APPROXIMATE INTEGRATIONMakalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kelompok

Mata Kuliah Analisis Real

KELOMPOK 4 :PRATIWI NUSI (P3500211008)

SAMSU ALAM (P3500211010)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA TERAPANPASCASARJANA UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR2011

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Integral Riemann merupakan salah satu materi dalam mata kuliah Analisis

Real. Pada buku Introduction to Real Analysis (Bartle dan Sherbert, Third Edition)

materi Integral Riemann diuraikan pada Bab 7 yang terbagi dalam 4 bagian

pembahasan. Pada bagian 7.1, pembahasan Integral Riemann mengenai pendefinisian

fungsi pada satu interval tutup di R menggunakan jumlah Riemann. Bagian 7.2,

dibahas mengenai pengintegralan Riemann dari beberapa pengklasifikasian penting

dari fungsi: fungsi tangga, fungsi kontinu dan fungsi monoton, meskipun ditemukan

terdapat fungsi yang tidak dapat diselesaikan dengan Integral Riemann. Kemudian

pada bagian 7.3 dibahas mengenai teorema fundamental Kalkulus. Dalam

penggunaan integral Riemann, teorema fundamental ini menghasilkan metode efektif

dari perhitungan integral ∫a

b

f yang diberikan, sehingga diperoleh suatu antiderivative

F sedemikian sehingga F ' ( x )= f ( x ) , untuk semua x∈[a , b]. Ketika kita tidak dapat

menemukan antiderivative-nya, maka kita tidak mungkin dapat menggunakan

teorema fundamental. Meskipun demikian ketika f kontinu, terdapat beberapa teknik

pendekatan Integral Riemann ∫a

b

f dengan menggunakan jumlah yang serupa dengan

jumlah Riemann.

Pada makalah ini, secara khusus dibahas mengenai beberapa pendekatan

Pengintegralan (Approximate Integration) meliputi: konsep Aproksimasi, partisi yang

sama, aturan Trapezoid, aturan Midpoint (titik tengah), dan aturan Simpson. Pada

masing-masing pendekatan, diberikan sebuah contoh dan penyelesaiannya sebagai

penerapan.

B. Tujuan

3

Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas, makalah ini disusun dengan

tujuan umum untuk memenuhi tugas kelompok mata kuliah Analisis Real program

studi Matematika Terapan Universitas Hasanuddin Angkatan 2011 dengan

menyajikan pembahasan bagian 7.4 Integral Riemann yaitu mengenai pendekatan

dalam pengintegralan Riemann ∫a

b

f .

Selain itu, tujuan khusus dalam penyusunan makalah ini antara lain:

1) Memahami konsep pendekatan (aproksimasi) dalam pengintegalan.

2) Memahami pendekatan pengintegralan berdasarkan partisi yang sama.

3) Memahami beberapa teknik pendekatan pengintegralan menggunakan aturan

Trapezoid, aturan Midpoint dan aturan Simpson.

4

BAB II

APPROXIMATE INTEGRATION

A. Konsep Pendekatan (Aproksimasi) dalam Pengintegralan

Pendekatan (Aproksimasi) adalah penaksiran nilai yang mendekati nilai

sebenarnya. Aproksimasi dalam pengintegralan adalah penaksiran dalam menentukan

nilai integral yang tidak dapat ditemukan antiderivative-nya.

Prosedur dasar dalam memperoleh taksiran secara cepat dari fungsi

berdasarkan teorema 7.1.4(c) pada bagian 7.1 buku Introduction to Real Analysis

(Bartle dan Sherbert, Third edition) dapat dituliskan bahwa jika

g ( x )≤ f ( x )≤ h ( x ) , untuk semua x∈[a , b]], maka ∫a

b

g ≤∫a

b

f ≤∫a

b

h. Jika integral dari g

dan h dapat dihitung, maka dapat diperoleh batas dari ∫a

b

f yang cukup akurat untuk

kebutuhan penaksiran.

Contoh:

Anggap kita ingin menaksir nilai dari ∫0

1

e−x2

dx .

