BAB III

TEORI F ATUAN

II.1. Teori Elastisitas

roses perambatan gelombang yang terjadi didalam lapisan batuan dikontrol oleh

Hukum Hooke

enyatakan bahwa terdapat hubungan linier antara stress dan

ISIKA B

I

P

sifat elastisitas batuan, yang berarti bahwa bagaimana suatu batuan terdeformasi

(mengalami perubahan bentuk) yang disebabkan oleh gaya yang bekerja pada

batuan tersebut. Setiap batuan mampunyai sifat keelastisitasan yang berbeda, oleh

karena itu batuan lunak akan menghasilkan strain yang berbeda jika dibandingkan

batuan lain yang lebih keras. Teori elastisitas berhubungan dengan deformasi

yang disebabkan oleh tekanan yang dikenakan pada batuan tertentu. Tekanan atau

Stress (σ) adalah gaya per satuan luas sedangkan Strain (e) adalah jumlah

deformasi material per satuan luas. Jika stress diterapkan pada batuan maka

batuan tersebut akan terdeformasi yang menyebabkan terjadinya strain.

Hukum Hooke m

strain pada batuan (antara gaya yang diterapkan dan besarnya deformasi).

eC ttt .=σ (3.1)

Strain (e) dan Stress (σ) adalah besaran tensor, sedangkan C adalah konstanta

yang berupa matriks (tensor) dengan 81 koefisien yang menentukan sifat-sifat

dasar elastik batuan. Pada material isotropik, 81 koefisien matriks C tersebut

28

direduksi menjadi dua macam parameter elastik independen yang mencirikan

sifat-sifat elastik batuan. Beberapa kombinasi dari kedua parameter bebas ini

disebut Modulus Elastik dan dapat diukur dalam percobaan laboratorium.

Beberapa modulus elastik tersebut adalah:

1. Modulus Young (E)

isikan sebagai perubahan panjang (longitudinal strain) Modulus Young didefin

dari sebuah material ketika suatu stress longitudinal mengenai material tersebut.

(lihat gambar 3.1)

LLE Δ

=σ , l (3.2)

dengan : σl = strain longitudinal,

ng,

ΔL relatif

E = modulus You

/L = perubahan panjang

Gambar 3.1 Modulus Young. (Canning, 2000)

29

2. Modulus Shear – Rigiditas (μ)

tik yang menghubungkan antara shear strain Modulus Shear adalah tetapan elas

dan shear stress.(lihat gambar 3.2)

XYΔ

= μσ , s (3.3)

dengan : σs = tekanan yang bekerja pada benda,

n benda terhadap bentuk semula.

ΔY = besarnya pergeseran benda,

X = tinggi benda,

θ = sudut pergesera

Gambar 3.2 Modulus Shear – Rigiditas. (Canning, 2000)

. Modulus Bulk – Incompresibilitas (K)

g mengukur resistansi suatu material

3

Modulus Bulk adalah modulus elastik yan

terhadap stress volumetrik (suatu gaya yang bekerja secara seragam pada semua

arah / tekanan hidrostatik). Untuk lebih jelasnya lihat gambar 3.3.

30

VVKP Δ

= , (3.4)

dengan P = tekanan hidrostatik

VVΔ = perubahan volume relatif

K = modulus Bulk (N/m2).

Gambar 3.3 Modulus Bulk – incompresibility. (Canning, 2000)

Dalam AVO, modulus Bulk adalah modulus elastik yang sering dipakai dalam

analisa. Tabel 3.1 memperlihatkan nilai modulus bulk untuk beberapa batuan dan

fluida dengan satuan 1010 Dynes/cm2. Terdapat perbedaan nilai modulus bulk

yang sangat besar antara batuan yang kompak dengan fluida.

31

Tabel 3.1 Harga modulus Bulk batuan.

