BAB 9 Ruang Baris Dan Ruang Kolom

8/17/2019 BAB 9 Ruang Baris Dan Ruang Kolom

1/7

Buku Panduan Belajar Aljabar Linear STMIK TRIGUNA DHARMA

Langkah Pasti Menuju Sukses 79

BAB IXRUANG BARIS DAN RUANG KOLOM MATRIKS

9.1 Vektor Baris dan Vektor Kolom

Dalam bagian ini akan dipelajari ruang-ruang vektor tertentu yang disosialisasikandengan matriks-matriks. Yang nantinya akan menentukan basis dengan caramereduksi sebuah matiks yang sesuai pada bentuk eselon baris.

Definisi. Tinjaulah matriks m x n berikut.

A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

é ùê úê úê úê úê úê úë û

L

L

M M M

L

Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai susunan bilangan yangtersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampaibaris m.

Vektor-vektor r 1 = (a11, a12, …, a1n)r 2 = (a21, a22, …, a2n). .. .r m = (am1, am2, …, amn)

yang dibentuk dari baris-baris dari A dinamakan vektor-vektor baris dari A danvektor-vektor

11 12 1

21 22 2

1 2

, , ,

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

1 2 nc c c

Yang dibentuk dari kolom-kolom dari A dinamakan vektor-vektor kolom dari A.

Sub-ruang dari Rn yang direntang (dibangun) oleh vektor-vektor baris dinamakanruang baris (row space) dari A dan sub-ruang dari R

myang direntang (dibangun)

oleh vektor-vektor kolom dinamaka ruang kolom (column space) dari A.


2/7



Contoh 9.1

Misalkan A =2 1 0

3 1 4

Vektor-vektor baris dari A adalah:r 1 = (2, 1, 0) dan r 2 = (3, -1, 4)

dan vektor-vektor kolom dari A adalah:

2

3

1c

1

1

2c dan0

4

3c

9.2 Basis ruang baris dan basis ruang kolom

Diketahui A =

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

éêêêêêêë

L

L

M M M

L

Teorema 9.1. Operasi baris elementer (OBE) tidak mengubah ruang baris sebuahmatriks.

Teorema 9.2. Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk eselonbaris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A.

Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, sedangkan

basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada At .

Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matrikseselon baris tereduksi.

Teorema 9.3. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolomdari A mempunyai dimensi yang sama.

Definisi. Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakanrank dari A.

Dimensi (ruang baris) = dimensi (ruang kolom) = rank matriks

Contoh 9.2

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut:v1 = (1, -2, 0, 0, 3) v2 = (2, -5, -3, -2, 6)v3 = (0, 5, 15, 10, 0) v4 = (2, 6, 18, 8, 6)


3/7



Penyelesaian:

Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari matriksberikut:

1 2 0 0 32 5 3 2 6

0 5 15 10 0

2 6 18 8 6

Dengan membuat matriks ini di dalam bentuk eselon baris maka kita mendapatkan(buktikan):

1 2 0 0 3

0 1 3 2 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 0

Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah:w1 = (1, -2, 0, 0, 3) w2 = (0, 1, 3, 2, 0) w3 = (0, 0, 1, 1, 0)

vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut dan sebagaikonsekuensinya maka akan membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntangoleh v1, v2, v3, dan v4.

Teorema 9.4. Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataanberikut ekivalen satu sama lain.

(a) A dapat dibalik(b) Ax = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial(c) A ekivalen baris dengan I n.(d) Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran nx1.(e) det (A) 0

(f) A mempunyai rank n.(g) Vektor-vektor baris dari A bebas linier

(h) Vektor-vektor kolom dari A bebas linier


4/7



Contoh 9.3

Carilah sebuah basis untuk ruang kolom dari matriks berikut:

A =

1 0 1 1

3 2 5 1

0 4 4 4

é ùê úê úê ú

ê ú-ë û

Penyelesaian:

Dengan mentransposekan matriks tersebut maka akan didapatkan:

At =

1 3 0

0 2 4

1 5 4

1 1 4

éêêêêêêë

Dan dengan mereduksinya ke bentuk eselon baris maka akan menghasilkan(buktikan):

1 3 0

0 1 2

0 0 0

0 0 0

éêêêêêêë

Jadi, vektor (1, 3, 0) dan vektor (0, 1, 2) membentuk sebuah basis untuk ruangbaris dari A

tatau secara ekivalen:

w1 =

1

3

0

dan w2 =

0

1

2

membentuk sebuah basis untuk ruang kolom dari A.

