BAB 9 Konvergensi dalam distribusi 9.1 Definisi dan sifat-sifat dasar Dalam bab ini, akan dibahas konsep-konsep konvergensi dalam distribusi variable acak. Pentingnya dan kegunaan dari konsep ini terletak pada peninjauan berikut : Jika urutan variable acak Xn konvergen untuk suatu variable acak X, maka salah satu perkiraan probabilitas untuk kelas himpunan A untuk ( ( ) ( ( ) untuk n besar ) ( ).Dalam beberapa situasi, penilaian yang tepat Akibatnya, ) ketika n ) dibandingkan (

) lebih sulit dibandingkan menilai

seseorang menyelesaikan nilai limit (

besar. Misalkan Y1, Y2, menjadi dari variable acak iid dengan momen kedua terbatas. Misalkan seseorang tertarik dalam menemukan pengamatan signifikan atau p-value untuk uji statistic dengan hipotesis alternative tentang populasi rata-rata bertentangan dengan . Jika uji statistic (| |

digunakan dan tolak H0 untuk nilai besar dari | | maka uji p( )

value dapat ditemukan dengan menggunakan fungsi ) , )

dinotasikan sebagai distribusi bersama dari * + =0. Perhatikan disini , susah menemukan ( ), karena bergantung )

dibawah

pada distribusi gabungan dari Y1, . . . ,Yn . jika diketahui bahwa ( ) dari (| |

konvergen dalam distribusi normal variable acak Z (yang sebenarnya dijamin oleh teorema limit pusat ,lihat bab 11), maka dapat diperkiraan

yang dapat ditemukan dengan menggunakan table probabilitas normal. Defenisi umum dari konvergensi dalam distribusi adalah sebagai berikut :

Definisi 9.1.1: Misalkan misalkan * +

,

adalah kumpulan variabel acak dan , . Kemudian, , ditulis

merupakan Konvergen dalam distribusi f darid

dapat dikatakan sebagai kovergen dalam distribusi pada , jika ( ) ( ) ( )+. Untuk setiap ( )

sebagai

(1.1)

dimana ( )

*

Definisi 9.1.2: Misalkan * * +

+

menjadi peluang ukuran ( , B, ( )). Kemudian dengan -) lemah atau dalam distribusi,

dikatakan konvergen ked

ditunjukkan dengan

jika (1.1) dihubungkan dengan (( .

( )

Berbeda dengan pengertian konvergen dalam peluang dan konvergen hampir pasti, pengertian dari konvergensi dalam distribusi tidak memerlukan variabel acak yakni setiap * + , , dapat didefinisikan sebagai probabilitas umum. Untuk dapat didefisinikan pada probabilitas berbeda ( + , ) dan

dikonversikan dalam distribusi ke ke

. Dalam konteks, pengertian

konvergensi dari *

pada probabilitas atau hampir pasti tidak ( )

didefinisikan dengan baik. Definisi 9.1.1 hanya konvergen dalam distribusi dari ke konvergensi untuk setiap , tetapi tidak memerlukan itu sendiri.

konvergensi (hampir pasti atau pada probabilitas) dari variabel acak

Contoh 9.1.1: Untuk

, Misalkan

seragam .

/, sebagai contoh,

memiliki Konvergensi dalam distribusi

( ) { dan bila adalah turunan variabel acak ambil nilai 0 sebagai probabilitas 1, adalah

sebagai contoh konvergensi dalam distribusi dari ( ) Perhatikan bahwa fungsi ( ) , ( ) Oleh karena itu,d

{ , Oleh karena itu,

( ) tidak kontinu hanya pada

* +. Hal ini sangat mudah untuk memeriksa bahwa untuk setiap ( ) dimana

.

Contoh 9.1.2: Misalkan * untuk

+

dan * .

+

barisan bilanganral sehingga ( ) .

semua

Misalkan diberikan oleh

Kemudian,konvergensi dalam distribusi dari ( ) Dimana (d

. dan

/ ( ) ,d

(1.2) ( )

( )

( )

(

)

. Jika

) untuk beberapa

), kemudiangunakan (1.2), salah jika dan hanya jikad

satunya dapat ditunjukkan bahwa dimana . (Masalah 9.8)

dan

Selanjutnya beberapa implikasi sederhana dari definisi 9.1.1 adalah sebagai berikut.d

Bagian 9.1.1: Jika Bukti: Misalkan (

p

, maka

. , ( | | ( ( ) ) ( ( ) ). (| ) ) | . selesaikan ) (1.3) ( ).

merupakan cdf dari ) ( ( ) ) | , dimana ( ) ) (| (| ( )

Kemudian, untuk setiap

dan juga ( ( Setelah itu ( Untuk semua ) ) Sebagai catatan bahwa )p

) (|

(

(1.4) ).

