1

Bab I

A. LATAR BELAKANG

Bilangan adalah bagian dari matematika yang membahas tentang banyaknya obyek dalam sebuah kumpulan atau urutan suatu obyak dalam sebuah kumpulan. Sebagai banyaknya obyek maka setiap dua bilangan dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, atau dibagi. Sementara sebagai urutan setiap dua bilangan tidak dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, atau dibagi. Sebagai contoh misalnya ”apakah anak kedua ditambah anak ketiga hasilnya sama dengan anak ke lima?”. Tentunya tidak. Sehingga setiap dua bilangan dapat dioperasikan dengan operasi (+, –, , dan :) jika kedua bilangan berasal dari bilangan cacah, bilangan bulat, atau bilangan rasional.

Kesulitan yang ditemui pada pelajaran bilangan antara lain seperti sekilas info seperti di atas. Kesulitan lainnya dapat disebabkan oleh kesulitan teman-teman guru dalam menjembatani perubahan dari bentuk kongkrit (obyek sesungguhnya) ke bentuk gambar (semi kongkrit), dan terakhir dari bentuk gambar ke bentuk bahasa matematika yang hanya berupa simbol-simbol atau lambang-lambang. Lambang-lambang yang dimaksud adalah lambang-lambang yang berupa huruf-huruf, angka-angka, lambang-lambang operasi (+, –, , dan :), dan lambang-lambang relasi (>, <, dan =).

Bruner (1915 – ) seorang psikolog pembelajaran matematika berkebangsaan Amerika dalam bukunya ”Toward a Theory of Learning” menyatakan bahwa secara umum pembelajaran (matematika) akan bermakna dan mencapai tujuannya (kompetensi yang diharapkan) jika dimulai dari tahapan (1) enactive (kongkrit/menggunakan obyek sesungguhnya), (2) econic (semi kongkrit/obyek sesungguhnya diganti dengan gambar-gambar, dan (3) symbolic (abstrak/obyek sesungguhnya diganti dengan angka-angka). Jika pembelajaran matematika pada setiap topik baru berlangsung seperti itu, Bruner menjamin bahwa seorang anak akan mampu mnegembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa yang pernah ia peroleh dari gurunya.

B. TUJUAN

Berdasarkan pertimbangan seperti di atas, melalui makalah ini secara sekilas info akan ditunjukkan upaya seperti apa yang dapat dilakukan oleh seorang pendidik untuk mengubah bahasa sehari-hari menjadi bahasa gambar, dan dari bahasa gambar menjadi bahasa matematika, dan sekaligus menentukan penyelesaiannya. Selanjutnya berdasarkan beberapa contoh yang ditunjukkan diharapkan teman-teman guru dapat mengembangkan soal-soal lainnya yang lebih banyak dan lebih bervariasi sehingga peserta didik dapat lebih nyaman dalam menerima pela-jaran matematika hingga tujuan mencapai kompetensi yang diharapkan dapat tercapai sesuai target kurikulum.

C. RUANG LINGKUP

Ruang lingkup materi yang dibahas pada makalah ini adalah sekilas info tentang contoh-contoh kerangka berpikir pemecahan masalah pada bilangan bulat dan operasinya. Contoh-contoh yang dimaksud meliputi:

1. Operasi hitung tunggal (+, – , , :)

2. Operasi hitung campuran.

2

Bab IIBEBERAPA CONTOH MASALAH OPERASI HITUNG TUNGGAL

A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Bilangan, khususnya bilangan asli memiliki makna sebagai bilangan urutan. Sebagai urutan tentu tidak ada istilah anak ke nol. Adanya tentu anak kesatu, kedua, ketiga, ... dan seterusnya. Oleh karena itu maka himpunan bilangan asli mulainya dari angka 1, sehingga dalam bentuk himpunan bilangan asli yang dimaksud adalah A = {1, 2, 3, 4, . . . }. Selanjutnya bilangan cacah memiliki makna sebagai bilangan yang bersesuaian dengan banyaknya obyek/benda dalam sebuah kumpulan. Mengapa?, sebab ”cacah” yang dimaksud adalah ”cacahnya berapa”. Sehingga jika kumpulan itu tidak ada obyeknya maka berarti cacahnya tidak ada atau banyaknya obyek sama dengan nol, dandilambangkan dengan angka ”0”. Jika kumpulan itu ada obyeknya maka berarti ”cacahnya ada”, sehingga banyak obyek/cacahnya tidak sama dengan nol ( 0). Artinya kemungkinan bilangannya bisa 1, 2, 3, 4, ... dan seterusnya. Oleh sebab itu maka dalam bentuk himpunan bilangan cacah adalah C = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

Operasi biner (operasi yang menghubungkan dua buah bilangan sehingga dihasilkan sebuah bilangan tunggal) pada bilangan cacah adalah (+, – , , :). Yakni penjumlahan,pengurangan, perkalian, dan pembagian. Makna ”penjumlahan” adalah penggabungan dua kumpulan benda menjadi sebuah kumpulan benda. Sementara ”pengurangan” adalah pengambilan sebagian anggota dari sebuah kumpulan benda. Berikut beberapa contoh gambaran peragaannya.

Perhatikan bahwa contoh 1 adalah contoh paragaan soal cerita penjumlahan dalam bentuk gambar dan contoh 2 adalah contoh paragaan soal cerita pengurangan dalam bentuk gambar.

1 edo memetik apel

memetik lagi

berapa

apel edo sekarang?apel

+ = …… …

2

dijual

budi punya kambing kambing budi sekarang

berapa

=–… … …

3

Dari contoh 1 siswa akan memahami dengan jelas bahwa kalimat matematika yang bersesuaian dengan soal cerita ”edo memetik apel 6, memetik lagi apel 3, berapa apel edo sekarang” adalah

6 + 3 = ... dan penyelesaiannya adalah 6 + 3 = 9.

Selanjutnya dari contoh 2 siswa akan memahami dengan jelas bahwa kalimat matematika yang bersesuaian dengan ”budi punya kambing 5, dijual 2, berapa kambing budi sekarang” adalah

5 – 2 = ... dan penyelesaiannya adalah 5 – 2 = 3.

Catatan

Jika soal cerita penjumlahan seperti yang digambarkan pada contoh 1 itu dibuat sebanyak 10 nomor soal dengan berbagai variasi obyek tidak hanya apel yakni obyek lain yang berupa buah-buahan seperti misalnya jambu, jeruk, mangga, dan lain-lain atau obyek lain yang berupa binatang seperti kambing, ayam, kelinci, dan lain-lain yang ada dalam kehidupan anak sehari-hari maka secara intuisi (kata hati) siswa akan memperleh kesimpulan bahwa:

1. Digabung, diberi lagi, membeli lagi, meminta lagi, dan seterusnya merupakan kata-kata kunci untuk penjumlahan

2. Dampak/akibat dari penjumlahan adalah hasilnya menjadi makin banyak.

Hal yang sama akan berlaku untuk pengurangan. Yakni jika soal cerita pengurangan seperti yang digambarkan pada contoh 2 dibuat 10 nomor dengan berbagai variasi obyek dan variasi kata-kata kunci maka secara intuisi (kata hati) siswa akan memperleh kesimpulan bahwa:

1. Dijual, diminta, dipinjam, diambil, dan seterusnya merupakan kata-kata kunci untuk pengurangan

2. Dampak/akibat dari pengurangan adalah hasilnya menjadi makin sedikit.

B. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

Perkalian secara konsep matematika adalah penjumlahan berulang dari beberapa bilangan yang sama. Sehingga peragaannya dalam bentuk gambar berupa penggabungan beberapa kumpulan obyek sama banyak menjadi sebuah kumpulan baru.

Contoh

1 sepeda motorrodanya = ?

22 2 2+ +

6

3 sepeda motorrodanya = ?1

4

1 buku 3 buku

Jadi harga 3 buah buku = Rp6.000,00.

Ketiga contoh peragaan gambar di atas memperlihatkan bahwa yang dimaksud perkalian adalah penjumlahan berulang dari beberapa bilangan yang sama/senilai.

Contoh (1) menggambarkan makna 3 2 = 6

(2) menggambarkan makna 4 3 = 12, dan

(3) menggambarkan makna 3 2.000 = 6.000.

