BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriksrepository.ump.ac.id/3205/3/Bab II_Festi Dwijayanti.pdf ·...

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran

tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

A. Matriks

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan real atau kompleks) yang

disusun secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-

kolom). Skalar-skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya

menggunakan : ( )

Contoh II.A.1

Matriks real:

Matriks diberi nama dengan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain.

Secara lengkap ditulis matriks ( ) artinya suatu matriks A yang

elemen-elemennya di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j

menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.

(

)

Baris

Kolom

Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014

5

Pandang sebuah matriks ( ) dan yang

berarti bahwa banyaknya baris = m serta banyaknya kolom = n.

(

)

Boleh ditulis sebagai matriks ( ), disebut ukuran (ordo)

dari matriks tersebut. Berikut adalah beberapa hal tentang matriks yang

berkaitan dengan pembahasan mengenai irisan tabung lingkaran tegak dengan

bidang datar.

1. Operasi Perkalian pada Matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks

pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Secara definisi adalah

sebagai berikut

Definisi II.A.1

Misal matriks A sebagai matriks pertama dan B matriks kedua. Pandang

berukuran dan berukuran maka

perkalian AB adalah suatu matriks berukuran di mana:

Untuk setiap dan


6

Contoh II.A.2

(

) dan ( )

Ukuran matriks dan sehingga ada dan berukuran

sehingga (

) di mana

Jadi, (

).

Secara singkat dapat ditulis

(

)( ) (

) ( )

2. Transpose dari Suatu Matriks

Pandang suatu matriks ( ) berukuran maka transpose

dari A adalah matriks AT berukuran yang diperoleh dari A dengan

menuliskan baris ke-i dari A, sebagai kolom ke-i dari .

Dengan kata lain ( ).

Contoh II.A.3

Misal (

) maka (

)


7

3. Beberapa Jenis Matriks Khusus

Suatu matriks terdiri dari berbagai jenis dengan karakteristik khusus

pada masing-masing matriks tersebut. Berikut adalah beberapa jenis

matriks khusus.

a. Suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom yaitu n

disebut matriks persegi berordo n. Barisan elemen

disebut diagonal utama dari matriks persegi tersebut.

b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar

diagonal utamanya adalah nol atau untuk .

c. Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen-elemen

diagonal utamanya = 1.

d. Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya

sendiri.

e. Matriks hermitian adalah matriks yang transpose konjugatnya sama

dengan dirinya sendiri (AH = A).

4. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matris.

Anggota dari suatu matriks atau disebut sebagai elemen matriks dapat

diubah menurut aturan tertentu. Perubahan tersebut berkaitan dengan baris

dan kolom sehingga disebut sebagai transformasi elementer pada baris dan

kolom yang diberikan oleh

a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j (baris ke-i dijadikan baris ke-

j dan baris ke-j dijadikan baris ke-i), ditulis .


8

Contoh II.A.4

Misal (

) maka (

)

b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j (kolom ke-i dijadikan

kolom ke-j dan kolom ke-j dijadikan kolom ke-i), ditulis .

Contoh II.A.5

Untuk A pada contoh II.A.4, (

)

c. Mengalikan baris ke-i dengan skalar , ditulis .

Contoh II.A.6

Jika (

) maka (

)

d. Mengalikan kolom ke-i dengan skalar , ditulis .

Contoh II.A.7

Jika (

) maka (

)

e. Menambah baris ke-i dengan p kali baris ke-j, ditulis .

Contoh II.A.8

Jika (

) maka (

)


9

f. Menambah kolom ke-i dengan p kali kolom ke-j, ditulis .

Contoh II.A.9

Jika (

) maka (

)

Catatan:

Operasi c, d, e, dan f dapat dilakukan dalam satu langkah yaitu

a. Menambah m kali baris ke-i dangan n kali baris ke-j, ditulis Hi(m)

j(n)

(A).

b. Menambah m kali kolom ke-i dangan n kali kolom ke-j, ditulis

Ki(m)

j(n)

(A).

dengan skalar m ≠ 0 dan n ≠ 0.

Contoh II.A.10

a. Jika (

) maka H2(2)

3(1)

(A) = (

)

b. Jika (

) maka K2(2)

3(2)

(A) = (

)

5. Rank matriks

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A

dan rank kolom dari matriks A adalah dimensi ruang kolom matriks A.

Rank baris sama dengan rank kolom dari matriks A tersebut, ditulis r(A).