Oleh karena itu, dari (1.3) dan (1.4),

, sehingga didapatkan (1.5) ( ). ( )

Oleh karena itu, dimana

pada (1.5), salah satunya memiliki

( ). Perubahan ini adalah hasilnya. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, kebalikan dari bagian 9.1.1 adalah salah pada umumnya. Berikut adalah kebalikan parsial. Bukti berdasarkan pada definisi konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi dalam distribusi dan sebagai latihan (Soal 9.1)

Bagian 9.1.2: Jikap .

d

dan (

)

untuk beberapa

kemudian

Teorema 9.1.3: Misalkan dengan masing-masing cdfs terdapat pada himpunan D di ( )

dapat menjadi kumpulan dari variabel acak . Kemudian, sehingga ( ) Untuk setiap (1.6)d

jika dan hanya jika

Bukti: Karena ( )c mempunytai banyak titik hitung, yang bagian hanya jika. Untuk membuktikan bagian jika, misalkan menggunakan (1.6). Selesaikan ( ) Kemudian, terdapat barisan * dan sebagai ( Dari (1.6), untuk setiap ( ) ( ( ) Karena (1.7), teorema 9.1.3. . Misalkan . Jika | ( ) kontinu pada ( )| ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ). (1.7) ) ( ) + * + ( ) pada sehingga

. Oleh karena itu, untuk setiap

( ). Oleh karena itu,dari ( ). Hal ini melengkapi bukti dari

( ) ada dan sama dengan

Teorema 9.1.4: masing-masing cdfs

variabel acak dengan , kemudian

Bukti: Ini kasus spesial dari Lemma 8.2.6 dan menggunakan bagian berikut.

Bagian 9.1.5: Jika cdf F kontinu pada .

, kemudian secara bersama kontinu pada

Bukti dari bagian 9.1.5 sebagai latihan (Soal 9.2)

Teorema 9.1.6: probabilitas ( (i) (ii) (iii)d d

.Misalkan * . (p

+

dan * +

menjadi dua

barisan variabel acak b untuk setiap ). Jikad d

) didefinisikan pada ruang untuk setiap , kemudian

dan

, dan dimana

Bukti: bukti bahwa dari bagian (i) yang dijabarkan disini. Bagian lain mungkin terbukti sama. Misalkan diperoleh oleh ( ). Untuk setiap ( dan ( Sekarang selesaikan dimungkinkan karena ini mengakibatkan ( [ (( ( Dan dengan cara yang sama, ( Sekarang misalkan dan (1.11), ini sesuai dengan (( ) ) ( ( ( Karena ( ), (i) terbukti. ) ) ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) )] ( ) ) ( sehingga ) (| | ) (1.9) ( ). Hal ini (seperti dalam penurunan (1.3) dan (1.4)), ) (| | ) ( ) (1.8) ( ) menyatakan cdf dari ( ) . Kemudian, cdf dari ( ) Kemudian,

.. Selesaikan

( ) dapat dihitung. Kemudian, dari (1.8) dan (1.9), hal

sedemikian sehingga

( ), dari (1.10)

9.2 Konvergen Samar-Samar, Teorema Helly-Bray, Dan Keketatan Satu versi dari teorema Bolzano-Weirstrass dari analisis real bahwa jika , - adalah sebuah himpunan tak terbatas, maka terdapat barisan * +

sedemikian sehingga

terdapat dalam[0,1]. Catat bahwa x tidak

dalam A kecuali A tertutup. Terdapat analogi dalam sub ukuran peluang pada ( , ( )),i.e., untuk ukuran pada ( , ( )) sedemikian sehingga ( )1.

Pertama, dibutuhkan sebuah defenisi konvergenan dari ukuran sub-peluang. Defenisi 9.2.1 Misalkan * + , ukuran peluang pada ( , ( )). Maka * + konvergen ke

samar-samar, disimbolkan denan sedemikian sehingga D padat di (( Contoh 9.2.1 Misalkan * + -) (( dan -) di mana

, jika terdapat himpunan ( )

untuk semua

, X adalah variabel acak sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) () ( (

konvergen ke ) )dan ( () )

X dalam distribusi, i.e., ( ) himpunan titik kontinu di F. Karena komplemen dari C(F) dimana

untuk semua ( ).

terhitung, (2.2) mengakibatkan

Catatan 9.2.1 : Sesuai dengan di atas bahwa jika * + , adalah ukuran peluang, maka ( )

Dan sebaliknya, tidak susah untuk menunjukkan bahwa (masalah 9.4) jika dan Contoh 9.2.2 Misalkan adalah ukuran peluang berkoresponden ke distribusi seragam pada , dimana adalah [-n, n], n 1. Sangat mudah menunjukkan bahwa dan adalah ukuran peluang, maka .

ukuran yang memberikan nilai 0 pada himpunan Borel. Ini menunjukkan bahwa

jika konvergen ke bahwa

, maka ( ) dan dimana

( ) tidak konvergen ke ( )( )

( ). Tetapi jika

( )

dan jika dan( )

, maka dapat ditunjukkan .

