Bab 3_Pepejal Sekata Dan Semisekata

7/27/2019 Bab 3_Pepejal Sekata Dan Semisekata

1/13

MTE3103

Geometri

Topik 3 Pepejal Sekata dan Semi-sekata

3.1 Lima Pepejal Platonik = Polihedra sekata cembung

Polihedron merupakan pepejal yang permukaannya merupakan poligon satah.

Poligon membentuk permukaan bagi pepejal Platonik. Permukaan-permukaan bertemu di sisi

(edge). Titik di mana dua atau lebih sisi bertemu dinamakan bucu (vertex, vertices).

3.1.1 Hubungan antara pepejal Platonik dengan elemen dalam alam

Pepejal Platonik ditemui dalam tempoh Plato (427-347 B.C.). Namun, pepejal Platonik bukan

ditemui oleh Plato. Pepejal-pepejal ini dinamakan sedemikian atas sumbangan Plato dan

pengikut-pengikutnya. Menurut Plato, terdapat kepadanan antara empat daripada pepejal ini

dan empat elemen dalam alam:

Kubus (Cube) bumiTetrahedron apiOktahedron udaraIkosahedron air

dan dodekahedron menutupi keseluruhan alam semesta.

3.1.2 Definisi Polihedral

Kesemua polihedra adalah tiga dimensi dengan permukaannya merupakan poligon satah.

poli = banyak; hedra = permukaan.

Satu polihedron sekata mempunyai kesemua permukaannya poligon sekata. Dengan erti kata

lain, permukaannya terbentuk daripada satu jenis poligon sahaja.

Istilah yang berkaitan dengan polihedra:

(a) Cembung (Convex): Jika kita mengambil dua titik di dalam atau di atas sisi poligon,

maka setiap titik di atas garis yang menyambungkan dua titik ini juga terletak di dalam poligon.

Poligon seperti ini dinamakan poligon cembung. Poligon yang bukan cembung dinamakan

poligon cekung (concave).

(a) Poligon cembung (b) Poligon cekung

Polihedron cembung: Jika kita ambil sebarang dua titik di dalam atau di sisi atau di

1
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Simple_polygon.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagon.svg


2/13

MTE3103

Geometri

satu permukaan sebuah polihedron, maka setiap titik di atas garis yang

menyambungkan dua titik itu juga terletak di dalam poligon.

(b) Poliheron sekata mempunyai kesemua permukaan yang merupakan poligon sekata.

3.1.3 Kenapakah Hanya Terdapat Lima Pepejal Platonik?

Setiap polihedron cembung mesti memenuhi dua syarat:

(a) Hasil tambah sudut-sudut yang bertemu pada sebarang bucu sebuah polihedron

cembung mesti kurang daripada 360o;

(b) Sekurang-kurangnya tiga permukaan mesti bertemu pada setiap bucu.

Keadaan lain:

(a) Semua bucu mesti disambung/tertutup.

(b) Sudut-sudut mesti kongruen

(c) Kesemua permukaan mesti kongruen

(d) Bilangan permukaan yang sama bertemu pada setiap bucunya.

Kita tidak boleh membina satu rajah cembung tiga dimensi dengan enam atau lebih

segitiga sama sisi bertemu pada setiap bucu kerana sudut bagi sebuah segitiga sama

sisi = 600, bererti 6 x 600 = 3600. Sebaliknya, untuk membina rajah cekung tiga

dimensi, kita boleh menggunakan lebih daripada 6 permukaan, iaitu melebihi 3600.

Sebagai kesimpulan, untuk membina rajah cembung tiga dimensi, bilangan segitiga

sama sisi yang bertemu pada satu bucu ialah 3, 4 atau 5 sahaja, seperti yang

ditunjukkan dalam rajah halaman berikutnya.

Perhatikan bahawa untuk membina satu polihedron cembung sekata, jumlah sudut

pada satu bucu mesti kurang daripada 3600. Ini menerangkan kenapa hanya

terdapat lima polihedra cembung sekata atau lima pepejal Platonik.

Bukti:

(i) Jumlah sudut bagi permukaan-permukaan yang bertemu pada satu bucu adalah

kurang daripada 3600.

(ii) Jika tiga segitiga sama sisi bertemu pada setiap bucu, maka ini boleh diwakili

dengan menggunakan simbol Schlfli (3,3).

Simbol Schlfli (p,q) bermakna polihedron mempunyai permukaan yang

merupakan poligon sekata bersisi-p, dengan q poligon bertemu pada setiap

bucu.

