Bab 5 Vektor Di R2 Dan R3

1Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Vektor di R2 dan R3

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

PengertianVektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arahVektor digambarkan oleh ruas garis yang dilengkapi dengan anak

panahvektor dimulai dari titik awal (initial point) dan diakhiri oleh titik akhir

(terminal point)vektor nol, yaitu vektor yang panjangnya nol, dengan arah

sebarang yang menyesuaikan dengan operasi yang mengikutinya

a

bc

a dan b disebut sama, walaupun a dan b tidakmempunyai titik awal dan titikakhir yang sama, karenapanjang dan arahnya sama


Visualisasi Vektor R2 dan R3

(0, 0)

a=(a1, a2)

a1

a2

x

y

(0, 0, 0)

a1

a2

a3

a=(a1, a2, a3)

x

y

z

Vektor yang titik awalnya di titik asal {(0,0) untuk vektor di bidang dan (0, 0, 0) untuk vektor di ruang} disebut vektor posisi.


Penjumlahan dan Perkalian dgn Skalar

a

b

b

a + ba

a

-a

2a


Operasi Aritmatika secara Analitis

Untuk a=(a1, a2) dan b=(b1, b2), berlaku:1. a=b, berarti a1=b1 dan a2=b22. a+b=(a1+b1, a2+b2) (entri yang seletak dijumlahkan)3. ka=(ka1, ka2) (setiap entri dikalikan dengan k)4. a - b=a+(-b)=a+(-1)b=(a1-b1, a2-b2)

Untuk a=(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3), berlaku:1. a=b, berarti a1=b1, a2=b2 dan a3=b32. a+b=(a1+b1, a2+b2, a3+b3) (entri yang seletak dijumlahkan)3. ka=(ka1, ka2, ka3) (setiap entri dikalikan dengan k)4. a - b=a+(-b)=a+(-1)b=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)


Sifat Operasi VektorJika u, v, wR2 atau R3 dan k, l skalar (bilangan riil), berlaku:1. u + v = v + u (sifat komutatif)2. (u + v) + w = v + (u + w) (sifat asosiatif)3. o + u = u + o = u (identitas penjumlahan)4. u + u = u + (-u) = o (invers penjumlahan)5. k(u + v) = ku + kv6. (k + l)u = ku + lu7. (kl)u=k(lu)8. 1u=u

Kedelapan sifat ini nantinya akan ditarik sebagai aksioma untuk mendefinisikan apa yang disebut Ruang Vektor.


Cara Penulisan Vektor

=(a1, a2)

=( u1, u2, u3)

=2

1

aa

a

=

3

2

1

uuu

u

vektor yang titik awalnya P1=(x1, y1, z1), dan titik akhirnya di P2=(x2, y2, z2)

),,(PP 12121221 zzyyxx =


Panjang dan Jarak

Panjang vektor a=(a1, a2, a3) disebut norm:

Jarak antara titik P1 dan P2 :

23

22

21 aaa ++=a

d(P1, P2)= 21221221221 )()()(PP zzyyxx ++=


Tantangan1. Hitung jarak antara P1(3, 2, 4) dan P2(-1, 3, -2).2. Jika a=(2, 3, -2), b=( 1/2, -4, 5), c=(25, -32, 2), hitunglah:

a. ||a+b||b. ||2a || + ||-3b+2c ||c. -2||a|| + ||4c||d. ||2a b + 4c||

3. Tentukan semua skalar k sehingga ||kv||=3, jika v=(-1, 1, 5)4. Tentukan vektor yang berlawanan arah dengan v=(1, 2, -2), yang

normnya: 15. Jika u=(1, 2, 3), v=(2, -3, 1), dan w=(3, 2, -1), tentukan vektor x yang

memenuhi 2uv+x =7x+w6. Jika u=(1, 2, 3), v=(2, -3, 1), dan w=(3, 2, -1), tentukan skalar-skalar

x1, x2, dan x3, sehingga dipenuhi persamaan vektor: x1u+x2v+x3w=(6, 14, -2)


Hasil Kali Titik

Jika u dan v vektor di bidang atau di ruang, hasil kali titik antara udan v didefinisikan:

dimana sudut antara u dan v

Dengan menggunakan aturan cosinus didapat bentuk lain hasil kali titik, yaitu:

===ovouovouvu

vuatau jika ,0dan jika ,cos

212121 zzyyxx ++= vu


Akibat Hasil Kali Titik1. Karena sudut antara a dan a adalah 0, maka norm/

panjang suatu vektor dapat dinyatakan, sebagai berikut:

||a||=(aa)1/22. Jika u dan v keduanya bukan vektor o, dan sudut

antara u dan v, maka dari nilai hasil kali titik dapat ditentukan kondisi sudut antara dua vektor tersebut:

a. lancip, jika uv > 0b. tumpul, jika uv < 0c. =/2, jika uv = 0 {u dan v tegak lurus/ ortogonal}


