatu data secara visual.

Gambaran umum dari suatu data dapat di informasikan juga secara numerik, yaitu

mengunakan ukuran lokasi (pemusatan) dan dispersi (penyebaran) dari data.

3.1. Ukuran Lokasi

Ukuran lokasi sekumpulan data adalah nilai yang representatif bagi

keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya

dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data

bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan tengah atau pusat setelah data

diurutkan menurut besarnya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering

dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran

nilai sentral (measures of central value).

Beberapa ukuran lokasi yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot,

median, kuartil dan modus.

3.1.1 Mean dan Mean Terbobot

MEAN/ RATAAN

Merupakan pembagian antara jumlahan nilai dari keseluruhan data dengan

banyaknya data

Data Tidak Berkelompok

Misalkan :

Ada sekumpulan data 1 2 nx ,x ,..., x , maka MEAN/ Rataannya dapat ditulis:

n

i

i 1

x

xn

CONTOH :

Berikut adalah penghasilan 5 orang nelayan setiap bulannya 750.000, 800.000,

800.000, 850.000, 900.000, 1000.000.

Berapa rata-rata penghasilan mereka ?

Jawab :

x : penghasilan nelayan

n

i

i 1

x750.000+800.000+800.000+850.000+900.000+ 1.000.000

xn 5

= 860.000,-

Jadi, rata-rata penghasilan nelayan tiap bulannya adalah Rp. 860.000,-

MEAN DAN MEAN TERBOBOT

Misalkan v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang

diberikan kepada nilai-nilai itu maka mean terbobot adalah :

1 1 1 2 1 k

1 2 k

w v w v ... w vv

w w ... w

k

i i

i 1

k

i

i 1

w v

v

w

CONTOH :

Misalkan seorang mahasiswa mengambil 3 matakuliah, yaitu: matakuliah X

dengan 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y

dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z

dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, v3 = 3).

Maka indeks prestasinya (IP) adalah:

3x 4 2x1 1x3 17v 2,83

3 2 1 6

Data Berkelompok

Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya adalah

nilai frekuensinya.

Rumus MEAN/ Rataan, secara umum dapat ditulis:

k k

i i i i

i 1 i 1

k

i

i 1

f x f x

xn

f

dimana :

ix : Data/ Nilai tengah kelas ke-i

if : Frekuensi data kelas ke-I

n : Banyaknya data

k : Banyaknya Kelas

CONTOH :

Berikut data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK yang disajikan dalam

tabel distribusi frekuensi berikut:

Tabel 3.1

Perhitungan mean tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK

Rata-rata tinggi badan 50 mahasiswa tersebut adalah:

k

i i

i 1

k

i

i 1

f x8732

x50

f

174,64

CARA LAIN

Untuk mencari nilai mean data berkelompok dapat dicari dengan cara

transformasi. :

ui = (xi - a) / c

dimana : xi : titik tengah interval kelas ke-i

a : sembarang harga titik tengah interval kelas

(biasanya yang memiliki frekuensi terbanyak)

c : lebar interval kelas

sehingga Rumus MEAN/ RATAAN adalah:

x cu a , dengan

k k

i i i i

i 1 i 1

k

i

i 1

f u f u

un

f

Lihat lagi, contoh tinggi badan sebelumnya.

Tabel 3.2

Perhitungan mean tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK

cara transformasi

Dari tabel di atas:

k

i i

i 1

f u6

u 0,12n 50

sehingga

x a cu

= 175+3(- 0,12)

= -0,36 + 175 = 174,64

Jadi, rata-rata tinggi badan 50 mahasiswa adalah: 174,64 cm

3.1.2 Median

Median adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data, setelah

data tersebut diurutkan menurut besarnya .

Data Tidak Berkelompok

Langkah-langkah:

1. Urutkan data menurut besarnya (biasanya: kecil ke besar)

2. Tentukan lokasi median

Median terletak pada data ke n 1

2

CONTOH

1. Berikut adalah data tinggi badan (cm) 5 orang mahasiswa (data telah

diurutkan dari yang terkecil)

165 167 168 170 171

Median terletak pada data ke n 1 5 1

32 2

Jadi, median = 168

2. Berikut adalah data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa

64 60 46 51 55 48 42 58

Data tersebut harus diurutkan:

42 46 48 51 55 58 62 64

Median terletak pada data ke n 1 8 1

4,52 2

{antara data ke-4 dan ke-5}

Jadi, median data _ ke 4 data _ ke 5

2

51 5553

2

Data Berkelompok

Median dihitung dengan cara interpolasi dan menganggap bahwa data

tersebar merata dalam interval itu

RUMUS :

n

2

md

md

FMedian   Md    L c

f

dengan:

Lmd : batas bawah interval median

n : banyak data

F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median

fmd : frekuensi interval median

c : lebar interval

CONTOH :

Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.