Dari ketiga contoh gambar peragaan di atas diharapkan peserta didik(siswa) akan lebih mudah memahami apa yang dimaksud dengan perkalian pada dua bilangan.

Untuk pembagian konsep awal (pemula) yang dapat diberikan ke siswa di awal menerima pelajaran pembagian adalah meminta mereka untuk praktek membagi 6 buah sedotan minuman sama banyak kepada 2 orang temannya. Siswa bebas melakukannya. Dari cara siswa mencoba, ternyata ada 4 cara yang dapat dilakukan untuk mempraktekkan

6 : 2 = ….

Cara (1) dengan memberikan 6 sedotan minuman itu satu demi satu secara bergantian pada kedua temannya hingga habis. Ternyata masing-masing teman mendapat sedotan sebanyak 3.Dari hasil praktek membagi ini guru kemudian memberikan penegasan bahwa hal itu berarti

6 : 2 = 3.

Cara (2) dengan langsung memberi sedotan sebanyak tiga-tiga kepada kedua temannya, cara (3) dengan memberi sedotan sebanyak dua-dua kepada kedua orang temannya kemudian 2 sedotan sisanya diberikan satu demi satu, dan (4) dengan mengambil dua-dua sampai habis, dan

2 1 becak rodanya = ?

33 + 3 + 3 + 3

12

4 becak rodanya = ?

3

2.0002.000 2.000 2.000

3 buku = 2.000 + 2.000 + 2.000= 3 2.000= 6.000.

5

setiap kali mengambil dua-dua dibagi rata kepada dua orang temannya.

Perhatikan bahwa keempat cara tersebut masing-masing akan memberikan hasil bahwa

6 : 2 = 3.

Dari keempat cara tersebut guru kemudian memberikan penegasan bahwa cara membagi yang benar menurut aturan matematika adalah cara yang ke-4, yakni ”dengan mengambil dua-dua sampai habis, dan setiap kali mengambil dua-dua dibagi rata kepada dua orang temannya”. Sehingga peragaan yang benar untuk 6 : 2 = … adalah seperti berikut.

Setelah siswa mengetahui aturan membagi yang benar menurut aturan matematika seperti yang diperagakan di atas. Guru kemudian memberikan beberapa soal pembagian (6 soal cukup) dan meminta beberapa siswanya untuk melakukan praktek membagi dan kemudian menemukan jawabannya. Misal

(1) 18 : 6 = ... (4) 12 : 4 = ...

(2) 14 : 7 = ... (5) 10 : 2 = ...

(3) 15 : 5 = ... (6) 6 : 1 = ...

Hasil-hasil pembagian selama peragaan ternyarta

(1) 18 : 6 = 3 (4) 12 : 4 = 3

(2) 14 : 7 = 2 (5) 10 : 2 = 5

(3) 15 : 5 = 3 (6) 6 : 1 = 6

Hasil akhir = 3.Maka 6 : 2 = 3.

6 – 2 (2 dibagi rata) belum habis

6 – 2 – 2 (2 berikutnya dibagi rata) belum habis

6 – 2 – 2 – 2 (2 yang terakhir dibagi rata)

ternyata habis.

orang I orang II orang I orang IIorang I orang II orang I orang II

6

Siswa kemudian diminta melihat pola hubungan antara bilangan depan dengan bilangan yang ada di tengah dengan bilangan yang ada di belakang.

(1) 18 : 6 = 3 (4) 12 : 4 = 3

(2) 14 : 7 = 2 (5) 10 : 2 = 5

(3) 15 : 5 = 3 (6) 6 : 1 = 6

Hubungan yang tampak ternyata seperti berikut.

(1) 18 : 6 = 3 , yakni 18 = 6 3 (4) 12 : 4 = 3 , yakni 12 = 4 3

(2) 14 : 7 = 2 , yakni 14 = 7 2 (5) 10 : 2 = 5 , yakni 10 = 2 5

(3) 15 : 5 = 3 , yakni 15 = 5 3 (6) 6 : 1 = 6 , yakni 6 = 1 6.

Dari pola yang dapat dilihat dan dicermati di atas, guru kemudian mengajak siswa untuk menyimpulkan bahwa:

Pada pembagian, bilangan

depan = tengah belakang

atau

bilangan yang dibagi = pembagi hasil bagi.

Catatan

Jika sebelumnya (saat pelajaran perkalian) siswa sudah ditrampilakan secara mencongak perkalian dasar dari 11, 21, 31, ... dan seterusnya, 12, 22, 32, ... dan seterusnya hingga 10 10. Maka hanya dalam beberapa menit dari bentuk soal latihan sebanyak 30 soal seperti:

1) 32 : 4 = … 11) … : 8 = 3 21) 35 : … = 7

2) 36 : 9 = … 12) … : 5 = 6 22) 30 : … = 5

3) 45 : 5 = … 13) … : 7 = 4 23) 27 : … = 9

4) 40 : 8 = … 14) … : 9 = 3 24) 24 : … = 6.

5) 24 : 3 = ... 15) ... : 4 = 5 25) 36 : ... = 4

? ?

7

6) 42 : 6 = ... 16) ... : 3 = 7 26) 21 : ... = 3

7) 81 : 9 = ... 17) ... : 6 = 9 27) 32 : ... = 8

8) 30 : 2 = ... 18) ... : 8 = 3 28) 42 : ... = 7

9) 56 : 7 = ... 19) ... : 7 = 8 29) 54 : ... = 9

10) 72 : 8 = ... 20) ... : 9 = 2 30) 40 : ... = 5

Mereka (para siswa) akan dapat menjawab ke 30 nomor soal di atas secara cepat dan tepat. Silahkan mencoba.

8

BAB IIIBILANGAN BULAT DAN OPERASINYA

A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT

Bilangan bulat yang dimaksud adalah bilangan yang bersesuaian dengan banyaknya muatan (muatan listrik) dalam sebuah kumpulan. Sebagai muatan listrik ada muatan positif dan ada muatan negatif. Jika sebuah muatan listrik positif bertemu dengan sebuah muatan negatif, maka keduanya akan saling menetralkan. Lawan dari sebuah muatan listrik positif adalah sebuah muatan listrik negatif demikian pula sebaliknya. Oleh sebab itu maka pada bilangan bulat bilangan 0 (nol) memiliki dua makna, yakni (1) jika dalam kumpulan itu muatannya tidak ada, atau (2) jika muatan positif dan muatan negatifnya sama banyak.

Untuk memudahkan pemahaman, konsep bilangan bulat untuk 2, 0, – 2 ditinjau dari banyak muatan positif dan negatif pada kumpulan yang memuatnya antara lain adalah seperti berikut.

Dari ketiga contoh peragaan bilangan bulat di atas, guru dapat menunjukkan tiga tipe soal berikut strategi pemecahannya.

Tipe 1Digabung tanpa masalah

= ==2 = dll.

= ==0 = dll.

= ==– 2 = dll.

Yakni sebuah kumpulan yang berisi 2 muatan positif atau sebuah kumpulan yang muatan positifnya 2 satuan lebih banyak dari satuan negatifnya.

Yakni sebuah kumpulan kosong/tidak ada isinya atau sebuah kumpulanyang muatan positifnya sama banyak dengan satuan negatifnya.

Yakni sebuah kumpulan yang berisi 2 muatan negatif atau sebuah kumpulan yang muatan negatifnya 2 satuan lebih banyak dari muatan positifnya.

9

Tipe 2Diambil tetapi barangnya tidak ada diadakan secukupnya tetapi harus diimbangi

dengan muatan lain sehingga nilai kumpu-lannya tetap.

Penyelesaian

Digabung dengan

hasil

3 + (– 5 ) = – 2

diambilhasil

3 – (– 2 ) = Tidak jelas.

a.

diambilhasil

3–– 2 = Tidak jelas.

b.

diambilhasil

3 – (– 2 ) =

a.

5

diambilhasil

3–– 2 =

b.

– 5

10

Tipe 3Diambil tetapi barangnya kurang dicukupi tetapi harus diimbangi dengan muatan

lain sehingga nilai kumpulannya tetap.

