Sumber Input Antrian MekanismePelayanan

Unit-unit yangmembutuhkan

pelayananUnit-unit yangtelah dilayani

Sistem Antrian

(langganan)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Definisi Antrian Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis

dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan (Tjutju, et al., 2004).

Antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang

memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas pelayanan).

Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori

antrian (Siagian, 1987).

Proses yang terjadi pada model antrian dapat diperlihatkan

pada Gambar 2.1 (Tjutju, et al., 2004).

Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan

layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas

layanan, sehingga nasabah yang ada tidak bisa segera mendapat layanan

disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian

ini sering kita temukan misalnya seperti pada loket bioskop, loket kereta

api, loket-loket pada bank, dermaga di pelabuhan, loket jalan tol,

pelabuhan udara, telepon jarak jauh, tempat praktek dokter, tempat

pembayaran rekening listrik atau telepon dan banyak lagi yang lainnya.

Gambar 2.1 Sistem Antrian

Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat

diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah terjadinya

antrian. sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan

hilangnya langganan atau nasabah.

Jadi masalah yang dihadapi oleh tiap manajer adalah

bagaimana mengusahakan keseimbangan antara biaya tunggu (antrian),

terhadap biaya mencegah antrian itu sendiri guna memperoleh untung

yang maksimum. Suatu analisa dari sistem antrian ini akan dapat

memberi jawaban yang memadai secara umum.

2.2 Konsep-Konsep Dasar Teori Antrian

2.2.1 TujuanTujuan dasar model-model antrian adalah untuk

meminimumkan jumlah antrian yang terjadi dalam suatu perusahaan

agar perusahaan tidak kehilangan pelanggan dikarenakan antrian yang

panjang.

2.2.2 Sumber Masukan Karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini

adalah ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan

pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan

potensial. Ini bisa dianggap terbatas maupun tidak terbatas.

Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan

pelayanan ini harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa

digunakan adalah unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses

Poisson, artinya sampai suatu waktu tertentu jumlah unit yang

diturunkan ini mempunyai distribusi Poisson. Ini adalah suatu kasus di

mana kedatangan pada sistem antrian terjadi secara random, tetapi

dengan tingkat rata-rata tertentu. Asumsi berikutnya adalah bahwa

distribusi kemungkinan dari waktu antar kedatangan (inter-arrival time)

adalah distribusi eksponensial.

Asumsi lain yang juga harus dispesifikasikan mengenai

kelakuan unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan ini adalah

balking, yaitu bahwa unit-unit yang memerlukan pelayanan itu akan

menolak memasuki sistem antrian jika antrian itu terlalu panjang.

2.2.3 Sistem Antrian Sistem antrian adalah suatu proses kelahiran dan kematian

dengan suatu populasi yang terdiri dari para pelanggan yang sedang

menunggu mendapatkan pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu

kelahiran terjadi apabila tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan

apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu

kematian. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas

pelayanan.

Sistem antrian pada dasarnya dicirikan oleh komponen-

komponen berikut ini:

1. Pola kedatangan Pola kedatangan adalah cara dimana individu-individu

dari populasi dimasuki sistem, yang biasanya dicirikan oleh

waktu antar kedatangan yaitu waktu antara kedatangan dua

pelanggan yang berurutan yang pada suatu fasilitas pelayanan.

Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan

yang konstan atau acak.

Distribusi probabilitas poisson adalah salah satu pola

kedatangan yang paling sering (umum) bila data kedatangan

didistribusikan secara random. Hal ini terjadi karena distribusi

poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu

bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi

tingkat kedatangan.

Bila pola kedatangan individu mengikuti suatu

distribusi poisson maka waktu antar kedatangan atau

interrival time (yaitu waktu antar kedatangan setiap individu)

adalah random dan mengikuti distribusi eksponensial.

2. Pola pelayanan Pola pelayanan biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan

(service time) yaitu waktu yang dibutuhkan seorang pelayan

untuk melayani para pelanggan. Waktu pelayanan ini dapat

bersifat diterministik (diketahui secara pasti) atau berupa

suatu variabel acak yang distribusi probabilitasnya dianggap

telah diketahui. Juga yang menarik adalah apakah seorang

pelanggan hanya dilayani oleh satu pelayan saja, sementara

pelanggan ini membutuhkan barisan pelayan. Bila tidak

disebutkan secara khusus maka anggapan dasarnya adalah

bahwa satu pelayanan saja dapat melayani secara tuntas

urusan seorang pelanggan.

Waktu pelayan adalah waktu yang digunakan untuk

melayani individu-individu dalam suatu sistem. Waktu ini

mungkin konstan atau random. Bila waktu pelayanan

mengikuti distribusi eksponensial atau distribusinya acak

maka waktu pelayanan akan mengikuti distribusi poisson.

Perbedaan distribusi-distribusi waktu pelayanan dapat

diliputi oleh model-model antrian dengan lebih mudah

dibandingkan perbedaan distribusi waktu kedatangan.

