BAB II

TEORI ELASTISITAN BAHAN ANISOTROPIK

1. Pendahuluan

Teori elastisitas sangat penting untuk analisa struktur komposit secara analitik.

Beberapa struktur yang sederhana dapat diselesaikan dengan cara ini, misalnya persoalan

pelat berlubang, sambungan mekanik dan lendutan batang. Karenanya teori elastisitas

untuk pelat komposit penting dan diperkenalkan dalam buku ini.

Pada dasarnya, ada tiga hokum penting yang mendasari teori elastisitas, yaitu

hokum Hooke (hubungan tegangan-regangan), hukum keseimbangan (hubungan

tegangan-tegangan) dan hukum kompatibilitas (hubungan regangan dan perpindahan).

Ketiga hukum tersebut bersama-sama membentuk hukum elastisitan. Ditambah dengan

kondisi batas tertentu, maka persoalan-persoalan struktur dapat dipecahkan dengan

menggunakan ketiga hukum tersebut.

Pada bab ini, akan dibahas hubungan tegangan-regangan secara mendalam.

Hubungan ini yang dikenal dengan hukum Hooke1.

2. Hukum Hooke

Secara umum hokum Hooke dapat ditulis dalam bentuk :

(2.1)

Dengan Sijkl dan Cijkl masing-masing adalah compliance tensor dan konstanta elastis.

Apabila kedua persamaan dijabarkan, akan didapat 9 persamaan dengan 9 perubahan.

Dengan demikian akan didapat 81 konstanta elastisitas yang perlu ditentukan. Tetapi

kerena hubungan

(2.2a)

Dari persamaan (2.1a)

(2.2b)

Maka akibatnya

1

(2.2c)

Hal yang sama belaku pula untuk konstanta elastisitas. Karena adanya batasan

persamaan (2.2c), maka persamaan (2.1) apabila dikembangkan akan didapat 36

konstanta elastisitas dan dengan mengambil = 2 serta ij = ij untuk i j, maka :

(2.3)

Dan

(2.4)

a. Energi Regangan. Energi regangan pada benda-benda elastis adalah

energi yang ditimbulkan oleh gaya luar pada benda elastis yang teregang. Apabila

regangan masih berada dalam daerah elastis, maka energi regangan tersebut akan

disimpan dalam bentuk energi regangan elastis dan akan dikembalikan lagi bila gaya

luar dilepaskan (panas yang terjadi selama peregangan diabaikan).

Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan elastisitas umum utuk bahan

anisotropik. Di sisni terjadi kopel antara tegangan normal dan regangan geser dan

antara tegangan gesar dan regangan normal. Secara fisik artinya bila bahan

tersebut mendapat gaya uniaksial saja, akan terjadi pula regangan geser ()

disamping regangan tarik (). Gambar 2.1 menunjukkan regangan geser tersebut,

bila bahan anisotropik ini mendapat beban uniaksial tarik.

16

Gambar 2.1. Deformasi benda 3D akibat beban tarik (a) Bahan isotropik

(b) Bahan Anisotropik. Terlihan pada bahan anisotropik, beban uniaksial

juga menyebabkan terjadinya regangan geser.

b. Bidang Simetri. Bahan anisotropik murni per definisi tidak mempunyai

bidang simetri. Bila suatu bahan mempunyai bidang simetri, maka bahan tersebut

tidaklah merupakan bahan anisotropik murni dan ada beberapa harga pada matrik

elastisitas pada persamaan (2.3) dan (2.4) di atas beharga nol.

Sebagai contoh, bila dianggap bidang simetri, seperti terlihat pada gambar 2.2.

Koordinat (x1, x2, x3) dicerminkan ke koordinat baru (x’1, x’2, x’3). Matriks Cij adalah

matrik elastisitas dalam koordinat (x1, x2, x3), sedangkan C’ij adalah mariks elastisitas

dalam koordinat (x’1, x’2, x’3).

Karena simetris maka :

Cij = C’ij (2.3)

Tranformasi tegangan ij dan regangan ij dari koordinat (x1, x2, x3) ke koordinat baru

(x’1, x’2, x’3) adalah :

(2.6)

dan

(2.7)

17

a b

Dengan harga cosinus arah, seperti terlihat pada gambar 2.2 adalah :

(2.8)

Dengan menggunakan cosinus arah di atas, tranformasi tensor rengangan dalam

koordinat (x’1, x’2, x’3) dengan menggunakan persamaan (2.7) adalah :

(2.9)

Gambar 2.2. Bidang Simetris 1-2 dan penentuan cosinus arah.