Teorema 9.2.1 (Teorema pemilihan Helly). Misalkan A adalah kumpulan tak hingga dari ukuran peluang pada ( , ( )). Maka, terdapat barisan * sedemikian sehingga Bukti: Misalkan contoh, * + . adalah himpunan terhitung dalam (sebagai + dan ukuran peluang

, adalah himpunan rasional atau bilangan bulat * (( -)

, himpunan semua diadik

rasional dari bentuk { untuk setiap x, sebuah barisan * dimana ( ) ( ) + (( ( )+

bilangan bulat positif}). Misalkan +. Maka ( ) , - dan dengan ( ), ambil ( ) ada, * + ( )

mengaplikasikan teorema Bolzano-Weirstrass pada himpunan sedemikian sehingga -) menghasilkan sub barisan * ( ) ( ) ada, + ( )

. Selanjutnya aplikasikan teorema Bolzano-

Weirstrass pada * sedemikian (( -)

sehingga

dimana

. Dengan melanjutkan langkah ini, akan diperoleh sebuah } sedemikian sehingga

barisan dari sekumpulan subbarisan { untuk setiap j, * + , ( ) ada untuk semua j. Sekarang himpunan ( ) * ( ) ( )

( ) ada. Secara terpisah, untuk subbarisan ( ) +

(2.4)

(2.5) (masalah 9.5) dan

Maka, ( ) adalah fungsi kontinu kanan tidak turun pada sama dengan ( ) diperluas oleh Karena ( )

( )pada . Misalkan adalah ukuran Lebesgue-Stieltjes yang untuk semua n dan x, ini sesuai bahwa

untuk semua x dan karena itu adalah ukuran sub-peluang. Anggap

bahwa (2.4) juga mengimplikasikan bahwa

( ) untuk semua

( ) . Maka semua ( ) ( )

(2.6) (( -) dan karena itu

himpunan titik kontinu pada ( ) ( )

((

-)

. Untuk membuktikan (2.6), menentukan terdapat ( ) ( ) ( ) sedemikian sehingga untuk semua . ini mengakibatkan bahwa terdapat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) membuktikan (2.6).

dan

. Maka ( ) ( )

karena

( ), ini sesuai dengan ( )

Selanjutnya, beberapa karakter hasil dari konvergen sama-samar dan konvergen dalam distribusi akan dibuktikan. Ini dapat digunakan untuk mendefenisikan konvergen dari ukuran sub-peluang dalam beberapa perluasan ruang metric. Teorema 9.2.2 (Teorema Helly-Bray pertama atau teorema Helly-Bray untuk kekonvergenan samar-samar). Misalkan * peluang dalam ( , ( )). Maka untuk semua Bukti : misalkan ( ) * | dan misalkan | untuk | | ((| |

+

dan

adalah ukuran sub-

( ( ) +.

)

( ) diberikan . Karena -) ((

pilih K yang , terdapat -) untuk semua dan , terdapat titik sehingga

besar sedemikian sehingga | ( )| himpunan padat

sedemikian sehingga

sekarang pilih

sedemikian sehingga

Karena f kontinu seragam dalam [a,b] dan D padat dalam dalam | ( ) (

D

sedemikian . Sekarang

( )| -

untuk semua (

(

)

dan juga | ( ) (( -)| . Karena (( -)

Sebuah taksiran yang sama untuk peluang, ini sesuai dengan | dimana dan * + | |

, adalah ukuran sub-

((

-)

((

-)|

*| ( )| ,diperoleh

+ Misalkan

dan catat bahwa

| Karena lengkap.

|

sembarang, maka (2.7) mengikuti dan terbukti hanya jika bagian ini

Untuk membuktikan kekonvergenannya, misalkan D adalah himpunan titik * (* +) +. Menentukan a, b D, a < b. Misalkan adalah fungsi yang

didefenisikan oleh ( ) Kemudian, {

( ) dan oleh (2.7), dan (( (( -) Sehingga,

Tetapi

(( ((

-) -)

-) Misalkan -) -)

dan anggap bahwa

, diperoleh (( Dengan anggapan yang sama dengan dan dan linear antara, menghasilkan (( -) (( -) (( pada , (2.8) - dan 0 untuk

Teorema 9.2.3 : (Teorema Helly-Bray kedua atau teorema Helly-Bray untuk kekonvergenan lemah). Misalkan * ( ( )) M untuk semua Bukti : Misalkan sedemikian sehingga (( ( ) * | misalkan -) (* +) dan | ( ) untuk semua i =1, , m-1. Karena (( | ( ) | ( ( )| ( ( -) ()

+

dan adalah ukuran peluang dalam

+ dan

(

)

( ) diberikan. Pilih K besar Juga, pilih a < -K dan b > K . Misalkan

sedemikian sehingga (* +)

yang dipilih sehingga

) )

)

)

, ini sesuai dengan -))

[

((

((

Ingat bahwa barisan * jika untuk setiap Sebuah ruang metrik ( konvergen dalam sehingga ( )

+

dalam ruang metrik ( sehingga * +

) disebut ( * , ada + ) di dalam .