Catatan:

a. Rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/

kolom yang bebas linier.


10

b. Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi

elementer karena matriks-matriks yang ekuivalen baris/ kolom

mempunyai ruang yang sama. Diusahakan mengubah sebanyak

mungkin baris/ kolom menjadi vektor nol karena vektor nol bergantung

linier.

Contoh II.A.11

Cari rank dari (

)

Dikerjakan secara baris

(

) (

)

(

) (

)

Baris ke-3 adalah adalah vektor nol, jadi r(A) = 2.

6. Determinan

Setiap matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang

disebut determinan matriks tersebut dan ditulis sebagai det(A). Berikut

adalah determinan untuk matriks persegi berordo dua dan berordo tiga.

Determinan dari matriks persegi A berordo 2 adalah

(

) | | |

|


11

Determinan dari matriks persegi B berordo 3 adalah

(

) | | |

|

| |

(Suryadi, 1991)

B. Transformasi Sistem Koordinat di R2

Transformasi sistem koordinat di R2 adalah suatu fungsi yang memetakan

ruang vektor di R. Secara sederhana bahwa transformasi ini merupakan fungsi

untuk memperoleh suatu persamaan baru pada sistem koordinat yang telah

ditransformasikan. Berikut ini adalah dua hal pokok yang perlu diketahui

sebelum melakukan transformasi sistem koordinat

1. Akar dan Vektor Karakteristik

Suatu akar karakteristik diperlukan untuk mencari vektor karakteristik.

Vektor karakteristik inilah yang akan digunakan sebagai basis natural

sistem koordinat yang baru setelah dilakukan transformasi sistem

koordinat.

Definisi II.B.1

suatu matriks persegi dan λ adalah skalar yang memenuhi persamaan

(*): untuk suatu vektor kolom maka dikatakan λ adalah

suatu akar karakteristik dari dan yang memenuhi persamaan (*)

disebut vektor karakteristik yang bersangkutan dengan λ.


12

Contoh II.B.1

Hitunglah akar karakteristik dari (

)

Penyelesaian:

Misalkan λ skalar dan (

) adalah vektor yang memenuhi

(

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

).......................................................II.B.1

Persamaan II.B.1 adalah suatu sistem persamaan linier homogen yang

dibutuhkan jawaban nontrivial sehingga

rank (

) atau |

| (disebut persamaan

karakteristik)

⟺

Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, masukkan harga λ

ke persamaan II.B.1, diperoleh

Untuk

(

) (

) (

) atau

}

Cukup ambil 1 persamaan, misal . Apabila maka

. Jadi, ( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan

.


13

Untuk

(

) (

) (

) atau

}

Cukup ambil 1 persamaan, misal . Apabila maka

. Jadi, (

) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan

.

2. Transformasi Simetris

Pada transformasi ini digunakan matriks simetris. Suatu transformasi

linier T pada R2 dan R

3 dikatakan suatu transformasi simetris jika untuk

setiap R2 dan R

3 berlaku

Teorema II.B.1

Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektor-

vektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang

berbeda saling tegak lurus.

Hal khusus:

Jika adalah matriks simetris berordo 2 maka diperoleh 2 vektor

karakteristik yang saling tegak lurus dan panjangnya 1.

Bukti:

Misalkan dan adalah akar-akar karakteristik dari A maka

} ......................................................................................... II.B.2

Karena A simetris maka


14

Lakukan transpose konjugat

( )

( )

................................................. II.B.3

Kalikan persamaan II.B.3 dengan dan persamaan II.B.2 dengan

dan

Oleh karena itu ( ) , jika diambil maka √

adalah

panjang di mana | | . Jadi, yang berarti

setiap akar karakteristik adalah real. Jika diambil maka

karena akar karakteristik yang berbeda sehingga

(saling tegak lurus).

Untuk A2 berordo 2, jika maka jelas dari bukti di atas terdapat

dan yang saling tegak lurus dan ambil yang panjangnya 1.

Jika maka pandang persamaan karakteristik

|

|

Diskriminan :

Jumlah dua bilangan non-negatif = 0 berakibat masing-masing

bilangan = 0. Jadi, dan .

Persamaan karakteristik menjadi

Semua koefisien dari persamaan

} adalah nol.

Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik dan dapat dipilih 2

vektor yang saling tegak lurus dengan panjang = 1.