Jenis zat Modulus Bulk (1010

Dynes/cm2)

Batugamping 60

Batupasir 40

Air 2.38

Minyak 1.0

Gas 0.021

Konstanta Lame (λ)

Konstanta Lame adalah modulus elastik batuan yang menggambarkan sifat

inkompressibilitas suatu batuan. Modulus ini bukan merupakan sifat yang

langsung dapat diukur di laboratorium, tetapi bisa ditentukan dari modulus elastik

lainnya:

K = λ + 2/3 μ, (3.5)

Dengan : K adalah modulus Bulk

λ adalah konstanta Lame

μ adalah modulus geser

Poisson Rasio (σ)

Didefinisikan sebagai rasio negatif antara strain longitudinal dan strain axial.

zz

xx

EE

−=σ (3.6)

32

Selain itu poisson ratio juga bisa diungkapkan dalam besaran kecepatan

gelombang seismik, yaitu :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

12

2

2

2

s

p

s

p

VV

VV

σ (3.7)

Dari persamaan diatas, poisson ratio mengukur besarnya Vp/Vs. Besarnya nilai

Poisson rasio adalah berkisar antara 0 sampai 0,5. Poisson ratio akan bernilai 0

jika nilai 2=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

s

p

VV

, dan poisson ratio akan bernilai 0,5 jika Vs = 0

Nilai poisson ratio sangat berarti untuk mengenali kandungan fluida dalam

batuan, seperti misalnya air, minyak ataupun gas. Dengan kata lain perbedaan

kandungan fluida di dalam batuan dapat ditunjukkan dalam perbedaan poisson

ratio-nya. Nilai poisson ratio berbagai jenis batuan dapat dilihat pada tabel

dibawah ini.

Tabel 3.2 Harga rasio Poisson dari batuan sediment (Ostrander,1984).

No Jenis batuan Poisson Ratio Sumber

1 Lempung Green River 0.22-0.30 Podio et al (1968)

2 Sedimen laut dangkal 0.45-0.50 Hamilton (1976)

3 Sedimen Consolidated

Tersaturasi Brine 0.20-0.30

Tersaturasi Gas 0.01-0.14

Gregory (1976)

33

4 Batuan Pasir sintetik

Tersaturasi Brine 0.41

Tersaturasi gas 0.1

Domenico (1976)

5 Batuan pasir Otawa

Tersaturasi Brine 0.41

Tersaturasi gas 0.1

Domenico (1976)

III.2 Kecepatan dan Impedansi Gelombang

Gelombang elastik yang merambat dalam bumi dibagi menjadi 2 macam yaitu

gelombang tubuh (body wave) dan gelombang permukaan (surface wave). Pada

kesempatan kali ini yang akan menjadi fokus pembicaraan hanya gelombang

tubuh. Body wave dapat dibagi menjadi dua tipe yaitu gelombang P (Pressure

wave) dan gelombang S (Shear wave). Gelombang Pressure (P) yang disebut juga

gelombang kompresi atau gelombang longitudinal adalah gelombang yang

mempunyai arah gerakan partikel yang searah dengan arah penjalaran

gelombang. Sedangkan Gelombang shear, disebut juga gelombang sekunder yang

kecepatannya lebih rendah dari gelombang P. Gelombang ini disebut juga

gelombang S atau transversal yang memiliki gerakan partikel yang berarah tegak

lurus terhadap arah penjalaran gelombang. Jika arah gerakan partikel merupakan

bidang horizontal, maka gelombang tersebut adalah gelombang S Horizontal (SH)

34

dan jika pergerakan partikelnya vertikal, maka gelombang tersebut adalah

gelombang S Vertikal (SV).

(a)

(b)

Gambar 3.4 Ilustrasi trayektori gerakan partikel dari (a) gelombang pressure (gelombang longitudinal), (b) gelombang transversal. (John Wiley and Sons, 1999)

Kedua tipe gelombang tersebut mempunyai kecepatan tertentu jika merambat

melalui batuan. Besarnya kecepatan masing-masing gelombang tersebut

tergantung pada sifat elastik batuan yang dilalui. Satu hal yang perlu dicatat

bahwa gelombang S tidak bisa merambat dalam zat cair.

