BAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI

WAKTU KERUSAKAN

Estimasi reliabilitas membutuhkan pengetahuan distribusi waktu kerusakan yang

mendasari dari komponen atau sistem yang dimodelkan. Untuk memprediksi reliabilitas

atau mengestimasi MTTF komponen atau sistem yang dikenai uji hidup dipercepat,

diperlukan estimasi parameter dari distribusi probabilitas yang menggambarkan waktu

kerusakan populasi yang dilakukan uji.

Keakuratan estimasi parameter tergantung pada ukuran sampel dan metode yang

digunakan untuk estimasi parameter. Statistik yang dihitung dari sampel yang digunakan

untuk estimasi parameter populasi disebut estimator. Suatu estimator yang baik mempunyai

sifat-sifat: tak bias, konsisten, efisien dan sufiisien. Statistik yang digunakan untuk estimasi

parameter populasi, θ, disebut suatu estimator titik untuk θ , dinotasikan θ̂. Ada 3 metode yang

banyak digunakan untuk estimasi parameter dari populasi yaitu metode momen, metode maximum

likelihood dan metode kuadrat terkecil.

Metode Momen

Ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik sampel tertentu

seperti mean dan varians untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi yang bersesuaian

dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai

perkiraan parameter tidak diketahui.

Jika x1 , x2 ,…, xn mewakili himpunan data, maka momen ke k sampel adalah

M k=1n∑i=1

n

xik

Jika θ1 , θ2 ,…,θm adalah parameter yang tidak diketahui dari populasi, maka estimator

momen θ̂1 , θ̂2 ,…, θ̂m diperoleh dengan menyamakan momen sampel m yang pertama

dengan momen populasi m yang pertama yang bersesuaian dan menyelesaikan untuk

θ1 , θ2 ,…,θm.

Contoh 4.1:

Misal bahwa x1 , x2 ,…, xn mewakili suatu sampel random dari suatu distribusi Eksponensial

dengan parameter λ. Bagaimana estimasi λ?

Jawab:

Pdf dari distribusi Eksponensial adalah f ( x )= λe−λx dan E [X ]=1λ

. Menggunakan momen

pertama sampel M 1=

∑i=1

n

xi

n=E [X ]=1

λ

.

Jadi estimasi dariλ adalah λ̂= n

∑i=1

n

xi .

Contoh 4.2:Sebuah produsen sistem data wireless menggunakan sinar inframerah yang ditransmisikan

antara perangkat yang dipasang pada bagian luar gedung untuk menyediakan link data

kecepatan tinggi. Ukuran sinar inframerah memiliki efek langsung pada reliabilitas sistem

dan kemampuannya untuk mengurangi efek dari kondisi cuaca seperti salju dan kabut yang

menghalangi jalur sinar tsb. Data ditransmisikan secara kontinyu menggunakan sinar

inframerah dan waktu sampai terjadi kerusakan dalam jam (tidak menerima data yang

ditransmisikan) dicatat sebagai berikut:

47, 81, 127, 183, 188, 221, 253, 311, 323, 360, 489, 496, 511, 725, 772, 880,

1,509, 1,675, 1,806, 2,008, 2,026, 2,040, 2,869, 3,104, 3,205.

Dengan asumsi bahwa waktu kerusakan mengikuti distribusi eksponensial, tentukan

parameter distribusi menggunakan metode momen. Perkirakan reliabilitas sistem saat =

1000 jam. (Perhatikan bahwa data di atas dihasilkan dari sebuah distribusi eksponensial

dengan parameter 1/λ = 1000).

Jawab:

Parameter dari distribusi Eksponensial adalah

λ̂= n

∑i=1

n

xi

= 2526209

=0,00095387.

atau 1

λ̂=1048,36 .

Ini sangat dekat dengan nilai parameter yang sama yang digunakan dalam menghasilkan

data. Jelas, selama meningkatnya jumlah observasi, parameter yang diestimasi (λ̂) dengan

cepat mendekati parameter dari distribusi waktu kerusakan yang sebenarnya.

Contoh 4.3

Misal x1 , x2 ,…, xn adalah suatu sampel random dari suatu distribusi gamma yang

mempunyai pdf :

f ( x )= 1

Γ (α) βαxα−1 e−x /β x>0 ,α ≥0 , β>0

Gunakan metode momen untuk mendapatkan estimasi parameter α dan β .