3. Disiplin antrian Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang

digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang

memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu. Aturan-

aturan ini didasar pada yang pertama masuk, pertama keluar,

yang terakhir masuk, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya

berikut ini adalah disebutkan beberapa bentuk disiplin antrian:

a. First Come First Served adalah disiplin antrian yang

menerangkan bahwa pelanggan yang datang pertama

akan dilayani terlebih dahulu.

b. Last Come First Served adalah disiplin antrian yang

menyebutkan bahwa pelanggan yang terakhir datang

dalam antrian akan dilayani terlebih dahulu.

c. Service In Random Order adalah pemberian pelayanan

didasarkan pada pemilihan secara sembarang atau

berdasarkan pada peluang secara acak, tidak penting

siapa yang datang terlebih dahulu.

d. Emergency First yaitu pelayanan yang diberikan kepada

pelanggan yang menghadapi keadaan darurat yang perlu

ditangani secepatnya. Dalam hal ini tentunya tidak

melihat siapa yang datang terlebih dahulu atau yang

datang belakangan.

4. Kapasitas sistem

Kapasitas sistem adalah jumlah maksimum pelanggan,

mencakup yang sedang dilayani dan yang berada dalam

antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan pada saat

yang sama. Banyak sistem antrian yang dapat menampung

jumlah individu-individu yang relatif besar, tetapi ada

beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas.

Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya

jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara

nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang

terbatas.

2.2.4 Keluar (Exit)Sesudah seseorang selesai dilayani, dia keluar dari sistem.

Sesudah keluar dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan

mempunyai probabilitas yang sama untuk memasuki sistem kembali,

atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain yang mempunyai

probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali.

2.3 Struktur Antrian Dalam struktur antrian dikenal dua istilah yaitu Chanel

(Single atau Multiple) dan Phase (Single atau Multiple). Istilah chanel

atau saluran menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Sementara istilah

phase adalah jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus

melaluinya sebelum pelayanan dianggap lengkap. Terdapat empat model

struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian,

yang selanjutnya akan dijelaskan dalam Gambar 2.2 – Gambar 2.5 (P.

Siagian, 1987).

1. Single Chanel – Single Phase

Gambar 2.2 Single Chanel – Single Phase

2. Single Chanel – Multiple Phase

Gambar 2.3 Single Chanel – Multiple Phase

3. Multiple chanel – Single Phase

Pelayanan 1

SumberPelanggan

PelangganDatang

PelangganPergi

Pelayanan 2

Gambar 2.4 Multiple Chanel – Single Phase

4. Multiple Chanel – Multiple Phase

SumberPelanggan

Pelayanan 1

Pelayanan 2

PelangganPergi

Antrian 1

Antrian 2

Gambar 2.5 Multiple Chanel – Multiple Phase

5. CampuranStruktur campuran ini adalah merupakan campuran dua

atau lebih struktur fasilitas service di atas. Struktur ini

dipergunakan misalnya oleh toko-toko besar, dimana

beberapa pelayanan toko yang melayani pembeli (Multiple

Chanel), namun pembayaran hanya pada seorang kasir (Single

Chanel). Ada pula yang mempergunakan struktur campuran

yang lain, misalnya pelayan/service terhadap pengunjung

rumah makan dan sebagainya.

2.4 Proses Kedatangan Konsumen Untuk dapat menguraikan proses kedatangan konsumen,

diambil asumsi-asumsi:

1. Interval waktu antara dua kedatangan yang berurutan saling

bebas dan juga merupakan variabel-variabel non negatif

dengan distribusi yang identik.

2. Didalam setiap interval waktu tersebut selalu ada peluang

untuk datangnya nasabah (pelanggan).

3. Didalam setiap waktu yang kecil, paling banyak ada satu

kedatangan.

Atau dengan kata lain sebagai berikut, jika banyaknya

kedatangan rata-rata konstan sebesar , maka didalam selang waktu (0, t

+ h) akan berlaku:

1. P ada tepat 1 kedatangan dalam interval (t, t + h) = h

2. P ada 0 kedatangan dalam interval (t, t + h) = 1 - h

3. P ada lebih dari 1 kedatangan dalam interval (t, t + h) = 0

Berdasarkan asumsi tersebut, maka akan dapat ditentukan

formulasi matematis untuk proses kedatangan, yaitu dengan terlebih

dahulu mendefinisikan bahwa Pn (t) = P ada tepat n kedatangan dengan

interval (0, t).

Hal ini akan diperoleh bentuk-bentuk berikut:

P0 (t, t + h) = Kemungkinan ada 0 kedatangan dalam interval (0, t +

h)

= P ada 0 kedatangan dalam (0, t + h)

= P ada 0 kedatangan dalam interval (0, t) dikali dengan

P ada 0 kemungkinan dalam interval (t, t + h)

= P0 (t) (1 - h)

atau: tPh

htPtP0

00

Jika diambil limit untuk h = 0, akan diperoleh:

tPtdtdP

00

Bila syarat batas P0 (0) = 1, artinya pada t = 0 tidak akan ada

kedatangan, maka diperoleh:

P0 (t) = e- .t

Dengan cara yang sama akan dapat ditentukan proses

kedatangan n konsumen dalam interval waktu (0, t + h), yaitu:

Pn (t, t + h) = Kemungkinan ada n kedatangan dalam interval (0, t +

h)

= P ada n kedatangan dalam interval (0, t) dikali dengan

P ada 0 kedatangan dalam interval (t, t + h)

= P ada n (n – 1) kedatangan dalam interval (0, t) dikali

dengan

P ada 1 kedatangan dalam interval (t, t + h)

= Pn (t) (1 - h) + Pn-1 (t) h

atau: tPtPnh

tPnhtPn1n

Pn (t)

t

Gambar 2.6 Grafik Distribusi Poisson

Jika diambil limit h = 0 maka diperoleh:

tPtPnh

tPnd1n

Dimana nilai n = 0, 1, 2, 3, …, n

Bila syarat batas P0 (0) = 1, artinya pada t = 0 akan ada

kedatangan, maka Pn (t) dapat ditentukan mulai dari n = 0 sampai

dengan n = 1.

te!nttPn

n atau

!xexP

x

Bentuk persamaan di atas, menyatakan bahwa besarnya

kemungkinan ada n kedatangan di dalam interval waktu (0, t) adalah

merupakan distribusi kemungkinan poisson dengan nilai rata-rata ( .t).