Besarnya kecepatan gelombang P dan gelombang S dapat dinyatakan sebagai

berikut :

ρμ43+

=KVP (3.8)

ρμ

=sV (3.9)

dengan : Vp = kecepatan gelombang P (m/s)

K = modulus Bulk

μ = modulus geser

35

ρ = densitas

Berdasarkan kedua persamaan diatas, kecepatan gelombang S dipengaruhi oleh

densitas dan modulus shear. Sedangkan kecepatan gelombang P dipengaruhi oleh

dua modulus elastik, yaitu modulus bulk dan modulus shear. Dengan kata lain

modulus bulk hanya mempengaruhi kecepatan gelombang P. Hubungan antara

kedua kecepatan diatas adalah parameter utama yang dianalisa dalam analisa

AVO.

Impedansi gelombang merupakan hasil perkalian antara kecepatan dan densitas,

yang merupakan sifat dasar batuan.

Ip = Vp .ρ dan Is = Vs .ρ (3.10)

Impedansi berperan penting dalam penentuan reflektivitas pada sudut datang

normal. Pada sudut datang normal, refleksi dari batas antara dua lapisan dengan

impedansi lapisan atas Ip1 dan impedansi lapisan bawah Ip2 dapat dirumuskan

sebagai berikut :

p

p

pp

ppNI I

IIIII

RΔ

=+

−=

12

12 (3.11)

RNI adalah koefisien refleksi untuk kasus normal incidence, menunjukkan

perubahan relatif impedansi.

36

III.3 Hubungan Vp, Vs, dan Densitas

III.3.1 Mudrock Line

Dari percobaan fisika batuan ditunjukkan bahwa kebanyakan batupasir memiliki

hubungan linier antara kecepatan gelombang P dengan kecepatan gelombang S

untuk saturasi cair. Hubungan ini akan bervariasi untuk jenis batuan dan daerah

yang berbeda (Canning, 2000). Untuk merumuskan suatu hubungan antara

kecepatan gelombang P dan kecepatan gelombang S didefinisikan persamaan

Mudrock Line sebagai hubungan Vp dan Vs untuk saturasi cair. Di Teluk

Meksiko, Castagna (1993) merumuskan persamaan Mudrock Line sebagai :

36.116.1 +⋅= VsVp , secara umum hubungan ini ditulis:

BVsAVp +⋅= , (3.12)

dengan A dan B adalah konstanta spesifik untuk setiap kasus tertentu.

III.3.2 Relasi Gardner

Relasi Gardner adalah relasi antara kecepatan gelombang P dan densitas yang

didefinisikan oleh Gardner (1974) berdasarkan dari data percobaan.

Relasi ini diungkapkan dalam skala logaritmik sebagai berikut :

BVpA +⋅= )log()log(ρ , (3.13)

dengan A dan B adalah konstanta spesifik untuk setiap kasus tertentu.

Dari percobaannya didapatkan hasil:

51.0)log(25.0)log( −⋅= Vpρ (3.14)

Nilai ini dapat digunakan sebagai parameter dasar jika tidak tersedia data lokal.

37

III.4 Substitusi fluida Gassmann

Salah satu fenomena penting dalam reservoir dan menjadi kajian dalam seismik

rock physics adalah fenomena substitusi fluida. Substitusi fluida tertentu oleh

fluida lain menyebabkan terjadinya perubahan respon seismik. Respon seismik

yang berubah mengindikasikan adanya perubahan dalam properti seismik. Pada

masalah substitusi fluida, sangat penting untuk mengetahui kecepatan gelombang

seismik, sebagai salah satu properti seismik, pada batuan yang tersaturasi oleh

berbagai fluida yang berbeda. Batuan yang tersaturasi oleh fluida yang berbeda

mempunyai kecepatan seismik yang berbeda pula. Dari kecepatan seismik ini kita

bisa mendapatkan berbagai macam parameter elastis batuan lain seperti accoustic

impedance, shear impedance, poisson ratio, lamdha, dan mhu yang sangat berguna

dalam karakterisasi reservoir.

