BAB I PENDAHULUAN LATAR BELAKANG Aplikasi teknik merupakan penerapan metode Numerik,yaitu teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dpt diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika.walaupun terdapat banyak metode numeric, namun pada dasarnya metode tersebut memiliki satu dasar karasteristik umum.Penguasaan metode numeric serta computer ( MATLAB )untuk penyelesaian masalah sangat diperlukan, yaitu dengan mengembangkan satu model matematika dari proses fisik. Dunia fisika dalam segala kompleksitasnya dapat muncul banyak sekali problem.Secara tradisional, para ilmuwan telah menandai pola-pola dan hukum-hukum yang akan di tiru,misalkan berdasarkan pengamatan ,Newton telah memformulasikan hukum gerak kedua yang menytakan bahwa laju waktu perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya resultan yang bekerja padanya.Dengan mempertimbangkan cara yang amat kompleks, dimana gaya-gaya dan benda berinterkasi dengan bumi, hukum ini terbukti berlaku secara umum. Suatu model matematika secara luas dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atau persamaan yang mengungkapkan segi utama suatu system atau proses fisika dalam istilah model matematika.Model merentang dari hubungan aljabar sederhana sampai system persamaan diferensial yang besar dan rumit. Batasan Masalah Batasan masalah dari laporan praktikum ini meliputi : 1. Pengenalan Matlab. 2. Pemecahan masalah parameter-parameter persamaan yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis. 3. Pencocokan kurva dengan cara regresi dan interpolasi dari data-data hasil percobaan. TUJUAN PRAKTIKUM Tujuan dalam praktikum ini adalah: 1. Menyelesaikan beberapa persamaan model matematik baik dengan cara analitis 2. Menyelesaikan persamaan model matematik dengan numeric ( MATLAB )\ 3. Membuat interpretasi hasil MATLAB dan membandingkannya dengan metode analitis

Sistematika penulisan laporan BAB I PENDAHULUAN Berisikan latar belakang di laksanakannya pratikum aplikasi teknik,maksud dan tujuan seluruh percobaan,batasan masalah dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Berisikan teori penunjang seluruh percobaan meliputi teori pengenalan MATLAB, Program MATLAB, Akar-akar persamaan dengan metode Newton Raphson,Penyelesaian persamaan dengan eliminasi gaus. BAB III PROSEDUR PRAKTIKUM DAN PEMOGRAMAN MATLAB. Berisikan prosedur praktikum,Program MATLAB,dan data-data. BAB IV ANALISIS Berisikan perhitungan cara analis. Interpretasi hasil numeric dan perbandingan cara analis dan Numerik. BAB V KESIMPULAN Berisikan kesimpulan berdasarkan perhitungan dan analisis data seluruh praktikum DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN PENGENALAN MATLAB MATLAB ( Matrik Laboratory ), awalnya hanya sebuah software yang dikhusukan untuk menyelesaikan persamaan matematik ke dalam sebuah matrik.Namun sekarang sesuai dengan perkembangan sains yang ada MATLAB sekarang digunakan sebagai bahasa untuk komputasi teknik maupun sains lainnya.Matlab sekarang ini dirancang untuk meningkatkan jangkauan dalam produktifitas ilmu. Mempercepat proses penemuan dan pengembangan dan kreatifitas penelitian.Karena Matlab dirancang untuk bahas komputasi, sehingga matlab menyediakan fasilitas-fasilitas yang mudah dipelajari dan digunakan sehingga memungkinkan untuk membuat aplikasi yang lebih besar dan kompleks. Kegunaan Matlab antara lain: 1. Alat pemograman dan pembuatan aplikasi 2. Komputasi dan visualisasi gambar lebih baik dan cepat 3. Menyediakan fasilitas matematika untuk analisa data Penggunaan Menu Pull-Down pada Matlab

