62

Kompetensi Dasar :

Mahasiswa memahami fungsi siklometri ( invers dari fungsi trigonometri )

Indikator :

Mahasiswa mampu membedakan relasi siklometri dan fungsi siklometri

Mahasiswa mampu menentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi siklometri

Mahasiswa mampu membuktikan identitas fungsi siklometri

Mahasiswa mampu menghitung harga fungsi siklometri

A. Invers Fungsi Trigonometri

Perhatikan y = Cos x

Misalkan x = /3 maka y = Cos /3 = ½

Ini berarti untuk setiap nilai x maka nilai y adalah tunggal

Misalkan y = ½ maka x = /3 + k.360 atau

x = - (/3) + k.360

Ini berarti bahwa jika y diketahui maka ditemukan lebih dari satu nilai x

y = Cos x : bila kita ingin menyatakan x dalam y maka :

x = Sudut yang nilai Cosinusnya y

x = Arcus Cosinus y

x = Arc Cos y atau x = Cos-1 y

Jadi untuk sudut x`dalam radian,

f = {(x,y) y = Cos x, x R} : merupakan fungsi dari R R, tetapi

f-1 = { (y,x) x = Cos-1 y ; -1 y 1 , y R} adalah Invers dari f atau relasi Siklometri

Bagaimana menjadikan f-1 sebagai fungsi ??

BAB 8

FUNGSI SIKLOMETRI

63

Caranya adalah dengan membatasi daerah hasilnya.

Jika y adalah harga sinus x , maka ketentuan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk : y = sin x

atau inversnya x= sin-1 y. Artinya sin x = y untuk semua nilai x maka akan terdapat nilai y yang

memenuhi. Tapi dalam bentuk inversnya, x = sin-1 y, untuk satu nilai y, maka akan terdapat

beberapa nilai x yang memenuhi. Contoh y = sin x, y = ½ , x mungkin berharga 300, 1500, 3900 ,

5100. Anda masih ingat definisi fungsi ?

Benar setiap anggota pada domain fungsi memiliki kawan tepat satu dengan anggota pada

daerah kodomainnya.

Sehingga bentuk aturan pada f(x) = sin-1 x bukan merupakan fungsi jika tidak kita batasi

domainnya.

Lihat grafik fungsi trigonometri berikut :

1. y = sin x

2. y = cos x

3. y = tgn x

64

4. y = sec x

65

5. y = cosec x

6. y = ctg x

66

B. Fungsi Siklometri

Apabila daerah hasil relasi siklometri dibatasi maka relasi siklometri dapat menjadi fungsi

siklometri. Adapun pembatasan tersebut adalah sebagai berikut.

Fungsi

Daerah Asal Daerah Hasil

x = Sin-1 y [ -1, 1]

[ - 2

,

2

]

x = Cos-1y

[ -1, 1]

[0, ]

x = tan-1y

( -, ) [ -

2

,

2

]

x = Cosec-1y

( -, -1] [1, ) [ -

2

,

2

], x 0

x = Sec-1y

( -, -1] [1, ) [0, ] , x

2

x = Cot-1y

( -, )

(0, )

67

C. Indentitas Fungsi Siklometri

Misalkan 0 < p < 1 dan = Sin-1 p maka 0 < < 2

Jika dinyatakan dalam fungsi siklometri yang lain

= Cos -1 21 p = Tan-1 21 p

p

= Cot-1

p

p21

Tetapi : Jika -1 < P < 0 maka Sin-1 p = dan -2

< < 0

Sedangkan Cos -1 21 p = dan 0 < <

2

Jadi karena maka Sin-1 p Cos -1 21 p

Daerah hasil antara x = Sin-1 p dan x = Cos -1 21 p tidak sama, sehingga

identitas Sin-1 p = Cos -1 21 p tidak berlaku untuk umum.

Syarat identitas berlaku umum jika daerah hasil fungsi-fungsi yang terlibat sama.

Berikut ini adalah Identitas yang berlaku umum untuk -1 p 1, yaitu :

1) Sin-1 p = Tan -1 21 p

p

2) Tan-1 p = Sin -1 21 p

p

3) Cos -1 p = Cot -1 21 p

p

4) Cot-1 p = Cos-1 21 p

p

Selanjutnya Perhatikan Identitas berikut.