Substitusi fluida adalah salah satu bagian penting dalam analisa seismik atribut

karena substitusi fluida merupakan alat bagi interpreter dalam mengukur dan

memodelkan berbagai macam skenario fluida yang mungkin bisa menjelaskan

anomali AVO yang teramati. Pemodelan dalam substitusi fluida harus terlebih

dahulu menghilangkan pengaruh dari fuida yang pertama. Pendekatan empirik

yang memodelkan hubungan kecepatan dan porositas dalam kaitannya dengan

substitusi fluida pernah diusulkan oleh Wyllie et al (1956, 1958) dan kemudian

dimodifikasi oleh Raymer et al (1980). Pendekatan pada frekuensi seismik yang

lebih sering digunakan adalah pendekatan yang diusulkan oleh Gassmann (1951)

38

yang menghubungkan modulus bulk dari batuan dengan properti dari matriks,

rangka, serta fluida pori.

III.5 Asumsi Dasar Persamaan Gassmann

Lima asumsi dasar yang digunakan dalam persamaan gassmann adalah :

1. Batuan (matiks dan frame) secara mikroskopik adalah homogen.

Asumsi ini adalah asumsi umum yang digunakan oleh teori propagasi

gelombang di batuan porous. Asumsi ini menegaskan bahwa panjang

gelombang seismik yang digunakan relatif besar jika dibandingkan dengan

ukuran butir dan pori. Untuk sebagian besar batuan, gelombang dengan

frekuensi diantara seismik dan laboratorium dapat memenuhi asumsi ini.

2. Semua pori dalam batuan terhubungkan.

Asumsi kedua ini menyatakan secara tidak langsung bahwa porositas dan

permeabilitas batuan adalah besar dan tidak ada pori yang terisolasi atau tidak

terhubungkan secara baik. Dengan dipenuhinya asumsi ini maka akan tercipta

kesetimbangan aliran fluida pori. Keterhubungan antar pori ini berhubungan

dengan panjang gelombang atau frekuensi. Untuk persamaan Gassmann yang

mengasumsikan bahwa panjang gelombangnya adalah tak terhingga (frekuensi

nol), sebagian besar batuan bisa memenuhi asumsi ini walaupun

keterhubungan antar porinya sangat buruk.

39

3. Semua pori diisi oleh fluida baik itu cair, gas, atau campuran yang bebas dari

gesekan.

Asumsi ini menunjukkan bahwa viskositas dari fluida adalah nol, sehingga

akan tercipta kesetimbangan dalam aliran fluida pori. Asumsi ini juga berkaitan

dengan panjang gelombang dan frekuensi. Jika viskositas fluida nol maka

fluida pori akan setimbang dengan mudah. Pada kenyataannya, karena semua

fluida mempunyai viskositas tertentu dan semua gelombang mempunyai

panjang gelombang yang terbatas maka sebagian besar perhitungan dengan

menggunakan persamaan gassmann akan melanggar asumsi ini.

4. Sistem batuan-fluida adalah sistem yang tertutup.

Sistem batuan-fluida adalah sistem yang terisolasi sehingga tidak fluida yang

mengalir keluar dari permuakaan batuan.

5. Fluida pori tidak berinteraksi dengan bagian solid batuan

Asumsi ini mengeliminasi berbagai efek kimia dan fisika yang dihasilkan oleh

interaksi antara fluida pori dan matriks batuan.

III.6 Teori Biot-Gassmann

Persamaan gassmann (1951) digunakan untuk menghitung efek dari substitusi

fluida pada properti seismik dengan menggunakan properti dari rangka batuan.

Persamaan Gassmann menghitung modulus bulk dari batuan porous yang

tersaturasi fluida dengan menggunakan modulus bulk dari matiks, modulus bulk

dari frame, dan modulus bulk dari fluida pori yang telah diketahui sebelumnya.

40

Besarnya modulus bulk dari batuan porous yang tersaturasi fluida dinyatakan

dalam persamaan berikut :

2

1

1

m

d

mf

m

d

d

KK

KK

KK

KK+

−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+=∗

φφ (3.15)

Dengan K* : Modulus bulk batuan yang tersaturasi fluida

Kf : Modulus bulk fluida

Kd : Modulus bulk frame

Km : Modulus bulk grain

φ : Porositas

Tidak seperti modulus bulk batuan yang dipengaruhi oleh saturasi fluida, modulus

shear dari batuan tidak dipengaruhi oleh saturasi fluida. Oleh karena itu modulus

shear batuan sama dengan modulus shear frame seperti ditunjukkan oleh

persamaan dibawah :