2


3/13

MTE3103

Geometri

Simbol Schlfli (p,q)

Poligon sekata bersisi-p bilangan poligon bertemu pada satu bucu

3.1.4 Simbol Schlfli bagi pepejal Platonik

Simbol Schlfli {p,q} bererti poligon itu mempunyai p sisi sekata, dan setiap bucu dikelilingioleh q permukaan.

p : poligon sekata bersisi p [iaitu: segitiga sama sisi: p = 3; kubus: p = 4; tetrahedron: p = 3;Oktahedron: p = 3; Dodekahedron: p = 5; Ikosahedron: p = 3]

q : bilangan poligon yang bertemu di setiap bucu

Simbol Schlfli bagi pepejal Platonik:

tetrahedron: {3,3}, permukaan: segitiga, rajah bucu: segitiga

kubus: {4,3}, permukaan: segiempat sama, rajah bucu: segitiga oktahedron: {3,4}, permukaan: segitiga, rajah bucu: segiempat sama

dodekahedron : {5,3}, permukaan: pentagon, rajah bucu: segitiga

3

Tetrahedron:

Tiga segitiga sama sisi pasa satu

bucu: 3 x 600 = 1800

Oktahedron:

Empat segitiga sama sisi pada satu

bucu: 4 x 600 = 2400

Ikosahedrons:

Lima segitiga sama sisi pada satu

bucu: 5 x 600 = 3000

Kubus:

Tiga segiempat sama pada satu

bucu: 3 x 900 = 2700

Dodekahedron:

Tiga pentagram pada satu bucu:

3 x 1080 = 3240
http://enc.slider.com/Enc/Tetrahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Octahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Octahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Octahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Dodecahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Dodecahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Tetrahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Octahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Dodecahedron


4/13

MTE3103

Geometri

ikosahedron : {3,5}, permukaan: segitiga, rajah bucu: pentagon

3.1.5 Bucu, Permukaan dan Sisi

Isikan jadual di bawah tentang pepejal Platonik.

Lima Pepejal Platonik

Pepejal

Nama Pepejal

Bilanganpermukaanyang bertemudi setiap bucu

Simbol Schlfli(p, q)

Bilanganpermukaan (F)

Bilangan bucu(V)

Bilangan sisi(E)

Konfigurasibucu

Dual

Tentukan bilangan bucu, permukaan dan sisi bagi setiap pepejal Platonik.

Apakah rumus umum untuk menghitung bilangan permukaan, sisi dan bucu suatupolihedron? Jawapan: Bilangan sisi = Bilangan permukaan + Bilangan bucu 2

Contoh untuk menunjukkan hubungan antara bilangan bucu, muka dan sisi:

Dodekahedron mempunyai 12 muka. Oleh itu, jika dikira secara berasingan, akandiperoleh 5 x 12 = 60 sisi kesemuanya. Akan tetapi, setiap sisi bagi dodekahedronmenyambungkan dua muka, maka dengan cara begini, kita akan mengira setiap sisi

dua kali. Oleh yang demikian, bilangan sisi haruslah 60 2 = 30 sisi.

Setiap sisi menyambungkan dua bucu. Jika kita mengira setiap sisi secara berasingan,

kita akan mendapat 2 x 30 = 60 bucu. Akan tetapi, untuk dodekahedron, tiga sisibertemu pada setiap bucu dan kita akan mengira setiap bucu sebanyak tiga kali. Sekali

lagi, ianya harus mempunyai 60 3 = 20 bucu.

3.1.6 Dual

Simbol Schlfli bagi sebuah kubus ialah (4, 3) dan bagi oktahedron ialah (3, 4).

Bilangan sisi bagi kedua-dua pepejal adalah sama, iaitu 12 sisi. Bilangan permukaan

bagi satu kubus adalah sama dengan bilangan bucu bagi sebuah oktahedron, dan

sebaliknya. Jadi, kita kata dual bagi kubus ialah oktahedron dan dual bagi oktahedron

ialah kubus.

Simbol Schlafli bagi dodekahedron ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan

sisi bagi kedua-dua pepejal ialah 30. Oleh itu, dodekahedron ialah dual bagi

ikosahedron dan dual bagi ikosahedron ialah dodekahedron.

4
http://enc.slider.com/Enc/Icosahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Icosahedronhttp://enc.slider.com/Enc/Icosahedron


5/13

MTE3103

Geometri

Bagi tetrahedron, kedua-dua nilai p dan q dalam Simbol Schlfli (p, q) adalah sama,

iaitu (3, 3). Kita kata tetrahedron adalah dual kendiri.