, terdapat

) lengkap jika setiap barisan

, yakni, pada barisan untuk , , ( .

Contoh 9.3.1: Untuk setiap tidak lengkap. Himpunan

dengan metrik Euclidean sudah lengkap dengan metrik Euclidean ) *| ( ) ( )| ( ) + - dari semua fungsi kontinu pada ,

tetapi himpunan semua vektor rasional

lengkap dengan supremum metrik

tetapi himpunan semua polinomial pada , sama.

- tidak lengkap untuk metrik yang ) jika ( ( )

Ingat bahwa himpunan D disebut padat pada ( untuk semua dengan pusat di dan untuk semua dan radius . Juga, ( . , di mana

) adalah bola terbuka

) disebut dapat dipisahkan jika ada satu

himpunan padat terhitung

Definisi 9.3.3: Sebuah ruang metrik ( dan dapat dipisahkan.

) disebut Polandia jika lengkap

Contoh 9.3.2: Semua ruang Euclid dapat dikatakan metrik Euclid dengan metrik untuk , lengkap. Ruang , - dari fungsi kontinu pada , -

dengan metrik supremum lengkap. Semua ruang dengan ukuran -terbatas dan -aljabar terhitung, (lihat Bab 3). Teorema berikut memberikan

memenuhi ruang ukuran , sudah lengkap

beberapa kondisi

ekuivalen

untuk

kekonvergenan lemah dari ukuran peluang pada ruang Polandia. Teorema 9.3.1: Misalkan ( ) menjadi Polandia dan * + , menjadi

ukuran peluang. Maka berikut ini adalah ekuivalen: i. . ( ) ( ).

ii. Untuk setiap himpunan terbuka G,

iii. Untuk setiap himpunan tertutup C, iv. Untuk semua sehingga ( ) ,

( )

( ).

lim n n (B) = (B), dimana ( ) adalah batas dari ( ) +. , yaitu *

v. Untuk setiap fungsi .

kontinu seragam dan terbatas

Untuk membuktikan gunakan fakta berikut. Proposisi 9.3.2: Untuk setiap himpunan terbuka G dalam ruang metrik ( terdapat barisan * untuk ( ) + dari fungsi kontinu terbatas dari ( ) untuk semua * * ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) . + dimana untuk setiap himpunan A dalam +. Jika G terbuka, ( ) untuk semua ke , ), - sehingga

Bukti: Misalkan ( ), ( di . Maka ( ) )

. Misalkan untuk setiap n 1, ( ) ( ) ( ) ()

Periksa (Soal 9.10) untuk setiap di () Bukti dari Teorema 9.3.1: () untuk ( ) , ( ) ( ) Misalkan dan 0 pada

( ) adalah kontinu pada di

untuk semua

. Selanjutnya,

terbuka. Pilih * +

di Proposisi 9.3.2. Kemudian

(oleh ( )). Tetapi Oleh karena ( ) berlaku. ( )

( ), menurut teorema konvergen terbatas.

( ) Anggap ( ) berlaku. Misalkan C tertutup. Maka ( ) ( ) ( ) ( )

terbuka.

Jadi oleh ( ),

sejak ( )

dan

adalah ukuran probabilitas. Dengan demikian, ( ) berlaku. ( ). , misalkan . Artinya, * , ( ) ( ) ( ) berarti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + * dan menyatakan, masing( ) +. Kemudian,

Demikian pula, ( )

( ): Untuk setiap + dan *

masing, interior dan penutup

untuk setiap

dan dengan ( ) dan ( ), ( Tetapi ( ) (( ( ) ( ) ) dan ( ). ( ) Ini akan dibuktikan untuk kasus di mana ( ) (( -) . Karena jika -) (( -) adalah garis nyata. ( )

( ). Dengan demikian,

Untuk kasus umum Polandia, lihat Billingsley (1968). Misalkan -) dan Misalkan (

adalah titik * +,

kontinuitas dari . Maka (* +) dengan ( ), ( ) Jadi, berlaku. ( ) dan ((

-, maka ( )

. Berdasarkan Teorema 9.2.3, ( ) memiliki dan karenanya ( ) ( ) Anggap bahwa dalam bukti Teorema 9.2.2, aproksimasi fungsi keduanya kontinu seragam. Oleh karena itu, pernyataan mengikut dari

Teorema 9.2.2 dan Catatan 9.2.1. Ini melengkapi bukti Teorema 9.3.1. Contoh berikut ini menunjukkan bahwa ketimpangan bisa ketat dalam ( ) dan ( ) dari teorema di atas. Contoh 9.3.3: Misalkan Karena . dan adalah variabel acak. Himpunan w.p. 1, distribusi dan

keduanya konvergen ke

konvergen dengan X.