Dapat ditunjukkan bahwa e− x ≤ e−x2

≤ 1 untuk x∈[0,1],

karena 1>x>x2>0 dapat dibentuk menjadi e−1 ≤e− x ≤ e−x2

≤e0 diperoleh

e− x ≤ e−x2

≤ 1 untuk x∈[0,1]

sehingga ∫0

1

e−x dx≤∫0

1

e−x2

dx ≤∫0

1

1dx Akibatnya, kita peroleh 1−1e

≤∫0

1

e−x2

dx≤ 1. Jika

kita gunakan rata-rata dari nilai dalam batas, kita peroleh taksiran 1−1

2 e≈ 0,816

untuk integral dengan kesalahan kurang dari 1

2 e<0,184. Taksiran ini adalah kasar,

tapi ini diperoleh dengan cepat dan mungkin sesuai dengan yang kita butuhkan. Jika

diinginkan suatu perkiraan yang lebih, dapat kita coba untuk menemukan lebih dekat

lagi, mendekati fungsi g dan h.

5

Teorema Taylor 6.4.1 dapat digunakan untuk mendekati nilai e− x2

dengan suatu

polynomial. Dalam menggunakan teorema Taylor, kita harus memperoleh batas pada

suku sisa untuk keberartian hitungan kita.

Contoh:

Jika kita mengaplikasikan teorema Taylor pada e− yuntuk 0≤ y≤ 1, kita peroleh:

e− y=1− y+ 12

y2−16

y3+R3 ,

dimana R3=y4 e−c

24dimana c adalah semua bilangan 0≤ c≤ 1 karena kita tidak

memiliki informasi yang lebih baik seperti pada lokasi c, kita harus mengisi dengan

taksiran 0≤ R3≤ y4

24. Kemudian kita punyai, e− x2

=1−x2+ 12

x4−16

x6+R3 , dimana

0≤ R3≤ x8

24, untuk x [0,1]∈ . Oleh karena itu, kita peroleh

∫0

1

e−x2

dx=¿∫0

1

(1−x2+ 12

x4−16

x6)dx+∫0

1

R3dx ¿

¿1−13+ 1

10− 1

42+∫

0

1

R3 dx

¿ 23+ 32

420+∫

0

1

R3 dx=312420

+∫0

1

R3 dx

¿ 2635

+∫0

1

R3dx

Karena kita punya 0 ≤∫0

1

R3 dx ≤ 19.24

= 1214

<0,005. Ini mengikuti bahwa

∫0

1

e−x2

dx ≈ 2635

(≈ 0,7429)

Dengan kesalahan kurang dari 0,005.

B. Pendekatan Pengintegralan berdasarkan partisi yang sama

Jika f : [a , b ]→ R adalah fungsi kontinu, kita mengetahui bahwa integral

Riemann-nya ada. Untuk menemukan nilai pendekatan untuk integral ini dengan

6

jumlah minimum dari perhitungan, ini tepat untuk mempertimbangkan partisi Pn dari

[ a , b ] ke dalam sub interval sama yang mempunyai panjang hn≔(b−a)

n. Karenanya

Pn adalah partisi

a<a+hn<a+2 hn<...<a+n hn=b .

Kalau kita mengambil titik tanda pada ujung kiri dan kanan dari subinterval, kita

peroleh perkiraan kiri ke-n :

Ln ( f )≔hn∑k=0

n−1

f ¿¿

dan perkiraan kanan ke-n :

Rn ( f )≔hn∑k=1

n

f ¿¿

Harus dicatat bahwa ini mudah untuk mengevaluasi kedua perkiraan sebagai salah

satu saja, karena yang membedakan hanya dengan kondisi f (a) dan f (b). Kecuali

jika kita yang punya alasan untuk meyakini bahwa salah satu dariLn (f ) atau Rn( f )

adalah nilai integral yang semakin dekat dengan sebenarnya dari yang lainnya, kita

ambil secara umum artinya:

12(Ln (f )+Rn ( f ))

Sehingga diperoleh:

12(Ln ( f )+Rn ( f ))=1

2¿

¿ 12

hn(∑k=0

n−1

f (a+k hn )+∑k=1

n

f (a+khn ))¿ 1

2hn(F (a )+∑

k=1

n−1

f ( a+k hn )+∑k=1

n−1

f ( a+k hn )+ f (a+nhn))Sehingga diperoleh T n ( f )≔ 1

2hn(F (a )+2∑

k=1

n−1

f (a+k hn )+ f (b))(1) T n ( f )≔hn ¿

7

sebagai suatu perkiraan yang layak pada ∫a

b

f .

