BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang.

Dalam mempelajari sistem kendali sangat bergantung pada penggunaan matematika

terapan. Satu dari tujuan utama mempelajari sistem kendali adalah untuk mengembangkan alat

bantu analitis sehingga perancang meng-hasilkan perancangan yang dapat diprediksi dan dapat

dipercaya tanpa tergantung sepenuhnya pada percobaan atau simulasi komputer. Untuk

mempelajari teori kendali klasik, yang diuraikan dalam makalah ini, latar belakang

matematis yang perlu adalah masalah teori variabel kompleks, persamaan diferensial dan

diferensi, transformasi Laplace dan transformasi z,dan sebagainya. Sedangkan teori kendali

modern, mensyaratkan latar belakang matematis yang lebih lengkap. Sebagai tambahan dari

masalah di atas, teori kendali modern didasarkan pada dasar teori matriks, teori himpunan,

transformasi dan aljabar linear, kalkulus variasi, pemrograman matematis, teori probabilitas, dan

matematika lanjut lainnya. Pada bab ini akan diuraikan bahan-bahan yang menjadi latar

belakang, yang dibutuhkan untuk masalah sistem kendali. Karena keterbatasan tempat dan

sebenarnya kebanyakan pokok masalah tersebut harus dikaji ulang sendiri oleh pembaca,

masalah matematis ini tidak akan diuraikan dengan lengkap. Bagi pembaca yang ingin

mendalami masalah ini harus menelaah lebih lanjut buku-bukuyang berhubungan dengan

masalah tersebut.

1.2. Permasalahan

Dalam kawasan waktu integral konvolusi merupakan cara khusus yang

mencirikan hubungan input-output dari sistem linier. Tapi integral konvolusi

1

tidaklah selalu mudah dalam penyelesaiannya. Sehingga sedapat mungkin dicari

suatu metoda lain yang lebih mudah dalam penyelesaiannya.

Transformasi laplace merupakan metoda yang dapat digunakan untuk

maksud diatas. Sehingga dalam penulisan makalah ini akan disajikan konsep-

konsep bagaimana transformasi laplace yang merupakan bagian dari kawasan

transformasi digunakan dalam analisa sistem linier waktu kontinu secara teoritis,

untuk mendapatkan keluaran dari suatu masukan tertentu.

1.3. Tujuan

1. Mengetahui defenisi Transformasi Laplace

2. Mengetahui fungsi Transformasi Laplace

3. Mengetahui teorema-teorema Transformasi Laplace

4. Mengetahui inversi Transormasi laplace

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Pengertian Transformasi Laplace

Transformasi laplace sering dipergunakan untuk menganalisa sinyal dan

sistem linier tak ubah waktu. Transformasi laplace mempunyai banyak

karakteristik yang mempermudah analisa tersebut. Transformasi laplace juga

sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Dalam

desain sistem transformasi laplace digunakan untuk menyatakan fungsi alih

sistem. Berikut dibahas mengenai transformasi laplace dimulai dari rumusan

transformasi laplace.

ℓ ( F ( t ) ) = F ( s) =∫0

∞

f ( t ) e−st

(2.1)

dengan s adalah bilangan kompleks yaitu s=+j. Penggunaan laplace

transform akan lebih jelas dengan contoh sebagai berikut.

Contoh soal 2 .1 :

Diketahui suatu fungsi f(t) sebagai berikut:

f (t ) = {¿ A ; t >00 ; t <0

Carilah tranformasi laplace F(s) dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

3

Dari rumusan transformasi laplace, nilai F(s) dapat dicari sebagai berikut:

ℓ ( F (t ) ) =∫0

∞

A e−st dt

=A−s

e−st |0∞

= A−s

e−∞ − A−s

e−0

= As

Dari penyelesain tersebut dapat dilihat bahwa untuk A=1 berarti f (t) = u (t)

maka F (s) =

1s . Jadi untuk fungsi undak dapat diperlihatkan bahwa hasil

transformasi laplace adalah nilai dari fungsi tersebut dibagi dengan s. Untuk

lebih memantapkan penggunaan rumusan transformasi laplace disajikan

contoh transformasi laplace dari fungsi lereng.

Tabel 3.1 Tabel Transformasi Laplace

No f(t) F(s)

1 δ (t ) 1

2 11s

3 T1

s2

4

4tn−1

(n−1)1

sn

5 tnn !

sn+1

6 e−at 1s+a

71

(n−1)!tn−1 e−at 1

( s+a )n

8 te−at1

( s+a )2

9 Sin wtw

s2+w2

10 Cos wts

s2+w2

11 tne−atn !

( s+a )n+1

12 e−at sin wtw

( s+a )2 + w2

13 e−at cos wts+a

( s+a )2 + w2

141a

( 1 − e−at ) 1s (s+a )

Contoh soal 2 .2 :

5

Diketahui suatu fungsi sebagai berikut:

f ( t ) =(At ; t ≥00 ; t < 0

Carilah F(s).