Grafik distribusi poisson dapat diperlihatkan dalam Gambar 2.6.

2.5 Proses Pelayanan Konsumen Yang dimaksud dengan waktu pelayanan adalah lamanya

waktu yang digunakan untuk melayani konsumen sampai selesai. Bila

waktu pelayanan yang diberikan oleh suatu fasilitas pelayanan

berdistribusi eksponensial dengan parameter dimana grafik distribusi

eksponensial diperlihatkan pada Gambar 2.7, maka bentuk distribusinya

secara matematis adalah:

F (t) = e- t, untuk t 0

F (t) = 0, untuk t < 0

t

F (t)

Gambar 2.7 Grafik Distribusi Eksponensial

Maka:

te1dyyftF , untuk t 0

te1dyyftF , untuk t < 0

Harga rata-rata dari distribusi eksponensial, E (t), diperoleh

dari:

0

tdtetdttfttF

Jika persamaan integral ini diturunkan maka:

t

00

t edxtEeettE

Apabila notasi Sn mempresentasikan waktu pelayanan yang

diberikan kepada konsumen ke-n, maka kemungkinan waktu pelayanan

untuk konsumen ke-n adalah:

P(Sn) t = t – e- t, untuk t 0

Dimana 1/ = rata-rata waktu pelayanan, e = konstanta

(2.71828)

2.6 Notasi yang Digunakan dalam Model AntrianUntuk menggambarkan suatu model antrian, maka digunakan

notasi yang sesuai dengan notasi G. Kendall (1953) memperkenalkan

notasi model antrian pelayanan banyak yang menyebutkan tiga

karakteristik antrian, yaitu distribusi kedatangan, distribusi kepergian,

dan jumlah saluran pelayanan. Kemudian A. Lee (1966) menambahkan

dua karakteristik lainnya yaitu disiplin pelayanan dan jumlah maksimum

dalam sistem. Pada akhirnya ditambah lagi dengan satu karakteristik

sehingga lengkapnya menjadi:

(a / b / c) : (d / e / f)

Dimana:

a = Distribusi kedatangan atau antar kedatangan

b = Distribusi kepergian atau distribusi waktu pelayanan

c = Jumlah stasiun pelayanan yang disusun secara paralel dan

independen antara satu dengan yang lainnya.

d = Disiplin pelayanan

e = Jumlah maksimum konsumen yang diperbolehkan berada dalam

sistem

f = Sumber populasi konsumen

Pada aplikasinya, persoalan notasi-notasi di atas sering

digantikan dengan simbol lain, yaitu:

a = Dapat diganti dengan M, yaitu dengan menunjukkan distribusi

kedatangan secara poisson atau distribusi antar kedatangan

eksponensial.

b = Dapat diganti dengan simbol M, menunjukkan waktu pelayanan

berdistribusi eksponensial atau diganti dengan simbol D,

menunjukkan waktu pelayanan secara deterministik. Atau notasi b

ini dapat diganti pula dengan simbol Ek, artinya waktu pelayanan

mempunyai parameter k (Erlang) atau berdistribusi Gamma. Atau

juga diganti dengan simbol GI, yang artinya distribusi waktu

pelayanan bersifat General Independent.

c = Dapat diganti dengan bilangan-bilangan positif yang menunjukkan

jumlah fasilitas pelayanan.

d = Dapat diganti dengan simbol-simbol seperti FCFS, LCFS, SIRO,

GD atau yang lain yang menunjukkan disiplin pelayanan.

e = Dapat diganti dengan N atau yang menunjukkan jumlah

maksimum pelanggan dalam sistem.

f = Dapat diganti dengan N atau tergantung dari sumber input atau

populasi.

2.7 Parameter dan Variabel Sistem Antrian Untuk menganalisa model antrian digunakan beberapa

parameter dan variabel yaitu sebagai berikut: (Tjutju et al, 2004)

N = Jumlah konsumen

Pn(t) = Probabilitas transien-state untuk jumlah n konsumen dalam

sistem pada saat t.

Pn = Probabilitas steady-state untuk jumlah n konsumen dalam

sistem.

= Tingkat kedatangan konsumen rata-rata (jumlah rata-rata

konsumen yang datang per satuan waktu).

= Tingkat pelayanan rata-rata (jumlah rata-rata konsumen

yang dapat dilayani per satuan waktu).

S = Jumlah fasilitas pelayanan

= Tingkat kegunaan/waktu sibuk pelayan.

Ws = Waktu rata-rata konsumen dalam sistem.

Wq = Waktu rata-rata konsumen menunggu dalam antrian.

Ls = Jumlah rata-rata konsumen dalam sistem.

Lq = Jumlah rata-rata konsumen dalam antrian.