Bagaimanapun, dicatat bahwa jika f naik pada [a ,b], maka itu telah jelas sebuah sket

dari graf f bahwa

(2) Ln (f ) ≤∫a

b

f ≤ Rn ( f ) .

Dalam hal ini, kita siap melihat bahwa |∫a

b

f −T n ( f )|≤ Rn (f )−T n ( f )

=Rn ( f )−12 ( Rn ( f )+Ln ( f ) )=1

2 ( Rn ( f )−Ln (f ))=12

hn ( f ( b )−f (a ) )

¿ ( f (b )−f (a ) ) . (b−a )2n

Suatu taksiran kesalahan seperti ini berguna, karena ini memberikan suatu batas atas

untuk kesalahan perkiraan dalam kaitan dengan kuantitas yang diketahui pada bagian

awal. Khususnya, ini dapat dipergunakan untuk menentukan seberapa besar kita harus

memilih n agar mempunyai satu perkiraan yang akan benar pada suatu kesalahan

yang ditetapkan ε>0.

Bahasan di atas adalah valid untuk kasus bahwa f naik pada [a ,b]. Jika f turun, maka

ketidaksamaan (2) harus dibalik Ln ( f ) ≥∫a

b

f ≥ Rn ( f ) .. Kita dapat meringkas kedua

kasus pada pernyataan berikut.

7.4.1. Teorema

Jika f : [a , b ]→ R monoton dan jika T n ( f )diberikan oleh (1), maka

(3) |∫ab

f −T n ( f )|≤|f (b )−f (a)|. (b−a)2n

.

Pembuktian:

Karena f monoton, maka f itu monoton naik atau monoton turun pada [ a , b ]

Tinjau f turun, maka

8

Ln ( f ) ≥∫a

b

f ≥ Rn ( f )

Sehingga diperoleh |∫ab

f −T n ( f )|≤ Ln ( f )−T n (f )

=Ln (f )−12 ( Ln ( f )+Rn (f ))=1

2 (Ln (f )−Rn ( f ) )=12

hn (f (a )−f ( b ) )

¿ ( f (a )− f (b ) ) . (b−a )2n

=|f (a )−f ( b )|. (b−a )2 n

f ( a )−f (b )>0

¿|−(f (b )−f (a ))|. (b−a )2n

=|f (b )− f (a )|. (b−a )2n

terbukti

7.4. 2 Contoh

Jika f ( x )≔e−x2

pada [0,1], maka f turun. Mengacu pada (3) bahwa jika n=8, maka

|∫01

e− x2

dx−T 8( f )|≤ (1−e−1)16

<0,04 , dan jika n=16 , maka

|∫01

e− x2

dx−T 16( f )|≤ (1−e−1)32

<0,02. Selanjutnya dapat dilihat contoh 7.4.5.

C. Metode Pendekatan Pengintegralan

1. Aturan Trapeoid

Metode integral numerik dalam aturan trapezoid didasarkan pada pendekatan fungsi

kontinu f : [a .b]→ R fungsi linear kontinu. Misal n ϵ N dan sebagaimana sebelumnya,

misal hn=(b−a)/n dan pertimbangan partisi Pn. Kita mendekati f dengan fungsi

linear gn yang melalui titik (a+khn , f(a+khn)), dimana k=0,1,…,n. Dapat dilihat

bahwa integral ∫a

b

f kira-kira akan sama dengan integral ∫a

b

gn dimana n adalah

nilainya cukup besar.