Penyelesaian:

ℓ (f (t ) ) =∫0

∞

A t e−st dt

= Ate−st

−s|0∞ −∫

0

∞ A e− st

−sdt

=As ∫

0

∞

e−st dt

= As2

dari penyelesaian tersebut dapat dilihat bahwa hasil transformasi laplace

untuk fungsi lereng adalah gradient fungsi lereng dibagi dengan s. Dengan

beberapa contoh tersebut dapat dilihat bahwa transformasi laplace mengubah

fungsi-fungsi umum dalam t seperti fungsi undak, fungsi lereng, fungsi sinus

dan fungsi-fungsi lain menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s.

Penggunaan integral untuk mencari transformasi laplace dari suatu fungsi sering

menjadi pekerjaan yang kurang menyenangkan. Untuk lebih mempermudah

proses transformasi pada Tabel 2.1, disajikan tabel transformasi laplace.

2.2. Fungsi Transformasi Laplace

A. Fungsi Step

6

F(t) = 0 untuk t < 0

= A untuk t > 0

F (s )=∫0

∞

A . e−st . dt=− As

e−st|0∞

= − A

s(0−1 )

=

As

B. Fungsi Pulse

F(t) = 0 untuk t < 0 & t >T

= A untuk 0 t T

F (s )=∫0

∞

f ( t ) . e−st . dt

=∫0

T

A . e−st . dt

=−As

.e−st|0

T

=−As

(e−st−1 )

=As

(1−e−st )

Fungsi Unit Step : f(t) = 1 (t) F(s) = 1/s

C. Fungsi Impulse

7

f ( t )=limto→0

Ato untuk 0 < t < to

= 0 untuk t < 0 & to < t

F (s )=limt 0→∞

At 0 s

(1−e−sto)

=limto→ 0

ddto

[ A(1−e−sto )]

ddto

( tos)

=A s

s

= A

Fungsi Unit-Impulse : f(t) = (t)

F(s) = 1

D. Fungsi Ramp

F(t) = 0 untuk t < 0

= At untuk t 0

F (s )=∫0

∞

A . t . e−st . dt

8

=A∫0

∞

t . e-st .dt

=A . t .e−st

−s|0∞−∫

0

∞ A .e−st

−sdt

=As ∫

0

∞

e−st . dt

=As2

E. Fungsi Eksponensiil

F(t) = o untuk t < 0

= Ae−αt untuk t 0

F(s)

=∫0

∞

A . e−αt . e−st . dt

=A∫0

∞

e−(α+ s )t .dt

=−As+α

e−(s+α )t|0∞

=−As+α

(0−1 )

=As+α

F. Fungsi Sinus

f(t) = A sin t

F (s )=∫0

∞

A . sinωt . e−st . dt

9

=∫0

∞

A .e jωt−e− jωt

2j. e−st dt

=A2j∫

0

∞

(e jωt . e−st−e− jωt .e−st )dt

=A2j∫

0

∞

(e( jω−s)t−e−( jω+ s)t )dt

=A2j

[ 1jω−s

e( jω−s )t+1jω+s

e−( jω+s )t ]0∞

=A2j

[1s− jω

−1s+ jω

]

=A2j

.s+ jω−s+ jωs2+ω2

¿ A .ωs2+ω2

G. Fungsi Cosinus

f(t) = A cos t

F(s) = A.

s

s2+ω2

2.3. Teorema-Teorema Transformasi Laplace

1. Teorema Translasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka L [f (t - )] = e−α . s . F( s )

Bukti :

10

L [ f ( t - ) ]

=∫0

∞

f ( t−α )e−st . dt

=∫0

∞

f ( t−α )e−αs .e− s(t−α )

=∫−α

∞

f ( τ )e−sτ dτ

=e−αs∫−α

∞

f (τ ).e−sτ dτ

=e−αs∫0

∞

f ( t ).e−st dt

=e−αs . F( s )

2. Teorema Perkalian Dengan e−αt

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka : L [ e−αt

.f(t) ] = F ( s + )

Bukti :

L [ e−αt

.f(t) ] = ∫0

∞

e−αt f ( t )e−st . dt

=∫0

∞

f ( t ) .e−(s+α )t . dt

=F ( s+α )

3. Teorema Diferensiasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

11

Maka : L [

df ( t )dt ] = sF(s) – f(0)

Dimana f(0) adalah harga f(t) untuk t=0

L [

d2 f ( t )dt2

] = s2F(s) - sf(0) – fI(0)

L [

d3 f ( t )dt3

] = s3F(s) – s2f(0) – sfI(0) – fii(0)

Bukti :

L [

df ( t )dt ] =

∫0

∞

(df ( t )dt

)e−st . dt

=∫0

∞

e−st df ( t )

=e−st . f ( t )|0∞−∫

0

∞

f ( t )de−st

=0− f (0 )+s∫0

∞

f ( t ).e−st dt

=−f (0 )+sF( s )

4. Teorema Integrasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka : L [ ∫ f ( t )dt ] =

F ( s )s

+f −1(0)

s

12

Dimana f-1(0) adalah ∫ f ( t )dt untuk t = 0

Bukti :

