Aljabar Linear 1

BAB I

MATRIKS DAN OPERASINYA

1.1. Kompetensi

Konsep dan operasi pada matriks perlu dipahami terlebih dahulu karena

merupakan hal yang paling mendasar dalam mempelajari Aljabar. Pada penyelesaian

permasalahan real seringkali dibawa ke bentuk matriks dan metode penyelesaiannya

dapat dilakukan baik secara analitik maupun numerik.

Pada bab ini diberikan beberapa definisi dasar yang berkaitan dengan matriks dan

operasinya serta jenis-jenis matriks. Selain itu diperkenalkan operasi baris dan operasi

kolom elementer pada matriks, serta beberapa contoh untuk penjelasan lebih lengkap.

Diakhir materi ini untuk menguji kemampuan mahasiswa, diberikan soal-soal latihan.

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat memahami dan

menjelaskan pengertian matriks dan jenis-jenisnya, operasi pada matriks serta mampu

menyelesaikan dengan benar pada soal-soal latihan yang ada juga masalah real yang

dihadapinya.

1.2. Pengertian matriks dan Jenis-jenis Matriks

Matriks (matrix) adalah susunan segi empat siku-siku dari elemen-elemen yang dapat

berupa pernyataan simbolis ataupun bilangan-bilangan. Atau matriks merupakan

susunan objek-objek yang disusun berdasarkan baris dan kolom, dengan demikian suatu

matriks pasti mempunya jumlah baris dan jumlah kolom. Pada matriks objek–objek atau

elemen-elemen dalam hal ini sering disebut entri yang dapat berupa bilangan atau

pernyataan simbolis.

Notasi Matriks

Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital,

Matriks A = [aij ] dengan i = 1,2, 3, ... , n dan j = 1,2, 3, ... , m

Elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan aij. .

Atau ditulis dalam bentuk aij = (A)ij.

Misalkan matriks A tersusun atas n baris dan m kolom maka dapat dituliskan sebagai

berikut

A =

nm2n1n

m22221

m11211

aaa

aaa

aaa

Ukuran matriks merupakan jumlah baris dan jumlah kolom suatu matriks. Jika matriks

A mempunyai m baris dan n kolom maka ukuran (ordo) matriks A dinyatakan dengan

mxn, dan selanjutnya matriks A dituliskan dengan Amxn atau mAn.

Himpunan Mmxn(R) menotasikan himpunan semua matriks berukuran mxn dengan

entrinya berupa bilangan Real R.

Aljabar Linear 2

Ditulis secara matematik sebagai berikut:

Mmxn(R) =

Ra,,a,a

aaa

aaa

aaa

mn1211

mn2m1m

n22221

n11211

Contoh

1. Matriks B berukuran 4x3 dengan entrinya suatu bilangan Real

B =

106

174

520

031

2. Matriks susunan sebagian tempat duduk atau kursi di ruang P-12 dengan

keterangan jika ada yang menempati disimbolkan 1 dan jika tidak ada yang

menempati disimbolkan 0, sehingga dapat dibentuk matriks P berukuran 3x6

berdasarkan susunan kursi dan yang menempati.

P =

010110

011111

001111

Jenis-jenis Matriks

Berikut diberikan bermacam-macam jenis matriks yang dapat digunakan pada

pembahasan lebih lanjut.

1. Matriks Baris adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja,

dengan kata lain matriks yang mempunyai jumlah baris satu dan jumlah kolom

dapat berapapun jumlahnya.

Misalnya

Matriks A = n21 aaa

Maka matriks A mempunyai ukuran 1 x n artinya jumlah baris matriks A = 1 dan

jumlah kolomnya n.

Notasi

matriks A = [ a1j ] dengan j : 1, 2, 3, ...... m

Atau A1xm = [ a11 , a12, ... , a1m ]

2. Matriks Kolom adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja.

Dengan kata lain suatu matriks yang mempunyai ukuran jumlah kolom satu dan

jumlah baris dapat berapapun.