Dari persamaan (2.8) diketahui bahwa harga :

Dengan demikian persamaan (2.11) di atas menjadi :

Denga cara yang sama untuk tensor regangan yang lain akan didapat hubungan

sebagai berikut :

18

(2.10)

Tranformasi tensor tegangan ke dalam koordinat baru , dengan cara yang

sama seperti pada tensor regangan, didapat :

(2.11)

Karena C = C’ , maka besar tegangan geser pada

koordinat baru dengan menggunakan persamaan (2.3) adalah :

= C + C + C + C + C + C (2.12)

Dengan memasukkan persamaan (2.12) ke Persamaan (2.11) maka didapat

hubungan sebagai berikut :

= C + C + C - C - C + C (2.13)

Sehubungan antara tegangan geser dengan regangan normal geser adalah :

= C + C + C + C + C + C (2.14)

Karena = - , maka gabungan persamaan diatas adalah :

C + C + C + C + C + C =

- C - C - C + C + C - C

Dengan membandingkan kedua suku diatas, maka persamaan diatas hanya

mungkin bila :

C14 = C24 = C34 = C46 = 0 (2.15)

Dengan cara yang sama, untuk tensor tegangan didapat :

C15 = C25 = C35 = C56 = 0 (2.16)

19

Dengan demikian Persamaan (2.3) berubah menjadi :

(2.17)

Persamaan (2.17) diatas adalah persamaan elastisitas bahan bila bidang 1-2

merupakan bidang simetri. Bahan seperti ini mempunyai 13 konstanta elastisitas dan

disebut monoclinic.

Apabila terdapat dua bidang yang saling tegak lurus, maka dengan cara yang sama,

Persamaan (2.3) diatas akan menjadi lebih sederhana lagi, yaitu menjadi :

12

31

23

33

22

11

66

55

44

332313

232212

131211

12

31

23

33

22

11

00000

00000

00000

000

000

000

C

C

C

CCC

CCC

CCC

(2.18)

Persamaan (2.18) diatas adalah persamaan elastisitas bahan ortrotopik dan

mempunyai 9 konstanta elastisitas yang tidak diketahui. Terlihat pada persamaan

diatas sudah tidak terdapat lagi kopel antara tegangan normal dan regangan geser;

demikian pula sebaliknya antara tegangan geser dan regangan normal.

Apabila pada bahan orthotropik tersebut terdapat satu bidang isotropik ( yang berarti

pada bidang tersebut sifat-sifatnya sama dalam segala arah), maka bahan tersebut

dinamakan transversely isotropic. Bila bidang 2-3 merupakan bidang isotropik,

maka hubungan tegangan-regangan menjadi :

(2.19)

Dengan harga C44 = ( C22 – C23 )/2. Perhatikan persamaan (2.19) dan (2.18) dan

bandingkan. Pada persamaan (2.19) diatas terlihat hanya terdapat 5 konstanta

elastisitas yang pada bahan orthotropik berjumlah 9.

20

Apabila sifat-sifat bahan tidak bergantung arah, maka berarti mempunyai

bidang simetri yang tidak terhingga, sehingga bahan tersebut dinamakan bahan

isotropik dan hanya mempunyai dua konstanta elastis, yaitu :

(2.20)

Dengan harga C = (C11-C12)/2. Terliahat pada persamaan di atas, pada bahan

isotropik hanya terdapat dua konstanta elastisitas. Dan seperti diketahui, pada

bahan isotropik, konstanta elastisitas yang dibutuhkan hanyalah E dan . Bahan

jenis inilah yang sering digunakan pada struktur-struktur konvensional.

3. Fungsi Airy Untuk Bahan Anisotropik

Fungsi tegangan atau lebih dikenal dengan fungsi Airy, sangat penting untuk

perhitungan tegangan di suatu benda dengan cara analitis. Untuk kasus-kasus yang

sederhana dan klasik, penerapan fungsi Airy untuk menganalisis tegangan suatu benda

sangat membantu, meskipun pada kebanyakan kasus, penyelesaian dengan menggunakan

fungsi ini sangat rumit dan sukar.

Persamaan-persamaan dasar, seperti persamaan kesetimbangan, persamaan

regangan dan persamaan kesesuaian, tidak akan diturunkan secara lengkap di sini, karena

sudah banyak diberikan dalam buku-buku standar mekanika teknik.

a. Pesamaan Kesetimbangan. Tegangan pada suatu titik dalam benda dua

dimensi (tegangan bidang atau plane stress)yang dikenai gaya-gaya luar diberikan

dalam bentuk; , Tegangan-tegangan tersebut berada dalam

kesetimbangan dan menuruti persamaan kesetimbangan dalam bentuk :

(2.21)

Bila gaya-gaya massa (body force diabaikan).

b. Persamaan Regangan. Regangan suatu titik diberikan dalam bentuk :

. Yang masing-masing merupakan penurunan perpindahan, bila

perpindahan kecil :

21

(2.22)

Dengan U dan V masing-masing adalah perpindahan dalam sumbu x dan y.

Tegangan-tegangan pada suatu titik dalam benda dua dimensi akan memenuhi

salah satu ketiga persamaan di atas, karena itu jawab persoalan dua dimensi adalah

mencari fungsi tegangan yang memenuhi salah satu dari ketiga persamaan di atas

serta memenuhi kondisi batas.

22