L [ ∫ f ( t )dt ] =∫

0

∞

[∫ f ( t )dt ]e−stdt

=−1s ∫0

∞

[∫ f ( t )dt ]de−st

=−1s

[ e−st∫ f ( t )dt|0∞−∫

0

∞

e−st f ( t )dt ]

=−1s

[0− f−1(0)−F( s ) ]

=F ( s )s

+f −1(0 )s

L [ ∫(∫ f ( t )dt )dt ] =

F ( s )s2 +

f −i(0)s2 +

f −ii(0 )s

5. Teorema Harga Awal Dan Harga Akhir

A.limt→0

f ( t )=lims→∞

sF (s )

B.limt→∞

f ( t )=lims→0

sF (s )

Bukti :

A.

lims→∞

∫0

∞

[df ( t )dt

]e−st dt=0

lims→∞

sF (s )−f (0 )=0

f (0)=lim

t→ 0f ( t )=lim

s→∞sF( s )

13

B.lims→0

L[df ( t )dt

]=lims→ 0

[sF (s )−f (0 ) ]

=lims→ 0

sF(s )−f ( 0)

karena lims→0

e−st=1

∫0

∞

[df ( t )dt

]dt=f ( t )|0∞

=f (∞)−f (0)=lim

s→ 0sF(s )-f (0)

f (∞)=limt→∞

f ( t )=lims→0

sF( s )

2.4 Inversi Transformasi Laplace

Untuk mencari fungsi waktu f(t) dari transformasi laplacenya

L-I [ F(s) ] = f(t)

Metode Ekspansi Pembagian Parsial (Partial Fraction Expantion)

F(s) = F1(s) + F2(s) + ….. + Fn(s)

L-I[ F(s) ] = L-I[ F1(s) ] + L-I[ F2(s) ] + ….. + L-I[ Fn(s) ]

F(t) = f1(t) + f2(t) + ….. + fn(t)

2.5. Contoh soal Transformasi Laplace

1. L {5 t−3}=L {5 t−3a}=L {5 t }−L{3}

=5 L {t }−3 L{1}

=5

1

s2−3

1s

14

= 5

s2−3

s

2. L {6 sin 2 t−5 cos2 t}=L {6 sin2 t }−L{5 cos2 t}

=6 L {sin 2t }−5 L{cos2 t}

=6

2

s2+4−5

s

s2+4

=12−5 s

s2+4

3. L {( t2+1)2}=L {t4+2 t2+1}

=L {t4}+L{2 t2}+L {1}

=L {t4}+2 L {t2}+L {1}

=

4 !

s4 +1+2( 2 !

s2+1 )+1s

=24

s5+ 4

s3+ 1

s

4. L {4e5t+6 t2−3sin 4 t+2cos 2t }

=L {4e5 t}+L {6 t2}−L {3sin 4 t}+L {2cos2 t}

=4 L {e5t }+6 L {t2}−3 L {sin 4 t }+2 L {cos2t }

=4

1s−5

+62

s3−3

4

s2+4+2

s

s2+4

15

= 4

s−5+12

s3−12

s2+16+ 2 s

s2+4

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

16

1. Transformasi Laplace memiliki banyak sifat umum yang cukup

menakjubkanyang kita dapat gunakan untuk mendapatkan transformasi

atau transformasi invers Laplace-nya. Tentu saja, metode-metode untuk

mencapai tujuan itu didasarkan pada sifat-sifat itu sendiri seperti integrasi

langsung, pemanfaatan linearitas, pergeseran dan diferensiasi atau

integrasi dari fungsi original ƒ(t).

2. Fungsi-fungsi dari transormasi laplace adalah:

a. Fungsi step

b. Fungsi pulse

c. Fungsi inpulse

d. Fungsi ramp

e. Fungsi eksponensiil

f. Fungsi sinus

g. Fungsi cosinus

3. Teorema-teorema transformasi laplace adalah:

a. Teorema translasi

b. Teorema perkalian dengan e-at

c. Teorema diferensiasi

d. Teorema integrasi

e. Teorema harga awal dan harga akhir

3.2. Kritik dan Saran

17

DAFTAR PUSTAKA

18

Dhidik prastiyanto (2009). Transformasi Laplace. From

http://dhidik.wordpress.com/2009/10/18/transformasi-laplace/, 16

Nopember 2012

Purwadi Raharjo (2009). Transformasi Laplace dalam Mekatronika. From

http://www.infometrik.com/2009/08/transformasi-laplace-dalam-

mekatronika/, 16 Nopember 2012

Muhammadkusni (2011). Transformasi Laplace. From

http://muhammadkusni.wordpress.com/2011/03/20/transformasi-laplace/, 16

Nopember 2012

Spiegel, Murray R. (1990). Seri Buku Schaum ; Teori Dan Soal-soal :

Transformasi Laplace. Penerbit: Erlangga.

Silaban, Pantur, Spiegel, Murray R., Waspakrik, Hans. (1990). Transformasi

Laplace, Jakarta: Penerbit Erlangga.

19