Aljabar Linear 3

Misalnya : Diberikan Matriks B yang berukuran m x1, sebagai berikut

B =

m

2

1

b

b

b

Artinya matriks B mempunyai sejumlah m kolom dan 1 baris.

Matriks B dapat juga dituliskan sebagai , B = Tm21 bbb

3. Definisi matriks persegi atau matriks bujur sangkar

Jika banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, misalnya matriks A berukuran

mxn dengan nilai m = n sehingga dikatakan bahwa A matriks persegi (square matrix)

atau matriks bujur sangkar, selanjutnya matriks A berukuran nxn atau matriks A

berordo n dan dinotasikan dengan An.

Contoh : berikut diberikan matriks A berordo n dengan elemen-elemennya bilangan

real, sebagai berikut :

A =

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

Elemen-elemen a11, a22, …, ann disebut elemen-elemen/entry-entry diagonal utama

matriks A.

4. Matriks segitiga (triangular)

Matriks segitiga dibagi dua yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan elemem-elemen

dibawah diagonal utama semua bernilai 0 dan elemen lainnya bernilai real.

Matriks bujur sangkar A = ( aij ), i = j = 1, 2,…,n dikatakan sebagai matriks segitiga

atas (upper triangular) jika elemen aij = 0 untuk i > j

Misalkan

Diberikan matriks segitiga atas sebagai berikut

A =

5000

10300

6180

52101

,

100

520

321

B

5. Matriks segitiga bawah

Matriks A dikatakan matriks segitiga bawah jika elemen diatas diagonal utamanya

semua nol. Dengan kata lain matriks persegi (bujur sangkar) A = (aij) dikatakan

matriks segitiga bawah (lower triangular) jika elemen aij = 0 untuk i < j.

Aljabar Linear 4

Misalkan matriks B =

2020

0352

0010

0001

merupakan matriks segitiga bawah.

6. Matriks nol

Matriks nol adalah suatu matriks dengan semua elemennya bernilai nol.

Contoh :

Matriks A beordo 4 , merupakan matriks nol, yang berbentuk sebagai berikut

A =

0000

0000

0000

0000

7. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada

diagonal utama bernilai real dan elemen lainnya bernilai nol.

Ditulis dengan notasi A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j

aij = real untuk i = j

A =

nn

22

11

a000

000

00a0

000a

Contoh: diberikan matriks diagonal B berordo 4, sebagai berikut

B =

5000

0300

0080

0001

8. Matriks satuan merupakan matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada

diagonal utama bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.

Ditulis dengan notasi : A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j

aij = 0 untuk i ≠ j

Contoh : berikut matriks satuan berordo 4,

I =

1000

0100

0010

0001

Aljabar Linear 5

Matriks In = [ij], ij disebut delta Kronecker, yang didefinisikan oleh ij = 1 untuk i = j

dan ij = 0 untuk ij yang disebut matriks identitas berukuran n.

Notasi

Matriks Identitas berordo n dinotasikan dengan In

In =

100

010

001

= Diag( 1,1, … , 1)

Atau In = (e1, e2, … , en) dengan ei vektor kolom berdimensi n dengan masukan 1 di

posisi ke i.

9. Matriks Skalar

Matriks A dikatakan matriks skalar jika matriks A merupakan matriks diagonal yang

elemen diagonalnya sama dan tidak sama dengan satu.

Contoh

Matriks A berordo 5 merupakan matriks skalar karena matriks A berupa matriks

diagonal dan entri diagonalnya semuanya 5, yang berbentuk sbb.

A =

500

050

005

10. Matriks tridiagonal

Suatu matriks tridiagonal merupakan matriks persegi dengan semua elemen

diagonal, elemen di atas diagonal dan elemen dibawah diagonal adalah tidak nol

dan elemen yang lain semuanya nol.

Contoh

Diberikan matriks C berupa matriks tridiagonal yang berbentuk sbb.