Pemakaian Matlab sangat mudah karena menggunakan fasilitas menu PullDown.Diskripsi penggunaan fungsi menu untuk Command Window (Layar Perintah) dan Figure Window (layar gambar). Menu Command Window Command window ( layar perintah ) menyediakan perintah-perintah yang digunakan pada Matlab. Anda dapat mengakses semua fungsi yang disediakan untuk menjalankan perintah pada matlab dengan diberi tanda prompt ( >> ) pada Command Window. Menu Command Window terlihat seperti pada gambar 1. Gambar FILE Menu file merupakan item untuk menangani set-up statement yang berhubungan dengan file. NEW Menu new mempunyai sub menu Gbr M-File Membuka editor dengan layar kosong sehingga anda siap untuk membuat M-File baru ( lihat menu yang ada pada editor/notepad yang dipakai) FIGURE Membuat sebuah figure window ( layar gambar baru ) MODEL Membuat layar model simulink ( jika program matlab menyediakan fasilitas simulink ) OPEN M-FILE Menampilkan dialog box Gbr OPEN Membuka editor dengan default pada M-File sesuai spesifikasi pada Command Window RUN SCRIPT Menampilkan dialog box yang menanyakan nama M-File yang akan dieksekusi

SET PATH Untuk menentukan direktori tempat m-file yang akan dieksekusi SAVE Workspace As Menampilkan dialog box gbr anda diperintahkan untuk memilih letak drive,directory, dan masukan nama file dengan ekstensi mat (*.mat)buntuk menyimpan workspace (lembar kerja pada matlab). Preferences Untuk menentukan tampilan yang ada dari warna,jenis font ukuran model grafik dan lainnya. Colors form Untuk menset format tampilan angka pada output, sperti pada tampilan dibawah ini. gbr Losse Tampilan numeric dengan baris baru sebelum dan sesudah matrik. Compact Tampilan numeric tanpa baris baru sebelum dan sesudah matrik. Turn Echo On Turn Echo dapat diset dalam dua kondisi yaitu: Turn Echo on dan Turbo off.Turn Echo on pada saat M-File dieksekusi maka baris yang dieksekusi ditampilkan pada layar dan jika Turn Echo off maka pada saat M-File dieksekusi maka baris-baris yang dieksekusi tidak ditampilkan pada layar ( Command Window ) Enable Background Process Perintah ini merupakan toggle yaitu dapat diset on atau off. Font Menampilkan dialog box yang dapat digunakan untuk men-set spesifikasi font ( huruf) dan warna background pada command window yang digunakan. Print Mencetak semua text yang berada pada command window.Jika yang dicetak tidak ingin semuanya maka cetak bagian ( variable ) yang ingin dicetak. Print Setup

Merupakan dialox box yang digunakan menset spesifiaksi printer yang digunakan. Exit Matlab Perintah untuk keluar dari layanan Matlab Edit Menu edit adlah item yang menangani fasilitas editing.Menu edit terlihat seperti gambar: gbr Cut Menghilangkan text yang diblok dari command window dan text tersebut disimpan pada clipboard. Copy Meng-copy (dupilkasi) text yang diblok dari command window ke Clipboard. Paste Menulis text yang ada pada clipboard ke command window Clear session Membersihkan lembar kerja Window Menu Window akan menampilkan matlab command window ke figure window.Contoh matlab running dengan figure window sehingga akan tampak seperti berikut: Gbr Dengan memilih salah satu maka kita akan masuk ke window yang dipilih (window yang dipilih akan diaktifkan) HELP Menu help menyediakan fasilitas untuk mengakses program help dari matlab, dimana pada menu tersebut mempunyai sub menu sbb: .Help window Untuk melihat isi,perintah,indeks dan fasilitas lain pada matlab. .Help tips Isi sama dengan help window .Help desk(HTML)

Melihat isi dan fasilitas matlab seperti tampilan diinternet.

.joint Matlab acces Untuk mendapatkan dan memperoleh informasi matlab,bila ada fasilitas internet kita dapat mengaksesnya.

BAB II DASAR TEORI Subyek matematika dapat meliputi;

1. Akar-akar persamaan, persoalan ini bertalian dengan nilai suatu variable atau parameter

yang memnuhi suatu pesamaan tunggal.Masalah ini pada umumnya digunakan dalam dsain teknik,dimana sering kali tidak mungkin memecahkan parameter-parameter persamaaan secara analis.gbr2. Sistem persamaan aljabar linier, sperti halnya akan mencari akar-akar persamaan,dalam

hal ini berhubungan dengan harga (nilai) yang memenuhi persamaan.Berbeda dengan pemenuhan sebuah persamaan tunggal,beberapa harga linier dicari agar muncul secara simultan dalam berbagai konteks maslah dan pada setiap disiplin teknik. gbr3. Pencocokan kurva,teknik yang digunakan untuk mencocokan kurva yang dikembangkan

