6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Kontrak Opsi

Kontrak opsi merupakan suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi

dengan pembeli opsi, penjual opsi memberikan hak dan bukan kewajiban kepada

pembeli opsi untuk menjual atau membeli suatu sekuritas tertentu pada waktu dan

harga yang telah ditetapkan. Sekuritas yang dapat diperjual belikan berupa saham,

obligasi, mata uang, komoditi dan lainnya. Kontrak opsi yang memperjual-belikan

saham disebut dengan opsi saham. Pihak yang terlibat dalam kontrak opsi yaitu

pemilik atau pembeli dan penerbit atau penjual dari opsi, namun perusahaan

penerbit sekuritas saham (emiten) yang dijadikan opsi tidak terlibat di dalamnya,

dengan kata lain, opsi diterbitkan oleh investor untuk dijual kepada investor

lainnya, dalam hal ini, perusahaan yang merupakan penerbit sekuritas dari saham

yang dijadikan opsi tidak bertanggung jawab terhadap pembuatan, penghentian

maupun pelaksanaan kontrak opsi.

2.1.1 Jenis Opsi

Berdasarkan hak yang terjadi, opsi dapat dikelompokkan menjadi dua,

yakni sebagai berikut:

1. Opsi Beli (Call Option), yaitu opsi yang memberikan hak kepada pembeli

opsi beli untuk membeli sekuritas dalam jumlah tertentu, pada waktu dan

harga yang telah ditentukan. Pihak yang terlibat dalam call option yaitu

pembeli opsi beli (call option buyer) dan penjual opsi beli (call option

7

seller). Jika call option buyer membeli opsi saham, maka call option buyer

dapat melakukan spekulasi terhadap harga saham mendatang tanpa harus

memiliki saham tersebut dan berharap harga saham naik sehingga dapat

meraih keuntungan dari harga saham tersebut. Pada saat jatuh tempo,

keuntungan tersebut diperoleh dari naiknya harga saham di atas harga

yang disepakati dalam kontrak opsi, maka call option buyer dapat

membeli saham dengan harga yang lebih murah (sebesar yang disepakati

dalam kontrak opsi) dibandingkan harga pasar.

2. Opsi Jual (Put Option), yaitu opsi yang memberikan hak kepada pemilik

opsi untuk menjual sekuritas dalam jumlah tertentu, pada waktu dan harga

yang telah ditentukan. Pihak yang terlibat dalam put option yaitu pembeli

opsi jual (put option buyer) dan penjual opsi jual (put option seller).

Berkebalikan dengan pemilik call option, investor yang membeli put

option memiliki harapan agar pada saat jatuh tempo harga pasar berada di

bawah harga yang telah disepakati dalam kontrak, sehingga pembeli put

option dapat menjual saham tersebut dengan harga yang lebih tinggi dari

harga pasar saham yang bersangkutan.

Berdasarkan cara pelaksanaan hak opsi, opsi dapat dibedakan menjadi dua

tipe waktu pelaksanaan, yaitu opsi tipe Amerika yang dapat dilaksanakan kapan

saja sampai batas waktu yang telah ditetapkan dalam kontrak opsi, dan opsi tipe

Eropa yang hanya dilaksanakan pada saat jatuh tempo (expiration date).

2.1.2 Variabel yang Memengaruhi Harga Opsi

Sedikitnya ada enam variabel yang dapat memengaruhi harga dari suatu

opsi, yaitu harga saham, harga pelaksanaan (exercise/strike price), periode opsi

8

(expiration date), tingkat suku bunga bebas risiko (risk-free rate), dividen yang

dibayarkan dan volatilitas harga saham di pasar. Variabel harga saham yang

dimaksud adalah harga saham sekarang. Harga pelaksanaan yaitu harga per

lembar saham yang harus dibayarkan oleh pembeli call option pada saat jatuh

tempo atau harga per lembar saham yang akan diterima oleh pemilik put option

dari penjual put option pada saat jatuh tempo. Dengan kata lain, harga

pelaksanaan yaitu harga per lembar saham yang dijadikan patokan oleh call

option ataupun put option pada saat jatuh tempo. Periode opsi yaitu batas waktu

suatu opsi dapat dilaksanakan, baik dengan menerapkan model Amerika atau

model Eropa.