Jawab:

Sebagaimana yang telah ditunjukkan dalam Bab 1, mean dan varians dari distribusi gamma,

berturut-turut adalah: E [X ]=αβ dan V (X )=α β2=E [X2 ]− (E [X ])2.

E [X ] diganti dengan estimator M 1 danE [X2 ] diganti dengan estimator M 2, diperoleh

M 1=α̂ β̂ dan M 2−M 12=α̂ β̂2.

Penyelesaian dua persamaan di atas secara simultan menghasilkan

β̂=(M 2−M 1

2)M 1

dan α̂=M 1

2

(M 2−M 12).

Contoh 4.4:

Sebuah produsen komputer pribadi melakukan suatu uji burn-in pada 20 monitor komputer

dan mendapatkan (dalam jam) sebagai berikut: 130, 150, 180, 40, 90, 125, 44, 128,

55, 102, 126, 77, 95, 43, 170, 130, 112, 106, 93, 71.

Asumsikan bahwa populasi dari waktu kerusakan yang utama mengikuti distribusi gamma

dengan parameter α dan β. Tentukan estimasi parameter- parameter ini!

Jawab:

Mula-mula, tentukan M 1 dan M 2 sebagai berikut:

M 1=∑i=1

n

xi

n=2067

20=103,35danM 2=

120

∑ x i2= 1

20×244823=12241,15 .

Selanjutnya, tentukan estimasi parameter-parameternya:

β̂=12241,15−(103,35 )2

103,35=15,09dan α̂=

(103,35)2

12241,15−(103,35)2=6,847.

Jadi rata-rata suatu monitor hidup yang diharapkan adalah α̂ β̂=103,3 jam.

Contoh 4.5:

Gunakan metode momen untuk mengestimasi parameter μ dan σ 2 dari distribusi normal.

Jawab:

Pdf dari distribusi normal:

f ( x )= 1σ √2π

e−12 ( x−μ

σ )2

.

Momen pertama M 1 dan momen kedua M 2 dari distribusi di atas berturut-turut adalah

M 1=∫− x

xx

σ √2 πe

−12 ( x−μσ )

2

dx

danM 2=∫−x

xx2

σ √2 πe

−12 ( x−μσ )

2

dx

Dengan menggunakan transformasi z=x−μσ

, kemudian mengintegralkannya (lihat

kembali catatan mata kuliah Statistika Matematika II) maka diperoleh nilai-nilai M 1 dan

M 2 sebagai berikut:

M 1=μ=1n∑i=1

n

x idanM 2=μ2+σ 2=1

n∑i=1

n

x i2 .

Jadi estimasi untuk parameter μ dan σ 2 adalah

μ̂=1n∑i=1

n

x idan σ̂2=1n∑i=1

n

x i2−(1

n∑i=1

n

x i)2

=¿ 1n∑i=1

n

(x i−x )2¿

Metode momen merupakan metode sederhana untuk memperkirakan parameter

distribusi waktu kerusakan yang tersedia yaitu distribusi yang mendasari diketahui.

Kesalahan dalam memperkirakan parameter adalah minimum ketika distri-

busi yang mendasari simetris dengan tidak ada skewness dan ketika waktu kerusakan tidak

tersensor atau terpotong.

Selang Kepercayaan

Setelah penentuan estimasi titik parameter distribusi, selanjutnya menentukan

selang kepercayaan yang mana parameter yang diperkirakan dekat dengan nilai-nilai

sebenarnya dari populasi. Selang kepercayaan untuk parameter θ adalah

P[LCL≤θ≤UCL]=1−α

di mana LCL adalah batas bawah kepercayaan dan UCL adalah batas atas kepercayaan.

Misalkan sampel random x1 , x2 ,…, xn diambil dari suatu populasi dengan

mean μ dan varians σ 2. Misal x adalah estimator titik untuk μ. Jika n besar (n≥30),

maka x kira-kira memiliki suatu distribusi normal dengan meanμ dan varians σ 2/n, atau

Z= x−μσ /√n

memiliki suatu distribusi normal standar. Untuk sembarang nilai α dapat

ditemukan suatu nilai Zα /2 sedemikian sehingga P [−Zα /2≤Z≤+Zα /2 ]=1−α .