Penyelesaian

Kini dari ketiga tipe soal berikut pemecahannya tersebut di atas kita dapat mengamati polanya dan untuk menarik kesimpulan.

Tipe 1Digabung tanpa masalah

Tipe 2a. Penyelesaiannya 3 – (–2) = 5 Karena bilangan paling depan dan paling belakang

(– 5 )

a.

diambil

hasil

2 – = Tidak jelas.5

b.

diambil

hasil

– = Tidak jelas.

a.

diambil

hasil

2 – =5 – 3

– 2

b.

diambil

hasil

– = 3– 2 (– 5 )

11

Di lain fihak 3 + 2 = 5 dari keduanya sama, maka bilangan di bagian te-ngahnya juga harus sama. Sehingga akan diperoleh:

– (–2) = + 2.

b. Penyelesaiannya –2 – (–5) = 3 Karena bilangan paling depan dan paling belakangDi lain fihak –2 + 5 = 3 dari keduanya sama, maka bilangan di bagian te-

ngahnya juga harus sama. Sehingga akan diperoleh: – (–5) = + 5.

Tipe 3a. Penyelesaiannya 2 – 5 = – 3 Karena bilangan paling depan dan paling belakang

Di lain fihak 2 + (–5) = – 3 dari keduanya sama, maka bilangan di bagian te-ngahnya juga harus sama. Sehingga akan diperoleh:

– 5 = + (–5).

b. Penyelesaiannya –2 – (–5) = 3 Karena bilangan paling depan dan paling belakangDi lain fihak –2 + 5 = 3 dari keduanya sama, maka bilangan di bagian te-

ngahnya juga harus sama. Sehingga akan diperoleh:

– (–5) = + 5.

Selanjutnya dengan melihat kelima bentuk kesamaan di atas siswa dapat diajak menyimpul-kan bahwa secara umum

– (– a) = + a atau – a = + (– a).

Yakni secara umum:

1. Dikurangi dengan sebuah bilangan negatif sama dengan ditambah dengan lawannya

2. Dikurangi dengan sebuah bilangan positif sama dengan ditambah dengan lawannya.

Contoh –2 – (–5) = 3 Karena bilangan paling depan dan paling belakangHitunglah

1. 100 + (–25) – (–50) = ...

2. 250 – 80 – (–50) = ...

Jawab

1. Ruas kiri = 100 + (–25) – (–50)

= 100 – 25 + 50

= 125.

2. Ruas kiri = 250 – 80 – (–50)

12

= 250 – 80 + 50

= 220.

Latihan

1. 28 – 15 = ...

2. –18 – 15 = ...

3. –18 – (–15) + 35 = ...

4. –15 – (–18) –25 = ...

5. 15 – (–18) + 5 = ...

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DENGAN GARIS BILANGAN

Pada garis bilangan bilangan bulat digambarkan dengan standar bilangan 0 di tengah dan bilangan-bilangan lainnya yakni bilangan-bilangan positif adalah bilangan-bilangan yang letaknya di sebelah kanan bilangan 0, sebaliknya bilangan-bilangan negatif adalah bilangan-bilangan yang letaknya di sebelah kiri bilangan 0.

Bilangan bulat digambarkan sebagai tanda panah yang pangkalnya di titik nol (0) dan arahnya ke kanan (untuk bilangan bulat positif). Sebaliknya jika bilangannya berupa bilangan bulat negatif maka akan berupa tanda panah yang pangkalnya di titik nol (0) dan arahnya ke kiri. Aturan operasi tambah dan kurang pada bilangan bulat diberikan seperti berikut.

Bermula dari titik pangkal nol dan menghadap ke kanan

positip maju tambah terus

Bilangan negatip mundur Operasi

nol diam kurang balik arah

Contoh

(a) – 2 + 5 = … (b) –3 – (–7) = …

Jawab Berangkat dari titik asal (pangkal) nol dan menghadap ke kanan(a) –2 + 5 = dari nol menghadap ke kanan , mundur 2, terus, maju 5. Hasilnya 3.

–4 –5 –1 0 1 2 3 4 5 6–2 –3

13

Sehingga –2 + 5 = 3.

(b) –3 – (–7) = … , dari nol menghadap ke kanan mundur 3, balik arah, kemudian mundur

7.

–2 –3 –1 0 1 3 42 5 6 7 8

–2 –3 –1 0 1 3 42 5 6 7 8

mundur 2

terus?… maju 5

–2 –3 –1 0 1 3 42 5 6 7 8

Dari nol menghadap ke kanan, kemudian mundur 3

–2 –3 –1 0 1 3 42 5 6 7 8

terus?… dikurang 7 berarti balik arah, kemudian mundur 7

14

Ternyata hasil akhirnya 4. Jadi –3 – (–7) = 4.

C. PERKALIAN PADA BILANGAN BULATAda empat tipe perkalian pada bilangan bulat. Tipe perkalian yang dimaksud adalah seperti

berikut.

Tipe 1Bilangan positif negatif

Perhatikan bahwa 3 (– 2) = .... artinya adalah ada 3 kumpulan yang masing-masing isinya sama dengan – 2.

Semuanya ada berapa?

Perhatikan peragaannya berikut ini.

Karena isi semuanya = – 6. Maka berarti 3 (– 2) = – 6.

Kasimpulan

Tipe 2Bilangan negatif positif

Sebagai contoh misalnya –3 2 = .... artinya adalah ada negatif 3 kumpulan yang masing-masing isinya sama

dengan 2.

CatatanKarena secara matematika banyaknya kumpulan tak pernah negatif, maka akibatnya adalah perkaliannya tak dapat diperagakan.

Semuanya ada – 6.

pos neg = neg .

–2 –3 –1 0 1 3 42 5 6 7 8

15

Karena tidak dapat diperagakan maka cara lain yang diterapkan adalah gunakan pola. Berikut pola yang dimaksud.

Tipe 3Bilangan negatif negatif

Sebagai contoh misalnya –3 (–2) = .... artinya adalah ada negatif 3 kumpulan yang masing-masing isinya sama

dengan –2.

CatatanKarena secara matematika banyaknya kumpulan tak pernah negatif, maka akibatnya adalah perkaliannya tak dapat diperagakan.

Karena tidak dapat diperagakan, maka sejalan dengan cara di atas, cara lain yang diterapkan adalah dengan menggunakan pola. Berikut pola yang dimaksud.

D. PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT

Seperti yang pernah dikemukakan sebelumnya bahwa secara konsep bilangan pembagi adalah bilangan positip. Bagaimana pengembangannya untuk pembagi yang berupa bilangan negatip, apakah juga dapat dilakukan menggunakan pola seperti perkalian? Jawabnya adalah tidak. Sebab untuk membuat pola akan berhadapan dengan bilangan nol. Padahal pembagian dengan bilangan nol hasilnya tak ada (does not exist). Oleh karena itu akan lebih baik bila ditanyakan ke siswa “apa hubungannya antara bilangan yang dibagi dengan pembagi dan hasil bagi” seperti misalnya apa hubungan antara:

3 2 = ...2 2 = ...1 2 = ...0 2 = ...

–1 2 = ...–2 2 = ...–3 2 =....

3 2 = 62 2 = 41 2 = 20 2 = 0

–1 2 = – 2–2 2 = – 4–3 2 = – 6

negpos = neg . – 8

– 6– 4– 2

02468

Turun 2Turun 2

Turun 2

3 (–2) = ...2 (–2) = ...1 (–2) = ...0 (–2) = ...

–1 (–2) = ...–2 (–2) = ...–3 (–2) = ...

neg neg = pos.

3 (–2) = – 62 (–2) = – 41 (–2) = – 20 (–2) = 0

–1 (–2) = 2–2 (–2) = 4–3 (–2) = 6

Naik 2

Naik 2Naik 2Naik 2

Naik 2

Naik 2

– 8

– 6

– 4– 2

0

2468

Naik 2

Naik 2

Naik 2

16

a. 15 dengan 3 dan 5 pada pembagian 15 : 3 = 5b. 12 dengan 4 dan 3 pada pembagian 12 : 4 = 3c. –6 dengan 3 dan –2 pada pembagian –6 : 3 = -2 dan lain-lain.