Tentukan Mediannya

Pembahasan:

Tabel 3.2

Perhitungan Median tinggi badan 50 mahasiswa F SAINTEK

Pertama-tama tentukan kelas interval median : n 50

252 2

Tampak median terletak pada interval 173,5 – 176,5. Sehingga dapat

ditentukani:

Lmd : 173,5 F : 21

fmd : 11 c : 3

25 21Md  1  73,5 3 175,4

11

Jadi Mediannya adalah 175,4

3.1.3 Kuartil

Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara

sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

Ada 3 nilai KUARTIL, yaitu:

• K1 : Kuartil Bawah

• K2 : Kuartil Tengah (MEDIAN)

• K3 : Kuartil Atas

Gambar 3.1

Ilustrasi tentang posisi 3 (tiga) nilai kuartil

Data Tidak Berkelompok

Langkah-langkah:

1. Urutkan data menurut besarnya (biasanya: kecil ke besar)

2. Tentukan K2 / Median {Lihat cara menghitung Median)

3. Bagi data menjadi 2 kelompok sama besar

4. Tentukan K1 berdasarkan data kelompok bawah dan K3 berdasarkan data

kelompok atas

CONTOH 1.

1. Berikut adalah data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa

160 165 167 168 170 170 171

Tentukan : Nilai Kuartilnya?

Pembahasan

K2 = Median = 168

Data dibagi menjadi 2 : 160 165 167

170 170 171

Jadi K1 = 165 dan K3 =170

2. Berikut adalah data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa (setelah

diurutkan) :

42 46 48 51 55 58 62 64

Pembahasan

K2 = Median = 53

Data dibagi menjadi 2 : 42 46 48 51

55 58 62 64

Data Berkelompok

RUMUS

1

1

n4

1 K

K

FK L c

f

n2

md

md

FMd    L c

f

3

3

n4

3 K

K

3 FK L c

f

Dimana:

LK1 : batas bawah interval Kuartil I

Lmd : batas bawah interval median

LK2 : batas bawah interval Kuartil III

n : banyak data

F : jumlah frekuensi interval- interval sebelum interval Kuartil

fK1 : frekuensi interval Kuartil I

fmd : frekuensi interval median

fK3 : frekuensi interval Kuartil III

c : lebar interval

Catatan : Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.

CONTOH :

Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.

Tentukan Kuartilnya.

PEMBAHASAN

K2 atau Median telah di hitung dan diperoleh 175,4

KUARTIL BAWAH (K1)

Tabel 3.3

Perhitungan Kuartil bawah (K1) tinggi badan

Tentukan Interval Kuartil bawah (K1) n 50

12,54 4

K1 terletak pada interval 167,5 – 170,5. Sehingga dapat dicari:

LK1 : 167,5 F : 6

fK1 : 7 c : 3

12,5 6K1  1  67,5 3 170,3

7

Jadi Kuartil bawahnya adalah 170,3

KUARTIL ATAS (K3)

Tabel 3.4

Perhitungan Kuartil bawah (K1) tinggi badan

Tentukan Interval Kuartil Atas (K3) 3n 3*50

34 4

K3 terletak pada interval 176,5 – 179,5. Sehingga dapat dicari:

LK3 : 176,5 F : 32

fK3 : 7 c : 3

37,5 32K1  1  76,5 3 178,9

7

Jadi Kuartil atasnya adalah 178,9

PENTING!

Cara mencari kurtil (K1, K2, K3) dapat diterapkan untuk mencari desil (nilai

yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar) atau persentil (nilai

yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar)

3.1.4 Modus

Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai

yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.

Data Tidak Berkelompok

CONTOH

1. Dari data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa (data telah diurutkan dari

yang terkecil)

160 165 167 168 170 170 171

Modusnya adalah 170

Karena 170 muncul 2 x, sedangkan yang lainnya 1x

2. Perhatikan data nilai Kuis Metode Statistik di bawah ini.

Tabel 3.5

Distribusi nilai kuis Metode statistik

Modusnya adalah 8.

Karena 8 memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16

Data Berkelompok

RUMUS

mo

aMod L c

a b

dengan :

Lmo : batas bawah interval modus

a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya

b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.

c : lebar interval Interval modus

CONTOH :

Untuk data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK.

Tentukan Modusnya.

PEMBAHASAN :

Tabel 3.6

Perhitungan Modus tinggi badan

Interval Kelas Modus adalah 173,5 – 176,5. Sehingga dapat dicari:

Lmo : 173,5 a : 3

b : 4 c : 3

3Mod  1  73,5 3 174,8

3 4

Jadi Modusnya adalah 174,8

3.2. Ukuran Dispersi

Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama,

namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran

dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Ukuran dipersi digunakan

untuk melihat besarnya sebaran data. Beberapa ukuran dispersi yang akan

dibicarakan: jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.