1) sin (- ) = - Sin , Jika Sin = p (-1 p 1) maka Sin (- ) = -p

Jadi : Sin-1 p =

Sin-1 (-p) = - +

68

Sin-1 p + Sin-1 (-p) = 0

2) Cos ( - ) = - Cos ; Jika Cos = p (-1 p 1) maka Cos ( - ) = -p

Jadi : Cos-1 p =

Cos -1 (-p) = - +

Cos-1 p + Cos -1 (-p) =

3) Sin = Cos (2

- ) , jika Sin = p (-1 p 1) maka

Sin-1 p =

Cos -1 p = 2

- +

Sin-1 p + Cos-1 p = 2

4) Tan-1 p + Tan -1 (-p) = 0

Tan(- ) = - Tan , Jika Tan = p (-1 p 1) maka Tan(- ) = -p

Jadi : Tan-1 p =

Tan-1 (-p) = - +

Tan-1 p + Tan-1 (-p) = 0

5) Cot-1 p + Cot-1 (-p) =

Bukti : Cot ( - ) = - Cot ; Jika Cot = p (-1 p 1) maka Cot ( - ) =

Jadi : Cot-1 p =

Cot -1 (-p) = - +

Cot-1 p + Cot -1 (-p) =

6) Tan-1 p + Cot-1 p = 2

69

Tan = Cot (2

- ) , Tan = p (-1 p 1) maka

tan-1 p =

Cot -1 p = 2

- +

Tan-1 p + Cot-1 p = 2

D. Identitas Fungsi Siklometri Untuk Sudut Lancip

Untuk semua daerah hasil fungsi siklometri memuat interval (0, 2

) maka

Indentitas yg secara umum tidak berlaku jadi berlaku. Jadi untuk 0 < <2

berlaku :

1) Sin-1 p = Cos -1 21 p = Cot-1

p

p21 = 1 , 0 < p < 1

2) Cos-1 p = Sin-1 21 p = Tan -1

p

p21 = 2, 0 < p < 1

3) tan-1 p = Cos -1 21

1

p= Cot-1

p

1 = 3, p > 0

4) Cot-1 p = Sin-1 21

1

p= Tan-1

p

1= 4 , p > 0

Berkaitan dengan Fungsi trigonometri jumlah/selisih sudut, berikut disajikan identitas

yang memuat jumlah dan selisih dua fungsi siklometri.

1) Jika Sin-1 p = , p (0,1) , (0, 2

)

70

Sin-1 q = , q (0,1) , (0, 2

)

Maka :

Sin-1 p - Sin-1 q = Sin-1 ( 21 qp - 21 pq )

Bukti :

Sin-1 p - Sin-1 q = - , ( - ) (- 2

,

2

)

Sin ( - ) = Sin cos - Cos Sin .

= 21 qp - 21 pq

- = Sin-1 ( 21 qp - 21 pq )

Jadi Sin-1 p - Sin-1 q = Sin-1 ( 21 qp - 21 pq )

2) Jika Cos-1 p = , p (0,1) , (0, 2

)

Cos-1 q = , q (0,1) , (0, 2

)

Maka :

Cos-1 p - Cos-1 q = Cos-1 ( 21 qp - 21 pq ) - 2

Bukti :

Cos-1 p - Cos-1 q = Sin-1 21 p - Sin-1

21 q

= Sin-1 (21 p 211 q -

21 q 211 p )

= Sin -1 (q 21 p - p

21 q )

= Sin-1 – (p 21 q - q

21 p )

= - Sin-1 (p 21 q - q

21 p )

71

= Cos-1 (p 21 q - q

21 p ) - 2

Dalam pembuktian di atas tidak digunakan selisih sudut, karena

Cos-1 p - Cos-1 q = - dan ( - ) (- 2

,

2

), Nampak daerah hasilnya bukan

daerah hasil Cos-1x

Dengan cara serupa kita dapat membuktikan :

3) Jika Cos-1 p = , p (0,1) , (0, 2

)

Cos-1 q = , q (0,1) , (0, 2

)

Maka :

Cos-1 p + Cos-1 q = Cos-1( )1()1( 22 qpqp )

Bukti :

Cos ( + ) = Cos cos - Sin Sin .

= )1()1( 22 qpqp

Cos-1 p + Cos-1 q = Cos-1( )1()1( 22 qpqp )

4) Jika Sin-1 p = , p (0,1) , (0, 2

)

Sin-1 q = , q (0,1) , (0, 2

)

Maka :

Sin-1 p + Sin-1 q = 2

+ Sin-1 ( )1()1( 22 qpqp )

Bukti :

Sin-1 p + Sin-1 q = Cos -1 21 p + Cos -1

21 q

72

= Cos-1(21 p 21 q - )11()11( 22 qp )

= Cos -1 (21 p 21 q - pq)

= )1)(1((cos 221 qppq

= ))1)(1((sin2

( 221 qppq

= 2

+ Sin-1(pq -

21 p 21 q )

5) Jika Tan-1 p = , p > 0 , (0, 2

)

Tan-1 q = , q > 0 , (0, 2

)

Maka : a) Tan-1 p + Tan-1 q = Tan-1( qp

pq

1) +

2

b) Tan-1 p - Tan-1 q = Tan-1( qp

qp

1)

6) Jika Cot-1 p = , p > 0 , (0, 2

)

Cot-1 q = , q > 0 , (0, 2

)

Maka : a) Cot-1 p + Cot-1 q = Cot-1( qp

pq

1)

b) Cot-1 p - Cot-1 q = Cot-1( qp

qp

1) -

2

73

Latihan :

1. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi

)14

(sin3 1 x )

2. Hitunglah :

a. )55

1(sin3cot 11 )

b. )3

1(3)

2

1(23 111 tgtgtg