Setelah siswa menjawab “dikalikan” atau lebih lengkapnya “bilangan yang dibagi = pembagi kali hasil bagi” guru kemudian mengarahkan siswa pada bentuk umum:

a : b = c bila dan hanya bila a = b c

Pernyataan itu dapat pula ditulis dengan notasi lainnya seperti:

a : b = c a = b c atau cb

a a = b c

Dari bentuk umum itu guru dapat menjelaskan kasus-kasus seperti bilangan (yang dimaksud adalah bilangan tidak nol) dibagi nol, nol dibagi bilangan, dan nol dibagi nol. Hasil yang dimaksud masing-masing adalah:

(1) nol

bilangan tak ada (does not exist)

Sebab dari bentuk seperti n0

5 5 = 0 n ternyata tak ada nilai n yang

memenuhi.

(2) bilangan

nol= nol

Sebab dari bentuk seperti n5

0 0 = 5 n maka n yang memenuhi agar 0 = 5

n adalah n = 0.

(3) nol

nol= tak tentu (semua bilangan memenuhi)

Sebab dari bentuk seperti n0

0 0 = 0 n maka berapapun nilai n yang

dimasukkan akan selalu memenuhi bentuk 0 = 0 n.Latihan

1. Uraikan jawabannya dengan kata-kata seperti maju sekian, mundur sekian, terus, balik

arah, dan hasilnya berapa.

a. –2 + 2 = …, 2 disebut lawan dari –2

b. –3 + 3 = …, 3 disebut lawan dari –3

c. 4 + (–6) = …

d. 5 + (–3) = …

17

e. 4 – (–3) = …

f. 3 – (–5) = …

g. –2 – (–5) = …

h. –3 × (–7) = …

2. Hitunglah

a. 5 × (– 4) = … e. 10 – 4 × (– 2) = …

b. – 4 × (– 20) = … f. 15 + 4 ×(2 – 5) = …

c. – 20 : (– 4) = … g. 25 – 2 ×(10 – 5) = …

d. 100 : (– 4) = … h. – 5 ×10 + 75 = …

3. Hitunglah

E. OPERASI HITUNG CAMPURAN

Operasi hitung campuran yang dimaksud adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macam operasi dalam suatu perhitungan. Dalam suatu soal hitungan yang menjadi prioritas untuk dihitung terlebih dahulu adalah bilangan-bilangan yang ada di dalam tanda kurung. Nah yang menjadi masalah adalah jika dalam soal operasi hitung campuran itu tidak ada tanda kurung, bagaimana aturan perhitungannya?. Untuk meng-hindari kesimpang siuran dalam penafsiran khususnya kalau dalam soal itu tidak ada tanda kurungnya, secara internasional (dibuktikan menggunakan kalkulator bertanda “Scientific”) diberikan definisi (kesepakatan) sebagai berikut.

1. Tambah dan kurang sama kuat (mana yang lebih depan dikerjakan terlebih dahulu).

2. Kali dan bagi sama kuat (mana yang lebih depan dikerjakan terlebih dahulu). 3. Kali dan bagi lebih kuat dari tambah dan kurang.

ContohHitunglah 48 : 3 × 2 + 24 × 4 : 2 – 5 = …

JawabBerdasarkan aturan operasi hitung campuran di atas, maka urutan pemecahannya adalah

Ruas kiri = 48 : 3 × 2 + 24 × 4 : 2 – 5 = 16 × 2 + 96 : 2 – 5 = 32 + 48 – 5 = 80 – 5 = 75.

a. 10 : (– 2) × 4 + 30 – 3 ×(– 4) = …b. 16 ×( – 4) : 2 – 40 : ( – 4) × 2 = …

18

Jawaban tersebut dapat diperiksa kebenarannya dengan kalkulator “Scientific”. Jika yang kita gunakan kalkulator yang bukan scientific, hasilnya adalah 107 (perhitungan yang salah).

LatihanHitunglah1. 24 : 2 3 + 123 : 2 = ... Kunci: 542. 30 – 12 3 : 2 + 5 2 = ... Kunci: 223. 40 + 5 2 – 12 3 : 2 = ... Kunci: 324. 5 (–4) : 2 – (– 45) : 3 = ... Kunci: 55. – 56 : (–3) + 18 : (–2) = ... Kunci: –19.

BAB IVPEMBELAJARAN KPK DAN FPB

DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL

A. Pembelajaran KPK1. Pendekatan kontekstual untuk KPK.

(Soal tentang lampu kedip)Misalkan terdapat sebuah lampu berwarna merah dan sebuah lampu lagi berwarna kuning. Lampu merah berkedip setiap 2 detik sedangkan lampu kuning berkedip setiap 3 detik. Jika kedua lampu dinyalakan bersama-samaa. pada detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara bersamaan.b. pada detik ke berapa kedua lampu untuk pertama kalinya berkedip bersama.

2. Fasilitas yang perlu disiapkan guruFasilitas yang perlu disiapkan berupa lembar kerja (LK) dalam bentuk tabel seperti berikut

Berkedip pada detik ke …Lampu1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Merah

Kuning

3. Aktifitas siswa.Bekerja kelompok mengisi LK tersebut dengan tanda-tanda centang () pada kolom-kolom yang disediakan.Hasil kerja kelompok yang diharapkan adalah:

Berkedip pada detik ke …Lampu1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Merah

Kuning

Dari tabel dapat dilihat bahwaa. kedua lampu akan berkedip bersama-sama pada detik ke 6, 12, 18, … dan seterusnya.

19

b. kedua bola lampu berkedip bersama pertama kalinya pada detik ke-6.Maka KPK dari 2 dan 3 hasilnya = 6. Ditulis KPK(2,3) = 6.

4. Peran guru sebagai fasilitator.Menyiapkan soal, menyiapkan LK, mengawasi kerja kelompok, memberikan klarifikasi/kejelasan tentang jawaban mana yang benar/paling benar.

5. KPK secara matematis (oleh guru).Soal:Berapakah kelipatan persekutuan dari bilangan 2 dan 3?Berapakah kelipatan persekutuan yang terkecil (KPK) dari bilangan 2 dan 3?

Jawab:Kelipatan 2 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 , …

Kelipatan 3 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 , 27, …

Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, 24, …

terkecilMaka KPK (2, 3) = 6.

6. Pemberian soal-soal lain untuk KPK (oleh guru).Soal:Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan berikuta. 4 dan 6b. 10 dan 15c. 15 dan 20d. 5 dan 10e. 25 dan 50

Jawaban yang diharapkan adalah:a. kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …

sehingga KPK (4, 6) = 12.b. kelipatan persekutuan dari 10 dan 15 adalah 30, 60, 90, …

sehingga KPK (10, 15) = 30.c. kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 adalah 60, 120, 180,…

sehingga KPK (15, 20) = 60.d. kelipatan persekutuan dari 5 dan 10 adalah 10, 20, 30, …

sehingga KPK (5, 10) = 10.e. kelipatan persekutuan dari 25 dan 50 adalah 50, 100, 150, …

sehingga KPK (25, 50) = 50.

7. Cara cepat memperoleh KPK (oleh guru).

20

Guru mengajak siswa mengamati uraian jawaban dari 5 soal tentang KPK pada langkah 6. Ternyata

KPK = Kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul

Dengan ciri tersebut maka uraian singkat untuk mencari KPK dari 2 bilangan adalah seperti berikut.a. KPK (4, 6) = …

Kelipatan 4 4, 8, 12, … KPK (4, 6) = 12

Kelipatan 6 6, 12, …

12 adalah kelipatan persekutuan yang pertama kali muncul.

b. KPK (10, 15) = …Kelipatan 10 10, 20, 30, …

KPK (10, 15) = 30Kelipatan 15 15, 30, …

d. KPK (5, 10) = …Kelipatan 5 5, 10, 15, …

KPK (5, 10) = 10Kelipatan 10 10, 20, …

8. Pembinaan keterampilan/mencongak untuk KPK (oleh guru).Guru mempersiapkan soal-soal KPK dari 2 bilangan atau 3 bilangan yang bisa dicongak. Kerangka berpikir untuk mencongaknya seperti pada langkah 7 di atas. Soal-soal yang dimaksud misalnya tentukan KPK dari bilangan-bilangan.a. 20 dan 25 e. 3, 4 dan 6b. 50 dan 75 f. 6, 9 dan 12c. 100 dan 150 g. 5, 8 dan 10d. 150 dan 200 h. 15, 20 dan 30

B. Pembelajaran FPB1. Pendekatan kontekstual untuk FPB.

(Soal tentang membagi sama banyak kepada beberapa orang).Misalkan ada 12 jambu dan 18 rambutan. Jambu dan rambutan sebanyak itu akan dibagi rata (sama banyak) kepada beberapa orang.