9

Karena daerah trapezoid dengan dasar horisontal h dan sisi vertikal l1 dan l2 diketahui

12

h(l1+l2) kita peroleh

Untuk k=0,1,…,n-1. Dimana batas tiap bagian titik di Pn kecuali a dan b dibawah

untuk dua sub interval yang berdekatan. Kita peroleh,

Dari teorema 7.4.1, diperoleh taksiran kesalahan pada kasus dalam kondisi dimana f

monoton; sekarang tanpa pembatasan ini pada f, tapi dalam turunan kedua f’’ dari f’.

Teorema 7.4.3

Misal f, f’, f’’ kontinu pada selang [a,b] dan anggap bahwa Tn(f) adalah pendekatan

trapezoid ke-n. Maka terdapat c ϵ [a ,b] sedemikian sehingga;

(4)

Kesamaan (4) menghasilkan batas atas dan batas bawah untuk selisih T n ( f )−∫a

b

f .

Contoh:

Jika f ' ' (x )≥ A>0 untuk setiap x ϵ [ a , b ], maka persamaan (4) menyiratkan bahwa

perbedaan ini selalu melebihi 1

12A (b−a)hn

2. Jika kita hanya mempunyai f’’(x) ≥ 0

untuk setiapx ϵ [ a , b ], dimana f cekung keatas, maka dengan menggunakan pendekatan

trapezoid maka nilainya akan selalu lebih besar.

7.4.4 Corolarry

Misal f, f’, f’’ adalah fungsi kontinu, maka |f ' '(x )|=B2 untuk setiap x ϵ [ a , b ] sehingga

(5)

10

Ketika batas atas B2 dapat ditentukan, persamaan (5) dapat digunakan untuk

menentukan berapa besar nilai n yang harus dipilih agar hasilnya lebih akurat.

7.4.5 Contoh

Jika f ( x )=e−x2

dalam selang interval [0,1], maka dapat dicari f ' ' ( x )=2 e−x2

( 2x2−1 ),

jadi kita dapat menentukan bahwa B2=2 . begitupun jika n=8, maka

Dilain hal jika n=16, maka kita mempunyai

Jadi, keakuratan nilai yang diperoleh menggunakan pendekatan trapezoid lebih baik

dari pada contoh 7.4.2.

2. Aturan Midpoint

Suatu metode yang secara jelas dalam mendekati integral dari f adalah untuk

mengambil jumlah Riemann yang dievaluasi pada midpoints dari subintervals.

Dengan demikian, jika Pn adalah partisi berjarak sama yang diberikan sebelumnya,

perkiraan Midpoint dari f :

M n (f )≔hn( f (a+12 hn)+ f (a+

32 hn)+…+ f (a−1

2 hn))(6) =hn∑

k=1

n

f ¿¿

Metode lain mungkin dapat menggunakan fungsi linier piecewise (sepotong-

sepotong) yang merupakan garis singgung dari graf fungsi f pada midpoints dari

subintervals ini. Pada mulanya, ini tampak seperti kalau kita akan mengetahui

kemiringan dari baris garis singgung ke graf dari f di masing-masing midpoints

a+(k−12

hn) ( k=1,2 , …, n). Bagaimanapun, ini adalah latihan di geometri untuk

memperlihatkan bahwa area dari trapezium yang teratas adalah baris garis singgung

pada midpoint a+¿adalah sama ke area persegi panjang dengan ketinggian f ¿

(Lihat Figur 7.4.1.)

11

Dengan demikian, area ini diberikan oleh (6), dan "Aturan Trapesium Garis

Singgung" sama halnya dengan "Aturan Midpoint". Kita sekarang menyatakan suatu

teorema yang menunjukkan bahwa aturan Midpoint memberikan hasil yang lebih baij

tingkat keakuratannya dibanding dengan aturan Trapezoid dengan satu faktor dari 2.

Berikut Gambar 7.4.1. Trapesium Garis Singgung (The Tangent Trapezoid).