(3.16) dGG =∗

Dengan G* : Modulus geser batuan

Gd : Modulus geser dari batuan

Sedangkan densitas dari batuan yang tersaturasi fluida didefinisikan sebagai

(3.17) fd φρρρ +=∗

( ) md ρφρ −= 1 (3.18)

Dengan ρ* : Densitas batuan tersaturasi fluida

ρd : Densitas batuan kering

41

ρf : Densitas fluida pori

ρm : Densitas matriks

Modulus shear dan modulus bulk dari frame batuan dihitung dengan

menggunakan kecepatan gelombang seismik yang diukur di frame batuan dan

dinyatakan sebagai berikut :

)( 2342

SPdd VVK −= ρ (3.19)

2Sdd VG ρ= (3.20)

Hal penting yang perlu digaris bawahi dalam pembahasan mengenai modulus

frame adalah bahwa nilai modulus frame tidak sama dengan nilai modulus pada

saat kondisi batuan kering. Untuk menggunakan persamaan gassmann secara tepat

maka modulus frame harus diukur pada kondisi irreducible saturation (fluida sisa)

dari fluida yang lebih membasahi batuan yang umumnya fluida tersebut adalah

air. Fluida sisa atau irreducible fluid ini adalah bagian dari frame batuan bukan

bagian dari ruang pori, oleh karena itu mengeringkan batuan dalam laboratorium

akan menghasilkan hasil perhitungan persamaan gassmann yang salah.

Jika fluida yang mengisi pori adalah campuran tiga fluida yaitu air, minyak, dan

gas maka modulus bulk dari fluida campuran tersebut dapat dihitung dengan

persamaan wood (wood,1994) :

g

g

o

o

w

w

f KS

KS

KS

K++=

1 (3.21)

Dengan Kw dan Sw : Modulus bulk air dan saturasi air

Ko dan So : Modulus bulk minyak dan saturasi minyak

Kg dan Sg : Modulus bulk gas dan saturasi gas

42

Persamaan wood diatas menegaskan bahwa fluida pori terdistribusi secara merata

dalam rongga pori. Sedangkan modulus bulk dari fluida campuran ini dinyatakan

oleh persamaan :

ggoowwf SSS ρρρρ ++= (3.22)

Dengan ρw, ρo, dan ρg adalah densitas bulk air, densitas bulk minyak, dan

densitas bulk gas.

Semua persamaan yang berkaitan dengan gassmann diatas membutuhkan

beberapa input parameter untuk menghitung efek fluida pada kecepatan

gelombang seismik. Biasanya modulus shear dan bulk frame, porositas, densitas

grain, dan modulus bulk fluida didapat dari pengukuran laboratorium. Jika data

laboratorium tidak ada kadang-kadang digunakan data well-log atau data hasil

perhitungan hubungan empiris yang didapat dari literatur. Sebagai contoh

porositas bisa didapat dari log neutron atau log akustik dan modulus bulk frame

didapat dari persamaan gasmann yang telah dimodifikasi seperti dibawah :

φφ

φφ

−−+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

= ∗

∗

1

1

mf

m

mf

m

d

KK

KK

KKK

K

K (3.23)

Nilai modulus bulk dan modulus shear dari grain (matriks) didapat dari modulus

mineral yang menyusun batuan tersebut. Jika mineralogi dari suatu batuan

diketahui, maka perhitungan Voight-Reuss-Hill (VRH) average (Hill, 1952) bisa

43

digunakan untuk menghitung Km dan Gm yang efektif, seperti yang dinyatakan

dalam persamaan dibawah :

( )RV MMM += 21 (3.24)

Dengan M adalah modulus grain efektif (bisa merepresentasikan Modulus bulk

dan Modulus geser), Mv adalah modulus rata-rata Voight (1028) dan MR adalah

modulus rata-rata Reuss (1929) yang didefisikan sebagai berikut :

∑=

=n

iiiV McM

1 (3.25)

∑=

=n

i i

i

R Mc

M 1

1 (3.26)

Dengan ci dan Mi adalah fraksi volume dan modulus dari komponen ke-i.

44