Sifat-sifat Hasil Kali TitikJika u, v, dan w vektor di R2 atau R3, k skalar, berlaku:1. uv = vu (komutatif)2. u (v + w)=uv + uw (distributif)3. k(uv)=(ku) v = u (kv)4. uu >0, jika uo, dan uu=0, jika u=o

Keempat sifat ini akan ditarik menjadi aksioma untukmendefinisikan Hasil Kali Dalam


Proyeksi Ortogonal

Terlihat w1 sejajar dengan a, sedangkan w2 tegak lurus terhadap a, dan dipenuhilah hubungan:

w1 + w2 = w1 + (u w1)=uVektor w1 disebut proyeksi ortogonal (tegak lurus) u pada a, dan

dilambangkan sebagai: proyau

Sedangkan vektor w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal (tegak lurus) terhadap a, yang ditentukan sebagai berikut:

w2 = u w1=u - proyau

a

uw2

w1


Proyeksi Ortogonal (lanjut)

Jika u=(2, -3, 7), dan v=(-4, 1, 2)tentukan: proyvu dan komponen u yang tegak lurus v

Sedangkan komponen u yang tegak lurus v adalah:

(2, -3,7) (-4/7, 1/7, 2/7) = (18/7, -22/7, 47/7)

aau

auauuuua

=== cosproy

aaaau

aa

aauua

==proy

( ) ( ) ( )72 ,71 ,742 ,1 ,4712 1, ,4213proy ==== vvv vuuv

a

uw2

w1


Hasil Kali Silang

Hasil kali silang antara u=(u1, u2, u3), dan v=(v1, v2, v3) adalah:

dimana merupakan vektor-vektor satuan di R3

Hanya berlaku di R3 saja

( ) ( ) ( )1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 === kji321

321

vvvuuukji

= vu

=

21

21

31

31

32

32 ,- ,vvuu

vvuu

vvuu


Contoh

Tentukan uxv, jika u=(1, -2, 1) dan v=(-1, 0, 2)

Jawab:uxv =(-4, -3, -2)

(uxv)u = (-4, -3, -2) (1, -2, 1) =(-4)1 + (-3)(-2)+(-2)1 = -4 + 6 2 = 0, berarti (uxv) tegak lurus dengan u

(uxv)v = (-4, -3, -2) (-1, 0, 2)=(-4)(-1) + (-3)0 + (-2)2 = 4 + 0 4 = 0, berarti (uxv) tegak lurus dengan v


Sifat Hasil Kali SilangJika u, v, w R3, k skalar, berlaku:1. (u x v)u = 0 {vektor u x v tegak lurus

pada vektor u}2. (u x v)v = 0 {vektor u x v tegak lurus

pada vektor v}3. ||u x v||2=||u||2||v||2 (uv)2 {identitas Lagrange}4. u x v = - (v x u) {tidak komutatif}5. u x u = o {nol terhadap diri sendiri}6. u x (v + w) = u x v + u x w {distributif}7. (u + v) x w = u x w + v x w {distributif}8. k(u x v)= (ku) x v = u x (kv)9. u x o = o x u = o


Identitas Lagrange||u x v||2=||u||2||v||2 (uv)2 dan uv=||u||||v|| cos||u x v||2=||u||2||v||2 (||u||||v||cos)2||u x v||2=||u||2||v||2(1 cos2)||u x v||=||u||||v|| |sin|{yang negatif tidak dipakai, karena norm selalu positif}

{luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v}

v

u

||v|||sin|


Contoh

Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut: P1(2, 3, -1), P2(4, 2, 2), dan P3(0, 2, 1)

P1(2, 3, -1)P3(0, 2, 1)

P2(4, 2, 2)

13PP

23PP

1323 PPPP

= (2, 1, -2)

= (4, 0, 1)

= (-1, 10, 4)

1323 PPPP21

11721161001

21 =++

Luas segitiga =

=

satuan luas


Tantangan1. Tentukan cosinus sudut antara vektor u=(1, 0, 1) dan v=(-1, 1, -1)2. Tentukan k, sehingga vektor u=(k, 0, 1) dan v=(-k, 1, 1) saling tegak

lurus3. Tanpa menghitung cosinus sudut antara u=(1, 2, 1) dan v=(-1, 1, -3),

tentukan apakah sudutnya tumpul, lancip ataukah /2 4. Tentukan proyuv, jika u=(2, 0, -1) dan v=(-1, 2, 1) dan tentukan

komponen v yang ortogonal pada u5. Carilah dua vektor yang norm-nya 1 dan ortogonal pada (1, -2)6. Misalkan u=(1, 0, 1), v=(-1, 1, -2), dan w=(3, 2, -1). Hitunglah:

u v; u (v w); (u v) w; u (v + 2w); (u v) - 3w; (u + v)w7. Tentukan vektor yang ortogonal pada u=(1, 0, 2) dan sekaligus pada

v=(-1, 1, -1)8. Tentukan luas segitiga yang titik sudutnya P1(7, -2, 2), P2(1, 0, 2)

dan P3(2, -1, 2).

Bab 5 Vektor Di R2 Dan R3

Documents

Transcript of Bab 5 Vektor Di R2 Dan R3