Konsep Urutan Bilangan Bulat

Konsep Dasar Matematika

Dosen Pembimbing Dr. Riyadi, M.Si

Untuk memenuhi tugas Mata Kuliah

Matematika

Oleh:

Rahmasari Dwimarta

K7110132

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

2010

1. KONSEP URUTAN BILANGAN BULAT

Kita telah mempelajari definisi relasi "lebih kecil dari" pada bilangan-bilangan cacah,

dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini, kita akan mempelajari relasi urutan

bilangan-bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:

a Bilangan bulat positif (bilangan asli)

b Bilangan nol

c. Bilangan bulat negatif (lawan bilangan asli)

a. Bilangan bulat negatif ialah bilangan bulat yang terletak di sebelah kiri angka 0 (nol).

Bilangan bulat negatif: -1, -2,-3, -4, -5, …

b. Bilangan bulat positif ialah bilangan bulat yang terletak di sebelah kanan angka 0

(nol). Bilangan bulat positif: 1, 2, 3, 4, 5, …

c. Angka 0 (nol) termasuk bilangan bulat. Bilangan 0 (nol) tidak positif dan tidak

negatif. Bilangan 0 (nol) adalah bilangan netral.

d. Pada garis bilangan, letak bilangan makin ke kanan makin besar dan makin ke kiri

makin kecil.

e. Bilangan bulat meliputi:

Bilangan bulat genap: … , -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …

Bilangan bulat ganjil: … , -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, …

Definisi 1

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) bila dan

hanya bila ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b

Definisi 2

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) bila dan

hanya bila b < a.

dengan demikian berarti 1>-1, 1>-2, 1>-3, demikian pula 2>-1, 2>-2, 2>-3 dan seterusnya.

Jadi urutan dalam bilangan bulat adalah………………….<-3<-2<-

1<0<1<2<3<………………….

Contoh :

- 5 < -2 karena ada bilangan bulat positif 3 sehingga (-5) + 3 = (-2)

-3 < 7 karena ada bilangan bulat positif 10 sehingga (-3) + 10 = 7.

2. SIFAT URUTAN PADA BILANGAN BULAT

SIFAT – SIFAT BILANGAN BULAT

a. Sifat Trikotomi Bilangan Bulat

Jika p dan q bilangan bulat, maka berlaku tepat satu dari tiga kemungkinan berikut :

1. p < q2. p = q3. p > q

Jadi tidak mungkin ada lebih dari satu kemungkinan di atas dapat berlaku bersama-sama.

b. TeoremaUntuk a, b, c bilangan – bilangan bulat, berlaku

1. Jika a = b, maka a + c = b + c2. Jika a < b, maka a + c < b + c

Bukti : Untuk (1) Diketahui a = bMisal a + c = kk = a + ca =

k = b + c b+c = a+ck = a + c a+c = b+c

Untuk (2)Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a + d = b

Diketahui a dan b bilangan – bilangan bulat dengan a < b. menurut hipotesis yang diketahui a < b, oleh karena itu, berdasar definisi kurang dari terdapat bilanganbulat positif d sehinnga berlaku a + d = bKedua ruas ditambahkan saja dua bilangan yang sama, yaitu c.

( a+ d ) + c = b + c a + ( d + c ) = b + c sifat asosiatif a + ( c + d ) = b + c sifat komutatif ( a + c ) + d = b + c sifat asosiatif

Dengan d suatu bilangan bulat positif, oleh karena itu menurut definisi kurang dari diperoleh a + c < b + c untuk setiap bilangan bulat a dan b.

Jadi, jika a < b maka a + c < b + c Teorema (Sifat kanselasi penjumlahan)Untuk a,b,dan c bilangan- bilang bulat.1. Jika a+c=b+c, maka a=b2. Jika a+c<b+c, maka a<b

Bukti :

Untuk (1)

Diketahui a + c = b + c

a + c + ( -c ) = b + c + ( -c ) kedua ruas ditambahkan bilangan yang sama yaitu –c

a + { c + ( -c ) } = b + { c + ( -c ) } sifat asosiatif

a + 0 = b + 0 sifat invers

a = b sirat identitas

Untuk (2)

Diketahui a + c < b + c

Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a + d = b

Diketahui a,b dan c bilangan – bilangan bulat dengan a + c < b + c. menurut hipotesis yang diketahui a + c < b + c, oleh karena itu, berdasar definisi kurang dari terdapat bilanganbulat positif d sehinnga berlaku a + c + d = b + c

a+ c + d = b + c a + c + d + ( -c ) = b + c + ( -c ) kedua ruas ditambahkan bilangan yang sama

yaitu ( -c ) a + c + ( -c ) + d = b + c + (-c ) sifat komutatif a + { c + ( –c )} + d = b + { c + ( –c )} sifat asosiatif a + 0 + d = b + 0 sifat invers a + d = b sifat identitas