15

Catatan:

Persamaan karakteristik dari matriks

|

|

Jika disebut dan |

| maka

persamaan menjadi

(Suryadi, 1991)

C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R2)

1. Persamaan Standar Irisan Kerucut

Persamaan standar irisan kerucut pada sistem koordinat adalah

a.

, yaitu suatu elips dengan pusat dengan panjang

setengah sumbunya masing-masing adalah dan . Apabila

maka persamaan menjadi yaitu suatu persamaan

lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari . Untuk bentuk

adalah suatu elips khayal dengan pusat .

b.

, yaitu suatu persamaan hiperbola berpusat di

dengan sumbu riil dan setengah sumbu khayalnya .

Apabila konstanta 1 pada

diganti dengan 0, diperoleh

persamaan-persamaan garis asimtot yaitu


16

Dapat diuraikan menjadi

atau garis-garis dan

c. , yaitu suatu parabola dengan puncak dan sumbu

sebagai sumbu simetris. Fokus parabola adalah

dan direktrisnya

. Parabola terbuka ke kanan ketika dan terbuka ke kiri

ketika .

2. Transformasi Irisan Kerucut pada Sumbu-sumbu Utamanya

Diketahui persamaan umum irisan kerucut:

................... II.C.1

Persamaan di atas dapat ditulis dengan matriks

(

) (

) (

)

atau

di mana

(

) (

) dan (

)

dinamakan bagian homogen kuadrat

dinamakan bagian linier

bilangan tetap dari persamaan derajat dua


17

Untuk mengetahui jenis suatu irisan kerucut, persamaan II.C.1 perlu

diubah ke persamaan standar dengan cara translasi atau rotasi sistem

koordinat kartesius.

a. Translasi

Definisi II.C.1

Translasi sistem koordinat ke adalah perubahan sistem

koordinat di mana sumbu-sumbu dan sedangkan vektor-

vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang tetap.

Misalkan titik awal yang baru berkoordinat terhadap

sistem koordinat lama. Suatu titik terhadap sistem koordinat

lama akan mempunyai koordinat terhadap sistem koordinat

baru dengan hubungan:

}

Bagian linier dari persamaan II.C.1 dapat dihilangkan melalui translasi

dan titik awal sistem koordinat baru akan menjadi pusat irisan kerucut

tersebut. (Surjadi, 1982)

𝑂

𝑌

𝑋

𝑗

𝑖

𝑗

𝑖

𝑂 𝑝 𝑝

𝑌

𝑋

𝑃

𝑥

𝑥

Gambar II.C.1:Translasi sistem koordinat di R2

𝑦 𝑦


18

b. Rotasi

Untuk melenyapkan suku kembar dari bagian homogen kuadratis

dilakukan rotasi sistem koordinat ke

sistem koordinat baru di mana vektor-vektor karakteristik dari

(matriks simetris) yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus

dijadikan vektor-vektor basis dari sistem tersebut.

(Suryadi, 1991)

Teorema II.C.1

Diketahui transformasi linier dan simetris dengan vektor-vektor

karakteristik , sehingga dan , di mana

| | | |

Jika diadakan rotasi ke yaitu sistem koordinat dengan dan

sebagai vektor-vektor satuan maka bentuk homogen kuadrat:

menjadi

Bukti

( )

Pada sistem koordinat baru :

dan


19

Jadi,

karena dan

Akibat II.C.1

Persamaan derajat dua

dapat

diubah menjadi

, jika dan ialah akar-akar

dari persamaan karakteristik dari transformasi linier dan simetris

|

|

3. Jenis-jenis Irisan Kerucut yang Dinyatakan Oleh

a. Jika , , dan atau , , dan

maka persamaan dapat dijabarkan menjadi

b. dan yang satu positif dan yang lain negatif, . Persamaan

dapat dijabarkan menjadi

⟺ atau

dan .

Dikatakan bahwa irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus

yang saling berpotongan.


20

c. dan keduanya positif atau negatif dan , persamaan dapat

dijabarkan menjadi

⟺ atau

dan

Irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus imaginer yang

berpotongan dan hanya mempunyai satu titik yang real yaitu titik 0.

d. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan

negatif, persamaan dapat dijabarkan menjadi

⟺ , atau

Irisan kerucut berubah corak menjadi sepasang garis lurus sejajar.

e. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan

positif, persamaan dapat dijabarkan menjadi

⟺ atau , yaitu dua garis

lurus imaginer yang sejajar.

f. Salah satu bilangan karakteristik , yang lain sama dengan dan

. Dalam hal ini persamaan dapat ditulis sebagai atau

. Jadi, irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus

yang berimpit.