Sekarang anggap bahwa nilai (( ( (( dan (( ( Perhatikan bahwa dan ) )) -) ( ) ) ( ))

ada sehingga ( ) ) ) (( (

(

)

. Maka,

(

)) ) (( -)

( ( )

) ( ) . Namun,

keduanya konvergen di distribusi ke (( -) ) (( )) (( )) (( -)

untuk himpunan ditutup (

dan untuk himpunan terbuka (

Catatan 9.3.1: Barisan konvergen dari distribusi peluang muncul dengan cara alami dalam keluarga parametrik dalam statistik matematika. Contohnya, misalkan ( Maka, misalkan Misalkan ( ( ) menunjukkan distribusi normal dengan mean () ), dimana . Maka, ( ( ) dan ( ) ( ). dan varians pula,

Demikian

adalah

matriks definit positif. dan matriks

) menjadi distribusi normal -variate dengan mean ) kontinu dalam ( ) (

varians kovarians

yang berarti bahwa jika ). Kebanyakan

dalam metrik Euclidean, maka

keluarga parametrik dalam statistik matematika memiliki properti kontinuitas ini. Definisi 9.3.4: Misalkan * dimana * + + menjadi barisan dari ukuran peluang ( ),

adalah ruang Polandia dan

adalah Borel aljabar- pada . Kemudian , terdapat himpunan padat K

disebut padat jika untuk setiap ( )

sehingga (3.4)

Barisan barisan * pada ( Jika )

-nilai variabel acak * +

+

disebut padat atau batas stokastik jika adalah distribusi peluang dari

adalah padat, di mana , dan * + ( +

, (

adalah barisan vektor acak k-dimensi, maka, padat jika dan hanya jika untuk setiap ) + ,

dengan Definisi 9.3.4, * terdapat

) sehingga, (3.5) . Selanjutnya, jika

dimana menunjukkan norma Euclidean biasa pada ( ), maka kepadatan * + k-barisan dari variabel acak *

setara dengan kepadatan dari (Soal 9,9). ) ketika

Analogi dari Teorema 9.2.4 berlaku untuk ukuran peluang pada ( adalah Polandia. Teorema 9.3.3: (Teorema Prohorov-Varadarajan). Misalkan * barisan ukuran peluang pada ( aljabar- Borel pada . Maka, * * + * + pada ( ) sehingga, ) dimana + + +

menjadi adalah

adalah ruang Polandia dan dari * +

adalah padat jika diberi beberapa barisan dan ukuran peluang

, terdapat lagi *

(3.6) Bukti dari hasil ini, lihat Bagian 1.6 dari Billingsley (1968). Hasil ini berguna untuk membuktikan konvergensi lemah di ruang fungsi (misalnya, lihat Bab 11 di mana fungsi teorema limit pusat telah ditetapkan).

9.4 Teorema Skorohod dan Teorema Pemetaan Kontinu Jika * + adalah barisan variabel acak yang konvergen ke variabel acak konvergen dalam distribusi ke (bdk. Proposisi 9.1.1).

dalam peluang, maka

Berikut ini adalah bukti dari fakta tersebut menggunakan Teorema 9.2.3. Misalkan berarti bahwa ( ) akan terbatas dan kontinu. Maka dalam peluang ( ) dalam peluang (Soal 9.13) dan dengan BCT, ( ) ( )

dimana

()

(

)

dan

()

(

). Oleh karena itu, w.p. 1, maka ,

Pada saat tertentu, ini berarti bahwa jika

. Teorema Skorohod merupakan kebalikan ini. Jika selanjutnya terdapat variable acak dan berdistribusi dan dan w.p. 1. + + + sehingga

berdistribusi

Teorema 9.4.1: (Teorema Skorohod). Misalkan * peluang pada ( ( )) sehingga ( ) ( ) untuk (( ) ( ) . Selanjutnya, ) dimana , * * (( dan . Misalkan, (( -) -)

,

menjadi ukuran

adalah variabel acak pada

adalah ukuran Lebesgue. Selanjutnya, dan ( ) w.p. 1. * ( ) ( ) + Maka untuk ( ) ) variabel acak

berdistribusi

berdistribusi

Bukti: Untuk setiap cdf ( ), misalkan setiap ( ) (Soal 9.11), ( menyiratkan bahwa, ( ) ) ( ( ) dan

, dapat diverifikasi bahwa

dan karena itu, jika

adalah sebuah uniform ( ( )) ( )