Dengan d suatu bilangan bulat positif, oleh karena itu menurut definisi kurang dari diperoleh a 0, maka ac < bc3. jIka a bc

Untuk (1) Diketahui a = bMisal k = ac

k = ac a = b

k = bc bc = ac k = ac ac= bc

Untuk (2) Menurut hipotesis a 0 oleh karena a < b menurut definisi kurang dari terdapat bilangan bulat positif d sehinnga berlaku a + d = b. kedua ruas akan bernilai sama jika masing – masing ruas dikalikan bilangan bulat positif c sehinnga

c ( a + d ) = c.b ca + cd = cb

dengan c dan d bilangan- bilangan bulat positif, maka c dikalikan dengan d sama dengan bilangan bulat positif, sehingga cd adalah bilangan bulat positif. Dan berakibat menurut definisi kurang dari diperoleh ac < bc. Untuk (3)Menurut hipotesis a < b dan c < 0 oleh karena a < b menurut definisi kurang dari terdapat bilangan bulat positif d sehinnga berlaku a + d = b. kedua ruas akan bernilai sama jika masing – masing ruas dikalikan bilangan bulat negatif c sehinnga

c ( a + d ) = c.b ca + cd = cb

dengan c bilangan bulat negative dan d bilangan bulat positif, maka c dikalikan dengan d sama dengan bilangan bulat negatif, sehingga cd adalah bilangan bulatnegatif. Dan berakibat menurut definisi kurang dari diperoleh ac > bc.

Teorema (Sifat Transitif Urutan Bilangan Bulat)Untuk a , b dan c bilangan-bilangn bulat.Jika a < b dan b < c, maka a <cBukti : a < b dan b < cMenurut definisi, a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a+d=b; b<c jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif e sehingga b+e=cKita punya : a + d = b

( a + d ) + e = b + e ( a + d ) + e = c a + ( d + e ) = c d + e bilangan bulat positif a < cJadi, jika a < b dan b < c maka a < c.

Sifat 1

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b bila dan hanya bila a + c < b + c.

Bukti:

I. Dibuktikan

jika a < b maka a + c < b + c.

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + c < b + c definisi "lebih kecil dari"

II. Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.

a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga

(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"

a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan

{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan

(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif penjumlahan

(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan

a + p = b.

a < b definisi "lebih kecil dari"

Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa

A < b bila dan hanya bila a + c < b + c

Sifat 2.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka .

Bukti:

berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga:

Sifat 3.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a

Bukti: a x c < b x c

(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))

(a x c) + (-b)) x c < 0

(a + (-b)) + b < 0 + b

A + ((-b) + b) < b

A < b

Sifat 4

Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a b xc

Bukti:

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi "lebih

kecil dari"

(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan

(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c) suatu bilangan bulat

negatif, sehingga (k x c) bilangan bulat positif.

{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)

Sifat penjumlahan pada kesamaan

(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))

Sifat asosiatif penjumlahan

(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan

(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka

A x c > b x c Definisi “lebih kecil dari “.

Konvers sifat 2.5 juga bernilai benar, yaitu : a x c > b x c

Sifat 5

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a x c > b x c maka

Sifat-sifat urutan pada bilangan bulat beserta pembuktiannya:

1. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah dengan a<b, maka a+c < b+c, untuk setiap

bilangan cacah c

2. Jika a, b dan c bilangan-bilangan cacah dengan a0 dan a<b, maka axc<bxc

Pembuktian sifat urutan bilangan:

1. menurut yang diketahui, a<b, oleh karena itu berdasarkan definisi kurang dari,

terdapat bilangan asli “k”, sehingga berlaku : a+k=b

# ( a+k ) + c = b + c ≈ kedua ruas ditambah bilangan yang sama ( ex: c )

# a + ( k+c ) = b + c ≈ sifat asosiatif

# a + ( c+k ) = b + c ≈ sifat komutatif

# ( a+c ) + k = b + c ≈ sifat asosiatif

Dengan “k” blanngan asli, oleh karena menurut definisi kurang dari, diperoleh a+c<b+c

( untuk setiap bilangan cacah c )

2. Menurut yang diketahui, a<b dan b<c

A<c, berdasarkan “definisi kurang dari”, terdapat bilangan asli “k”,sehingga berlaku a+k =

b….(1)