Atau dapat ditulis

1−α=P [−Zα /2≤x−μσ /√n

≤+Zα /2]=P [−Zα /2σ

√n≤ x−μ≤+Zα /2

σ

√n ]¿ P[ x−Zα /2

σ

√n≤μ≤ x+Zα /2

σ

√n ]Sehingga diperoleh selang

(x−Zα /2σ

√n, x+Zα /2

σ

√n )membentuk selang kepercayaan dari parameter yang diestimasi x untuk μ dengan koefisien

kepercayaan 1−α.

Contoh 4.6:

Pandang waktu kerusakan dari contoh 4.4. Tentukan suatu selang kepercayaan untuk mean

waktu kerusakan dengan koefisien kepercayaan 0,95.

Jawab:

Dari data diperoleh x=103,35 dan s=40,52 , sadalah estimasi dari standar deviasi σ .

Karena ukuran sampel kecil (< 30), lebih tepat menggunakan distribusi t daripada

distribusi normal dalam menentukan selang kepercayaan. Jadi selang kepercayaan adalah

x± t α /2σ

√n,dengan (1−α )=0,95 . Dari tabel diperoleh t 0,025=2,093 dan substitusi s untuk σ ,

didapat 103,35±2,093×40,52

√20atau 103,35±18,96 atau

(84,39 , 122,31).

Dengan kata lain, dengan tingkat kepercayaan 95% bahwa mean waktu kerusakan yang

sebenarnya terletak antara 84,39 dan 122,31 jam.

Metode Maksimum Likelihood

Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas

didasarkan pada fungsi likelihood. Misal dipunyai n pengamatan adalah x1 , x2 ,…, xn yang

masing-masing mempunyai suatu pdf f (x i , θ ). Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari θ

yaitu

l (θ )=f (x1 , θ )…f (xn , θ )=∏i=1

n

f (x i , θ ) .

Jika θ adalah anggota suatu selang terbuka dan l (θ ) terdiferensial dan mempunyai suatu nilai

maksimum pada selang tersebut, maka MLE adalah suatu penyelesaian dari persamaan maksimum

likelihood

ddθl (θ )=0 .

Beberapa nilai dari θ yang memaksimumkan l (θ ) juga akan memaksimumkan log likelihood

L (θ ), maka untuk perhitungan yang cepat, sebagai bentuk alternatif dari persamaan maksimum

likelihood adalah

ddθ

log l (θ )=0 .

Contoh 4.7:

Banyak cacat dalam suatu lini produksi ditemukan mengikuti distribusi Poisson dengan

suatu rata-rata μ yang tidak diketahui. Dua sampel random diambil dan banyaknya unit-unit

yang cacat adalah 10 dan 12. Tentukan estimasi kemungkinan maksimum (MLE) dari μ?

Jawab:

Probabilitas yang mempunyai x unit dari suatu distribusi Poisson adalah

P ( x )= e−μμx

x !x=0,1,2 ,…

Probabilitas yang mempunyai 10 dan 12 cacat berturut-turut adalah:

P (10 )= e−μ μ10

10 !dan P (12 )= e−μ μ12

12!

Fungsi likelihood [ l (x , μ ) ] adalah perkalian dari P (10 )danP (12 ), yaitu:

l (x , μ )= e−μ μ10

10 !×e−μμ12

12!= e−2μμ22

(10 !12!).(x=10,12)

Evaluasi dari persamaan di atas untuk nilai-nilai yang berbeda dari μ dapat disederhanakan dengan mengambil logaritma dari l (x , μ ). Misal

L ( x , μ )=log l(x ,μ)

dan logaritma dari fungsi likelihood adalah

L (μ )=22 log μ−2 μ−log (10 !12 !)

Derivatif dari L (μ ) terhadap μadalahdL(μ)dμ

=22μ

−2=0

Jadi estimasi terbaik dariμ̂ adalah 22/2=11.

Contoh 4.8:

Anggap bahwa pabrik IntegratedCircuits mengambil 3 sampel random dari sekumpulan

yang sama dari ukuran 10, 15 dan 20 unit. Pada pemeriksaan ditemukan bahwa sampel-

sampel ini berturut-turut mempunyai 2, 3 dan 5 yang cacat. Bagaimana estimasi

kemungkinan maksimum (MLE) dari θ?

Jawab:

Karena 3 sampel diambil dari sekumpulan produksi yang sama, distribusi probabilitas yang

mendasari mempunyai parameter yang sama θ . Probabilitas 3 hasil adalah:

(102 )θ2−(1−θ )8; (15

3 )θ3−(1−θ )12;(255 )θ5−(1−θ )20

Fungsi likelihood secara sederhana merupakan hasil kali dari 3 probabilitas:

l (θ )=(102 )θ2−(1−θ )8(15

3 )θ3−(1−θ )12(255 )θ5−(1−θ )20=K θ10(1−θ)40 ,

di mana K adalah suatu konstan yang meliputi semua suku yang tidak melibatkan θ.