2.8 Definisi Transien dan Steady StateDalam analisa masalah dengan memakai teori antrian ada

beberapa persyaratan yang harus diperhatikan agar hasil analisa yang

dibuat benar, maka selain penggunaan karakteristik yang dikemukakan

tadi sebagai modelnya, juga perlu diteliti status dari sistem yang akan

dianalisa. Sistem antrian yang akan dianalisa harus berada dalam kondisi

steady state/status mapan, artinya kondisi dari sistem yang akan

dianalisa tidak tergantung dari waktu. Kondisi ini akan tercapai setelah

sistem dioperasikan dalam jangka waktu yang cukup lama, selain itu

kondisi pada status mapan dapat diketahui jika rata-rata jumlah

kedatangan pada interval satuan waktu tertentu lebih kecil dari lamanya

waktu pelayanan rata-rata yang diberikan. Kebalikan dari kondisi status

mapan adalah kondisi transien, dimana sistem masih dalam kondisi yang

transien atau kondisi peralihan menuju ke kondisi yang steady state.

Suatu sistem antrian berada dalam kondisi yang transien jika

karakteristik operasional (tingkah lakunya) dari sistem masih berubah-

ubah sehingga sulit ditentukan arahnya, dan kondisi seperti ini tampak

pada saat sistem mulai dioperasikan.

Perlu diketahui bahwa setiap sistem antrian beroperasi sebagai

fungsi dari waktu misalnya antrian dengan laju kedatangan yang lebih

tinggi dari pada laju keberangkatan tidak akan pernah mencapai steady

state tanpa bergantung pada waktu yang berlalu, karena ukuran antrian

akan meningkat dengan waktu. Dengan keacakannya kondisi transien

dan steady state akan bisa berulang-ulang beberapa kali. Untuk itu kita

harus memutuskan dalam menganalisa sebuah sistem antrian, apakah

akan menganalisa berdasarkan kondisi transien atau steady state. Jalan

lain untuk menganalisa sistem yang tidak memperhatikan kondisi

transien dan steady state adalah dengan menggunakan simulasi

komputer.

2.9 Model-Model Antrian Model antrian yang dipakai atau digunakan oleh perusahaan

harus sesuai dengan kondisi perusahaan yang bersangkutan, dengan

maksud agar tidak terjadi kerancuan atau kesalahan dalam pemecahan

persoalan perusahaan (Tjutju et al, 2004).

2.9.1 Model-Model Single Server (S=1) Seperti yang telah dijelaskan, model-model antrian dapat

mempunyai pelayan tunggal, dapat juga mempunyai jumlah pelayan

yang banyak. Berikut ini adalah model-model antrian yang digunakan

apabila pelayannya hanya ada satu (S=1) dengan disiplin pelayanan

tertentu.

2.9.1.1 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial Model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian

yang mengkombinasikan proses kelahiran murni dengan proses

kematian murni. Jadi n untuk n=0, 1, 2, … Dan n untuk

n=1, 2, ….

Dari solusi steady state ( ) kita peroleh:

11

1P1

0

untuk n > 0

n

0n PP

Karena , maka:

nn 1P untuk n = 0, 1, 2, …

Dengan demikian, maka:

1LS

2

qL

111WS

qW

2.9.1.2 Input Poisson Dan Waktu Pelayanan Sembarang

Asumsi: waktu pelayanan rata-rata 1 dengan varians 2 .

Maka jika 1, didapat:

1P0

12L

222

q

qS LL

qq

LW

1WW qS

2.9.1.3 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Konstan Pada model ini, waktu pelayanan untuk setiap langganan

adalah konstan sehingga 02

Karena itu: 12

L2

q

Demikian juga untuk Ls, Wq, dan Ws. Perhatikan bahwa Lq

dan Wq harganya adalah setengah kali harga Lq dan Wq untuk model

waktu pelayanan eksponensial.

2.9.1.4 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Erlang

Fungsi probabilitas kepadatan untuk distribusi Erlang adalah:

tK1KK

et!1K

KtF untuk 0t dimana dan K

adalah parameter-parameter distribusi yang berharga positif. Harga rata-

rata dan varians adalah 1 dan 2K1 . Jadi K adalah parameter

yang menentukan dispersi dari distribusi. Model ini adalah kasus khusus

dari model input poisson dan waktu pelayanan sembarangan, dimana

22 K1 . Karena itu:

22

22

q K2K1

12K

1

L

K2K1Wq

1WW qS

WLS

2.9.1.5 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial

dengan Antrian Terbatas Pada model ini panjang garis (line length) tidak boleh

melebihi sejumlah tertentu (dinyatakan dengan M). Setiap langganan

yang datang pada saat antrian sudah penuh, harus meninggalkan sistem

tanpa mendapat pelayanan. Jadi, model ini adalah kasus khusus dari

proses kelahiran-kematian, dimana:

Mnjika,01M...,,2,1,0njika,

n

dan n untuk n = 1, 2, ….

Steady State dicapai sebagai berikut:

1M0 11P

sehingga:

n1Mn 1

1P untuk n = 0, 1, 2, …, M

1M

1M

S 11M

1L

Dengan S = 1 maka 0Sq P1LL

Di sini tidak perlu

Ekspektasi waktu menunggu adalah:

SS

LW , qq

LW

Dimana:

M1M

0nn

0nnn P1PP

2.9.2 Model-Model Multiple Server (S>1)

2.9.2.1 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut

input poisson dengan parameter , dan bahwa waktu pelayanan untuk

masing-masing unit mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata

1 . Jadi, distribusi waktu pelayanan sama, tanpa memperhatikan

pelayanan mana dari sejumlah S pelayan yang melakukan pelayanan

untuk unit.

Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian

adalah tingkat rata-rata dimana unit yang sudah dilayani meninggalkan

sistem, dan bergantung pada state sistem nE . Tingkat pelayanan rata-

rata per pelayanan yang sibuk adalah , karena itu tingkat pelayanan

keseluruhan adalah nn jika Sn . Jika Sn , berarti semua

pelayan sibuk sehingga Sn . Jadi, model ini adalah kasus khusus

dari proses kelahiran-kematian dengan n (untuk n=0, 1, 2, …)

dan

Snjika,SSn0jika,n

n

Jika S (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari

tingkat pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya

adalah:

1S

0n Sn

SnSn0

S!S!n

1P

1S

0n

Sn0

S11

!S!n

1P

dan

SnjikaPS!S

Sn0jikaP!n

P

0Sn

n

0

n

n

Dengan S , maka

2

S0

q 1!SPL

qq

LW 1WW qS

qqS L1WL

Untuk mendapatkan distribusi kemungkinan dari waktu

menunggu, asumsikan bahwa disiplin pelayanannya FCFS. Notasi

standar P(>t) digunakan untuk menyatakan probabilitas bahwa suatu

kedatangan random harus menunggu dalam antrian (sebelum dilayani)

adalah lebih besar dari t. Jelas bahwa penungguan dalam antrian ini

terjadi jika ada S atau lebih unit di dalam sistem.

1!SP

!SPP0P

S0

0j

jS

0Sn

n

1tSetP P(>0)

Jika variabel random WS adalah waktu menunggu termasuk

pelayanan dari suatu kedatangan random, maka (untuk t 0):

1Se1

1!SP1etWP

1StS0

St

Jika Wq adalah variabel waktu menunggu dalam antrian (tidak

termasuk waktu pelayanan) dari suatu kedatangan random, maka untuk

0t didapat:

1tSqq e0WP1tWP

Dimana: 1S

0nnq P0WP

Jika 01S maka 1S

e1 1St diganti

dengan t .

2.9.2.2 Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial

dengan Antrian Terbatas Pada model ini panjang garis tidak boleh melebihi sejumlah

tertentu M. Jadi, merupakan kasus khusus dari proses kelahiran-

kematian, dimana:

Mnjika,0Mn0jika,

n

Snjika,SSn0jika,n

n

Jadi:

Mnjika,0

MnSjika,PS!S

M,Sminnjika,P!n

P 0Sn

n

0

n

n

Dimana:

M

1Sn

SnSM,Smin

0n

n0

S!S!n

1P

Jika SM , biasanya 0Lq dan M

0nnS PnL

Jika SM , maka

1SM11!S

PL SMSM2

S0

q

dan

1S

0nnq

1S

0nnS P1SLPnL

WS dan Wq dicari dengan cara yang sama seperti pada model

2.9.1.5.

2.9.2.3 Model Sumber Terbatas Model ini merupakan kasus-kasus dari proses kelahiran-

kematian, dimana:

Mnjika,0Mnjika,nM

n

Snjika,SSn0jika,n

n

Maka:

Mnjika0

MnSjikaS!S!nM

!MP

Sn0jika!n!nM

!MP

P nSn0

n0

n

Dimana:

M

Sn

nSn

1S

0n

n0

S!S!nM!M

!n!nM!M

1P

nM

Snq PSnL

1S

0nnq

1S

0nnS P1SLPnL

LWS ; Qq

LW dimana

LM

2.9.2.4 Model dengan State dimana Tingkat Pelayanan dan

atau Tingkat Kedatangan Bersifat Dependent Pada model single server, tingkat pelayanan rata-rata untuk

kasus ini diperoleh dengan mengalihkan tingkat pelayanan rata-rata

“normal”, yaitu tanpa tekanan, dengan nc dimana n adalah langganan

dalam sistem dan c adalah “koefisien tekanan”. Jika seluruh pelayan

(sejumlah S) sedang sibuk sehingga bekerja dengan tekanan, maka

tingkat pelayanan rata-ratanya harus dikalikan dengan (n/S)c karena n/S

merupakan jumlah langganan dalam sistem per pelayan. Dengan

demikian maka:

SnjikaSSn

Snjikan

1c

1n

Jika kemudian diasumsikan bahwa sistem antrian mempunyai

input Poisson dengan n (untuk n = 0, 1, 2, …) dan waktu

pelayanan eksponensial dengan n seperti di atas, maka modelnya akan

menjadi kasus khusus yang lain dari proses kelahiran-kematian. Hasil

steady state-nya adalah:

SnjikaPSS!n!S

SnjikaP!n

P

0Snc1c

n1

0

n1

n

Dimana:

Snc

nc11

c1S1S

0n

n1

0

!nS

!SS

!n

1P

Karena itu, maka:

Snc

nc11

c1S

0Sn

nq !nS

!SSPPSnL

1S

0nnq

1S

0nnS P1SLPnL

qq

LW , S

SLW

Model ini dapat juga digeneralisasi untuk memungkinkan

tingkat kedatangan rata-rata “melakukan reaksi” terhadap garis panjang

antrian dengan cara yang sama dengan pada model single server, untuk

itu ditetapkan:

SnjikaSSn

Snjikan

1a

1n

1Snjika1nS

1Snjika

1b

1n

Proses kelahiran-kematian dengan parameter-parameter ini

menghasilkan Pn, Lq, dan Ls yang sama dengan di atas jika c = a + b.