Contoh 9.4

Diketahui A =

1 2 3

2 1 0

3 1 1

2 0 1

éê

ê-êêêêë

, tentukan basis ruang baris dan basis ruang kolom!


5/7



Penyelesaian:

1 2 3 1 2 3 1 0 0

2 1 0 0 5 3 0 1 0

3 1 1 0 5 8 0 0 1

2 0 1 0 4 4 0 0 0

A

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú-ê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê ú- -ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û

: :

Jadi basis ruang baris {r 1, r 2, …, r n}, sedangkan basis ruang kolom adalah {c1, c2,…, cn}, sedangkan rank A = 3.

Contoh 9.5

Di dalam Contoh 9.3 kita telah melihat bahwa matriks

A =

1 0 1 1

3 2 5 1

0 4 4 4

é ùê ú

ê úê úê ú-ë û

Mempunyai sebuah ruang kolom berdimensi dua. Jadi, Teorema 9.3 menyatakanbahwa ruang baris tersebut juga berdimensi dua. Untuk memperlihatkannya, makakita dapar mereduksi A ke dalam bentuk eselon baris yang menghasilkan(buktikan):

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

éêê -êê

ë

Karena matriks ini mempunyai dua baris tak nol, maka ruang baris dari Aberdimensi dua.

9.3 Basis Ruang Solusi

Pada suatu sistem persamaan linear homogen Ax = 0 dengan solusi yang tak –trivial dan A berukuran m x n, ruang solusi dari SPL biasa disebut dengan ruangnull dari A, sedangkan dimensi dari ruang null disebut nullitas A. Ada hubungan

antara rank A dengan nulitas A yaitu rank A + nullitas A = n. Basis ruang solusitentunya diperoleh dari ruang nullnya.

Teorema 9.5. Sebuah sistem persamaan linier Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada di dalam ruang kolom dari A.


6/7



Contoh 9.6

Diketahui SPL homogen Ax = 0 dengan A =1 2 1

2 2 4

éê

êë

, tentukan ruang null dari A

dan rank A!

Penyelesaian:

1 2 1 1 2 1 1 0 3

2 2 4 0 2 2 0 1 1 A

é ù é ù éê ú ê ú ê=ê ú ê ú ê- -ë û ë û ë

: :

Jadi ruang null =

3 3

1

1

s

s s

s

é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú=ê ú ê úê ú ê úë û ë û

Jadi

3

1

1

é ù-ê úê úê úê úë û

bisa diambil sebagai basis untuk ruang null.

Nullitas A =1.

Bisa juga diperiksa bahwa nullitas A + rank A = 3 = n.


7/7



Latihan

1. Daftarkanlah vektor-vektor baris dan kolom dari matriks:

2 1 0 1

3 5 7 1

1 4 2 7

Di dalam Latihan 2-5, Carilah (a) basis untuk ruang baris; (b) basis untuk ruangkolom; (c) rank dari matriks.

2.1 3

2 6

3.

1 2 1

2 4 60 0 8

4.

1 1 2 1

1 0 1 2

2 1 3 4

5.

1 3 2 2 1

0 3 6 0 2

2 3 2 4 43 3 6 6 3

5 3 10 10 5

6. Buktikanlah bahwa ruang baris dan ruang kolom mempunyai dimensi yangsama!

(a)

2 0 2 2

3 4 1 9

1 2 3 7

3 1 2 0

(b)

2 3 5 7 4

1 2 1 0 2

4 1 5 9 8

BAB 9 Ruang Baris Dan Ruang Kolom

Documents

Transcript of BAB 9 Ruang Baris Dan Ruang Kolom