Dan b<c, berdasarkan definisi kuranga dari, terdapat bilangan asli “m”, sehingga berlaku

b+m = c….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

A+k = b

B+m = c / c = b+m

Oleh karena itu diperoleh c = b+m

= ( a+ k ) + m

= a + ( k+m )

Dengan “k” dan “m” bilangan-ilangan asli, oleh karena itu, “k” dan “m” juga bilangan asli

Jadi terdapat bilangan asli “k” dan “m”, sehingga berlaku c=a + ( k+m )

Menurut “definisi kurang dari”, diperoleh c<a

3. Menurut yang diketahui, a<c dan b<d

Karena a<c, menurut definisi kurang dari”, terdapat bilangan asli “n”, sehingga berlaku a+n =

c…..(1)

Karena b<d, menurut “definisi kurang dari “, terdapat bilangan asli “g”, sehingga berlaku b+g

= d / b = d-g…..(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

A+n = c

B+g = d

+

(a+n ) + ( b+g ) = c+d

# a + ( n+b ) + g = c+d

# a + ( b+n ) + g = c+d

# ( a+b ) + ( n+g) = c+d

Jadi terdapat bilangan asli “n” dan “g”, sehingga ( a+b )+ ( n+g ) = c+d

Menurut definisi kurang dari” diperoleh : a+b < c+d

4. menurut yang diketahui, c>0 dan a<b

berdasarkan “definisi lebih dari”, terdapat bilangan asli “p”, sehingga berlaku : 0+p = c…..(1)

Berdasarkan definisi kurang dari”, terdapat bilangan asli “s”, sehingga berlaku : a+s = b…(2)

3. KONSEP HABIS BAGI

Jika 2 x 5 =10, maka 10 : 2=5 dikatakan 2 membagi 10, 10 habis dibagi 2, 10 kelipatan 2, 2

faktor 10.

Definisi : jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membegi b

(dinyatakan dengan a | b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan c demikian sehingga b=

ac. Jika a mambagi b, maka dapat dikatakan bahwa :

a pembagi b

a faktor b

b kelipatan a

c habis dinbagi a

untuk a| b maka b: a adalah sebuah bilanagn bulat. “a | b utnuk menyatakan bahwa a

tidak membagi b. Misalnya 2 | 7 karena tidak ada bilangan bulat x demikian sehingga 7 = 2x.

Contoh 1:

32 : 4 = 8 atau 32 = 4.8

Dengan demikian 4 membagi 32

32 habis dibagi 4

4|32

Contoh2:

4| 28 (*dibaca 4 membagi 28 ) karena 4.7 = 28

Dengan demikian 4 adalah faktor 28 dan 28 adalah kelipatan 4

Contoh 3 :

8| -48 kerena 8 (-6) = -48. Sehingga 8 adalah faktor dari -48 dan -48 adalah kelipatan

dari 8.

Contoh 4 :

nyatakan benar atau salah pernyataan- pernyataan berikut bila a adalah suatu bilangan a

I. 1|a

II. a|a

III. 7|0

IV. 0|9

V. 0 0

Jawab :

1a benar, karena a = 1.a

A a benar, karena a = a.1

7.0 benar, karena 0 = 7.0

09 salah, karena tidak ada bilangan bulat x demikian hingga 9= 0.x

00 salah, karena tidak ada bilangan bulat x yang tumnggal demikian hingga 0= x.0

Perhatikan bahwa dalam definisi memnbagi tidak termasuk pembagian oleh 0. Bandingkan

contoh 4 (iv) dan 4 (v).

Contoh 5: 3|15 karena 15 = 3.5

Demikian pula 15 | 390 karena 390 = 15.26

Selanjutnya, 390 = (3.5).26 = 3. (5.26)

Jadi 390 = 3.290, dan 3 | 390

Secara umum, jika x|y dan y|z maka x|z.

Contoh 6 :

3|21 dan 7|35, karena 21= 7.3 dan 35 =7.5

Selanjutnya , 21+ 35 = (7.3)+(7.5) = 7(3+5) = 7.8

Jadi, 7| (21 +35)

Secara umum , jika jika x|y dan x|z maka x|(y+z)

Contoh 7:

gunakan fakta 3|6 untuk menunjukkan garis 3|54

Jawab :

Karena 3|6 , maka 6 = 3.2 .

Untuk melihat bahwa 3 | (6.9), tulis 6 sebagai 3.2

6.9 = (3.2).9

= 3(2.9)

= 3(18)

Jadi, 3 |6.9 atau 3 |54.

Secara umum , jika Secara umum , jika jika x|y dan x|z maka x|y.z

Contoh 5: 4 | 16 dan 4 | 60, maka 4 | 44, oleh sifat (e).