( ) memiliki cdf ( ). Hal ini menunjukkan bahwa ( ) Anggap Sekarang (( -) ( ) (* +) ( ) dan misalkan ( ) (( bahwa (( ( ) -) -) dan juga dan ( ) w.p. 1 ( ) sedemikian sehingga . Karena (( untuk -) besar dan (* +) (* +) . , memiliki distribusi yang

dinyatakan. Itu masih perlu menunjukkan bahwa

untuk n besar. Ini dan karena itu ( ) dengan

menunjukkan

. Karena ini adalah benar untuk semua

, dan karena himpunan semua , padat di

, itu berarti bahwa,

( ) Selanjutnya, anggap (( -)

( ) dan ( , (( ), dan -) ((

( (* +)

). . Maka -).

. Karena (* +)

Proposisi 9.1.1 Disini terdapat bukti lain dari penggunaaan Teorema 9.2.3. Misalkan dinyatakan dengan ( dimana () ( ) membatasi dan kontinu. Maka ) pada peluang

( ) pada peluang (Problm 9.13) dan dengan BCT, ( ) () ( ) ( ). Karena itu,.

dan

Faktanya, hal ini mengikuti bahwa jika Skorohod adalah kebalikan dari ini. Jika dan distribusi sehingga dan

w.p. 1, maka, maka

. Teorema ,

terdapat variable acak dan

mempunyai distribusi w.p. 1.

mempunyai

Teorema 9.4.1 : (Teorema Skorohod). Misalkan * pada ( ( )) sehingga ( ) ( ) untuk Maka, dan. Misalkan

+ (( -) -)

,

adalah peluang terukur } + ) (( )) )

{ *

((

adalah variable acak pada ((

dimana m adalah ukuran Lebesgue. Selanjutnya, , dan Bukti : Untuk setiap cdf ( ), misalkan setiap ( ) ( ) dan ( ) ( ( ) * mempunyai distribusi dan

mempunyai distribusi w.p. 1. ( ) +. Maka untuk ( ) ) variiabel

, hal tersebut dapat diverifikasi bahwa dan karenanya, jika ( ) ) ( adalah Uniform ( ( )) ( )

acak (Problem 9.11),

Menunjukkan bahwa ( ) Ini menunjukkan bahwa menunjukkan bahwa ( ) Memperbaiki Sekarang (( ( ) -) (( (* +) ( ) Perbaikan berikutnya (( -) . Karena besar, (( ( ( ) ) dan misalkan (( -) (( ( ) ( ) sedemikian sehingga (* +) . Karena -) (* +) , dan () mempunyai asserted distribution. Yang

-) sehingga ( )

untuk n besar. Ini

menunjukkan bahwa

. Karena bukti terbeut benar untuk semua adalah padat di ( ( (( ) -) dan ) . Maka -). Dengan ( ) ,

, dank arena himpunan dari semua ( ) dan (* +) -) ( )

itu mengikuti bahwa

(* +) ((

demikian, untuk untuk (

. Ini menunjukkan bahwa

besar dan karena ) (* +)

. Karena hal ini benar untuk semua

( )

(

)

Dengan demikian telah ditunjukkan untuk semua ( ) Karena ( ) ( ) ( )

( ) adalah nondecreasing fungsi pada (

), ini mempunyai paling

banyak angka yang dapat dihiitung dari diskontinu dan sehingga ( ) ( )

Akibat langsung dari teorema diatas adalah continuity dari konvergensi pada distribusi dibawah transformasi kontinu. Teorema 9.4.2 : ( Lanjutan Teorema Pemetaan ). Misalkan * sedemikian sehingga . Misalkan + adalah variable acak adalah ukuruan Borel

sedemikian

sehingga

( )

) ( )

adalah

himpunan

dari ,

diskontinu dari . Maka (

Bukti : Berdasarkan teorema Skrohod, terdapat variable acak * + didefinisikan sebagai ruang Lebesgue Dengan demikian, ( ) ) ( ). ( ( ) (( )) dan Lebesgue sedemikian sehingga

ukuran

( ) w.p.1 dan karenanya (

9.5 Metode Moment dan Permasalahan Moment 9.5.1. Konvergensi Moment Misalkan * konvergen ke | | + dan adalah variable acak sedemikian sehingga

di distribusi. Kita menduga bahwa untuk beberapa untuk | . Pertanyaan umum adalah : kapan keadaan ini | |

menunjukkan |

Berdasarkan teorema Skorohod, satu yang dapat diasumsikan w.l.o.g. bahwa w.p.1. Teorema 9.5.1 : Misalkan * sehingga i. ii. | *| | | + ( + dan adalah kumpulan dari variable acak sedemikian persamaan dibawah ini : , | | dan , | | | | . terdapat