7.4.6. Teorema

Misalkan f , f ' , f ' ' kontinu pada [a ,b] dan misalkan M n( f ) menjadi perkiraan

Midpoint ke-n (6), maka terdapat γ∈ [ a , b ]sedemikian sehingga

(7) ∫a

b

f −M n (f )=(b−a ) hn

2

24. f n ( γ ) .Pembuktian hasil ini terdapat

pada Appendix D buku Introduction to Real Analysis (Bartle dan Shertbert, Third

Edition).

Seperti halnya pada teorema 7.4.3, formula (7) dapat digunakan untuk memberikan

batas atas dan batas bawah untuk selisih ∫a

b

f −M n ( f ) ,walaupun ini adalah sebuah

batas atas yang biasanya dengan menarik lebih besar. Perbedaannya dengan aturan

Trapezoid, jika fungsinya convex, maka perkiraan Midpoint selalu sangat kecil.

Hasil berikutnya sesuai dengan Corollary 7.4.4.

7.4.7. Corollary

f ¿

a+ (k−1 ) k a+(k−12 )h

a+kh

12

Misalkan f , f ' , f ' ' kontinu, dan misalkan |f ' '(x )|≤ B2untuk semua x∈ [a ,b ], maka

|M n ( f )−∫a

b

f|≤ (b−a)hn2

24. B2=

(b−a)3

24n2 . B2

3. Aturan Simpson

Pendekatan yang terakhir adalah menggunakan aturan simpson yang lebih baik dari

pada menggunakan aturan trapezoid dan aturan Midpoint dan tidak memerlukan

perhitungan yang lebih banyak. Mengenai masalah kecekungan maupun

kecembungan tidak memberikan banyak informasi kesalahan untuk metode ini.

Sedangkan aturan trapezoid dan aturan Midpoint didasarkan pada perkiraan dari f

oleh fungsi linear piecewise (sepotong-sepotong). Pendekatan dengan aturan simpson

pada fungsi f dengan bentuk parabolik. Aturan ini memerlukan tiga titik untuk

membantu perhitungan seperti:

(-h, y0), (0,y1), dan (h,y2)

Ketiga titik diatas melalui persamaan fungsi kuadrat q(x) = Ax2 + Bx + C mempunyai

sifat bahwa

Sekarang dimisalkan bahwa f adalah fungsi kontinu di selang [a,b] dan n ϵ N harus

genap, dan misalkan hn=(b-a)/n. Pada masing-masing subinterval ganda

[a,a+2hn], [a+2hn, a+4hn], [b-2hn,b],

Kita dekati f dengan n/2 fungsi kuadrat diperoleh;

Aturan simpson didefinisikan sebagai berikut;

Koefisien nilai f pada n+1 partisi titik mengikuti pola berikut;

1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 2, 4, 1.

13

7.4.8 Teorema

Misal f, f’, f’’, f(3),dan f(4) kontinu pada selang [a,b] dan n ϵ N genap. Jika Sn(f) adalah

pendekatan simpson ke n, maka terdapat c ϵ [a , b] sedemikian sehingga

7.4.9 CorollaryMisal f, f’, f’’, f(3),dan f(4) kontinu pada selang [a,b] dan |f (4 )(x )|≤ B4 untuk semua

x ϵ [a ,b ]. Maka

Keberhasilan penggunaan persamaan ini tergantung pada bagaimana menemukan

batas atas untuk turunan ke-empat.

7.4.10 Contoh

Jika f ( x )=4e− x2

dalam selang interval [0,1], maka dapat diperoleh

Dimana mengikuti |f (4 )(x )|≤ 20 untuk x ϵ [0,1], jadi kita dapat menentukan B4=20.