2.2 Model Black-Scholes

Model Black-Scholes dikembangkan oleh Fischer Black dan Myron

Scholes, model ini digunakan untuk menentukan harga opsi. Model Black-Scholes

hanya dapat digunakan untuk opsi dengan tipe Eropa (European Option) yang

dilaksanakan pada saat waktu jatuh tempo (expiration date) dan mengasumsikan

bahwa variansi atau volatilitas harga saham bersifat konstan selama usia opsi

diketahui pasti. Selain itu model Black-Scholes hanya dapat diterapkan pada

saham yang tidak memberikan dividend. Dengan demikian variabel yang

digunakan dalam menentukan harga opsi, yaitu harga saham pada saat , strike

price , tingkat bunga bebas risiko , periode opsi , dan volatilitas saham

. Persamaan Black-Scholes untuk menghitung harga opsi beli disajikan dengan

rumus (Singh & Prabakaran, 2006):

9

dengan

(

) (

)

√

√

(

) (

)

√

fungsi distribusi normal kumulatif standar:

√ ∫

dan fungsi kepadatan peluang normal standar (Pacati,2013):

√

2.3 Volatilitas Saham

Volatilitas saham adalah pengukuran statistik untuk fluktuasi harga saham

selama periode tertentu (Firmansyah,2006). Ukuran tersebut menunjukkan

penurunan dan peningkatan harga dalam periode yang pendek dan tidak mengukur

tingkat harga, namun derajat variasinya dari satu periode ke periode berikutnya.

Volatilitas tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Menurut Schwert dan

W. Smith, Jr. (1992) terdapat lima jenis volatilitas dalam pasar keuangan, yaitu :

1. Future Volatility

Future volatility adalah apa yang hendak diketahui oleh para pemain

dalam pasar keuangan (trader).

10

2. Historical Volatility

Historical Volatility adalah pemodelan dengan teori pricing berdasarkan

data masa lalu untuk dapat meramalkan volatilitas pada masa yang akan datang.

3. Forecast Volatility

Seperti halnya terdapat jasa yang berusaha meramalkan pergerakan arah

masa depan harga suatu kontrak demikian juga terdapat jasa yang berusaha

meramalkan volatilitas masa depan suatu kontrak.

4. Seasonal Volatility

Komoditas pertanian tertentu seperti jagung, kacang, kedelai, dan gandum

sangat sensitif terhadap faktor-faktor volatilitas yang muncul dari kondisi cuaca

musim yang jelek.

5. Implied Volatility

Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar

dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan

keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga suatu

saham mengikuti gerak Brown geometrik (geometric Brownian motion) pada

suku bunga dan ketidakstabilan (volatilitas) tertentu. Pergerakan harga saham

tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut

dengan

: perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown

geometric

: rata-rata dari tingkat pengembalian saham

: perubahan waktu

11

: nilai volatilitas

: gerak Brownian.

Menurut Lee (2002), keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase.

Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar

modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-

Scholes, atau dapat ditulis sebagai

dengan menyatakan harga opsi observasi yang diperoleh dari harga pasar

sebenarnya, dimana masa jatuh tempo opsi sama dengan masa jatuh tempo

saham induk. Dalam hal ini, menyatakan harga opsi teoritis dari formula

Black-Scholes yang didefinisikan oleh:

Persamaan (2.9) disubstitusi ke persamaan (2.8), diperoleh

dengan

(

) (

)

√

√

dengan adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar yang disajikan

dalam persamaan (2.5). Nilai volatilitas dapat ditentukan jika persamaan

non-linear mempunyai invers, yaitu

Nilai volatilitas selalu positif karena adalah konstan dan monoton naik

pada (Dharmawan & Widana, 2011).

