UKURAN PENYEBARAN DATAPengertia

n Ukuran Penyebaran Data atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan merupakan ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya

Jenis Ukuran Penyebaran Data1. Jangkauan (Range = R); Jangkauan

atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar dengan nilai terkecil dari suatu data. a. Jangkauan data tunggal; bila

ada sekumpulan data tunggal X1, X2, …, Xn maka jangkauannya adalah

Min.Maks. XXRange

b. Jangkauan data berkelompok ; untuk data berkelompok jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas. 1. Jangkauan adalah selisih titik

tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

2. Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah. 3. Jangkauan adalah selisih tepi atas nyata kelas tertinggi dengan tepi bawah nyata kelas terendah.

Pendapatan Pengusaha Kopi di Aceh Tengah

No. Interval Pendapatan Frekuensi

1 140 - 144 2

2 145 - 149 4

3 150 - 154 10

4 155 - 159 14

5 160 - 164 12

6 165 - 169 5

7 170 - 174 3

Jumlah 50

3. Tepi bawah kelas terendah = 139,5 4. Tepi atas kelas tertinggi = 174,5 5. Jangkauan = 172 – 142 = 30

6. Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35

1. Titik tengah kelas terendah = 142 2. Titik tengah kelas tertinggi = 172

2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas Q3 dan kuartil bawah Q1, dapat dirumuskan :

JK = Q3 – Q1

Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas Q3 dengan kuartil bawah Q1, dapat dirumuskan :

Qd = ½(Q3 – Q1)

Jangkauan antarkuartil dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan (Outlier) yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena perlu diteliti ulang. Sehingga dapat diselesaikan dengan rumusan sebagai berikut :L = 1,5 x JK

BD = Q1 – LBL = Q3 + L

L = langkah Pertama

BD = Batas DalamBL = Batas Luar

Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini :

15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97

Contoh :

50Q jadi4,4

16(16)

4

1 1)(15

4

1Q 11

68Q jadi 12,4

48(16)

4

3 1)(15

4

3Q 33

Jangkauan Kuartil, JK = Q3 – Q1 =68 – 50 = 18

L = 1,5 x 18 = 27BD = 50 – 27 = 23BL = 68 + 27 = 95 Pada data diatas terdapat nilai 15 terendah dan 97 data tertinggi, sehingga nilai 15 kurang dari batas dalam yaitu 23 atau lebih dari batas luar yaitu 95. Dengan demikian nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan oleh karena itu perlu datanya diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur atau data dari kasus menyimpang.

3. Simpangan Rata-Rata (Average Deviation) Simpangan rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpanganya. Simpangan rata-rata dibedakan :1. Simpangan rata-rata data

tunggal

n

n

1iX

iX

SR

2. Simpangan rata-rata data berkelompok

if

Xi

Xi

fSR

Dimana :

= Nilai rata-ratan = Banyaknya data

SR = Simpangan rata-rata Xi = Data ke - iX

if = Banyaknya frekuensi data berkelompok

4. Simpangan Baku atau Standar Deviasi

n

n

1i

2Xi

X

s

1. Simpangan baku data tunggal

Simpangan baku adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat.

2. Simpangan baku data Berkelompok

1i

fi

f/)i

Xi

f()Xi

(fs

22i

2

i i

i

f X Xs

f

atau

Dimana :

= Nilai rata-ratan = Banyaknya data

s2 = varians/ragam

Xi = Data ke - iX

if = Banyaknya frekuensi data berkelompok

s = simpangan baku

Contoh data tunggal :Suatu penelitian terhadap 8

peusahaan industri otomotif terhadap tingkat pengembalian investasinya, hasil penelitian dalam persen adalah sebagai berikut : 10,6 12,6 14,8 18,2 12,0 14,8 12,2 dan 15,6.Pertanyaan :1.Berapa rata-rata tingkat

pengembalian investasinya?2.Berapa deviasi rata-ratanya?3.Interpretasikan deviasi rata-

ratanya.

  No. (Xi)

  1 10,6 -3,25 3,25

  2 12,6 -1,25 1,25

  3 14,8 0,95 0,95

  4 18,2 4,35 4,35

  5 12,0 -1,85 1,85

  6 14,8 0,95 0,95

  7 12,2 -1,65 1,65

  8 15,6 1,75 1,75

Jumlah   110,80   16

Rata-Rata   13,85   2 

)Xi

(X Xi

X

Diselesaikan dengan menggunakan tabulasi

Diselesaikan dengan penguraian rumus simpangan rata-rata data tunggal

8

85,136,15...85,138,1485,136,1285,136,10

n

n

1iX

iX

SR

8

75,1...95,025,125,3SR

28

16SR

1. Rata-rata tingkat pengembalian = 13,85 atau sekitar 13,85%2. Simpangan Rata-rata atau deviasi rata-rata adalah 2 (2 %)

3. Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah angka yang menunjukkan pengembalian investasi perusahaan otomotif secara simpangan rata-rata 2% pertahun dari rata-rata hitung pengembalian investasi sebesar 13,85%.