(Surjadi, 1982)


21

4. Penjabaran Persamaan Derajat Dua yang Umum Menjadi Bentuk Standar

Diketahui persamaan umum derajat dua:

Bentuk standar dari garis lengkung dapat ditentukan dengan terlebih

dahulu melakukan translasi sistem koordinat ke untuk

melenyapkan bagian liniernya dan rotasi sistem koordinat ke

untuk melenyapkan suku . Translasi garis lengkung pada sistem

koordinat baru di mana diperoleh

atau

Bagian homogen kuadrat tidak berubah terhadap translasi sedangkan

bilangan tetapnya menjadi . Tentukan sehingga

koefisien dan menjadi Jadi,

} ............................................................... (II.C.2)

atau dengan matriks

Persamaan II.C.2 adalah persamaan pusat irisan kerucut.


22

Susunan tersebut hanya memberi jawaban jika dan hanya jika matriks

(

) dan (

) mempunyai rank yang sama. Jika

kedua matriks mempunyai rank 2 maka |

|

Dalam hal ini hanya ada satu titik saja yang memenuhi persamaan

II.C.2. Jika rank = 1 maka akan diperoleh satu garis pusat irisan kerucut.

Jika rank tidak sama maka translasi tidak dapat dilakukan.

Jika dihitung dari persamaan II.C.2 maka irisan kerucut tersebut

terhadap mempunyai persamaan :

......................................... (II.C.3)

di mana

.

Menurut teorema II.C.1 persamaan II.C.3 dapat diubah menjadi

.............................................................. (II.C.4)

dengan suatu rotasi ke sistem koordinat baru di mana dan

adalah akar-akar karakteristik dari Jenis-jenis irisan kerucut yang

dinyatakan oleh persamaan derajat dua dapat diketahui dengan

menggunakan poin C.3.

(Suryadi, 1991)


23

Teorema II.C.2

Jika |

| dan |

| maka

Bukti

Jadi,

} ...............................................(II.C.5)

karena maka ada dan yang memenuhi persamaan II.C.5 atau

rank (

)

sehingga |

|

⟺|

| |

|

Atau ⟺


24

Catatan:

Persamaan II.C.4 sekarang dapat ditulis sebagai

di mana dari persamaaan karakteristik

Jika dan maka dan dan jika maka

irisan kerucut adalah suatu elips. (jika dan maka irisan

kerucut juga elips).

Jadi,

Jika dan

⟺ elips

dan

⟺ elips imaginer.

Jika (tanda dan berlawanan) ⟺ hiperbola.

(Surjadi, 1982)

5. Irisan Kerucut yang Berubah Corak

Misal persamaan irisan kerucut

Persamaan irisan kerucut akan berupa sepasang garis lurus bila

|

|

Kedudukan dari sepasang garis lurus tersebut tergantung dari determinan

|

|


25

Berikut klasifikasi irisan kerucut ketika

a. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis

yang berpotongan.

b. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis

imaginer.

c. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis

sejajar atau berimpit. Sejajar apabila |

| dan berimpit

apabila

(Suryadi, 1991)

D. Vektor di dalam R3

Pada dimensi tiga, vektor ⟨ ⟩ adalah vektor posisi titik

. Panjang dari vektor dimensi tiga ⟨ ⟩ adalah

| | √

Jika diberikan titik dan titik maka vektor yang

diwakili oleh adalah

⟨ ⟩

⟨ ⟩

Jika ⟨ ⟩ dan ⟨ ⟩ maka

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ,dengan skalar.


26

Sifat-sifat vektor

Jika , , dan adalah vektor di R3, dan adalah skalar, maka

1.

2. ( ) ( )

3.

4.

5. ( )

6.

7.

(Spiegel, 1999)

Vektor-vektor , , dan disebut vektor basis standar, mempunyai panjang 1

dan mengarah pada X, Y, dan Z positif.