Contoh 6: 3 | 12 maka 3 | 12(20), meskipun 3 bukan pembagi 20, oleh sifat (f).

Sekarang, perhatikan bahwa sifat (c) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang

bilangan bulat n yang terhingga.

Jika a|b₁, a|b₂, a|b₃, ……,. Dan a|bn maka

a| (b₁ + b₂ + b₃ + ….. + bn )

Dengan cara yang sama, sifat (d) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang

bilangan bulat n yang terhingga.

Jika a|b₁, a|b₂, ………, a|bn−1 dan jika

a|(b₁ + b₂ + ……. + b + bn maka

a|bn

Bukti sifat c

diketahui x|y dan x|z,

x|y dikatakan x membagi y. berarti x membagi y . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu k sehinnga berlaku y = xk. Dengan demikian x adalah haktor dari y dan y adalah kelipatan x….. (1)

x|z dikatakan x membagi z. berarti x membagi z . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu t sehinnga berlaku z = xt. Dengan demikian x adalah haktor dari z dan z adalah kelipatan x….. (2)

dari (1) dan (2) diperoleh bahwa factor dari z dan y adalah x. dan berdasar rumus dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang bilangan bulat n yang terhingga jika a|b₁, a|b₂, a|b₃, ……,.

Dan a|bn maka

a| (b₁ + b₂ + b₃ + ….. + bn ) dengan demikian berakibat x|(y+z).

bukti sifat d

dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang bilangan bulat n yang terhingga.

Jika a|b₁, a|b₂, ………, a|bn−1 dan jika

a|(b₁ + b₂ + ……. + b + bn maka

a|bn

bukti sifat e

Jika x|y dan x|(y+z) atau x|(y-z), maka x|z

bukti sifat f

diketahui x|y dan x|z,

x|y dikatakan x membagi y. berarti x membagi y . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu k sehinnga berlaku y = xk. Dengan demikian x adalah haktor dari y dan y adalah kelipatan x….. (1)

x|z dikatakan x membagi z. berarti x membagi z . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu t sehinnga berlaku z = xt. Dengan demikian x adalah haktor dari z dan z adalah kelipatan x….. (2)

dari (1) dan (2) diperoleh bahwa factor dari z dan y adalah x. sehinnga berakibat x juga factor dari z dan y sehinnga z dan y merupakan kelipatan dari x. dan dapat ditulis x|yz.

5. CIRI BILANGAN HABIS BAGI

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.

Contoh :

Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah untuk sebarang bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu untuk sebarang bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya sebanyak digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

Karena habis dibagi , maka agar bilangan habis dibagi harusnya habis dibagi . Dimana adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita. Sehingga ciri bilangan habis dibagi yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi . Yaitu

. Yang tidak lain merupakan bilangan genap.


Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3

Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, . Karena (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi .

Maka bilangan itu habis dibagi .

Bukti :

Untuk sebarang bilangan misalnya sebanyak digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk

Sekarang perhatikan ini

pada bilangan sebanyak angka

Kemudian perhatikan ini

perhatikan bahwa jumlah digitnya sebanyak

Dari situ kita dapatkan :

jumlah digitnya sebanyak

Disini kita akan menuliskan sebagai lambang . Ingat bahwa adalah kelipatan

Sehingga kita bisa menulis :

Karena habis dibagi . Maka agar habis

dibagi . Harusnya habis dibagi . Dimana

adalah jumlah angka-angkanya (jumlah digit-digitnya). Sehingga syarat bilangan habis dibagi adalah jumlah digit-digitnya harus habis dibagi


Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.

Contoh : Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.

Bukti ditinggalkan sebagai latihan. Tips untuk membuktikan, langkah yang digunakan hampir sama dengan pembuktian bilangan habis dibagi dua. Hanya saja nantinya memakai angka . Karena habis dibagi , sedangkan tidak habis dibagi .


Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.

Contoh : Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5.

Buktinya sama dengan pembuktian pada ciri bilangan yang habis dibagi .

Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi

Ciri bilangan yang habis dibagi adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi . Atau bilangan yang habis dibagi dan habis dibagi .

Contoh : apakah habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. . Dan habis dibagi . Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi dan

bilangan itu genap. Maka habis dibagi .

Bukti :

Kita juga bisa mengatakan bahwa jika bilangan habis dibagi , maka bilangan itu habis dibagi dan habis dibagi . Bukti :

Misalkan bilangan itu .

membagi atau . menurut definisi, ada bilangan bulat sehingga

.