L (θ )=logK+10 logθ+40 log(1−θ)

dL(θ)dθ

=0+ 10θ

− 401−θ

=0

Jadi estimasi terbaik dariθ̂ adalah 1/5.

MLE dari Distribusi Ekxponensial

Pdf dari distribusi eksponensial dengan parameter λ adalah f ( x , λ )= λe−λx.

Pdf dari n pengamatan x1 , x2 ,…, xn adalah f ( x , λ )= λe−λx i=1,2 ,…,n.

Fungsi likelihood:

l (x1 , x2 ,…, xn; λ )=f (x1 , λ ) f ( x2 , λ )…f (xn , λ )=∏i=1

n

f (x1, λ )=λn∏i=1

n

e− λ xi=λn e

−λ∑i=1

n

xi

Logaritma dari fungsi likelihood:

L (x1 , x2 ,…, xn; λ )=n log λ−λ∑i=1

n

x i

Derivatif dari L (x1 , x2 ,…, xn; λ ) terhadap λ adalah

∂ L (x1 , x2 ,…,xn ; λ )∂ λ

=nλ−∑

i=1

n

xi=0

Jadi estimasi terbaik dari λ̂ adalah n/∑i=1

n

x i .

(Hasil MLE dari λ sama seperti estimasi yang diperoleh menggunakan metode momen).

Contoh 4.9:

Suatu uji reliabilitas dilakukan pada sampel yang terdiri dari 6 komponen elektronik untuk

mengestimasi MTTF. Berikut adalah waktu kerusakan dari komponen-komponen tersebut:

25, 75, 150, 230, 430 dan 700 jam. Bagaimana bentuk laju kerusakan dan tentukan MLE

dari parameter distribusi waktu kerusakan yang mendasari?

Jawab:

MTTF adalah 260 jam dan standar deviasi adalah 232 jam. Karenan mean dan deviasi

standar hampir sama, maka distribusi eksponensial dapat digunakan untuk mewakili

distribusi waktu kerusakan.

Jadi estimasi terbaik dari λ̂ adalah

λ̂= n

∑i=1

n

xi

= 61610

=3,726 x10−3 kerusakan per jam .

MLE dari Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh digunakan untuk merepresentasikan distribusi waktu kerusakan dari

komponen yang menunjukkan laju kerusakan meningkat secara linier. Pdf dari distribusi

Rayleigh adalah

f ( x )= λxe− λ x2

2

di mana λ adalah parameter dari distribusi Rayleigh.

Fungsi likelihood untuk n pengamatan x1 , x2 ,…, xn adalah

l (x1 , x2 ,…, xn; λ )= f (x1 , λ ) f ( x2 , λ )… f (xn , λ )=∏i=1

n

λ xi e− λ x2

2 = λn X e−λ2∑i=1

n

x i2

di mana ∏i=1

n

xi=X

Logaritma dari fungsi likelihood:

L (x1 , x2 ,…, xn; λ )=n log λ+log X−¿ λ2∑i=1

n

x i2¿

Derivatif dari L (x1 , x2 ,…, xn; λ ) terhadap λ adalah

∂ L (x1 , x2 ,…,xn ; λ )∂ λ

=nλ−1

2∑i=1

n

x i2=0

λ̂= 2n

∑i=1

n

xi2

.

Contoh 4.10:

Waktu kerusakan berikut diamati ketika dilakukan suatu uji reliabilitas: 15, 21, 30, 39, 52

dan 68 jam. Anggap bahwa distribusi Rayleigh dipandang sebagai distribusi yang tepat

untuk merepresentasikan waktu kerusakan ini. Tentukan parameter dari distribusi ini.

Berapa mean dan deviasi standar dari waktu kerusakan?

Jawab:

Parameter dari distribusi Rayleigh adalah

λ̂= 2n

∑i=1

n

xi2

= 2×610415

=0,00115 kerusakan per jam .

Mean dan deviasi standar dari waktu kerusakan adalah

μ̂=√ π2 λ̂

=36,92 jamdan σ̂=√ 2λ̂ (1−π

4 )=19,3 jam .