2.10 Model Keputusan

Analisa teori antrian bukanlah suatu teknis optimasi langsung

seperti programa linier atau sejenisnya. Analisa pada teori antrian

dipakai untuk mendapatkan harga-harga dari sistem yang dianalisis,

misalnya parameter rata-rata jumlah kedatangan pada suatu interval

tertentu atau harga parameter rata-rata waktu pelayanan yang diberikan

pada setiap konsumen yang membentuk barisan antrian, atau juga

parameter waktu menunggu, parameter panjang antrian, dan parameter

utilitas fasilitas pelayanan, kedua parameter ini dibandingkan akan

menunjukkan kondisi dari sistem yang diambil.

Salah satu pendekatan yang dipakai untuk meningkatkan

performansi suatu sistem yaitu untuk mengoptimalkan hasil yang

diinginkan, optimasi parameter sistem dapat dilakukan dengan dua cara,

pertama model minimasi ongkos dan yang kedua model aspirasi. Model

minimasi ongkos dapat dipakai jika ongkos waktu pelayanan dan ongkos

waktu menunggu pelayanan ditentukan besarnya. Akan tetapi cara ini

umumnya sulit untuk dilakukan karena ongkos waktu menunggu bagi

setiap konsumen akan sangat berbeda besarnya, apalagi untuk sistem

dengan input yang sangat beraneka ragam. Cara yang kedua dikenal

dengan model level aspirasi. Model ini digunakan untuk menentukan

nilai optimal sistem. Nilai optimal dalam metode ini didesain secara

langsung dari harga-harga parameternya dengan anggapan bahwa

keputusan yang diambil adalah optimal jika memenuhi batas-batas

aspirasi yang diharapkan oleh pengambil keputusan atau pertimbangan

preferensi tertentu.

2.10.1 Model Ongkos

Model-model biaya, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.8,

pada dasarnya menyeimbangkan kedua jenis biaya yang bertentangan

berikut ini:

1. Biaya menunggu

Biaya menunggu mencakup biaya menganggurnya

karyawan, kehilangan penjualan, tingkat persediaan yang

berlebihan, kehilangan kontrak dan lain-lain. Biaya menunggu

tidak selalu mudah ditentukan, bahkan sangat sulit. Dalam

kasus-kasus tertentu seperti bila individu-individu yang

menunggu berasal dari sistem interval (misal persediaan)

biaya menunggu dapat langsung diukur.

2. Biaya pelayanan

Walaupun biaya menunggu dapat dikurangi dengan

cara menambahkan fasilitas pelayanan, tetapi hal ini akan

menaikkan biaya persediaan fasilitas pelayanan. Biaya

pelayanan dapat mencakup investasi awal dalam peralatan

atau fasilitas, biaya pemasangan fasilitas, latihan bagi

karyawan dan biaya-biaya variabel seperti gaji karyawan dan

pengeluaran tambahan untuk pemeliharaan.

Gambar 2.8 Model Keputusan Ongkos Total

Teori antrian dengan model ongkos dapat juga digunakan

untuk menentukan kecepatan pelayanan dan jumlah fasilitas pelayanan

yang optimal. Dalam menentukan kecepatan pelayanan dan jumlah

fasilitas pelayanan yang optimum diperlukan dua jenis ongkos, yaitu:

1. Ongkos pelayanan tiap pelanggan yang dikaitkan dengan

penggunaan fasilitas pelayanan per satuan waktu (C1)

2. Ongkos menunggu pelayanan per satuan waktu per konsumen

(C2)

Ada dua model optimum biaya yang digunakan dalam

menentukan biaya yang optimal, yaitu (Hamdy A. Taha,1996):

1. Laju Pelayanan Optimum

Menentukan nilai optimum dari tingkat pelayanan,

dengan model matematikanya adalah:

21 CCTC

1

2

CC

Keterangan:

C1 = Biaya pelanggan yang menunggu per unit waktu

C2 = Biaya operasi sarana pelayanan per unit waktu

TC = Biaya total

= Tingkat pelayanan rata-rata

= Tingkat kedatangan

Sehingga jumlah ongkos menunggu dan melayani per

satuan waktu dengan diketahui bahwa laju pelayanan adalah

sehingga:

S21 LCCCT

C1 = ongkos pelayanan per satuan waktu

C2 LS = ongkos menunggu pelanggan

2. Jumlah Pelayanan Optimum

Model ongkos yang akan dikembangkan ialah

menyangkut jumlah pelayanan optimal C. Dianggap bahwa

dan adalah tetap, sehingga:

cLCCccTC S21

Dan LS (c) berlaku untuk sistem dengan pelayanan

ganda. Karena c adalah diskrit maka pendeferensialan tidak

mungkin dilakukan. Meskipun demikian jumlah c optimum

tetap dapat ditemukan dengan substitusi langsung harga-harga

C secara berturut-turut sampai harga T{(c)} minimum dapat

ditentukan.

Untuk membuat prosedur perhitungan lebih efisien,

harus ditentukan syarat perlu untuk harga minimum fungsi

yang diketahui.