Bentangan bagi lima pepejal Platonik

tetrahedron (ada 2bentangan)

kubus (ada 11 bentangan)

oktahedron dodekahedron ikosahedron

3.2 Pepejal Semi-sekata: Pepejal Archimedean

Pepejal Archimedean adalah pepejal semi-sekata kerana kerana dibentuk oleh dua atau lebihpoligon cembung sekata dengan bilangan sisi dan bilangan permukaan yang sama, danpoligon-poligon yang bertemu di setiap bucu mempunyai susunan yang sama.

Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean, iaitu:1. (3, 4, 3, 4) kuboktahedron (cuboctahedron)2. (3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron (icosidodecahedron)3. (3, 6, 6) tetrahedron terpenggal (truncated tetrahedron)4. (4, 6, 6) oktahedron terpenggal (truncated octahedron)5. (3, 8, 8) kubus terpenggal (truncated cube)6. (5, 6, 6) Ikosahedron terpenggal (truncated icosahedron)7. (3, 10, 10) dodekahedron terpenggal (truncated dodecahedron)8. (3, 4, 4, 4) rombikuboktahedron (rhombicuboctahedron), (juga dinamakan

rombikuboktahedron kecil)9. (4, 6, 8) cuboktahedron terpenggal (truncated cuboctahedron), (juga dinamakan

rombikuboktahedron besar, the great rhombicuboctahedron)10. (3, 4, 5, 4) rombikosidodekahedron (rhombicosidodecahedron)11. (4, 6, 10) ikosidodekahedron terpenggal (truncated icosidodecahedron)

5
http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GG2/icosahedron.pdfhttp://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GG2/dodecahedron.pdfhttp://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GG2/octahedron.pdfhttp://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GG2/tetrahedron.pdf


6/13

MTE3103

Geometri

12. (3, 3, 3, 3, 4) kubus snub atau koboktahedron snub (snub cube, snubcuboctahedron (snub bermakna proses menyusun poligon dengan segitiga).

13. (3, 3, 3, 3, 5) dodekahedron snub atau ikosidodekahedron snub (snubdodecahedron, snub icosidodecahedron).

Latihan: Namakan pepejal yang mempunyai bentangan berikut:

Pepejal Archimedean mempunyai kaitan dengan lima pepejal Platonik:a. Jika titik-titik tengah kesemua sisi sebuah tetrahedron sekata disambung

dengan satu siri garisan, akan didapati garis-garis ini mentakrifkan sisisebuah oktahedron sekata.

b. Jika titik-titik tengah sebuah kubus atau oktahedron disambung dengan cara

yang sama, satu kuboktahedron terhasil.c. Jika titik-titik tengah setiap sisi sebuah ikosahedron atau sebuahdodekahedron disambung dengan cara yang sama, satu ikosidodekahedrondiperoleh.Rajah-rajah ini dirujuk sebagai rajah dua frekuensi.

d. Jika kita membahagikan setiap sisi kepada tiga bahagian dan titik-titik yangterhasil disambungkan dengan satu siri garis seperti di atas, lima rajah yangterhasil melalui cara ini ialah tetrahedron terpenggal, oktahedron terpenggal,kubus terpenggal, ikosahedron terpenggal dan dodekahedron terpenggal.Rajah-rajah ini dirujuk sebagai rajah tiga frekuensi.

e. Rajah-rajah empat frekuensi dihasilkan dengan menyambungkan titik-titiktengah bagi sisi rajah dua frekuensi. Pepejal yang dihasilkan dengan cara ini

cara ini ialah rombikuboktahedron kecil, kuboktahedron danrombikosidodekahedron kecil.

f. Rajah-rajah frekuensi 6 boleh dihasilkan dengan membahagikan sisi-sisisetiap rajah frekuensi 2 kepada 3 bahagian. Pepejal yang dihasilkan adalahrombikuboktahedron besar, oktahedron terpenggal danrombikosidodekahedron besar.

g. Kubus snub dikaitkan dengan kubus dan oktahedron, ikosahedrondikaitkan dengan tetrahedron manakala dodekahedron snub dikaitkandengan ikosahedron dan dodekahedron.