Misalkan tiga vektor pada memiliki aturan khusus

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Jika ⟨ ⟩ maka dapat ditulis

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Gambar II.D.1: Vektor Basis Standar

x y

z


27

Definisi II.D.1

Jika ⟨ ⟩ dan ⟨ ⟩ maka dot product (perkalian titik)

dan yang ditulis ( . ) dinyatakan sebagai

(Purcell, 1984)

Sifat-sifat perkalian titik (dot product):

Jika , , dan adalah vektor dalam R3 dan skalar maka

1) | |

2)

3) ( )

4) ( )

Teorema II.D.1

Jika adalah sudut diantara vektor dan maka | || |

Bukti:

Gambar II.D.2: Sudut antara dua vektor

X

Z

Y

O 𝜃

B

A


28

Jika diaplikasikan aturan cosinus segitiga OAB pada gambar, diperoleh

| | | | | | | || | ................................... (II.D.1)

Pada gambar dinyatakan | | | |, | | | |, dan | | | | sehingga

persamaan II.D.1 menjadi

| | | | | |

| | | | .................................................. (II.D.2)

Menggunakan sifat perkalian titik 1, 2, dan 3, ruas kiri persamaan II.D.2

dapat ditulis sebagai berikut:

| | ( ) ( )

| | | |

Dengan demikian, persamaan II.D.2 menjadi

| | | | =| | | |

| | | |

| || |

| || |

Akibat II.D.1

Jika adalah sudut tak nol vektor dan maka

| || |

Dua vektor dan tegak lurus jika dan hanya jika

(Suryadi, 1984)


29

Definisi II.D.2

Jika ⟨ ⟩ dan ⟨ ⟩ maka cross product dan adalah

vektor

⟨|

| |

| |

|⟩

⟨ ⟩

Teorema II.D.2

Vektor tegak lurus terhadap dan

Bukti:

Untuk menunjukkan tegak lurus terhadap , dihitung dot productnya

sebagai berikut:

( ) |

| |

| |

|

Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan tegak lurus terhadap

adalah sebagai berikut:

( ) |

| |

| |

|

(Spiegel, 1999)


30

Teorema II.D.3

Jika adalah sudut antara dan maka | | | | | |

Bukti:

Dari definisi cross product dan besar vektor

| |

| |

| | (

) (

)

| | | |

| |

| | | |

| |

| |

| |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

Akibat II.D.2

Dua vektor tak nol dan sejajar jika dan hanya jika

Bukti:

Dua vektor tak nol dan sejajar jika dan hanya jika atau . Untuk

keduanya , jadi | | oleh karena itu


31

Sifat –sifat cross product:

Jika , , dan adalah vektor di R3 dan m skalar maka

1)

2) ( ) ( )

3) ( )

4) ( )

5) ( ) ( )

6) ( ) ( )

(Suryadi, 1984)

E. Geometri Analitik Ruang

1. Sistem Koordinat Siku-siku di R3

Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan

dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real

secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam

ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang

saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat

yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z

(aplikat).


32

Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan

sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut.

Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang

XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y

dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z.

Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan

bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut:

Oktan I berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0

Oktan II berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0

Oktan III berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0

Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0

Oktan V berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0

Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0

Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R3

O

X

Y

Z


33

Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0

Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0

(Suryadi, 1984)

2. Jarak Dua Titik dalam Ruang

Rumus jarak dua titik dalam ruang:

Jarak | | antara titik dan adalah

| | √ ( )

(Hambali, 1986)

Bukti:

Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti

gambar. Jika koordinat dan maka

| | | | | |

dan karena bidang ANBP, berarti

Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R3

X

Z

Y O

A N

B P

L Q

M C


34

sehingga :

| | | |

| |

| | √ ( )

(Suryadi, 1984)

3. Transformasi Sistem Koordinat

Definisi II.E.1

Translasi adalah pergeseran sistem koordinat di mana sumbu-sumbu

dan sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang

dan arah positif yang sama.

Dengan demikian, jika sumbu bergeser menjadi dengan

mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap

kedua sistem koordinat adalah

atau ( ) (

) (

)

Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R3

𝑋

Y

𝑍

𝑂

𝑌 𝑋

𝑍

𝑂’ (𝑝 𝑝 𝑝 )


35

Definisi II.E.2

Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0).

Jika sistem koordinat dirotasikan ke sistem koordinat maka

dimisalkan cosinus arah dari , , dan secara berturut-turut adalah

, , dan . Jika adalah koordinat titik

P terhadap sistem koordinat dan adalah koordinat titik P

terhadap sistem koordinat maka hubungan kedua sistem koordinat

adalah

𝑋

𝑌

𝑍

𝑋 𝑌

𝑍

𝑃 𝑥 𝑦 𝑧

𝑂

Gambar II.E.4: Rotasi sistem koordinat di R3


36

Dalam matriks : ( ) (

)(

)

Di mana matriks (

) disebut matriks rotasi dan dinotasikan

dengan R.

