BAB 5 Penerapan Turunan
Transcript of BAB 5 Penerapan Turunan
BAB 5. PENERAPAN TURUNAN
Pada bab ini akan dibahas beberapa penerapan turunan.
A. Persamaan Garis Singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana
m adalah koeffisien arah (kemiringan) atau gradien garis dan n
adalah penggal garis.
Sekarang perhatikan Gambar 1. Gradien garis l1 adalah .
Jika x 0, maka : .
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang
menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah : .
Jika garis tersebut menyinggung kurva y = f(x) titik P(x1,y1)
maka gradiennya adalah :
CACATAN
x = dx l1
f(x) l
f(x + x)
f(x)y
dy
y
x x+xx
0
Gambar 1
Bab 5. Penerapan Turunan
1. Persamaan garis melewati titik dengan gradien m
adalah
2. Persamaan garis melewati titik adalah
Contoh 1:
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -
3 di titik P(2,3)
Penyelesaian : y = x2 + x -3
Gradien garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah :
Persamaan garis : y = mx + c. Karena menyinggung titik P(2,3)
maka :
3 = 5(2) + c c = -7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah: y =
5x – 7
Atau Persamaan garis melewati titik dengan gradien m = 5
adalah
mk atau y = 5x -7
B. Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis
singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui
bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian
kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus
dapat ditulis menjadi: m1.m2 = -1 atau , dimana m1
63
Bab 5. Penerapan Turunan
adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan
garis normalnya.
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik
(1,6)
pada kurva : y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian: ; m1 = ; m2 =
Jadi : - Persamaan garis singgung :y1 = m1x1 + n1 y1 =
4x1 + 2
- Persamaan garis singgung :y2 = m2x2 + n2 y2 =
x1 +
Contoh 3 :
Jika diketahui persamaan parameter dan y = 3t2,
tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik
singgung pada t = 2.
Penyelesaian: Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)
; ;
;
Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36
garis normal : y =
Contoh Soal:
1.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari
kurva :
64
Bab 5. Penerapan Turunan
a) di titik
b) x2 – xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)
2.Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik
singgung dari fungsi parameter :
SOAL LATIHAN
1. Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva
y = 2x2 + 3 yang sejajar garis 8x – y +3 = 0
2. Tentukan Persamaan garis normal pada kurva
y = 4 - x2 yang tegak lurus dengan garis 2x – 4y = 0
3. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari
kurva:
xy2 - yx3 = 9 di titik P(1,4)
C NILAI EKSTREM
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 2. Pengukuran tersebut dapat berupa
pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis
bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika
65
Bab 5. Penerapan Turunan
kita perhatikan Gambar 2, harga pengukuran meningkat pada
[x0,x1], menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan
pada selang [x6,x7].
Definisi :
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah
dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1)
< f(x2)
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan
f(x1) > f(x2)
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap
harga x1 dan x2
Sifat :
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f
setidak-tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan
minimum [a,b].
Contoh 4
0 x0 = a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x
y
Gambar 2
66
Bab 5. Penerapan Turunan
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk
selang-selang berikut: a) [-2,0] b) (-3, 1) c) [-3,-2) d) (-
1,1]
Penyelesaian :
Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
Minimum = f(-2) = 0
a)Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)
(b)
( c )(d)
-3 -2 0 -1 1
x x
x x
y y
y y
-2 0 -3 0 1
(a)
Gambar 3
67
Bab 5. Penerapan Turunan
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1
Minimum = f(1) = 12
Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila
terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c
sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar
(maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang
mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim
lokal.
Definisi :
Jika c adalah bilangan yang terletak dalam daerah definisi
(domain) fungsi, maka :
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu
selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian
rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu
selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian
rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).
0 a x b x1 c x
y
Gambar 4
Maksimum lokal
Minimum lokal
68
Bab 5. Penerapan Turunan
Beberapa Sifat :
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka
(a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal
pada titik c jika f 1(c) = 0.
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka
(a,b). Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim
lokal pada titik c jika f 1(c) ada dan tidak sama dengan 0.
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang
tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan mempunyai
ekstrim lokal pada titik c jika f 1(c) = 0.
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan
kritis f, maka f’(c) = 0.
Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka
kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik
tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak
dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada
grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga
dengan nilai ekstrim fungsi f.
Sifat: Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan
ril S. Jika c terletak pada S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c)
untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang tertutup [a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka
(a,b)
2. Tentukan titik ujung
69
Bab 5. Penerapan Turunan
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b]
maka titik ujungnya adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b)
maka f tidak mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah
terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah
terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang
didapat dari nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah
nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor
3 dan 4 diatas.
Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang terbuka (a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka
(a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah
nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor
2 diatas.
Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka
(a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(a)
70
Bab 5. Penerapan Turunan
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah
nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor
2 dan 3 diatas.
Langkah menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka
(a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah
nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor
2 dan 3 diatas.