Syarat perlu itu adalah:

cTC1cCT dan cTC1cCTDari syarat itu dapat diketahui bahwa:

cLsLsCC

1c2

1 dan 1c2

1 LscLsCC

Dengan demikian hasil akhirnya adalah:

cLsLsCCLscLs 1c

2

11c

Ls(c) = ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem

Dimana harga 2

1

CC

memberikan petunjuk ke arah

mana pencarian harga c optimum.

2.10.2 Model Level Aspirasi

Model tingkat aspirasi menyadari kesulitan dalam

mengestimasi parameter biaya, dan karena itu model ini didasari oleh

analisis yang lebih sederhana. Model ini secara langsung memanfaatkan

karakteristik yang terdapat dalam sistem yang bersangkutan dalam

memutuskan nilai-nilai “optimal” dari parameter perancangan.

Optimalitas di sini dipandang dalam arti memenuhi tingkat aspirasi

tertentu yang ditentukan oleh pengambil keputusan. Tingkat aspirasi

didefinisikan sebagai batas atas dari nilai-nilai ukuran yang saling

bertentangan, yang ingin diseimbangkan oleh pengambil keputusan

tersebut.

Dalam model pelayan berganda dimana kita perlu

menentukan jumlah pelayan c yang optimum, dua ukuran yang

bertentangan adalah:

1. Waktu menunggu yang diperkirakan dalam sistem Ws.

2. Persentase waktu menganggur para pelayan X.

Kedua ukuran ini mencerminkan aspirasi pelanggan dan

pelayan. Anggaplah tingkat aspirasi (batas atas) untuk Ws dan X

diketahui dan . Maka metode tingkat aspirasi dapat diekspresikan

secara matematis sebagai berikut:

Tentukan jumlah pelayan sedemikian rupa sehingga

sW dan X

Ekspresi untuk Ws diketahui dari analisis model antrian.

Ekspresi untuk X diketahui:

c1100Pnc

c100X

c

0nn

Untuk membatasi dalam mengambil keputusan spesifik dalam

kasus metode tingkat aspirasi, kita dapat menghitung kisaran parameter

biaya C2 yang dihasilkan dari pemilihan c untuk tingkat aspirasi tertentu

seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.9. Kita secara spesifik memilih C2

dan bukan C1, karena biasanya lebih sulit untuk mengestimasi biaya

menunggu dalam kebanyakan model-model antrian. Prosedur yang kami

berikan di sini karena itu mengasumsikan bahwa C1, biaya tambahan

yang berkaitan dengan memperoleh satu pelayan baru, dapat diestimasi

tanpa banyak kesulitan.

Gambar 2.9 Model Keputusan Tingkat Aspirasi

2.11 Pengujian Hasil Pengumpulan Data

2.11.1 Uji Keseragaman Data Selain pengujian kecukupan data, juga dilakukan pengujian

keseragaman data, yang tujuannya adalah untuk mengetahui apakah

data-data yang diambil sudah seragam atau belum. Yang harus

diperhatikan dalam pengujian keseragaman data ini adalah data yang

berada di dalam batas-batas kontrol, sehingga dimasukkan dalam

perhitungan. Sedangkan data-data yang berada di luar batas kontrol

harus dibuang karena berasal dari sistem sebab yang berbeda. Pada

perhitungan selanjutnya semua data dalam sub grup ini tidak ikut

diperhitungkan. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut

(Ronald E. Walpole et al, 1995):

1. Hitung rata-rata dari harga rata-rata sub grup

kXX i

Dimana: Xi = harga rata-rata sub grup ke-i

k = banyak sub grup yang terbentuk

2. Hitung standar deviasi sebenarnya dari waktu

penyelesaian

1NXX 2

i

Dimana: N = jumlah pengamatan pendahuluan

3. Hitung standar deviasi harga rata-rata sub grup

nX

Dimana: n = besarnya sub grup

4. Tentukan batas kontrol atas (BKA) dan batas kontrol

bawah (BKB)

X2XBKA

X2XBKB

2.11.2 Uji Kecukupan Data Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah data yang

sudah terkumpul itu sudah mencukupi maka perlu dilakukan uji

kecukupan data. Jika menurut hasil perhitungan pada pengamatan belum

mencukupi maka harus dilakukan pengambilan data kembali. Dalam

pengujian ini dilakukan dengan membandingkan antara N’ (N hitung)

dengan N (jumlah pengamatan) dengan menggunakan tingkat ketelitian

( ) sebesar 5% dan tingkat keyakinan ( ) 95% dengan rumus

(Ronald E. Walpole et al, 1995):

2

i

2i

2i

XXXNZ

'N

Dimana:

N’ = banyaknya pengukuran yang diperlukan untuk suatu

tingkat ketelitian dan keyakinan tertentu. Tingkat

ketelitian ( ) sebesar 5% dan tingkat keyakinan

( ) 95% pengukur membolehkan hasil

pengukurannya menyimpang 5% dari rata-rata

sebenarnya dan kemungkinan berhasil mendapatkan

95%.

N = jumlah pengamatan pendahuluan yang dilakukan.

Xi = waktu penyelesaian teramati selama pengamatan

pendahuluan yang telah dilakukan.

Untuk menentukan nilai dari Z bisa dilakukan interpolasi dan

untuk menentukan besarnya nilai dapat dilihat dari tabel statistik.