C =

51000

90200

08140

00833

00071

11. Matriks transpose

Jika A = ( aij ), maka A transpose ditulis AT adalah matriks dengan elemen-elemen

baris matriks A menjadi kolom matriks AT dan sebaliknya elemen kolom menjadi

elemen baris, sehingga AT = ( aji ).

Aljabar Linear 6

Contoh:

Diberikan matriks A berukuran 5x4 maka matriks AT berukuran 5x4,

A =

01063

198759

1256212

19233

9301

, maka AT =

0198125199

107623

65230

391231

Sifat-sifat matriks transpos

a. (AT)T = A

b. (A + B)T = A

T + B

T

c. (kA)T = kA

T, dengan k : skalar.

d. (AB)T = B

T . A

T

12. Matriks Simetris

Matriks A disebut matriks simetris jika A = AT .

matriks B dikatakan simetris, B matriks bujur sangkar dan entri-entri pada matriks B

berlaku bij = bji dan entri diagonalnya bebas.

Contoh

1. Diberikan matriks B =

7326

3001

2013

6135

,

Maka matriks BT

=

7326

3001

2013

6135

Jadi berlaku BT = B, jadi B matriks simetris.

2. Diberikan matriks A =

539

320

901

maka diperoleh matriks AT =

539

320

901

;

Karena A =AT, sehingga matriks A merupakan matriks simetris.

Contoh Penerapan matriks simetri pada Jaringan dan Graf

Teori graf digunakan untuk membuat model masalah dari semua ilmu

pengetahuan terapan terutama yang berkaitan dengan terapan Jaringan Komunikasi.

Suatu graf didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang disebut dengan

Aljabar Linear 7

simpul – simpul (vertices) beserta pasangan tak terurut (unordered pairs) dari

simpul-simpul yang disebut sebagai sisi-sisi (edges).

Contoh

v1, v2 , v3 dan v4 disebut sebagai simpul (vertices) serta (v1,v2 ), ( v1, v3), ( v2 , v3 ) dan

(v3 , v4) disebut sisi (edges).

Jaringan komunikasi dapat melibatkan sejumlah besar simpul-simpul dan sisi-sisi.

Jika suatu graf memuat n simpul maka dapat didefinisikan suatu matriks A bertipe

nxn didefinisikan sebagai berikut :

ji

ji

vdenganvkanmenghubungtidakgrafsisisisijika,0

grafsisiolehndihubungka v,vjika ,1

ija

maka matriks A disebut matriks sekawan (adjacency matrix).

Contoh

Dari Contoh graf di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut

4321 vvvv

4

3

2

1

v

v

v

v

0100

1011

0101

0110

Dua simpul yang terhubung langsung diberi nilai 1, misal v1 ke v2 terhubung langsung

diberi nilai 1 sedangkan v1 ke v4 tidak terhubung langsung maka diberi nilai 0.

13. Matriks Antisimetris

Matriks Antisimetris adalah matriks transposenya adalah negatif dari matriks

tersebut. Dengan kata lain matriks A dikatakan antisimetris jika memenuhi AT

= -A

sedemikian aij = -aij , dan elemen diagonal utamanya = 0

Contoh

Diberikan matriks A =

054

501

410

maka diperoleh bentuk matriks

054

501

410

054

501

410

AT

v1

v4

v2 v3

Aljabar Linear 8

jadi terlihat bahwa AT = -A, dengan demikian matriks A merupakan matriks

Antisimetris.

Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama jika dan hanya jika ukuran A dan B sama dan

elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks sama.

Contoh

Diberikan matriks-matriks A =

539

320

901

, B=

15927

960

2703

, C =

20

01,

Dan matriks D =

315

39

36

327

9

30

01

Maka matriks A B C, A = D

Definisi matriks bagian (submatrix)

Jika beberapa baris dan atau kolom dari suatu matriks A dihapus maka matriks sisanya

disebut matriks bagian (submatrix) dari A.