Jumlah Investasi Banyaknya

(Dalam Dollar) Pekerja

30 - 34 3

35 - 39 7

40 - 44 11

45 - 49 22

50 - 54 40

55 - 59 24

60 - 64 9

65- 69 4

Penelitian yang dilakukan terhadap dana investasi yang di investasikan per dua minggu oleh karyawan dalam rencana pembagian keuntungan, data sebagai berikut :

Contoh data berkelompok :

Xi

Xi

f)Xi

(X Xi

X Jumlah Investasi Jumlah Titik ∑Fi x Xi

(Dalam Dollar) Pekerja Tengah (X)        

30 - 34 3 32 96 -19,0417 19,0417 57,1250

35 - 39 7 37 259 -14,0417 14,0417 98,2917

40 - 44 11 42 462 -9,0417 9,0417 99,4583

45 - 49 22 47 1034 -4,0417 4,0417 88,9167

50 - 54 40 52 2080 0,9583 0,9583 38,3333

55 - 59 24 57 1368 5,9583 5,9583 143,0000

60 - 64 9 62 558 10,9583 10,9583 98,6250

65- 69 4 67 268 15,9583 15,9583 63,8333

Jumlah 120   6125     687,5833

Rata-rata     51,04     5,7299

7299,5120

5833,687SR

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah angka yang menunjukkan pengembalian investasi dari dana yang di investasikan per 2 minggu, jadi pengembalian investasi sebesar $5,73 per minggunya

Contoh data tunggal menentukan simpangan baku:

Suatu penelitian terhadap 8 peusahaan industri otomotif terhadap tingkat pengembalian investasinya, hasil penelitian dalam persen adalah sebagai berikut : 10,6 12,6 14,8 18,2 12,0 14,8 12,2 dan 15,6.Diselesaikan dengan rumus simpangan baku

8

85,136,15...85,138,1485,136,1285,136,10

n

n

1iX

iX

s2222

2

8

75,1...95,025,125,3s

2222

8

0625,3...9025,05625,15625,10s

8

0600,42s

2575,5s

2929,2s

atau s2 = 5,2575

Jumlah Investasi

Jumlah Titik Titik

Tengahkuadrat

Jumlah kali Frek. dgn Titik Tgh

Jumlah kali Frek. dgn

Titik Tgh kudrat

(Dalam Dollar) PekerjaTengah

(Xi)X2   ∑Fi x Xi   ∑Fi x Xi

2  

30 - 34 3 32 1024 96 3072

35 - 39 7 37 1369 259 9583

40 - 44 11 42 1764 462 19404

45 - 49 22 47 2209 1034 48598

50 - 54 40 52 2704 2080 108160

55 - 59 24 57 3249 1368 77976

60 - 64 9 62 3844 558 34596

65- 69 4 67 4489 268 17956

Jumlah 120     6125 319345

1n

1ii

f

n

1ii

f/2)n

1ii

Xi

f(n

1i)X

i(f

s

2i

1120

120/6125319345s

2

119

2083,312630319345s

4268,56s

5117,7s atau s2 = 56,4268

5. Ragam (Variance) Ragam atau variance ukuran penyebaran/dispersi yang menjelaskan tingkat keterpencaran data dari serangkaian distribusi. Apakah data-data tersebut berkelompok disekitar nilai rata-ratanya atau terpencar secara tidak beraturan jauh dari nilai rata-ratanya. Untuk sampel variannya (varians sampel) disimbolkan dengan s2, sedangkan untuk populasi (varians populasi) disimbolkan dengan σ2 (baca : sigma).

a. Ragam (Variance) Data Tunggal Untuk seperangkat data X1, X2, X3, …, Xn (data tunggal) ragamnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

n

2Xi

Xs2

Untuk n > 30

1-n

2Xi

Xs2

Untuk n ≤ 30

1fi

f/2)i

Xi

f()Xi

(fs

2i2

i

atau

b. Ragam (Variance) Data Berkelompok 2

i i2

i

f X Xs

f

Dimana :

= Nilai rata-ratan = Banyaknya data

s2 = varians/ragam

Xi = Data ke - iX

if = Banyaknya frekuensi data berkelompok

s = simpangan baku

c. Ragam (Variance) Gabungan Misalkan terdapat k buah sub sampel sebagai berikut :