Pertanyaan:a. Yang memungkinkan jambu dan rambutan itu dapat dibagi sama banyak kepada

berapa orang?(1 orang, 2 orang, 3 orang, 4 orang, 5 orang, 6 orang, dan lain-lain).

b. Dari hasil-hasil penyelidikan tersebut, paling banyak kepada berapa orang jambu dan rambutan itu dapat dibagi secara merata (sama banyak).

21

c. Adakah cara yang paling singkat untuk memperoleh jawaban yang ditanyakan pada pertanyaan b?

2. Fasilitas yang pelru disiapkan.Untuk siswa setiap kelompok harus menyediakan kerikil-kerikil sesuai dengan warna dan jumlah yang dimaksud, sedangkan guru mempersiapkan LK berupa isian tentang kemungkinan-kemungkinan tentang kedua kelompok kerikil itu dapat dibagi sama banyak kepada 2 orang, 3 orang, 4 orang, 6 orang dan 8 orang seperi berikut. 2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orang

jambu ramb jambu ramb jambu rambAB

ABC

ABCD

6 orang 8 orang jambu rambutan jambu rambutan

ABCDEF

ABCDEFGH

3. Bentuk kegiatan.Siswa secara berkelompok mengerjakan lembar kerja, guru mengawasi kegiatan siswa dan terakhir memberikan klarifikasi tentang jawaban yang benar. Jawaban yang diharapkan.

2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orangJambu

12Ramb

18Jamb

12Ramb

18Jamb

12Ramb

18AB

66

99

ABC

444

666

ABCD

3333

4444

6 orang 8 orang jamb12

ramb18

jamb12

ramb18

Rambutan sisa 2jadi tak habis dibagi

rata pada 4 orang

Ada sisa/tidakAda sisa/tidak Ada sisa/tidak

Ada sisa/tidakAda sisa/tidak

Tanpa sisajadi habis dibagi rata

pada 2 orang

Tanpa sisajadi habis dibagi rata

pada 3 orang

22

ABCDEF

222222

333333

ABCDEFGH

11111111

22222222

sisa sisa 4 sisa 2

Kesimpulan:Maksimal jambu 12 dan rambutan 18 dapat dibagi rata (sama banyak) pada 6 orang.

Maka FPB(12,18) = 6.

Guru kemudian menanyakan, adakah cara yang lebih cepat untuk memperoleh jawaban tersebut, yakni maksimal jambu dan rambutan itu dapat dibagi rata (sama banyak)kepada 6 orang?

Jawabannya: Ada (oleh guru)Yaitu FPB (12, 18) = 6, barulah membahas FPB secara matematika.

4. Pembahasan FPB secara matematika.FPB (12, 18) = …?Jawab:

12 181 122 63 4

1 182 93 6

Sesudah itu guru dapat memberikan soal-soal lainnya untuk dapat dikerjakan dengan cara yang sama. Siswa boleh bekerja sama dalam memecahkan masalah tersebut.

Contoh:

Tanpa sisajadi habis dibagi rata

pada 6 orangAda sisa, jadi tidak

mungkin dibagi 8 org.dibagi 8 orang

Dari data akan dipeorlehFaktor dari 12 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12

Faktor dari 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18

Faktor persekutuan dari 12 dan 18ialah 1 , 2 , 3 , 6

terbesar

Maka FPB (12, 18) = 6Sehingga 12 jambu dan 18 rambutan itu dapat dibagi sama banyak maksimal pada 6 orang.

23

Paling banyak (maksimal) dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang sekumpulan benda-benda berikut.a. 30 kelereng merah dan 20 kelereng putih.b. 40 bola merah dan 60 bola putih.c. jeruk 12 buah, duku 16 buah dan rambutan 20 buah.d. telur puyuh 40 buah, telur ayam 30 buah, telur bebek 20 buah.

Jawaban akhir yang diharapkan adalah

a. FPB (30, 20) = 10, maka maksimal kelereng-kelereng itu dapat dibagikan sama banyak kepada 10 orang.b. FPB (40, 60) = 20, maka maksimal bola-bola itu dapat dibagikan sama banyak kepada 20 orang.c. FPB (12, 16, 20) = 40, maka maksimal jeruk, duku, dan rambutan itu dapat dibagikan sama banyak kepada 4 orang.d. FPB (40, 30, 20) = 10, maka maksimal telur-elur itu dapat dibagikan sama banyak kepada 10 orang.

5. Cara cepat menentukan FPB (oleh guru).Dari contoh-contoh yang telah dipelajari, siswa diajak mengamati hasilnya, ternyata nilai FPB yang dimaksud adalah

FPB = bilangan terbesar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan itu.

Contoh: FPB (12, 18) = …

Jawab:3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 123 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 18.Tetapi FPB (12, 18) 3 sebab masih ada bilangan lain yang lebih dari 3 yang dapat membagi habis 12 dan 18. Bilangan itu adalah 6. Maka FPB (12, 18) = 6.

6. Pembinaan keterampilan menentukan FPB.Kaidah yang digunakan untuk membina keterampilan, yakni menentukan FPB dari 2 bilangan atau lebih secara mencongak adalah seperti pada langkah 5. Guru kemudian memilih dan mempersiapkan bilangan-bilangan yang mudah dicongak dalam mencari FPB. Bilangan-bilangan itu misalnya:

Tentukan FPB daria. 20 dan 30b. 20 dan 40c. 25 dan 50d. 50 dan 75e. 100 dan 150 dan lain-lain.

24

Jawaban yang diharapkan secara cepat (mencongak) adalaha. FPB (20, 30) = 10b. FPB (20, 40) = 20c. FPB (25, 50) = 25d. FPB (50, 75) = 25e. FPB (100, 150) = 50

7. Menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi primaFaktorisasi prima digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mencari KPK dan FPB dari

bilangan-bilangan yang sulit dibayangkan/diangankan. Teknik menentukan KPK dan FPB

dengan faktorisasi prima dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu

ContohTentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300 dan 350.

Jawab1. Berdasarkan fakta yang ada (konsep), maka

2. Dengan pemfaktoran prima yang dimaksud adalah

Dengan demikian maka dari faktorisasi prima teknik 1, diperoleh

KPK = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesarFPB = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil

300

150

75

5

25

5

3

2

2

350

175

35

75

5

2yang ada pasangannya

yang ada/tak ada pasangannya

300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22×3×52

350 = 2 × 5 × 5 × 7 = 2×52×7

KPK = hasil kali faktor prima yang ada maupun tak ada pasangannyaFPB = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya

Kelipatan 1 300 3502 600 7003 900 10504 1200 14005 1500 17506 1800 21007 2100 KPK = 2100

FPB(300,350) 10 (kurang besar)20 (salah)sebab 20 sukses membagi 300 tetapi tidak sukses membagi 35025 (kurang besar)50 (tepat)

Maka FPB(300,350) =50 (tepat)

25

KPK (300,350) = hasil kali faktor prima yang ada dan yang tidak ada pasangannya= 2×2×3×5×5×7= 2.100

FPB (300,350) = 2×5×5= 50.

3. Dengan faktorisasi prima teknik 2 dapat diterapkan dengan melihat diagram Venn yang bersesuaian dengan faktorisasi prima tersebut.

KPK (300, 350) = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar.= 31 22 52 7 = 3 4 25 7 = 2100

FPB (300, 350) = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil.= 21 52 = 2 25 = 50.