Contoh

A =

7251

4023

2101

Matriks bagian dari matriks A adalah

7251

4023

2101

;

251

023

101

;

7

4

2

;

7251

4023, dst

1.3. Operasi-operasi pada Matriks

Operasi perkalian matriks sebrang dengan skalar k

Misalkan k suatu bilangan real, maka kA adalah perkalian skalar k dengan matriks A

yaitu setiap entry pada matriks A dikalikan dengan skalar k.

kA = k

nm2n1n

m22221

m11211

aaa

aaa

aaa

=

nm2n1n

m22221

m11211

kakaka

kakaka

kakaka

Aljabar Linear 9

Contoh

Diberikan matriks A =

539

320

901

; dan k = 3, maka

k.A = 3A =

15927

960

2703

;

Operasi penjumalahan

Dua buah matriks atau lebih dapat dioperasikan dengan operasi penjumlahan apabila

matriks-matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama. Dengan kata lain dua matriks

atau lebih dapat dijumlahkan jika matriks-matriksnya mempunyai ordo atau ukuran sama,

dalam hal ini penjumlahan matriks adalah menjumlahkan entry-entry atau elemen-elemen

matriks yang seletak.

Diberikan matriks-matriks A=(aij); B=(bij), maka

A + B = C

(aij) + (bij) = (cij) dengan cij = aij + bij

Dua atau lebih matriks tidak bisa dijumlahkan jika matriks-matriks tersebut tidak

mempunyai ukuran yang sama dengan kata lain ordonya tidak sama.

Contoh

A =

084

252

531

; B =

431

852

012

; A + B =

4115

6104

541

;

B + A =

4115

6104

541

; terlihat bahwa A + B = B + A; sehingga hukum komutatif

berlaku pada jumlahan matriks.

Operasi Pengurangan

A – B = A + (-1)B,

Sehingga syarat pengurangan matriks sama dengan syarat untuk penjumlahan matriks.

Contoh

Pada contoh di atas matriks–matriks A =

084

252

531

dan B =

431

852

012

maka

Aljabar Linear 10

diperoleh

A – B =

453

1000

523

;

B – A =

453

1000

523

Dari perhitungan berlaku A – B ≠ A – B, sehingga hukum komutatif tidak berlaku pada

operasi pengurangan matriks

Operasi perkalian

Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan

jumlah baris matriks kedua.

Diberikan matriks A = (aij), dengan i = 1, 2, . . ., n;

j = 1, 2, . . . , m

matriks B = (bjk) ; dengan j = 1, 2, . . . , m

k = 1, 2, . . . , p

maka perkalian matriks A dengan matriks B adalah

A x B = (aij)x(bjk)

A x B = C = (cik); dengan cik =

m

1j

jkijba

Contoh

Diberikan matriks-matriks A =

540

321; B =

25

14

01

, C =

202

010

031

1. C.A =

202

010

031

540

321

Perkalian matriks C dikalikan dengan matriks A tidak terdefinisi karena jumlah kolom

matriks C tidak sama dengan jumlah baris pada matriks A

2.

A.B =

540

321

25

14

01

=

1441

824

3. B.A =

25

14

01

540

321

=

25185

17124

311

;

Aljabar Linear 11

Dari no. 2 dan no. 3 maka disimpulkan bahwa A.B ≠ B.A, sehingga hukum komutatif

untuk perkalian matriks tidak berlaku.

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan operasi perkalian matriks dijelaskan pada teorema

berikut.

Teorema

Misalkan A, B, C adalah suatu matriks dan k, l adalah konstanta, maka berlaku:

a. A + B = B + A ( Hukum komutatif)

b. A + (B + C) = (A + B) + C ( hukum asosiatif penjumlahan)

c. A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif perkalian)

d. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif)

e. (A + B) C = AC + BC (hukum distributif)

f. k (A + B) = kA + kB

g. (k + l) A = kA + lA

h. (kl)A = k(lA)

i. k(AB) = (kA)B

j. AB BA

Operasi Invers

Operasi sejenis dengan pembagian matriks adalah operasi Invers. Notasi invers (A)

adalah A-1

. Sifat terpenting pada invers matriks adalah AA-1

= A-1

A= I, dengan I : matriks

identitas.