3.2.1 Rentang

Rentang adalah selisih data terbesar dan terkecil.

Notasi: R

CONTOH

Berikut adalah data tinggi badan (cm) 7 orang mahasiswa

160 165 167 168 170 170 171

Maka jangkauan/ rentangnya adalah :

R = Data terbesar – Data terkecil

= 171 – 160

= 11

3.2.2 Deviasi rata-rata

Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap

meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.

Data tidak berkelompok

Misalnya x1, x2, ... , xn adalah sekumpulan data dengan mean , maka deviasi rata-

ratanya adalah :

n

i

i 1

x x

DR = n

CONTOH

Dari data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa

64 60 46 51 55 48 42 58

PEMBAHASAN

Misalkan : X = Berat Badan

Mean data di atas adalah 53

Tabel 3.7

Perhitungan deviasi standar

Jadi 50

DR = ,8

6 25

Data berkelompok

RUMUS

k

i i

i 1

f x x

DR = n

, dimana : k

i

i 1

n = f

dengan

xI : titik tengah inteval kelas ke-i

fI : frekuensi interval kelas ke-i

n : banyak data

CONTOH :

Dari data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK

Tabel 3.8

Perhitungan deviasi standar data rata-rata berkelompok

Berdasarkan tabel di atas diperoleh224,88

DR =     4,5050

3.2.3 Variansi dan Deviasi Standar

VARIANSI (S2)

Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean

sampel dibagi n – 1.

Notasi: S2

Data Tidak berkelompok

RUMUS

k2 2

i

i 1

1s x x

n 1

atau

2k k

2 2

i i

i 1 i 1

1 1s x x

n 1 n

CONTOH

Dari data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa

64 60 46 51 55 48 42 58

PEMBAHASAN

Misalkan : X = Berat Badan

Mean data di atas adalah 53

Tabel 3.9

Perhitungan deviasi standar data berkelompok

Berdasarkan tabel di atas diperoleh2 1

s 398 8,1250 1

DEVIASI STANDAR (S)

Deviasi standar didefinisikan sebagai akar dari variansi 2s s

CONTOH

Untuk contoh data berat badan (kg) 8 orang mahasiswa di atas, telah dihitung S2 =

8,12

Jadi 2s s 8,12 2,85

Data berkelompok

RUMUS

k2 2

i i

i 1

2n k

2 2

i i i i

i 1 i 1

1s f x x

n 1

atau

1 1s f x f x

n 1 n

CONTOH :

Dari data tinggi badan (cm) 50 mahasiswa F SAINTEK

Tabel 3.10

Perhitungan variansi data berkelompok

Berdasarkan tabel di atas dengan mengunakan rumus pertama, maka variansinya :

k2 2

i i

i 1

1s f x x

n 1

1

1487,52 30,5650 1

Dan Standar deviasinya :

2s s 30,56 5,51

CARA LAIN

Seperti halnya dengan mencari nilai mean data berkelompok.

Kita juga dapat mencari nilai variansi dapat dicari dengan cara transformasi.

ui = (xi - a) / c

dimana : xi : titik tengah interval kelas ke-i

a : sembarang harga titik tengah interval kelas

(biasanya yang memiliki frekuensi terbanyak)

c : lebar interval kelas

sehingga Rumus VARIANSI (S2) adalah:

2 2 2s c u

dimana : u

k2 2

i i

i 1

1s f u u

n 1

atau dapat juga ditulis:

2n k

2 2

i i i i

i 1 i 1

1 1s f u f u

n 1 n

CONTOH

Dari contoh di atas, dengan mengambil nilai a = 175

Tabel 3.11

Perhitungan variansi data berkelompok dengan cara lain

Berdasarkan tabel di atas dengan mengunakan rumus transformasi, maka

variansinya :

2n k

2 2

i i i i

i 1 i 1

1 1s f u f u

n 1 n

21 1

1494 1850 1 50

30,36

Jadi, variansi adalah: 30,36 dan Standar deviasinya adalah 5,51

3.3. Latihan

1. Berdasarkan data berat badan pada PR bab II (Lihat jawaban a. Tabel distribusi

frekuensi).

Tentukan :

a. Mean

b. Median dan

c. Modus

2. Perhatikan data berikut :

2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 2 ; 9 ; 4 ; 9 ; 4 ; 2 ; 4 ; 4 ; 2 ; 6 ; 4

Tentukan kuartil (K1,K2,K3) dan Modusnya