Teknik lain untuk menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih juga dapat dilakukan dalam berbagai cara (Edi Prayitno, 1997) antara lain:

ContohTentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300, 350, dan 400.Jawab

300 350 400105

22237

306

33311

357

77771

408

42111

Dari gambaran itu dapat disimpulkan bahwa:FPB (300, 350, 400) = 10 5 = 50

2 5 7 3

300 350

1. Bagilah semua bilangan itu dengan faktor/faktor prima persekutuannya2. Setelah semua bilangan menjadi prima relatif satu sama lain (nilai FPB-

nya = 1), bagilah hasil-hasilnya dengan faktor-faktor prima yang mung-kin (untuk bilangan yang terbagi tentukan hasil baginya, sedang yang tak terbagi tetaplah ditulis apa adanya), hingga hasil bagi terakhirnya = 1.

FPB

KPK

26

KPK (300, 350, 400) = 10 5 23 3 7 = 8.400

8. Terapan KPK dan FPB dalam kehidupan dan permasalahan lain yang relevanSeperti yang telah dikemukakan sebelumnya dalam pendekatan kontekstual (di awal

pembelajaran) lampu kedip merupakan salah satu terapan untuk KPK sedangkan pembagian

rata yang dapat dilakukan secara maksimal pada sejumlah orang merupakan salah satu

terapan dari FPB. Terapan lain yang sudah dikenal umum untuk KPK adalah dalam hal

menyamakan penyebut pada operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan. Sementara

terapan FPB yang umum adalah dalam menyederhanakan pecahan ke bentuk yang paling

sederhana.

Contoh

a. Hitunglah ...6

1

4

1

3

2

b. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana untuk pecahan 96

72.

Jawab

a. ...6

1

4

1

3

2

KPK penyebut = KPK (3, 4, 6) = 12. Maka

12

7

12

2

12

3

12

8

12

...

12

...

12

...

6

1

4

1

3

2 .

b. Dengan faktorisasi prima

Sehinga .4

3

22

3

322222

33222

96

72

Perhatikan bahwa bagian yang dicoret adalah FPB dari 72 dan 96 yakniFPB (72, 96) = 2 2 2 3 = 24

72

36

18

3

9

3

2

2

272

36

18

3

9

3

2

2

272

36

18

3

9

3

2

2

296

48

24

3

12

2

2

2

2

62

27

Dengan begitu bila kita sudah mengetahui bahwa FPB (72, 96) = 24 maka untuk

menyederhanakan pecahannya dilakukan dengan cara .4

3

24:96

24:72

96

72

Ada contoh terapan lainnya yang cukup menarik untuk pelajaran matematika SD adalah terapan KPK dalam perhitungan jarak, waktu, dan kecepatan.

Contoh 1Ali bersepeda dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam berangkat pukul 07.00. Satu setengah jam kemudian Budi menyusul Ali menggunakan sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Budi menyusul Ali?Jawab

Selisih waktu perjalanan antara Ali dan Budi = 2

11 jam. Selisih waktu itulah yang

nantinya akan dipakai sebagai dasar perhitungan KPK. Perhatikan bahwa:

Ali 1 jam menempuh jarak 20 km 2

11 jam =

2

11 20 km = 30 km.

Budi 1 jam menempuh jarak 30 km 2

11 jam =

2

11 30 km = 45 km.

Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapat memberikan kejelasan bahwa a) Budi menyusul Ali tepatnya pada km 90 = KPK (30, 45)b) Waktu Budi menyusul Ali adalah

Untuk Ali waktu dihitung dari pukul 07.00, yakni

pukul 07.00 + 3 2

11 jam = 07.00 +

2

14 jam = 11.30

Untuk Budi waktu dihitung dari pukul 08.30, yakni

pukul 08.30 + 2 2

11 jam = 08.30 + 3 jam = 11.30

Contoh 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 km

| | | | | | | | | | |

07.00 Ali

08.30 Budi

2

11 jam

2

11 jam

2

11 jam 2

11 jam

2

11 jam

28

Ali bersepeda motor berangkat dari kota P pukul 07.00 menuju kota Q yang berjarak 250 km dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Pada saat yang bersamaan Budi berangkat dari kota Q menuju kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam.Pertanyaana. Pada km berapa dan pada pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan?b. Jika waktu berangkatnya tidak bersamaan, yaitu Ali berangkat pukul 07.00 sementara

Budi berangkatnya pukul 08.30. Pada km berapa dan pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan?

Jawab

a. Ali 1 jam menempuh jarak 40 km (dari kiri)Budi 1 jam menempuh jarak 60 km (dari kanan)

Ali dan Budi 1 jam menempuh jarak 100 km.Karena jarak yang harus mereka tempuh berdua = 250 km maka waktu tempuhnya =

100

250 jam =

2

12 jam. Itu berarti Ali dan Budi berpapasan di jalan setelah keduanya

melakukan perjalanan selama 2

12 jam yakni

pukul 07.00 + 2

12 jam = 09.30.

Tempat keduanya berpapasan adalah

Ali = 40jam

km

2

12 jam = 100 km (dari kiri/dari kota P)

Budi = 60jam

km

2

12 jam = 150 km (dari kanan/dari kota Q)

Total = 250 kmb.

+

190 km QP

07.00 08.30BudiAli

40 km/j 60 km/j40 km/j

R60 km

08.30

250 km QP

07.00 07.00BudiAli

40 km/jam 60 km/jam

100 km 150 km

2

12 jm

2

12 jm

29

Karena waktu berangkatnya tidak sama maka perhitungannya dimulai dari saat

keduanya mulai berjalan, berarti pukul 08.30 yaitu 2

11 jam dari Ali mulai bergerak

barulah Budi mulai bergerak.Dari pukul 08.30

Ali telah menempuh jarak 40jam

km

2

11 jam = 60 km (tiba di R). Kini jarak yang

harus ditempuh keduanya = 250 km – 60 km = 190 km.Karena 1 jam Ali dan Budi menempuh total jarak 100 km maka waktu pertemuannya

dicapai saat keduanya menempuh perjalanan selama 100

190jam = 1,9 jam = 1 jam 54

menit.

Waktu keduanya berpapasan adalah

Ali = pukul 07.00 + 2

11 jam + 1 jam 54 menit

= 07.00 + 1 jam 30 menit + 1 jam 54 menit= 10.24

Budi = 08.30 + 1 jam 54 menit= 10.24

Jarak keduanya berpapasan adalah

Ali = 60 km + 40jam

km

10

91 jam = (60 + 76) km = 136 km

Budi = 60jam

km

10

91 jam = (60 + 54) km = 114 km

Total = 250 km

Latihan 31. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut

2. Ali berkunjung ke bank sekali dalam 10 hari, Budi sekali dalam 15 hari. Jika sekarang ia bertemu di bank itu, dalam berapa hari lagi mereka akan saling bertemu?

3. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam, berangkat pukul 07.00. satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat dari tempat yang sama (kota A) dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali?(Kunci: km 90 pukul 11.30)

+

a. 9 dan 12b. 8 dan 20c. 8 dan 16d. 12 dan 16e. 20 dan 24

f. 10 dan 30g. 20 dan 25h. 40 dan 60i. 50 dan 60j. 80 dan 120

k. 4, 6, dan 9l. 8,10, dan 12m. 40,50, dan 60n. 200,400, dan 600o. 250,300, dan 400.

30

4. Dodi bersepeda motor dari kota A ke kota B yang berjarak 125 km dengan kecepatan 20 km/jam berangkat pukul 07.00. Pada saat yang bersamaan Eka berangkat dari kota B ke kota A denagn kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa keduanya berpapasan di jalan?(Kunci: km 50 pukul 09.30)

5. Jika untuk soal nomor 2 (jarak kota A ke kota B adalah 125 km) Eka berangkat dari kota B menuju kota A pukul 07.00 dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sementara Dodi berangkatnya dari kota A menuju kota B pada pukul 08.30. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapa Dodi dan Eka berpapasan di jalan?(Kunci: km 32 pukul 09.06)

31

BAB VANGKA ROMAWI

A. PENGETAHUAN TENTANG ANGKA ROMAWI1. Angka Dasar

Angka Romawi I V X L C D MAngka Desimal 1 5 10 50 100 500 1000

2. Angka Kelipatan dari 1.000 (seribu)Angka Romawi V X L C D MAngka Desimal 5.000 10.000 50.000 100.000 500.000 1.000.000

3. Ketentuan Menulis Suatu Bilangan dengan Angka Romawi

(1) Penulisan angka dasar secara berturut-turut hanya untuk bilangan-bilangan satuan, pu-luhan, ratusan, ribuan, … dst.