Contoh 6 :
Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai
maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian:Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10
f ’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0
6x2 – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x-2)(x+1) =
0
x1 = 2 ; x2 = -1
f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10
f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : -4 dan 3
f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54
f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum
mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
71
Bab 5. Penerapan Turunan
Soal-soal
1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini
serta gambarkan grafiknya !
a) f(x) = ; [2,5] c) f(x) = ;
[-1,3)
b) f(x) = ; (-3,1] d) f(x) = ; (-
2,2)
2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut
ini !
a) f(x) = c) f(x) =
b) f(x) = 2x + 5 d) f(x) =
D. Kecekungan dan kecembungan
Definisi :
Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas)
pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva
pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada
bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung
keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung
-4 -3 -2 -1 1 2 3 0
x
Gambar 5
y
17
72
Bab 5. Penerapan Turunan
kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak
pada bagian atas kurva f.
Kurva f pada Gambar 6 cembung keatas pada selang (a,b)
dan cembung kebawah pada selang (b,c).
Definisi :Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f ||(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f || (xo) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.Definisi :
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik
x = xo. Jika f|| (xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f|| (x)>0 untuk
x<xo dan f|| (x) < 0 untuk x>xo atau berlaku f||(x)<0 untuk x<xo
dan f||(x) > 0 untuk x>xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik
belok dari kurva tersebut.
Contoh 7: Tentukan daerah cembung keatas dan cembung
kebawah jika diketahui :
f(x) = 6 – 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2
Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka
kurva f cembung kebawah.
cembung keatas
cembung ke bawah
y
x0 a b c
Gambar 6
73
Bab 5. Penerapan Turunan
Contoh 8:
Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah
pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah,
daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang
dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
f’(x) = 1 + 6x – 3x2
f’’(x) = 6 – 6x
Daerah cembung keatas : f’’(x) = 6 – 6x < 0 x>1
Daerah cembung kebawah : f’’(x) = 6 – 6x > 0 x<1
Titik belok : f’’(x) = 6 – 6x = 0 x=1
Soal-soal
Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan
titik belok kurva dari fungsi berikut jika ada !
1. f(x) = x3 – x + 2 6. f(x) = 2x +(3x+1)3/5
2. g(x) = x3 – 5x2 + 7 7. g(x) = x(6-x)2
3. h(x) = (x-a)3 , a = bilangan konstan 8. h(x) =
1/(x2+1)
4. f(x) = x2e-x – 5 9. f(x) = 5x -
5. g(x) = 10. g(x) =
E. Menggambar Grafik Fungsi
Langkah mengambar grafik fungsi:
1. Tentukan titik-titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat
(x dan y)
2. Tentukan titik Stasioner dan jenisnya, dengan syarat y1 = 0
74
Bab 5. Penerapan Turunan
3. Tentukan titik belok dan daerah cekung/cembung, dengan
syarat y11 = 0
4. Teliti daerah asalnya
5. Gambar grafiknya
Contoh: Gambarlah grafik fungsi berikut:
F. Kecepatan dan Percepatan Sesaat
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan
sesaat, kiranya kita perlu mengetahui apa yang dimaksud
dengan kecepatan dan percepatan rata-rata. Kecepatan rata-
rata pada bidang datar didefinisikan sebagai
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal
terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk
selisih waktu (t) yang cukup besar, maka persamaan di atas
hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk
suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan tersebut dapat
digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat
tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk
rumus :
75
Bab 5. Penerapan Turunan
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan
pertama dari lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau
dapat ditulis dalam bentuk s = s(t).
Percepatan rata-rata pada bidang datar didefinisikan sebagai
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal
terhadap titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk
selisih waktu (t) yang cukup besar, maka
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan
pertama dari kecepatan.
Contoh 9 :
Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 –
5t + 2, dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter.
Tentukan panjang lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat
t = 15 detik.
Penyelesaian:
s = 3t2 – 5t + 2 dan
Untuk t = 15 detik : Didapat : s = 3(15)2 – 5(15) + 2 = 600
meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2
Soal
76
Bab 5. Penerapan Turunan
1. Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan
percepatan konstan. Tentukan panjang lintasan dan
kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik !
G. Terapan Masalah Ekstrem
1). Toko komputer mempunyai data penjualan mengikuti fungsi y = -x2 +8 x + 20
Tentukan:a). Kapan jumlah komputer terbanyak yang terjual dan berapa jumlahnyab). Kapan tidak laku lagi komputernya (tidak ada yang beli)c). Berapa kecepatan dan percepatan penjualan komputer saat waktu 5d). Gambar grafiknya
2). Seorang peternak mempunyai kawat berduri panjangnya 20 meter, dia akan memagari kandang dengan kawat berduri tersebut. Berapa ukuran kandang sehingga luas kandang yang dipagari maksimum, jika:a. Kandangnya berbentuk persegi panjangb. Kandagnya berbentuk persegi panjang dengan salah satu sisinya tembokc. Kandangnya berbentuk 2 persegi panjang yang berhimpit dengan luas sama
0 10 15
240
110
s (meter)
t (detik)
77
Bab 5. Penerapan Turunan
H. Bentuk-bentuk Tidak TertentuH. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu
Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalahYang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah
bentuk-bentuk berikut:bentuk-bentuk berikut:
Aturan dari de l’ Hospital :
1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan
sebanyak n kali disekitar x = a.
Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak
nol, maka :
2. Kecuali untuk bentuk , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai
untuk bentuk .
Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak
tak berhingga, maka :
Contoh:
1. =
2.
78
Bab 5. Penerapan Turunan
=
=
=
=
3.
=
=
Contoh:
1. = = =
= = 0
2. =
3.
= =
79
Bab 5. Penerapan Turunan 80