12

2.4 Metode Numerik

Metode Numerik adalah suatu cara untuk memformulasikan masalah

numerik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi perhitungan/aritmatika.

Metode numerik digunakan untuk memperoleh solusi hampiran (approximation)

yang mendekati solusi eksak, berarti ada selisih antara solusi eksak dengan solusi

hampiran, selisih ini disebut dengan nilai galat (error). Tentu saja solusi terbaik

adalah solusi hampiran dengan nilai galat terkecil.

Penggunaan hampiran pada tiap penyelesaian masalah numerik hanya

akan menghasilkan solusi hampiran yang bukan solusi eksak, sehingga galat

timbul dari penggunaan hampiran tersebut. Galat tersebut meliputi dua hal, yakni:

1. Kesalahan Pemotongan (Truncation Error)

Galat ini timbul disebabkan oleh pemotongan deret dengan suku-suku

yang tidak berhingga menjadi deret dengan suku-suku yang berhingga.

Galat pemotongan dihasilkan saat penggunaan hampiran untuk

menyatakan prosedur matematika eksak.

2. Kesalahan Pembulatan (Round-Off Error)

Galat ini timbul disebabkan oleh terbatasnya jumlah digit dalam

menyatakan bilangan real, sehingga angka desimal dalam bilangan real

tersebut diganti dengan angka-angka hampiran. Jadi, galat ini terjadi bila

angka-angka hampiran digunakan untuk menyatakan angka-angka eksak.

Hubungan antara nilai sebenarnya, nilai hampiran, dan galat (error) dapat

ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

13

u nilai galat (error) adalah:

dengan adalah nilai sebenarnya, adalah nilai hampiran untuk , dan adalah

galat terhadap nilai sebenarnya/galat absolut. Dengan demikian nilai galat (error)

adalah:

Bila nilai sebenarnya sulit untuk diketahui, dan hanya diketahui nilai galat

terbaik dan nilai hampiran terbaik, dapat dihitung galat relatif dari suatu bilangan

dengan menggunakan hampiran terbaik dari harga sebenarnya. Galat relatif

(relative error) dapat dinyatakan dalam bentuk

| | |

|

Pada metode numerik biasanya dilakukan suatu iterasi, dalam hal ini

hampiran sekarang dibuat berdasarkan hampiran sebelumnya. Pada iterasi metode

numerik, galat adalah selisih antara nilai hampiran sebelumnya dengan nilai

hampiran sekarang dan galat relatif juga dapat ditulis dalam bentuk

| | |

|

dengan adalah nilai hampiran pada iterasi ke , adalah nilai hampiran pada

iterasi ke dan . Galat relatif dalam bentuk persen dapat

dinyatakan sebagai

| | |

|

Pada penelitian ini, toleransi error yang digunakan sebesar .

14

2.4.1 Deret Taylor

Representasi deret pangkat dari sebuah fungsi dalam disebut

deret Taylor yang diambil dari nama ahli matematika Inggris yaitu Brook Taylor

(1685-1731) (Purcell & Rigdon, 2003). Diberikan adalah suatu fungsi dan

turunan fungsinya, yaitu ada untuk setiap pada selang

terbuka yang mengandung , maka nilai di sekitar dan untuk setiap

di dalam , dapat diekspansi ke dalam deret Taylor suku orde , yaitu:

dengan disebut galat atau sisa yang dapat dinyatakan sebagai

dengan adalah bilangan real di antara dan .