Contoh:II = 2; CC = 200; XX = 20

(2) Penulisan angka secara berturut-turut pada ketentuan (1) hanya dibolehkan paling ba-nyak tiga kali

Contoh:III = 3 (benar)IIII = 4 (salah)CCC = 300 (benar)VV = 10 salah, sebab angka dasar yang digunakan bukan salah satu dari ketentuan (1).

(3) Sebuah angka dasar pada ketentuan (1) menyatakan pengurang angka yang lebih besar, jika letaknya di kiri angka yang lebih besar itu. Pengurang adalah angka-angka pada ketentuan (1) dan letaknya paling jauh 2 tingkat dari angka yang dikurangi

Contoh:IX = 10 – 1 = 9 (benar)IL = 50 – 1 = 49 (salah), sebab L (angka lima puluh Romawi) terletak tiga tingkat di atas I (angka satu)XL = 50 – 10 = 40 (benar)VL = 50 – 5 = 45 (salah), sebab V (angka lima Romawi) di luar ketentuan (1)

(4) Penulisan angka pada ketentuan (2) menyatakan penambah angka dasar yang lebih besar, jika letaknya di kanan angka dasar yang lebih besar itu.Contoh:VII = 5 + 1 + 1 = 7 (benar)LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80 (benar)CII = 100 + 1 + 1 = 102 (benar)

32

4. Contoh-contoh pemakaianContoh 1 : Tulis dalam bentuk desimal CLXIIJawab : CLXII = 100 + 50 + 10 + 1 + 1 = 162Contoh 2 : Tulis dalam bentuk desimal DCXLVIJawab : DCXLVI = 500 + 100 + (50 – 10) + 5 + 1

500 + 100 + 40 + 5 + 1 = 646Contoh 3 : Tulis angka 289 dalam bentuk angka RomawiJawab : 289 = 200 + 80 + 9

= 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 9= 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 – 1)= CCLXXXIX

B. PENGAJARAN BILANGAN DENGAN ANGKA ROMAWI (Matematika Kls4)Pengajaran tentang bilangan Romawi di SD mulai dikenalkan di kelas IV Cawu 2. Dapat Anda temukan pada Matematika 4 untuk SD hal. 148 s.d. 150. Penjelasan selengkapnya adalah sebagai berikut: Bilangan Romawi 1 (1) sampai dengan 50 (L)

Lambang bilangan yang lain merupakan gabungan dari lambang dasar yang ditulis secara berdampingan. Bila sebuah bilangan ditulis dengan dua angka, sedangkan angka yang sebelah kanan menyatakan bilangan yang kurang dari bilangan di sebelah kirinya, maka susunan itu menyatakan penjumlahan.Misalnya VI melambangkan bilangan enam, yaitu lima tambah satu. Bila angka yang sebelah kiri menyatakan bilangan yang kurang dari bilangan yang di sebelah kanannya, maka susunannya itu menyatakan pengurangan.Misalnya IV melambangkan bilangan empat yaitu lima kurang satu.

Berdasarkan aturan di atas maka 49 tidak boleh ditulis dengan lambang IL yaitu 50 – 1. Cara yang benar adalah:49 = 40 + 9 = (50 – 10) + (10 – 1)Jadi lambang Romawi dari 49 adalah XLIX

Lambang dasar bilangan Romawi sampai dengan 50 adalah:I melambangkan bilangan satuV melambangkan bilangan limaX melambangkan bilangan sepuluhL melambangkan bilangan limapuluh

Pada prinsip pengurangan ini, I hanya dapat digunakan untuk mengurangi V dan X saja.IV melambangkan bilangan 4 yaitu 5 – 1IX melambangkan bilangan 9 yaitu 10 – 1X hanya dapat digunakan untuk mengurangi LXL melambangkan bilangan 40 yaitu 50 – 10

33

Latihan 41. Ubahlah angka desimal berikut ini kedalam bentuk angka Romawi

a. 38 d. 1995b. 95 e. 9463c. 1978 f. 15.748

2. Ubahlah lambang bilangan desimal berikut menjadi lambang bilangan Romawi.Contoh:46 = XLVIa) 14 = … d) 44 = …b) 26 = … e) 28 = …c) 39 = … f) 47 = …

3. Ubahlah lambang bilangan Romawi di bawah ini dengan lambang desimal.Contoh:XXVI = 26a) XIX = … e) XLII = …b) XXI = … f) XLIV = …c) XXXIII = … g) XXVI = …d) XXXIV = … h) XVII = …

4. Ubahlah angka Romawi berikut ini ke dalam bentuk angka desimala. CXVII d. MCMLXVI

b. MDCCXII e. X DCLXXIX

c. V MMDCII f. D MDCIX

Kunci:1. a. XXXVIII b. XCV c. MCMLXXVIII d. MCMXCV

e. M X CDLIII f. X V DCC XLVIII

4. a.117 b. 1712 c. 7602 d. 1966 e. 1679 f. 501.609

Ingat

a) 10 tidak boleh ditulis dengan lambang VV (atau 5 + 5)10 harus ditulis dengan lambang X

b) 7 tidak boleh ditulis dengan lambang IIIX (atau 10 – 3)7 harus ditulis dengan lambang VII (atau 5 + 2)

c) 8 tidak boleh ditulis dengan lambang IIX (atau 10 – 2)8 harus ditulis dengan lambang VIII (atau 5 + 3)

34

BAB VIBILANGAN PERSEGI, BILANGAN KUBIK, MENARIK AKAR

A. BILANGAN KUADRAT/PERSEGI (SQUARE NUMBER)Sebagai pendekatan kontekstual, pertama perhatikan pola pada 4 persegi berikut

Perhatikan bahwa panjang sisi dan luas dari masing-masing persegi itu adalah:Gambar I : Panjang sisi = 1, Luas persegi I = 1Gambar II : Panjang sisi = 2, Luas persegi II = 4Gambar III : Panjang sisi = 3, Luas persegi III = 9Gambar IV : Panjang sisi = 4, Luas persegi IV = 16.

Selanjutnya bilangan-bilangan 1, 4, 9, 16, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan persegi. Amati bahwa hubungan antara pola persegi dengan luas persegi itu (banyaknyapersegi satuan penyusunnya) adalah seperti berikut.

Bila bilangan-bilangan persegi tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .

Pola itu dikenal sebagai pola bilangan persegi, dan bilangan yang tertulis disebut 10 bilangan persegi yang pertama.

, ,,,

1 4 9 16

. . .

. . .,,,,

Pola

Luas

Gambar 2. 2

, A,,

I II III IV

. . .

Gambar

35

Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan persegi berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan persegi yang lain?Jawabannya adalah pola dari

1, 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . sama dengan 12, 22, 32, 42 , 52, 62, 72 , 82, 92 , 102 , . . .

Sehingga bilangan persegi (square number) juga disebut sebagai bilangan kuadrat yakni bilangan yang diperoleh dengan menguadratkan suatu bilangan asli.

B. BILANGAN KUBIK (CUBE NUMBER)

Sebagai ilustrasi, perhatikan pola dari 4 kubus dengan 4 macam ukuran seperti berikut .

Jika disediakan sejumlah kubus satuan, maka untuk membentuk kubus yang panjang rusuknnya 1 satuan, 2 satuan, 3 satuan, 4 satuan, dan seterusnya masing-masing akan diperlukan sebanyak 1, 8, 27, dan 64 kubus satuan. Sehingga hubungan antara panjang rusuk dan volum dari masing-masing kubus itu adalah:

Gambar I : Panjang rusuk = 1 satuan, Volum kubus I = 1 satuanGambar II : Panjang rusuk = 2 satuan, Volum kubus II = 8 satuanGambar III : Panjang rusuk = 3 satuan, Volum kubus III = 27 satuanGambar IV : Panjang rusuk = 4 satuan, Volum kubus IV = 64 satuan.

Selanjutnya 1, 8, 27, 64, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan kubik. Dengan begitu

Hubungan antara pola kubus dan volum kubus yang ditunjukkannya adalah sebagai berikut:

, , , , . . .