Sifat-sifat invers suatu matriks

A matriks bujur sangkar berordo n dan determinan matriks A atau det(A) ≠ 0 maka

matriks A merupakan matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers

misalnya invers A dinotasikan dengan A-1

, maka memenuhi operasi berikut,

a. AI = IA, I matriks identitas

b. A.A-1

= A-1.

A = I

c. (AB)-1

= B-1

A-1

1.4. Operasi baris elementer dan operasi kolom elementer

Operasi baris elementer meliputi :

1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris

yang lain.

Algoritma operasi baris elementer meliputi

1. Tentukan kolom paling kiri (kolom 1) yang tidak semuanya nol

2. Pindahkan baris jika perlu, dalam hal ini pindahkan elemen tidak nol ke posisi

paling atas pada langkah 1

3. Ubahlah unsur paling atas pada langkah 2 menjadi 1 dengan cara membagi

unsur baris pertama dengan konstanta tidak nol

4. Tambahkan kelipatan baris pertama dengan baris–baris dibawahnya sehingga

semua elemen dibawah kepala baris pertama pada kolom paling kiri adalah nol.

5. Ulangi langkah satu sampai langkah 4 pada baris berikutnya sehingga

membentuk matriks eselon baris.

Aljabar Linear 12

Contoh

Diberikan matriks A =

420

321

123

Dengan menerapkan operasi baris elementer maka ubahlah matriks A ke bentuk matriks

eselon baris.

Penyelesaian:

Dengan menerapkan langkah-langkah di atas maka diperoleh

1.

420

123

321

420

321

123

12 bb

2.

420

840

321

420

123

321

12 b3b

3.

420

210

321

420

840

321

2b.4/1

4.

000

210

321

420

210

321

23 b2b

Dengan demikian bentuk matriks eselon baris untuk matriks A yaitu

000

210

321

Contoh

Diberikan matriks B =

0000

1300

3111

Maka matriks B merupakan matriks eselon baris.

Penejlasan pada matriks B sebagai berikut:

Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris

tersebut memuat unsur tak nol.

Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur

pertama tak nol pada baris masing-masing.

Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah

nol.

Aljabar Linear 13

Sifat matriks yang dihasilkan dari Operasi Baris Elementer :

1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu

utama).

2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih

ke kanan.

3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada

baris paling bawah.

4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Suatu Matriks dinamakan eselon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 yang selanjutnya

disebut Proses Eliminasi Gauss, metode ini nantinya digunakan untuk penyelesaian

masalah sistem persamaan linear.

Matriks dinamakan eselon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat yang disebut Proses

Eliminasi Gauss-Jordan)

Operasi Kolom elementer meliputi :

1. Opresi pertukaran kolom

2. Perkalian suatu kolom dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu kolom dengan konstanta tak nol dengan

kolom yang lain.

Algoritma pada operasi kolom elementer sebagai berikut:

1. Tentukan baris paling atas ( baris 1) yang tidak semuanya nol

2. Pindahkan kolom jika perlu, dalam hal ini pindahkan elemen tidak nol ke posisi

paling kiri pada langkah 1

3. Ubahlah unsur paling kiri pada langkah 2 menjadi 1 dengan cara membagi unsur

kolom pertama dengan konstanta tidak nol

4. Tambahkan kelipatan kolom pertama dengan kolom–kolom disebelah kanannya

sehingga semua elemen disebelah kanan kepala kolom pertama pada baris

paling atas adalah nol.

5. Ulangi langkah satu sampai langkah 4 pada kolom berikutnya sehingga

membentuk matriks eselon kolom.