2.4.2 Metode Newton-Raphson

Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara

geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Hampiran linier terhadap di

dekat diperoleh dengan memotong deret Taylor sampai suku orde satu, yaitu:

dengan adalah bilangan real di antara dan . Substitusi ke persamaan

(2.19), diperoleh:

15

dan karena untuk mencari akar dari , maka ini berarti:

Jika cukup dekat dengan , suku terakhir pada ruas kanan persamaan (2.21)

akan bernilai kecil dibandingkan dengan jumlah dari dua suku pertama. Oleh

karena itu, suku terakhir dapat diabaikan (Mathews, 1987). Dengan demikian,

dapat didefinisikan hampiran yang berada didekat akar, yaitu

atau

Proses terus berulang dengan cara yang sama. Jika adalah hampiran saat ini,

maka hampiran selanjutnya adalah yang dapat ditulis sebagai berikut.

Secara geometris, diberikan adalah fungsi yang dapat

didiferensialkan, dengan garis lengkung yang memotong sumbu- pada

titik memiliki sebuah garis singgung pada setiap titik. Diberikan sebagai

hampiran awal untuk dari , berarti dapat dibentuk persamaan garis

singgung pada titik , yaitu:

Selanjutnya diberikan sebagai titik potong sumbu- dari garis singgung

(Gambar 2.1). Karena , diperoleh

Persamaan (2.26) dapat ditulis sebagai persamaan (2.23).

16

Gambar 2.1 Iterasi pada Metode Newton-Raphson secara Geometris

Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa merupakan hampiran yang lebih baik

dari , hampiran ini diperoleh dengan menggambarkan persamaan garis

singgung untuk . Menggunakan cara yang sama yaitu menggambar

persamaan garis singgung yang melalui diperoleh hampiran baru .

Hal ini terus berulang hingga | | .

2.4.3 Metode Secant

Metode Secant juga merupakan metode numerik yang dapat digunakan

untuk memecahkan persamaan tak linier dalam bentuk

Metode ini dimulai dengan hampiran awal dan untuk solusi dari

persamaan (2.27). Selanjutnya dihitung sebagai hampiran baru untuk .

Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu

dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson

𝑥 𝜎 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖

𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖

𝑓 𝑥

𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖

𝑦

𝑓 𝑥𝑖

17

menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Turunan fungsi tersebut diselesaikan dengan

jalan pendekatan,yaitu

Substitusi persamaan (2.28) ke persamaan (2.24), diperoleh

Secara geometris, metode Secant ditunjukkan oleh Gambar 2.2.

Menentukan dan sebagai hampiran awal, selanjutnya dapat ditarik garis

lurus antara dan yang melewati sumbu- pada .

Diperoleh dua segitiga sebangun ABE dan DCE, yang dapat ditulis dalam bentuk

persamaan sebagai berikut.

atau

Gambar 2.2 Iterasi pada Metode Secant secara Geometris

B

𝑥𝑖 𝑥

𝑦

𝜎 𝑥𝑖 𝑥𝑖

C

A

𝑓 𝑥𝑖

𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖

D E

𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖

𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖

𝑓 𝑥

18

Persamaan (2.30) dapat ditulis sebagai persamaan (2.29). Iterasi terus berulang,

dan berhenti saat | | .

2.4.4 Metode Bisection

Metode Bagi Dua (Bisection) atau metode Bolzano atau bracketing method

dimulai dengan sebuah interval , ], dimana dan berbeda

tanda (Mathews,1992). Pada grafik (Gambar 2.3) fungsi kontinu ,

memotong sumbu- pada akar yang terletak di suatu tempat dalam interval.

Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan

mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik

dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul:

(i) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di ]

(ii) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di ]

(iii) Jika , diperoleh bahwa akar pada

Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang

merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan

mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama (Gambar 2.3).

Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai , ] dan

ulangi proses sampai | | . Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah .

19

Gambar 2.3 Iterasi pada Metode Bisection secara Geometris

𝑥𝑖 𝑥

𝑓 𝑥𝑖

𝑓 𝑥𝑖

𝑓 𝑥𝑖

𝑥𝑖

𝑦 𝑓 𝑥

𝑥𝑖 𝜎