dibagi menjadi 2 katagori umum yaitu regresi dan interpolasi. Regresi digunakan jika ada tingkat yang berarti dari kesalahan yang berkenaan dengan data.Hasil-hasil percobaan termasuk jenis ini.Untuk keadaan semacam ini,strateginya ialah menurunkan sebuah kurva tunggal yang memperlihatkan kecenderungan data umum tanpa perlu dicocokan dengan masing-masing titik.Interpolasi digunakan untuk tujuan menentukan nilai-nilai tengahan diantara titik-titik data yang secara relative bebas dari kesalahan.Hal semacam ini biasanya terdapat dalam hal menabulasikan informasi.strateginya adlah mencocokan suatu kurva secara lsg dengan titik-titik data dan kurva itu dipakai untuk memprediksikan nilai-nilai antara (tengahan).gbr 2.1 MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN

METODE NEWTON RAPHSON Metode yang paling banyak digunakan dari semua formula mencari akar adalah Newton Raphson.Jika tebakan awal dari akar adalah x1, sebuah garis singgung dapat dari titik [xi,f(xi)].Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu x biasanya menunjukan sebuah taksiran perbaikan dari akar.Metode Newton Raphson dapat diturunkan berdasarkan interpretasi geometric (sebuah metode alternative yang didasarkan pada deret taylor). Gbr Garis singgung terhadap fungsi pada xi [yakni f(xi)] diekstrapolasikan ke bawah terhadap sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+1 Turunan pertama dari xi adalah f(xi),ekuivalen dengan slope ( kemiringan ): f (xi)= hhhhhhhh yang dapat diukur kembali menjadi: Xi+1=hhhhhhhh Yang dinamakan formula Newton Raphson 2.2 PERSAMAAN ALJABAR LINIER ELIMINASI GAUSS Persamaan Aljabar linier simultan yang secara umum dapat dinyatakan sebagai:

A11x1 + a12x2 +.+a1nxn = c1 A21x1 + a22x2 +.+a2nxn = c2.

.

. .

. .

.

An1x1 + an2x2 +.+annxn = cn Dimana setiap harga a adalah koefisien dan c adalah konstanta. Teknik ini dinamakan Eliminasi Gauss,karena meliputi kombinasi persamaan agar mengeliminasi (menghilangkan) yang tidak diketahui.Walaupun metode ini merupakan salah satu metode tertua yang menyelesaikan persamaan simultan,namun tetap diantara algoritma yang sangat penting dipakai saat ini dan juga mudah deprogram dan diterapkan dengan menggunakan computer.Metode yang sesuai untuk menyelesaikan dari persamaan-persamaan selain dengan computer,diantaranya dapat menggunakan aturan cramer dan eliminasi yang tidak diketahui. DETERMINAN DAN ATURAN CRAMER Aturan cramer adalah teknik yang sangat baik untuk persamaan-persamaan yang berjumlah kecil.Sebelum menjelaskan metode ini akan dijelaskan konsep determinan yang digunakan untuk melakukan aturan cramer.Determinan mempunyai manfaat dalam mengevaluasi kondisi timpang sebuah matriks. Misalkan: A11x1 + a12x2 +a13x3 = c1 A21x1 + a22x2 +a23x3 = c2 A31x1 + a32x2 +a33x3 = c3 Atau dalam bentuk matriks: [A] [X]=[C] Dimana determinan 2x2 dinamakan minor Contoh: Hitunglah harga-harga determinan dari persamaan-persamaan: 3x1+2x2 = 18 -x1+2x2 = 2 D=hhhhhhhhhhhhhh ATURAN CRAMER

Aturan ini menyatakan bahwa setiap yang tidak diketahui dalam sebuah system persamaan aljabar linier boleh dinyatakan boleh dinyatakan sebagai sebuah fraksi dari dua determinan, Penyebut D dan pembilang yang diperoleh dari D, dengan mengganti kolom dari koefisienkoefisien tidak diketahui yang dinyatakan oleh konstanta-konstanta c1,c2,,cn. Misalnya x1 dapat dihitung sebagai: X1=hhhhhhhhhhh Contoh: Gunakan aturan cramer untuk menyelesaikan: 0,3x1+0,52x2+x3=-0,001 0,5x1+x2 + 1,9 x3=0,67 0,1x1+0,3x2+0,5x3=-0,44