MLE dari Distribusi Normal

Pdf dari pengamatan x dari suatu distribusi normal dengan mean μ dan variansi σ 2 yang

tidak diketahui

f ( x )= 1σ √2π

e−12 ( x−μ

σ )2

Fungsi likelihood untuk n pengamatan x1 , x2 ,…, xn adalah

l (x1 , x2 ,…, xn; μ ,σ )=( 1σ √2π )

n

∏i=1

n

e−12 ( x1−μ

σ )2

Logaritma dari fungsi likelihood:

L (x1 , x2 ,…, xn; μ , σ )=n log1

σ √2 π−1

2∑i=1

n

( x−μσ )2

.

Derivatif dari L (x1 , x2 ,…, xn; μ , σ ) terhadap μ adalah

∂ L (x1 , x2 ,…,xn ;μ , σ )∂ μ

= 1σ2 (∑

i=1

n

x i−nμ)=0

μ̂=1n∑i=1

n

x i .

Derivatif dari L (x1 , x2 ,…, xn; μ , σ ) terhadap σ adalah

∂ L (x1 , x2 ,…,xn ;μ , σ )∂σ

= ∂∂σ

¿

¿−nσ−∑ (xi−μ )2

2σ3(−2 )=1

σ [−n+∑i=1

n (x i−μ)2

σ 2 ]=0

σ 2=1n∑i=1

n

(x i−μ )2atau σ̂2=1

n∑i=1

n

(x i− μ̂ )2 .

Hasil yang sama sebagaimana diperoleh dengan metode momen.

Contoh 4.11:

Anggap bahwa diterapkan penekanan pada komponen-komponen dan waktu kerusakan

yang sesuai membentuk pasangan pengamatan (x1 , y1 ) ,…, (xn , yn ) yang mengikuti model

E (Y )=α+βx danVar (Y )=σ2 .

di mana Y adalah variabel random berdistribusi normal dan independen. Gunakan

pendekatan maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter α dan β.

Jawab:

Karena Y berdistribusi normal dan independen, maka log likelihood adalah

L [ (x1 , y1 ) ,…, (xn , yn ) ]=¿−n2

log 2π−n log σ− 1

2σ 2∑ ( y i−α−β xi )2.

Dua suku pertama dari sisi kanan dari persamaan tersebut di atas adalah independen

terhadap α dan β. Karena itu untuk meminimumkan log likelihood, cukup untuk

meminimumkan suku

K=∑i=1

n

( y i−α−β xi )2.

Ambil derivatif parsial dari K terhadap α dan β dan samakan derivatif dengan nol

mennghasilkan 2 persamaan linier dalam α dan β . Penyelesaian persamaan tersebut adalah:

β̂=∑ y i(x i−x)

∑ (x i−x )2 dan α̂= y− β̂ x .

di mana

x=1n∑ x idan y=

1n∑ y i .

Kadang-kadang dalam menemukan estimator maksimum likelihood (MLE), tidak

diperoleh ekspresi bentuk tertutup untuk estimasi parameter, karena itu perlu menggunakan

metode lain, antara lain seperti: metode gradien likelihood dan metode iteratif Newton.

estimator maksimum likelihood adalah konsisten, efisien dan tak bias. Bias dari estimator

menurun seiring meningkatnya banyaknya pengamatan. Metode tersebut memerlukan

perhitungan yang sederhana untuk distribusi yang mempunyai parameter tunggal tetapi

mungkin memerlukan perhitungan yang panjang untuk distribusi yang mempunyai

parameter dua atau lebih. Lebih lanjut, metode tersebut dapat diaplikasikan untuk data

tersensor maupun data tidak tersensor.

Matriks Informasi dan Matriks Varians Kovarians

Salah satu manfaat utama dari penggunaan estimator maksimum likelihood untuk

mendapatkan parameter distribusi adalah bahwa logaritma dari fungsi likelihood dapat

dimanfaatkan dalam menyususn matriks informasi Fisher (atau matriks Hessian).

Kebalikan (invers) dari hasil matriks dikenal sebagai matriks Varians Kovarians.

Berikut adalah definisi matriks varians kovarians (atau secara sederhana disebut

matriks kovarians). Jika X1 , X2 ,…, X k adalah variabel random berdistribusi identik dan

independen satu dengan yang lain dengan suatu pdf f (x , θ0 ), dimana θ0 mempunyai k komponen

dan nilai θ yang sebenarnya, maka matriks kovarians didefinisikan sebagai

¿

di mana Cov (θi ,θ j) adalah kovarians dari θi dan θ j dan Var (θ i) adalah variansi dari θi.