Contoh

Diberikan matriks A =

420

321

123

Maka operasi kolom elementer dengan langkah-langkah sebagai berikut,

OKE 1 : tukarkan kolom ke 1 dengan kolom ke 3

OKE 2 : kolom pertama baris pertama dibuat 1 yaitu mengalikan k1 dengan (-1)

024

123

321

420

321

123

A3k1k

Aljabar Linear 14

024

123

321

024

123

321

1k

OKE 3 :

1264

843

001

024

123

321

1k33k1k22k

OKE 4 :

122/34

813

001

1264

843

001

2k4/1

OKE 5

02/34

013

001

122/34

813

001

2k83k

Terlihat bahwa pada operasi kolom elementer terbentuk matriks eselon kolom yaitu

matriks segitiga bawah.

1.5. Penerapan MATLAB pada penyelesaian Operasi matriks dengan

Pada penggunaan aplikasi teknik sering digunakan software MATLAB untuk

operasi matriks. Berikut penejelasan implementasi operasi matriks dengan

menggunakan program MATLAB

Pada operasi matriks menggunakan software MATLAB akan dijumpai tanda %, + , *.

Keterangan:

‘ % ‘ hanya merupakan keterangan dan tidak diproses matlab

‘+’ merupakan operasi penjumlahan

‘*’ merupakan operasi perkalian

Diberikan matriks

572

2036

121

A dan

6312

4105

632

B

Dengan menggunakan MATLAB , tentukan matriks

C = A + B;

P = A – B dan 2 x A

Aljabar Linear 15

Programnya

% Menuliskan matriks yang diketahui

A = [ 1 2 1; 6 -3 20 ; -2 7 5];

B = [ -2 3 6; 5 10 -4; 12 3 6];

% Penjumlahan dan pengurangan dua matriks

C =A+B; P =A – B ;

% Perkalian matriks dengan konstanta

N =2*A;

% Melihat hasil matriks

A,B,C,P,N

Disimpan latih.1

Melihat hasil > latih.1

Hasil runningnya :

A = 1 2 1

6 -3 20

-2 7 5

B = -2 3 6

5 10 -4

12 3 6

C = -1 5 7

11 7 16

10 10 11

P = 3 -1 -5

1 -13 24

-14 4 -1

N = 2 4 2

12 -6 40

-4 14 10

Contoh

Diberikan matriks

013

410

321

A dan

54

32

01

B

Tentukan matriks A x B dengan menggunakan MATLAB

Program MATLAB nya sebagai berikut

% Menulis matriks

A = [ 1 2 3; 0 -1 4 ; 3 1 0];

B = [ 1 0; -2 3; 4 5];

Aljabar Linear 16

% Perkalian matriks

D = A*B;

% Melihat hasil

A, B, D

Hasil running program sebagai berikut

A =

1 2 3

0 -1 4

3 1 0

B =

1 0

-2 3

4 5

D =

9 21

18 17

1 3

1.6. Soal-soal Latihan

1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 6 x 3, 4x5

2. Matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks :

a. Matriks bujur sangkar

b. Matriks diagonal

c. Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah

d. Matriks tridiagonal.

3. Berilah dua buah contoh matriks simetris dan asimetris

4. Jika diketahui

A =

416

092

200

331

; B =

1221

2008

6232

Hitunglah: A + BT; B

T – A; AB; BA.

Apakah berlaku sifat AB = BA

5. Selesaikan soal no. 4 dengan menggunakan Program MATLAB

6. Dengan menggunakan Operasi baris elementer buatlah matriks tereduksi dari

matriks berikut

Aljabar Linear 17

1221

4013

6212

B

7. Diberikan matriks C =

315

032

201

312

Dengan operasi kolom elementer, bentuk matriks C ke bentuk eselon kolom dan

matriks terudksi.

8. Diberikan graf sbb :

a. Tentukan matriks sekawan A dari graf tersebut.

b. Tentukan matriks A2

0421

1362

3131

A

V2 V3

V5

V1 V4