Didapatkan dan . Sehingga diperoleh dan . Karena . Sehingga syarat bilangan habis dibagi . Harus memenuhi syarat bilangan habis

dibagi dan syarat bilangan habis dibagi . Dengan kata lain, syarat bilangan habis dibagi adalah apabila digit-digitnya dijumlahkan harus habis dibagi dan angkanya berakhiran

dan . Atau bisa dikatakan bilangan habis dibagi adalah bilangan genap yang apabila digit-digitnya dijumlahkan maka habis dibagi


Bila bagian satuannya dikalikan , dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi , maka bilangan itu habis dibagi .

Contoh : apakah habis dibagi 7? Kita pisahkan (satuannya), kemudian

. Apakah habis dibagi 7? . Karena habis dibagi , maka habis dibagi .

Bukti :

Misalkan bilangan awal adalah P

sebanyak digit. Ini adalah bilangan awal.

bedakan dengan yang di atas. Yang ini berkurang satu digit.

Sehingga diperoleh hubungan antara dan , yaitu .

ini adalah syarat bilangan habis dibagi 7.

Kita dapat menuliskan syarat bilangan habis dibagi 7 seperti ini : Jika bilangan habis dibagi 7 maka (perhatikan di atas) habis dibagi 7. Jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7. Dari pernyataan itu bisa dikatakan : “bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika habis dibagi 7.” Sehingga kita harus membuktikan dua kali. yaitu untuk Jika bilangan habis

dibagi 7 maka habis dibagi 7. Dan untuk jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

Bukti untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka habis dibagi 7

Bilangan awal yaitu . dan diketahui habis dibagi 7.

Kita tulis (lambang adalah sebuah garis vertical pada keterbagian. Contohnya . Yang artinya habis dibagi . atau adalah factor dari )

Kita punya teorema, jika , maka dengan bilangan bulat. Sehingga kita boleh menuliskan

Sekarang perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7. Tentunya kelipatan dari 21 juga habis dibagi 7.

Dalam keterbagian, kita punya teorema jika dan maka

Sehingga diperoleh

Terbukti

Bukti untuk jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.

Menurut teorema, jika , maka dengan bilangan bulat.

Seperti halnya bukti yang pertama, 21 habis dibagi 7. Sehingga,

Ada teorema pada keterbagian yang mengatakan, jika dan maka

Menurut teorema, jika maka . Maka,

Terbukti

Bilangan habis dibagi 8

Tiga digit terakhir habis dibagi 8.

Contoh : apakah 2168 habis dibagi 8. Iya, karena 168 habis dibagi 8.

Buktinya diserahkan kepada pembaca. Tipsnya, gunakan langkah yang mirip dengan ciri bilangan habis dibagi 2 dan 4. Nantinya akan ditemukan suatu hal yang menarik bahwa ciri bilangan habis dibagi akan ada hubungannya dengan digit terakhirnya

Bilangan yang habis dibagi 9

Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9.

Bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai

N = ak (10)k

- 1 + 1) + ak−1 ( 10k−1

- 1 + 1 ) + … + a2 ( 10)2

- 1 + 1 ) + a 1 (10 – 1 + 1) +

a0

= ( ak + ak−1+ …+ a2 + a11 + a0 ).

Jelas bahwa 9|(10-1), 9|(102

-1), 9|(103

-1) dan secara umum 9|(10k

-1), untuk k adalah

sembarang bilangan asli. Dengan demikian 9|N jika dan hanya jika 9| (ak + ak−1+…+ a2 + a

11 + a0 )

Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.

Bukti : sama dengan ciri bilangan habis dibagi 3.

Ciri-ciri habis dibagi 10

suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan tersebut 0.

Contoh: Jelas bahwa 10|768940

Ciri habis dibagi 11

suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh:

a) 11|722084 karena 11|(7+2+8) – (2+0+4) atau 11|11b) 11|2837604 karena 11|(2+3+6+4)- (8+7+0) atau 11|0


2 Angka terakhir adalah 25, 50, 75, atau 00.

Misal: 250, 4425, 375, 1000.


2 angka terakhir adalah 50 atau 00.

Misal: 2250, 2100.


2 angka terakhir adalah 00.

Misal: 3300, 1200.


3 angka terakhir adalah 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, atau 000.

Misal: 1125, 44375, 34000.


3 angka terakhir adalah 250, 500, 750, atau 000.

Misal: 33500, 2250, 10000.


3 angka terakhir adalah 500 atau 000.

Misal: 12500, 2000.


3 Angka terakhir adalah 000.

Misal: 23000, 12000, 56000.

Konsep Urutan Bilangan Bulat

Documents

Transcript of Konsep Urutan Bilangan Bulat