BAB I

NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut.

(1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan

masing-masing notasi.

(2) Dapat memberikan tiga contoh konjektur dalam teori bilangan.

(3) Dapat menjelaskan prinsip induksi matematika.

(4) Dapat membuktikan pernyataan dalam teori bilangan dengan induksi matematika.

1.1 Notasi

Notasi merupakan kesepakatan (persetujuan, perjanjian) untuk suatu lambang tertentu

sehingga mempunyai makna.

Contoh :

(1) (a,b) berarti faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b atau Greatest Common

Divisor (GCD)

(2) [a,b] berarti kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b atau Least Common Multipl

(LCM)

(3) Simbol Legendre

b

a berarti bilangan bulat lebih kecil atau sama dengan

b

a

(4) Simbol Jacobi

b

aberarti bilangan bulat lebih besar atau sama dengan

b

a

(5) : membagi, misalnya 2 6 dibaca dua membagi enam, artinya 2 dapat

membagi 6 dengan sisa nol atau tanpa sisa atau membagi habis.

(6) x : berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.

3

22 = 2

3

22 = 3

(7) Notasi yang berkaitan dengan operasi, misalnya sebagai berikut.

,,, X :, , .

: penjumlahan berulang : perkalian berulang.

(8) Notasi yang berkaitan dengan relasi atau hubungan, misalnya sebagai berikut.

,,,,, , , , ,, .

(9) Notasi yang berkaitan dengan himpunan, misalnya sebagai berikut.

N : Himpunan bilangan asli (Natural numbers, counting numbers)

Z : Himpunan bilangan bulat (Integers; Zahlen)

Z : Himpunan bilangan bulat positip

R : Himpunan bilangan nyata (Real Numbers).

Q : Himpunan bilangan rasional (Rational Numbers)

C : Himpunan bilangan kompleks (Complex Numbers)

xQ :Bilangan rasional tidak nol

xR : Bilangan real tidak nol (Nonzero Real Numbers).

1.2 Konjektur

Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum

terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture = dugaan, perkiraan)

yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan.

Konjektur yang terkenal, misalnya Konjektur Fermat, konjektur Lagrange, dan konjektur

Goldbach.

(1) Konjektur Fermat adalah sebagai berikut.

a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x2 x 41 adalah bilangan prima, kecuali

x 41

b. 122

n

adalah bilangan prima.

c. Berikut adalah konjektur Fermat yang terkenal.

Untuk n 3, tidak ada bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi xn y

n z

n.

Konjektur ini disebut Fermats Last Theorem (teorema terakhir Fermat). Sampai

Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n yang memenuhi xn y

n z

n.

(2) Konjektur Lagrange

Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat.

Contoh 2222 33930999

(3) Konjektur Goldbach

Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari

dua bilangan prima.

7129100

47350

13720

336

224

(4) Konjektur tentang bilangan perfek

a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga

b. Semua bilangan perfek adalah genap

c. Jika 2n 1 adalah bilangan prima, maka (2n-1

)(2n 1) adalah bilangan perfek.

Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positip yang jumlah semua pembagi

sejatinya yang positip sama dengan bilangan itu sendiri. Contoh: 6, 28, 496, 8128, dan

33.550.336.

Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3, di pihak lain 6321 .

Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; di pihak lain 28147421

Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,, dan 248, di pihak lain 496248...21

(5) Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima)

Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah takhingga.

Pasangan prima yaitu dua bilangan prima yang berselisih 2.

Contoh: 3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41 dan 43.

(6) Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan

Terdapat takhingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan (Amicable).

Dua bilagan bulat positip a dan b dikatakan amicable (bersekawan) jika jumlah

pembagi sejati positip bilangan a bilangan b, dan jumlah pembagi sejati positip

bilangan b bilangan a.

Contoh: 220 dan 284; 1184 dan 1210; 17296 dan 18416.

Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah 284, di pihak lain jumlah pembagi

sejati positip bilangan 284 adalah 220.

Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah

2841105544222011105421

Jumlah pembagi sejati positip bilangan 284 adalah

22014271421

1.3 Prinsip

Prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau

sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan

bukti sesuatu.

1.3.1 Pinsip urutan

Prinsip urutan (WOP = Well Ordering Prinsiple) pada bilangan bulat menyatakan, jika a

dan b adalah dua bilangan bulat berbeda maka dapat ditentukan hubungan a dan b, yaitu

a b atau a b.

Z = {x Z x 1} atau Z = {x Z x 0}

Q = {x Q x 0}

R = {x R x 0}

Perhatikan bahwa deskripsi Q dan R tidak dapat menggunakan relasi .

Z mempunyai sifat bahwa setiap A Z dan A maka selalu ada bilangan bulat

k A sehingga k x untuk semua x A. Dikatakan bahwa k adalah elemen terkecil

dari himpunan A. Di pihak lain, Q dan R tidak mempunyai elemen terkecil.