- Sub sampel 1, ukuran n1 dengan ragam

23s

21s

- Sub sampel 2, ukuran n2 dengan ragam

2sk

- …………. , ………. ……. ……... - Sub sampel k, ukuran nk dengan ragam

- Sub sampel 3, ukuran n3 dengan ragam

22s

2 2 22 1 1 2 2 k k

1 2 k

(n 1)s (n 1)s ... (n 1)ss

(n n ... n ) kgab

212

1

(n 1)ss

(n k)gab

Dengan rumus adalah :

atau

Jika sub sampel-sub sampel tersebut digabung menjadi sebuah sampel berukuran n1 + n2 + … + nk = n, maka ragam gabungannya

6.Ukuran Dispersi Relatif Ukuran dispersi atau variasi yang sudah dipelajari adalah ukuran absolut, ukuran ini hanya dapat digunakan untuk melihat hasil penyimpangan-penyimpangan suatu nilai atau yang terdapat pada suatu kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara ukuran dispersi absolut dengan nilai rata-ratanya, dengan rumus sebagai berikut :

dispersi absolutdispersi relatif =

rata-rata

Ukuran-ukuran koefisien keragaman atau dispersi relatif adalah sebagai berikut :1. Koefisien Variasi (Keragaman) (KV)

Koefisien kergaman dapat dirumuskan :s

KV x 100%X

2. Variasi (Keragaman) Jangkauan (VR) Jangkauan keragaman dengan

rumus :

RVR x 100%

X3. Variasi (Keragaman)

Simpangan Rata-Rata (VSR) Simpangan rata-rata keragaman dapat dirumuskan :

SR

VSR x 100%X

4. Variasi (Keragaman) Kuartil (VQ) Quartil keragaman dapat

dirumuskan :

3 1

3 1

Q QVQ x 100%

Q Q

dQVQ x 100%

Me

5. Kemencengan atau Kecondongan Kemencengan atau kecondongan (Skewness) adalah ingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi.Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median dan modus yang tidak sama besarnya atau

MoMeX

Sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan dari pada yang ke kiri maka distribusi disebut condong ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri dari pada ke kanan maka distribusi disebut condong ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Berikut gambar kurva dari distribusi yang condong ke kanan (condong positif) dan condong ke kiri (condong negatif).

Kemencengan distribusi ke kanan

Kemencengan distribusi ke kiri

X Mo

Me X

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi condong ke kanan atau condong ke kiri, dapat ditentukan berdasarkan metode-metode sebagai berikut :1. Koefisien Kemencengan

Pearson Koefisien kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemencengan Pearson dirumuskan :

X Mosk

s

Apabila secara teori didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai berikut :

Me)X3(MoX Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi :

s

Me)-X3(sk

Nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :

1.sk = 0; kurva memiliki bentuk simetris2.sk > 0; nilai-nilai terkonsentrasi pada

sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva condong ke kanan atau condong positif.

3.sk < 0; nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva condong ke kiri atau condong negatif.

X

X

2. Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemecengan Bowley dirumuskan : 3 2 2 1

B3 2 2 1

(Q Q ) (Q Q )sk

(Q Q ) (Q Q )

3 2 1B

3 1

Q 2Q Qsk

Q Q

atau

Dimana :

Bsk koefisien kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan Apabila nilai skB dihubungan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1. Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1, maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif

2. Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1, maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif

3. skB positif berarti distribusi menceng ke kanan

4. skB negatif berarti distribusi menceng ke kiri

5. skB = 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB > 0,30 menggambarkan kurva yang menceng berarti

Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Kurvanya dibedakan atas 3 yaitu :

5. Keruncingan (Kurtosis)

1.Leptokurtik; merupakan distribusi yang memiliki pucak relatif tinggi.

2.Platikurtik; merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.

3.Mesokurtik; merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

Bila distribusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Perhatikan gambar dibawah ini

Leptokurtik

Platikurtik

Mesokurtik

Gambar : Keruncingan Kurva

Untuk mengetahui keruncingan kurva suatu distribusi, maka ukuran yang digunakan adalah : 1. Koefisien Keruncingan

Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Dengan ketentuan sebagai berikut :1.Nilai lebih kecil dari 3 (< 3) maka

distribusinya adalah distribusi Platikurtik.

2.Nilai lebih besar dari 3 (3 >) maka distribusinya adalah distribusi Leptokurtik.

3.Nilai sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.

Untuk mencari nilai keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok : 1. Untuk data tunggal

4

4

4 s

)X(Xn1

α

2. Untuk data tunggal

4

4

4 s

f)X(Xn1

α