Apabila N’ lebih kecil atau sama dengan N maka sampel yang

diambil telah mencukupi, tetapi apabila N’ lebih besar atau sama dengan

N maka sampel yang diambil belum mencukupi, sehingga harus

dilakukan pengumpulan data kembali sampai data benar-benar

mencukupi.

2.11.3 Pengujian Bentuk Distribusi Dalam memecahkan masalah antrian menggunakan teori

antrian, salah satu syarat yang harus diketahui adalah bentuk distribusi

kedatangan dan waktu pelayanan konsumen. Tujuannya adalah untuk

menentukan model antrian yang digunakan, untuk menganalisa bentuk

distribusi tes hipotesa “Goodness of Fit”. Sebelum dilakukan pengujian

bentuk distribusi, sebaiknya perlu diketahui gambaran data hasil

pengamatan dalam bentuk distribusi frekuensi.

Untuk membuat daftar kelas frekuensi dengan panjang kelas

yang sama dilakukan sebagai berikut (Ronald E Walpole et al, 1995):

1. Tentukan rentang dengan cara mengurangi data terbesar

dengan data terkecil.

2. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan, banyak

kelas sering biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan

paling banyak 15 kelas, dipilih menurut keperluan. Cara

lain untuk menentukan banyak kelas interval adalah

dengan menggunakan aturan sturges, yaitu:

Banyak kelas = 1 + (3.3) log n

Dimana n = banyaknya data dan hasil akhir dijadikan

bilangan bulat

3. Tentukan panjang kelas interval (p):

kelasbanyakgtanrenkelasPanjang

4. Menentukan titik tengah tiap interval kelas.

5. Titik tengah kelas interval ditentukan dengan

menjumlahkan batas kelas atas dan batas kelas bawah

setiap interval kelas, kemudian dibagi dua atau batas

kelas bawah ditambah lebar kelas interval dibagi dua,

rumusnya adalah sebagai berikut:

2BKABKBX ii

ti

Dimana: Xti = nilai tengah kelas ke-i

BKBi = batas kelas bawah ke-i

BKAi = batas kelas atas ke-i

i = 1, 2, 3, …, k

Untuk data yang telah disusun ke dalam daftar

distribusi frekuensi maka rata-ratanya dihitung dengan

rumus:

i

ii

fXtfX

Dimana: X = harga rata-rata

Fi = frekuensi dari kelas ke-i

Xti = nilai tengah kelas interval ke-i

2.11.4 Uji Kesesuaian (Goodness of Fit Test)Uji kesesuaian adalah suatu cara untuk memeriksa apakah

suatu himpunan data mentah tertentu sesuai dengan distribusi teoritis

tertentu dengan cara membandingkan secara grafik distribusi empiris

kumulatif dengan fungsi kepadatan kumulatif yang bersesuaian dengan

distribusi yang bersangkutan. Jika kedua fungsi tersebut tidak

memperhatikan deviasi berlebihan maka terdapat kemungkinan yang

cukup besar bahwa distribusi teoritis ini sesuai dengan data mentah

tersebut.

Uji Chi-Kuadrat

Uji chi-kuadrat berlaku untuk variabel acak diskrit kontinyu

yang didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan probabilitas, dari

pada fungsi kepadatan kumulatif yang pengukuran jumlah deviasi antara

fungsi kepadatan empiris dan teoritis.

Langkah-langkah uji chi-kuadrat untuk uji kesesuaian sebagai

berikut (Ronald E. Walpole et al, 1995):

Menentukan hipotesa awal H0 melawan Hi

Dimana untuk pengujian distribusi kedatangan:

H0 = distribusi kedatangan pada interval waktu hasil

pengamatan mengikuti distribusi poisson.

Hi = distribusi kedatangan pada interval waktu hasil

pengamatan tidak mengikuti distribusi poisson.

Menentukan tingkat signifikasi/ketelitian tertentu ( )

ini sebagai simbol dari tipe 1 dalam pengujian

hipotesis artinya adalah menolak hipotesis yang

seharusnya diterima. Untuk taraf signifikasi ini biasanya

digunakan = 0.05 atau = 0.01.

Menentukan statistik uji yang dilakukan

k

1i i

2ii2

eef

Dimana:

fi = frekuensi hasil pengamatan pada kelas interval ke-i

ei = frekuensi ekspektasi (harapan) teoritis pada kelas

interval ke-i

k = jumlah kelas interval

N = banyaknya data/jumlah data pengamatan

Membandingkan 2hitung dengan 2

tabel:

Pengujian uji chi-kuadrat ini menggunakan derajat

kebebasan

v = k – m – 1, dimana:

k = banyaknya kelas interval (sel)

Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan

padanannya, maka nilai 2 akan kecil, menunjukkan kesesuaian yang

baik. Bila frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan

maka nilai 2 akan besar dan kesesuaian jelek. Kesesuaian yang baik

akan mendukung permintaan H0, sedangkan kesesuaian yang jelek

mendukung penolakannya. Daerah kritis akan terjadi pada ujung kanan

distribusi chi-kuadrat. Untuk taraf keberartian , ditemukan nilai kritis

2 dari tabel L.5 maka 22 menyatakan daerah kritis. Patokan

keputusan yang diuraikan di sini sebaiknya tidak dipakai kecuali bila

tiap frekuensi harapan paling sedikit sebesar 5. Dalam hal kurang dari 5

maka mungkin diperlukan penggabungan sel yang berdampingan yang

mengakibatkan pengurangan dalam besarnya derajat kebebasan.