. Maka, untuk untuk

adalah integral unform, i.e., untuk setiap ) sedemikian sehingga (| | .| | (| | )/

Remark 9.5.1. Kondisi cukup untuk integral uniform dari *| (| | | + ( )

Contoh 9.5.1 Misalkan mempunyai distribusi ( . Maka bahwa * + bukan integral uniform. tapi ) ( )

tidak ke 0. Catatan

Remark 9.5.2. Pada teorema 9.5.1, dibawah hipotesis (ii), seperti dibawah ini | Dan | | | ( )

9.5.2. Metode Moment Diduga bahwa * + adalah variable acak sedemikian sehingga Apakah

terdapat untuk semua bilangan bulat terdapat variable acak sedemikian sehingga +

Jawabannya adalah ya

dapat dibuktikan dengan moment * unik .

tentukan distribusi dari variable acak

Teorema 9.5.2. (Teorema Frechet-Shohat). Misalkan * acak sedemikian sehingga untuk Jika barisan * . Bukti : Diduga bahwa untuk beberapa sub barisan * * + * * + + + + , distribusi peluang . Karena { } + + adalah barisan dari variable ada dan terhingga. maka

determinasi unik distribusi dari variable acak

samar-samar konvergen ke sempit. Karena

membatasi barisan, * +

harus menjadi distribusi harus bertepatan dengan unik dan adalah

peluang dan berdasarkan teorema 9.5.1, moment dari . Karena barisan * * +

determinasi distribusi unik,

titik batas samar-samar yang unik dari

dan berdasarkan teorema

9.2.6, .

. Jadi jika

adalah variable acak dengan distribusi

, maka

9.5.3. Permasalahan Moment Diduga * + adalah barisan dari bilangan real sedemikian sehingga pada ( ( )) sedemikian

terdapat paling sedikit satu peluang terukur sehingga untuk semua Apakah terdapat barisan * + ( )

determinasi

bagian ini dari masalah

Hamburger-moment, yang termasuk mencari kondisi dibawah ini

9.8 (a) Misalkan , i. Tunjukkan

( ) dan

) bahwa bahwa jika jika

ii. Tunjukkan

(Petunjuk: Pertama tunjukkan bahwa * kemudian bahwa * masing-masing.) (b) adalah matriks stokastik *|| 9.9 ||+ Misalkan* Perhatikan vector acak * 9.10 Misalkan ( + terbatas terbatas. + ( ) + Misalkan jika ( dan ) + adalah satu-satunya titik limit dari * +

+

terbatas dan dan + , dan *

terbatas, dan terakhir bahwa

dan . Kemudian, * + ||+ adalah dan jika *||

definit positif,

hanya

menjadi urutan variable acak. Tunjukkan bahwa urutan jika untuk setiap adalah terikat dalam .

adalah terikat dalam

, urutan variabel acak * ) adalah ruang metric (a) Untuk setiap himpunan ( Tunjukkan bahwa untuk setiap (b) Misalkan adalah kontinu pada di .) 9.11 Untuk setiap , misalkan ( ) dan ( ) (

, Misalkan ) ( * ( ) + ( ) ) adalah kontinu pada . ( ) ) ( ) ( ) ( * ) ( ) , untuk semua +

( ) menjadi seperti pada (3.3). Tunjukkan bahwa

(Petunjuk : Perhatikan bahwa

. Tunjukkan bahwa untuk setiap

(Petunjuk: Untuk 9.12 Untuk fungsi

, gunakan kontinuitas kanan F dan untuk , ( ), mendefinisikan ( ( ) ) ( ). seperti bahwa *

gunakan definisi sup.)

adalah kontinu pada + Tunjukkan bahwa 9.13 9.14 Jika * + ( dan ) menjadi dan ( untuk beberapa variabel acak derivatif. Tunjukkan bahwa ( ( ( ) Dimana T 9.15 Misalkan * + ( ) S y ) adalah variabel acak dengan ( + ( ) dan ( tetapi ( (Petunjuk : ambil dikatakan.) 9.16 Misalkan * sehingga untuk semua + ) ( ) ) ) ( ) ) ( ( )) ) ( )( (Petunjuk: Dengan ekspansi Taylor, untuk setiap ) kontinu, maka + urutan

(Metode Delta). Misalkan *

menjadi urutan variabel acak dan konstanta

dan untuk beberapa

. Misalkan dengan

suatu fungsi yang terdiferensialkan pada

)

karena

. Sekarang gunakan Problem 9.7 dan untuk setiap

. Memberikan dua contoh urutan * memenuhi

dan sehingga

,

adalah ukuran probabilitas pada (

( ( ))

untuk setiap koleksi Apakah a) b) c) * | pada * | pada } ? * | semua 9.17 Untuk setiap dua ( Pastikan 9.18 Misalkan * ) ? jika

fungsi dari

ditentukan dibawah ini.