I II III IV , . . .,,,

Gambar

bilangan kubik bersesuaian dengan volume kubus yang satuan

ukuran panjang rusuknya bulat.

36

Bila bilangan-bilangan kubik tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . .

Kesepuluh bilangan yang tertulis di atas disebut 10 bilangan kubik yang pertama.Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan kubik berikutnya atau bagaimana kita dapat menentukan bilangan-bilangan kubik lainnya?Jawabannya adalah pola dari

1 , 8 , 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . . sama dengan 13, 23, 33, 43 , 53 , 63 , 73 , 83 , 93 , 103 , . . .

sehingga bilangan kubik (cube number) juga disebut sebagai bilangan berpangkat tiga yaitu bilangan yang diperoleh dengan memangkatkan tiga suatu bilangan asli.

C. TEKNIK MENGUADRATKAN DAN MENARIK AKAR

1. Teknik Menguadratkan Dilanjutkan Menarik Akar KuadratTeknik menguadrtkan telah dibahas di bagian depan, teknik menarik akar (akar kuadrat) pertama kali ditemukan oleh Calandra (seorang matematikawan India) pada tahun 1491. Untuk menarik akar (akar kuadrat ) digunakan teknik seperti berikut.

, ,4 9 16

,

, . . .

1 8 27 64 . . .,,

,

,,

Gambar

Pola

Volum

37

Contoh 1

2062 = …

Teknik menarik akar

pisahkan angka-angka dari bilangan yang ditarik akarnya dua angka-dua

angka dari belakang

kerjakan mulai dari angka terdepan (setelah ada pemisahan)

nyatakan angka terdepan itu sebagai perkalian dua bilangan yang sama

besar, hasil kali 2 bilangan yang sama itu tidak boleh melebihi bilangan

yang dimaksud, sama adalah yang paling diharapkan

cari sisa dari bilangan pertama dikurangi dengan hasil kali dua bilangan

sama yang dikalikan itu, kemudian turunkan sekaligus dua angka yang ada

di belakang angka pertama yang diproses untuk dijadikan sebagai angka

kedua yang akan diproses

jumlahkan dua angka sama besar itu untuk disambungkan dengan suatu

bilangan 1 angka yang bila dikalikan dengan bilangan 1 angka yang

dimaksud, hasilnya tidak melebihi bilangan pada angka kedua yang

diproses

cari sisa dari bilangan pada angka kedua yang diproses dikurangi dengan

hasil kali yang dimaksud di atas

200 206 212

6 6

2062 = 200 212 + 62

= (2212) 100 + 36

= 42400 + 36

= 42436

206236.24.4

2 2

=

= 4－

－+

+

4 0 0 =

0

36

24

24

0

40 6 6 24

36

－

0=Sisa terahir

2 0 6

Maka:

42436 = 206

Teknik menarik akar

38

Contoh 2 4252 = …

Agar anda lebih tertantang cobalah untuk membuat soal sendiri misal 4152 = …, carilah hasilnya dengan teknik seperti yang telah dicontohkan di atas kemudian gunakan teknik penarikan akar yang dimaksud.

3. Teknik Menarik Akar Pangkat Tiga Bilangan Kubik

Berbeda dengan penarikan akar kuadrat, penarikan akar pangkat tiga tidak memiliki teknik yang bersifat umum seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat). Sudah banyak matematikawan yang berusaha ke arah itu diantaranya adalah matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501 – 1576) di tahun 1535. Namun hingga kini belum ditemukan teknik yang berlaku secara umum.Ada suatu teknik menarik akar pangkat tiga dan teknik itu hanya berlaku efektif untuk penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik hingga 1.000.000. Teknik yang dilakukan menggunakan daftar seperti berikut.

400 425 450

25

4252 = 400 450 + 252

= (4451000 + 625

= 180.000 + 625

= 180.625

4252

25

25.06.18

=

=16－

－+

+

8 =

2 06

42

1 64

84

25

－0=Sisa terakhir

Maka:

625.180 = 425

Teknik menarik akar

4

2542

4

22

55

4 2 5

39

Contoh penggunaan tabel

Tentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik 103.823, yakni tentukan 3 823.103 = …

Jawab

Letak bilangan kubik 103.823 adalah 64.000 < 103.823 < 125.000, maka

40 < 3 823.103 < 50 atau 3 823.103 = empat puluh sekian=

Langkah-langkah penyelidikan lebih lanjut adalah

Lihat angka terakhir dari bilangan kubik ituAngka terakhir dari 103.823 adalah 3

Lihat bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya sama dengan ituBilangan kubik dasar yang angka terakhirnya 3 adalah 343

Lihat akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar yang dimaksud

Berdasar tabel, diperoleh 3 343 = 7. Maka satuannya = 7. Sehingga di-simpulkan bahwa

3 823.103 = = 47.

Latihan 51. Hitunglah penguadratan berikut secara mencongak dengan cara seperti di atas. Setelah hasil

penguadratan diperoleh tarik akarnya dan periksa hasilnya.

a. 142 = ... b. 232 = … c. 462 = … d. 2072 = … e. 4252 = …

2. Tentukan luas masing-masing persegi yang panjang sisinya diketahui seperti berikut

Bilangan KubikDasar

Bilangan KubikRibuan

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

182764

1252163435127291000

103

203

303

403

503

603

703

803

903

1003

1.0008.00027.00064.000

125.000216.000343.000512.000729.000

1.000.000

103.823

4

4 7

40

a. b. c. d.

3. Tentukan panjang sisi masing-masing persegi yang luasnya diketahui seperti berikut:a. b. c. d.

4. Tentukan volume kubus yang panjang rusuk-rusuknya adalah a. 14 cm b. 25 cm c. 45 dm d. 75 dme. 8 satuan f. 18 satuan g. 53 satuan h. 65 satuan.

5. Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik a. 6.859 b. 13.824 c. 32.768 d. 97.336e. 148.877 f. 592.704 g. 804.357 h. 941.192.

6. Tentukan panjang rusuk kubus yang volumenya a. 50.653 cm3 b. 140.608 cm3 c. 405.224 cm3 d. 804.357 cm3

.

7. Dengan menggunakan cara menguadratkan seperti yang telah dicontohkan sebelumnya, cobalah untuk menguadratkan bilangan-bilangan berikut kemudian tariklah akarnya a. 19 b. 26 c. 48 d. 57 e. 65 f. 75g. 85 h. 88 i.96 j. 108 k. 225 l. 512

8. Dengan menggunakan sifat a2 = (a + b)(a – b) + b2 , sifat a3 = a2 a, dan perkalian

menggunakan batang Napier, tentukan (coba tanpa kalkulator) pangkat tiga dari

a. 16 b. 25 c. 36 d. 49 e. 64 f. 81

Setelah hasil ditemukan cobalah tarik akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan yang Anda hasilkan itu.

9. Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah akar pangkat tiga dari masing-masing bilangan kubik berikut.

a. 2197 e. 50653 i. 205.379b. 2744 f. 59.319 j. 636.056c. 4913 g. 79.507 k. 778.688d. 9261 h. 97.376 l. 941.192.

14 cm

55 m25 cm

94 m

169 cm2

18.225 cm2784 cm2

99.225 cm2

41

BAB IIIPENUTUP

A. KESIMPULANBilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada matematika Sekolah Dasar meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya banyaknya satuan (unit) benda dalam suatu kumpulan, operasi penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian termasuk penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan bulat. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik dan menyenangkan. Resep apa sebenarnya sehingga membuat matematika yang dibahas pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karena sajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-hari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjuti dengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan barulah dia-khiri dengan lambang yang sifatnya abstrak. Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan dapat mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidak mengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi (pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.

B. SARANBagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagai berikut.1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama

menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-

rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya, kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih luas

3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan

4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada pengawas

5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang tak terduga di masa depan.

Amin.

42

DAFTAR PUSTAKA

Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston : Allyn and Bacon, Inc.

Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

-------------. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional.

Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran). Yogyakarta: PPPG Matematika.

Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.

Kamus Besar Bahasa Indonesia.

Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers (Third Edition). New York : John Wiley & Sons, Inc.

Sukardjono. (1996). Berhitung Cepat di SD (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPG Matematika.

Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT. Indira.