Dari persamaan ini bahwa jika n=8 maka

Dan jika n=16 maka

Catatan

Pendekatan Midpoint ke-n Mn(f) dapat di kembangkan menjadi pendekatan trapezoid

ke-2n dan simpson dengan menggunakan rumus

14

Contoh Soal:

Penerapan metode pendekatan Pengintegralan

Selesaikan dengan pendekatan Trapezoid, Midpoint dan Simpson untuk

Penyelesaian:Dengan pendekatan Trapezoid,

Dengan pendekatan Midpoint,

Dengan pendekatan Simpson,

Contoh berikut ini merupakan penerapan pada

Diketahui nilai dari diperoleh dengan cara langsung adalah 0,6667

Melalui substitusi bentuk pengintegralan ∫−1

0

f (u)du dengan u=x3+1 dan du=3 x2dx

sehingga dapat ditulis:

∫2

3 1ln x

dx , n=10

∫2

3 1ln x

dx≈T 10=12⋅10 [ f (2)+2 f (2 .1 )+2 f (2 .2 )+2 f (2 .3 )+.. .+2 f (2 . 9)+ f (3) ]

≈1 . 119061

∫2

3 1ln x

dx≈M 10=110 [ f (2. 05 )+ f (2 .15 )+f (2.25)+ f (2 .35 )+.. .+f (2. 85 )+ f 2. 95 )]

≈1 . 118107

∫2

3 1ln x

dx≈S10=13⋅10 [ f (2 )+4 f (2 .1 )+2 f (2. 2)+4 f (2. 3 )+. . .+2 f (2 .8 )+4 f (2 . 9)+ f (3) ]

≈1 . 118428

∫−1

0 (√ x3+1 )3 x2 dx

∫−1

0 (√ x3+1 )3 x2dx

∫−1

0 (√ x3+1) 3 x2 dx=∫−1

0√u du=∫−1

0u

12 du=[ 2

3( 03+1 )

32 ]−[ 2

3((−1 )3+1 )

32 ]=2

3=0 ,6667

∫−1

0 (√ x3+1 )3 x2dx

15

Selanjutnya, diselesaikan dengan pendekatan Trapezoid,

Midpoint dan Simpson dengan pengambilan jumlah partisi n=8

Penyelesaian:

Dengan pendekatan Trapezoid,∫−1

0 (√ x3+1) 3 x2 dx≈T 8=1

2⋅8 [ f (−1 )+2 f (−1+ 18)+2 f (−1+ 2

8)+2 f (−1+ 3

8)+2 f (−1+ 4

8)+2 f (−1+ 5

8)+2 f (−1+ 6

8)+2 f (−1+ 7

8)+ f (0 )]

T 8=1

16 [ f (−1 )+2 f (−0 ,875 )+2 f (−0 , 75)+2 f (−0 ,625 )+2 f (−0,5 )+2 f (−0 ,375)+2 f (−0 ,25 )+2 f (−1,25 )+ f (0 )]

=116

[0+2 ,639+2 ,566+2 , 038+1 , 403+0 , 821+0 , 372+0 ,094+0 ]

=116

(9 , 933 )

=0 ,6208

Dengan pendekatan Midpoint,∫−1

0 (√ x3+1)3 x2 dx≈T 8=18 [ f (−1+ 1

16)+ f (−1+ 3

16)+ f (−1+ 5

16)+f (−1+ 7

16)+ f (−1+ 9

16)+ f (−1+ 11

16)+ f (−1+ 13

16)+ f (−1+ 15

16)]

M 8=18 [ f (−0 ,9375 )+f (−0 ,8125 )+f (−0 , 6875 )+ f (−0 , 5625)+ f (−0 , 4375 )+ f (−0 , 3125)+ f (−0 , 1875)+ f (−0 ,0625 )]

=18

[1 , 106+1 ,348+1,165+0 ,861+0 ,550+0 ,288+0 , 105+0 , 012 ]

=18

(5 ,435 )

=0 ,6794

Dengan pendekatan Simpson,∫−1

0 (√ x3+1 )3 x2dx≈T 8=1

3⋅8 [ f (−1 )+4 f (−1+ 18)+2 f (−1+ 2

8)+4 f (−1+ 3

8)+2 f (−1+ 4

8)+4 f (0− 3

8)+2 f (0−2

8)+4 f (0− 1

8)+f (0)]