Suatu himpunan S dikatakan terurut jika setiap AS dan A maka A mempunyai

elemen terkecil.

Himpunan bilangan asli adalah terurut, himpunan bilangan cacah (Whole Number) adalah

terurut, himpunan bilangan rasional positip tidak terurut himpunan {2,7,9,10} terurut.

1.3.2 Prinsip Logika Matematika

(1) Pernyataan Berkuantor

Pernyataan Setiap x memenuhi y tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contoh-

contoh x yang memenuhi y. Tidak berlakunya pernyataan Setiap x memenuhi y dapat

ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Pernyataan

Tidak setiap x memenuhi sifat y dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x

yang tidak memenuhi sifat y.

(2) Bukti Langsung

Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p

diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q.

Pernyataan Jika p maka q dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p

yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, , Pn.dan

akhirnya diperoleh q.

p P1 P2 P3 Pn q

Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian

langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p q

p

Jadi q.

Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p q

q r

Jadi p r

Pernyataan Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dapat dibuktikan secara

langsung.

(3) Bukti Tak langsung

Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun

kontradiksi.

(a) Pembuktian dengan prinsip kontraposisi

Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut.

p q

q

Jadi p

Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan

pq, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal

ini berarti jika p benar maka q benar.

Pernyataan Misalkan a bilangan real, dan a 0 . Jika untuk setiap 0 berlaku

a0 maka a 0 dapat dibuktikan secara tak langsung.

Bukti:

Andaikan 0 a dan a 0. Dari a 0 dan a 0 diperoleh a 0 . Karena sebarang

bilangan positip, ambil 02

a, maka a atau a . Hal ini bertentangan dengan

pengandaian. Jadi yang benar, a0 dan a 0 . (Q.E.D).

(b) Pembuktian Dengan Kontradiksi

Untuk membuktikan bahwa p q benar, ditunjukkan bahwa p dan ~q

mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak

langsung adalah sebagai berikut.

[~ p (q~q)] p

Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian

anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah

tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu

yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar

(salah).

Pernyataan Jka a bilangan real dan a 0 maka a

10 dapat dibuktikan dengan

kontradiksi.

Bukti :

Diketahui a bilangan real dan a 0 . Andaikan a

1 0. Selanjutnya digunakan prinsip

bahwa hasil kali bilangan positip dan bilangan negatip adalah negatip, sebagai berikut.

Untuk a

10 berarti a

a

1 0 1 0 dan untuk

a

1 0 berarti a

a

10 1 0

sehingga untuk a

1 0 berakibat 1 0 . Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1

bahwa 1 0 .

Jadi yang benar, a 0 maka a

10 . (Q.E.D)

1.3.3 Prinsip Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika (Principle of Mathematical induction) adalah sebagai berikut.

Sebelum pembahasan tentang induksi matematika, perlu diketahui sifat terurut bilangan

asli N, yaitu : Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil.

Jika S adalah suatu subset dari N dan S { } maka terdapat suatu elemen mS

sedemikian hingga m k untuk setiap kS, dan m disebut elemen terkecil dari S.

Jadi bilangan asli N bersifat terurut karena mempunyai mempunyai elemen terkecil, yaitu

1 (satu).

Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.

Misalkan S adalah himpunan bagian (Subset) dari bilangan asli N yang mempunyai sifat:

(a) 1S

(b) Jika k S berakibat (k 1)S

maka

S memuat semua bilangan asli, atau S N

Prinsip induksi matematika dapat pula dinyatakan dalam bentuk berikut.

S(n) adalah pernyataan matematis dalam himpunan bilangan asli N.

Jika : (a) S(1) benar

(b) S(k) benar berakibat S(k 1) benar

maka S(n) benar untuk semua n N.

Bukti: Andaikan S tidak memuat semua bilangan asli N, atau S N.

Maka N S . Misalkan F N S maka F N dan F S.. Karena N terurut,

maka F mempunyai elemen terkecil, misalkan t. Karena t F maka t N, dan t S

sehingga t 1.

Karena 1 unsur terkecil di N dan t N maka t 1 sehingga t 1 N.

Dari t 1 t dan t elemen terkecil di F diperoleh t 1 F atau t 1 S.

t 1 S. berakibat (t 1) 1 S atau t S Hal ini kontradiksi dengan t S

di atas. Jadi yang benar, S N, atau S memuat semua bilangan asli.

Latihan

1. Buktikanlah berikut ini dengan induksi matematika.

a. 6 + 12 + ... + 6n = 23nn3

b. 5 + 7 + ... + (2n+3) = 2nn4

c. 1 + 4 + ... + (3n-2) = 1)-n(3n2

1

d. 1 + 2 + 22 + ... + n2 = n2 1.

2. Buktikanlah berikut ini dengan induksi matematika.

a. n2n untuk semua Zn

b. n12n