adalah terbatas dan diferensial kontinu adalah terbatas dan diferensial tak hingga adalah sebuah polynomial dengan ( ) | | ( ) untuk

dengan turunan terbatas}?

koefisien Real} dan | |

, diketahui * ( ) ( ) untuk semua ( ) } (6.1)

mendefinisikan metric pada semua koleksi distribusi ( ( )). Metric * + ( ) ( ) | ( ) ( )| dan disebut Levy metric. ( ( )), jika + adalah ukuran probabilitas pada ( Tunjukkan dimana (6.2) (6.3) )

probabilitas pada ( sesuai dengan 9.19

a) Tunjukkan bahwa untuk setiap dua ( dimana ( ( ) disebut jarak Kolmogorov atau metrik antara dan ( ) dimana berlaku dalam pertidaksamaan (6.2). )

b) Berikan contoh-contoh dimana ( ) berlaku dalam persamaan (6.2), 9.20 Misalkan * sehingga berbatasan dari | ( ) beberapa bahwa ( )| ( + adalah ukuran probabilitas pada ( . Misalkan * sehingga ( ( )| ) dengan ( ) ) untuk semua dan untuk | | . Tunjukkan ( ( )), dan

+ adalah kumpulan fungsi | untuk semua

| 9.21 Misalkan * +

| sehingga dari dan

adalah dimensi vektor-vektor acak + + . Tunjukkan bahwa menjadi urutan matriks . Definisi

. Misalkan * bilangan real dan * dan a) b) , dimana , dimana , dimana nilai

menunjukkan transpos dari . Misalkan

(Catatan: Di sini konvergensi dalam distribusi dari urutan matriks variabel acak dapat ditafsirkan dengan mempertimbangkan dimensi vektor acak yang sesuai diperoleh dengan sisi-sisi dan

dengan menggabungkan deretan matriks acak.) 9.22 Misalkan dihitung

menggunakan definisi konvergensi dalam distribusi untuk vektor adalah ukuran probabilitas pada satuan yang bisa * + . Misalkan ({ }) jika untuk . . Misalkan ( ). ( ) , dimana jika

(* +. Tunjukkan bahwa, dimana semua 9.23 9.24 Misalkan Tunjukkan bahwa a) Misalkan dan maka (6.4) dimana ( ).,

| ( ( ) ) , dimana

|

. Tunjukkan bahwa dimana

b) Fix bilangan bulat positif k. Misalkan untuk . dimana / .

i.

Pastikan untuk setiap .

*

+

adalah distribusi probabilitas, yaitu,

ii. Misalkan

adalah variabel acak dengan distribusi . Tunjukkan bahwa dimana jika

(

) maka

* 9.25 Misalkan *

+ +

konvergen dalam distribusi dan teridentifikasi dalam limit. dan * + ada dua urutan , di mana pada dan sedemikian adalah

sehingga, untuk pada

.,

a) Tunjukkan bahwa untuk setiap

( )adalah pada

( .

)( )

(

)

( )

b) Tunjukkan bahwa, untuk dan Soal 7.14. 9.26 Misalkan *

,

dimana

, dengan

perhitungan langsung dan oleh teorema Skorohod (yaitu, Teorema 9.4.1) memiliki distribusi peluang diskrit pada bilangan bulat + Tunjukkan bahwa dan misalkan ( )

variable acak. Tunjukkan bahwa berbeda sebagai berikut : a) Teorema Helly-Bray b) Metode Momen c) Menggunakan cdfs 9.27 Membuktikan (5.4) dalam Catatan 9.5.3. (Petunjuk )( (* | | 9.28 Misalkan| |

menggunakan tiga metode yang

:

Tunjukkan +)) .)

bahwa

untuk

setiap

(

adalah distribusi probability pada

sehingga

( )

( ) (5 )

untuk beberapa h

. Tunjukkan bahwa kondisi (c y

(Petunjuk : T 3.1.5)

( ) dan kemudian menggunakan pendekatan Stirling : 9.29 (Feller(1968)).) + dan adalah variabel ( ) ( ) dan , mgfnya

(Teorema Kontinuitas untuk mgfs). Misalkan *acak tunjukkan bahwa untuk beberapa ( ) ( ) ( ) yang terbatas untuk semua | | ( ) untuk semua | | Tunjukkan +

Selanjutnya, misalkan

(Petunjuk : yang pertama tunjukkan * Catatan 9.5.3, distribusi 9.30 Misalkan ( )

adalah rapat dan nyata dengan () )

ditentukan oleh

(

) Andaikan

. Misalkan , dimana ( ).

. Tunjukkan

(Petunjuk : gunakan problem 9.29.) 9.31Gunakan teorema kontinuitas untuk distribusi konvergensi dalam * + untuk menentukan (6.4) dan pada Soal 9.24 (b) (ii).