Matriks kovarians ini dapat diperoleh dari matriks informasi.

Ketika ukuran sampel data meningkat, bias MLE menurun, estimator menjadi tak

bias secara asimptotis. Dengan kata lain

limn→x

E [ θ̂i ]=θ i i=1,2 ,…,k .

Untuk mendapatkan varians dan kovarians asimptotis dari estimator, pertama susun matriks

informasi I, berkenaan likelihood sebagai suatu fungsi variabel random yang diamati dalam

suatu sampel yang diberikan.

Elemen ke ij dari matriks informasi I adalah

I ij=E[−∂2L(θ ; X)∂θi∂θ j ] .

Matriks invers, I−1, dengan elemen ke ij ditunjukkan oleh I ij adalah matriks varians

kovarians dari θ̂, sehingga

Var (θ̂i )=I iidanCov (θ̂ i , θ̂ j )=I ij .

Contoh 4.12:

Suatu sampel random x1 , x2 ,…, xn mengikuti suatu distribusi normal dengan parameter μ dan σ 2

. Gunakan matriks informasi untuk mendapatkan estimasi variansi dari μ̂ dan σ̂ .

Jawab:

Logaritma dari fungsi likelihood dari distribusi normal adalah

L (x1 , x2 ,…, xn; μ , σ )=n log1

σ √2 π−n log σ−¿ 1

2∑i=1

n

( x−μσ )2

.¿

Derivatif parsial dari L terhadap μ dan σ adalah

∂ L∂ μ

= 1

σ 2 (∑i=1

n

x i−nμ)dan ∂ L∂σ =1σ [−n+∑i=1

n (x i−μ)2

σ 2 ]∂2L∂ μ2 =

−nσ2 ;

∂ L2

∂ μ∂σ=−2σ3 (∑

i=1

n

x i−nμ)dan ∂L2

∂σ2 =nσ2 −

3σ4 (∑

i=1

n

x i−nμ)2

Dalam rangka menyusun matriks informasi, dari persamaan derivatif kedua dari L ditentukan nilai

harapannya, yaitu

E [ ∂2 L∂ μ2 ]=−n

σ2 =−l11 ;E [ ∂ L2

∂ μ∂σ ]=0=−l12=−l21 danE [ ∂ L2

∂σ2 ]=−2nσ2 =−l22 .

Sehingga matriks informasi I disusun sebagai

I=(n/σ 2 00 2n/σ2)dan I−1=(σ 2/n 0

0 σ2/2n)

Matriks varians dan kovarians, I−1 adalah

( Var ( μ̂) Cov ( μ̂ , σ̂ )Cov ( μ̂ , σ̂ ) Var ( σ̂ ) )=(σ2/n 0

0 σ2/2n) .Contoh 4.13:

Sebuah timbangan pemeriksa adalah sebuah peralatan yang memiliki tiga komponen utama:

skala, pengontrol, dan alat pengalih. Khususnya dalam sistem produksi kecepatan tinggi

seperti yang ditemukan dalam industri makanan kaleng atau industri manufaktur farmasi,

satu atau lebih timbangan pemeriksa biasanya dipasang dalam sistem untuk memastikan

bahwa bobot dari produk berada dalam batas spesifikasi yang dapat diterima. Jika produk

tidak memenuhi spesifikasi, itu dialihkan jauh dari produk diterima. Alat pengalih, menjadi

sistem mekanis, merupakan komponen yang paling rentan terhadap kegagalan. Berikut

waktu kegagalan (dalam minggu) dari alat pengalih yang diamati:

14, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 20, 17, 17, 15, 13

Anggap bahwa pengamatan mengikuti suatu distribusi normal dengan mean μ dan variansi

σ 2. Tentukan μ̂, σ̂ dan matriks varians kovarians!

Jawab:

μ̂, dan σ̂ diperoleh sebagai berikut:

μ̂=1n∑i=1

n

x i=1

12×217=18,08dan σ̂2=1

n∑i=1

n

(x i−μ )2=8,409 atauσ̂=2,9.

Matriks varians dan kovarians adalah

I−1=(σ2/n 00 σ2/2n)=(0,700 0

0 0,350).Jadi variansi μ̂ adalah 0,700 dan variansi dari σ̂ adalah 0,350.