S8=1

24 [ f (−1)+4 f (−0 ,875 )+2 f (−0 ,75)+4 f (−0 ,625 )+2 f (−0,5 )+4 f (−0 ,375 )+2 f (−0 ,25)+4 f (−0 ,125 )+f ( 0)]

=124

[0+5 , 278+2 ,566+4 , 075+1 , 403+1 ,642+0 ,372+0 ,187+0 ]

=124

(15 ,525)

=0 ,6469

16

Dari ketiga pendekatan yang digunakan, dapat dilihat selisih hasil pengintegralan

yang dilakukan dengan nilai integral sebenarnya, sebagai berikut:

a. Dengan pendekatan Trapezoid

|T n( f )−∫a

b

f|=|T 8()−∫−1

0

❑|=|0,6208−0,6667|=0,0459

b. Dengan pendekatan Midpoint

|M n( f )−∫a

b

f|=|M 8()−∫−1

0

❑|=|0,6794−0,6667|=0,0127

c. Dengan pendekatan Simpson

|Sn( f )−∫a

b

f|=|S8()−∫−1

0

❑|=|0,6469−0,6667|=0,0198

BAB III

PENUTUP

B. Kesimpulan

Berdasarkan uraian pada Bab II, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Prosedur dasar dalam pendekatan pengintegralan dapat diperoleh dengan

menggunakan fungsi lain yang dapat dicari nilai integralnya dan mengapit fungsi

yang akan dihitung nilai integralnya, dituliskan bahwa jika

g ( x )≤ f ( x )≤ h ( x ) , untuk semua x∈[a ,b]], maka ∫a

b

g≤∫a

b

f ≤∫a

b

h. Kemudian dapat

juga dilakukan dengan menerapkan teorema Taylor.

17

2. Pendekatan pengintegralan berdasarkan partisi yang sama dilakukan dengan

menyatakan partisi pada [a , b] dari f menjadi n subinterval yang sama panjang.

Kemudian dengan mengambil titik ujung kiri dan kanan subinterval diperoleh

perkiraan kiri dan kanan yang rata-ratanya dapat dinyatakan sebagai:

T n ( f )≔hn ¿

sehingga menurut Teorema 7.4.1 Jika f : [a ,b ] → R monoton dan jika T n ( f )

diberikan, maka |∫ab

f −T n ( f )|≤|f (b )−f (a)|. (b−a)2 n

.

3. Metode pendekatan pengintegralan lain yang dapat digunakan antara lain:

a. Aturan Trapezoid

b. Aturan Midpoint

c. Aturan Simpson

C. Saran

Berdasarkan simpulan di atas, maka penulis merekomendasikan agar

perhitungan ∫a

b

f dengan pendekatan (aproksimasi) dapat digunakan beberapa cara

disesuaikan dengan keterangan fungsi f itu sendiri. Pendekatan dengan menggunakan

aturan simpson dirasakan lebih baik dari pada menggunakan aturan trapezoid karena

tidak memerlukan perhitungan yang lebih banyak serta tingkat ketelitiannya lebih

mendekati nilai integral yang sebenarnya. Pendekatan dengan menggunakan aturan

Midpoint juga lebih relatif mudah dilakukan dan tingkat ketelitiannya melebihi nilai

integral sebenarnya dengan selisih yang sangat kecil.

∫a

bf ( x )dx≈T n=

12

hn [ f ( x0 )+2 f ( x1)+2 f ( x2 )+. ..+2 f (xn−1)+ f ( xn )]

∫a

bf ( x )dx≈M n=

b−an [ f ( x1)+ f ( x2)+. . .+ f ( xn )] , x i=a+(k−1

2 )hn

∫a

bf ( x )dx≈Sn=

b−a3 n [ f ( x0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x2 )+. . .+2 f ( xn−2)+4 f ( xn−1 )+ f ( xn) ]

18

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, Robert G. dan Sherbert, Donal R. 1999. Introduction To Real Analysis (Third Edition). USA: John Wiley & Sons, Inc.

http://google.com/approximation-integration. diakses pada tanggal 17 Oktober 2011.