Catatan:

Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu

transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v R3 tanpa mengubah

panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh

Di mana matriks (

) adalah orthogonal.

Bukti

(

)(

)

(

)


37

Karena , , dan adalah vektor unit tegak

lurus, diperoleh (

)

Oleh karena itu, R disebut orthogonal.

(Chatterje, 2003)

4. Bidang Datar di R3

Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang

tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui

tiga titik pada bidang datar V, yaitu , , dan

.

Berdasarkan gambar di atas diperoleh

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

X

Z

Y O

R

Q P

S

Gambar II.E.5: Bidang di R3


38

Untuk setiap sebarang titik pada bidang rata V berlaku :

, dengan dan skalar .

Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ..... (II.E.1)

Selanjutnya, dan disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap

dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan

vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik dan

diketahui kedua vektor arahnya ⟨ ⟩ dan ⟨ ⟩ adalah

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ....... (II.E.2)

Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata

sebagai berikut:

............................................................ (II.E.3)

............................................................. (II.E.4)

.............................................................. (II.E.5)

Apabila dieliminasi dan pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4),

diperoleh persamaan:

Dimana |

| ............................................... (II.E.6)


39

Subtitusi dan ke persamaan (II.E.5), diperoleh:

{ } { }

atau ( ) ( ) .... (II.E.7)

Misalkan :

|

|

|

|

dan

Persamaan (II.E.7) menjadi

( )

⟺

⟺

⟺ ...................................................................... II.E.8

Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang

datar.

(Suryadi, 1984)

Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor

⟨ ⟩ |

| |

| |

|

⟨ ⟩ |

|

Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang

datar yang dibentuk oleh dan . Oleh

karena itu, ⟨ ⟩ disebut vektor normal dari bidang datar V = 0


40

tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam

pembahasan bidang datar.

Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui

melalui titik dengan vektor normal ⟨ ⟩ berbentuk:

(Suryadi, 1984)

5. Garis Lurus dalam R3

Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika

diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya dan

.

Diperoleh ⟨ ⟩, ⟨ ⟩, ⟨

⟩. Untuk sebarang titik pada l berlaku

Jelas bahwa sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus

yaitu

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Gambar II.E.6 : Garis di R3

X Y

Z

O

P Q

R

l


41

Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah

diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan

⟨ ⟩. Oleh karena itu, sehingga

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Persamaan vektoris l dapat ditulis

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan

parameter sebagai berikut:

Dengan mengeliminasi diperoleh

(Suryadi, 1984)

6. Konikoida

Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh di

mana adalah polinomial berderajat dua pada dan . Persamaan

umum konikoida ditampilkan sebagai berikut

(Chatterje, 2003)


42

Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan

tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui

transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai

berikut

a)

: elipsoida.

b)

: elipsoida khayal.

c)

: hiperboloida daun satu.

d)

: hiperboloida daun dua.

e)

: kerucut khayal.

f)

: kerucut.

g)

: paraboloida eliptik.

h)

: paraboloida hiperbolik.

i)

: tabung eliptik.

j)

: tabung hiperbolik.

k)

: tabung khayal.

l) : silinder parabolik.

m)

: sepasang bidang rata berpotongan.

n)

: sepasang bidang rata khayal berpotongan.

o) : sepasang bidang rata sejajar.


43

p) : sepasang bidang rata khayal sejajar.

q) : sepasang bidang rata berimpit.

Dengan dan merupakan bilangan positif.

(Suryadi, 1984)

7. Tabung

Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa

garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan

Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut

tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida

dengan persamaan

Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut

{

....................................................(*)

Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika

Rank A= Rank (A,b) = 2

Rank (

) rank (

)


44

Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan

{

Persamaan karakteristiknya adalah

|

|

Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan

di mana |

| dan |

|

Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan dan

sehingga akan diperoleh

atau

dengan

.

(Suryadi, 1984)


BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriksrepository.ump.ac.id/3205/3/Bab II_Festi Dwijayanti.pdf ·...

Documents

Transcript of BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Matriksrepository.ump.ac.id/3205/3/Bab II_Festi Dwijayanti.pdf ·...