Pepejal Archimedean

Nama (Konfigurasi

bucu)

Bentuk

lutsinar Bentuk Pepejal Bentangan

Permukaan Sisi Bucu

6


7/13

MTE3103

Geometri

Tetrahedronterpenggal(Truncated

tetrahedron)(3.6.6)

84 segitiga

4 heksagon18 12

Kuboktahedron(Cuboctahedron)

(3.4.3.4)

14

8 segitiga6

segiempat

sama

24 12

Kubus terpenggalatau kehsahedron

terpenggal(Truncated cube

or truncatedhexahedron)

(3.8.8)

148 segitiga6 oktagon

36 24

Oktahedronterpenggal(Truncated

octahedron)(4.6.6)

14

6segiempat

sama8 heksagon

36 24

Rombikuboboktahedron

(Rhombicuboctahedron

or smallrhombicuboctahedro

n)(3.4.4.4 )

26

8 segitiga18

segiempatsama

48 24

Truncated

cuboctahedronor greatrhombicuboctahedro

n(4.6.8)

26

12

segiempatsama

8 heksagon6 oktagon

72 48

Snub cubeor snub hexahedron

or snubcuboctahedron(2 chiral forms)

(3.3.3.3.4)

38

32 segitiga6

segiempatsama

60 24

Icosidodecahedron(3.5.3.5)

3220 segitiga

12pentagon

60 30

Truncateddodecahedron

(3.10.10)32

20 segitiga12 dekagon

90 60

7
http://www.answers.com/topic/truncated-tetrahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-tetrahedronhttp://www.answers.com/topic/cuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-cubehttp://www.answers.com/topic/truncated-octahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-octahedronhttp://www.answers.com/topic/rhombicuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/rhombicuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-cuboctahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-cuboctahedronhttp://www.answers.com/topic/snub-cubehttp://www.answers.com/topic/chirality-mathematicshttp://www.answers.com/topic/icosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/pentagonhttp://www.answers.com/topic/truncated-dodecahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-dodecahedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_dodecahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_dodecahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncateddodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosidodecahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosidodecahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosidodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snub_cube_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snub_hexahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snubhexahedroncw.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snubhexahedronccw.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_cuboctahedron_flat.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Great_rhombicuboctahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedcuboctahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Rhombicuboctahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Small_rhombicuboctahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Rhombicuboctahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_octahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_octahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedoctahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_hexahedron_flat.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_hexahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedhexahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Cuboctahedron_flat.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Cuboctahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Cuboctahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_tetrahedron_flat.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_tetrahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedtetrahedron.jpghttp://www.answers.com/topic/truncated-tetrahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-tetrahedronhttp://www.answers.com/topic/cuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-cubehttp://www.answers.com/topic/truncated-octahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-octahedronhttp://www.answers.com/topic/rhombicuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/rhombicuboctahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-cuboctahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-cuboctahedronhttp://www.answers.com/topic/snub-cubehttp://www.answers.com/topic/chirality-mathematicshttp://www.answers.com/topic/icosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/pentagonhttp://www.answers.com/topic/truncated-dodecahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-dodecahedron


8/13

MTE3103

Geometri

Truncatedicosahedronorbuckyball

orfootball/soccer ball(5.6.6 )

32

12pentagon

20heksagon

90 60

Rhombicosidodecahedron

or small

rhombicosidodecahedron

(3.4.5.4)

62

20 segitiga30

segiempat

sama12

pentagon

120 60

Truncatedicosidodecahedron

or greatrhombicosidodecahe

dron(4.6.10)

62

30segiempat

sama20

heksagon12 dekagon

180 120

Snub dodecahedron

or snubicosidodecahedron

(2 chiral forms)(3.3.3.3.5)

9280 segitiga

12pentagon

150 60

Bongkah Archimedean boleh dibentuk daripada bongkah Platonik dengan memotongbucu-bucunya. Polihedron yang terbentuk melalui kaedah ini adalah:

(1) Truncated tetrahedron: heksagon sekata dan segitiga sama sisi(2) Truncated cube: segitiga sama sisi dan oktagon sekata

(3) Truncated octahedron: segiempat sama dan heksagon sekata(4) Truncated icosahedron: pentagon sekata dan heksagon sekata(5) Truncated dodecahedron: segitiga sama sisi dan dekagon sekata(6) Truncated cuboctahedron: segiempat sama, heksagon sekata dan oktagon sekata(7) Truncated icosidodecahedron: segiempat sama, heksagon sekata dan dekagon

sekata.

3.3 Pepejal Kepler-Poinsot = Polihedra bintang sekata

Pepejal Kepler-Poinsot diperoleh dengan melakukan proses stelat ke atasdodekahedron dan ikosahedron cembung sekata, dan berbeza daripada dua pepejalini dengan mempunyai permukaan pentagram sekata atau rajah bucu.

Pepejal Kepler-Poinsot adalah polihedron bukan cembung yang sekata, denganpermukaan cekung.Kesemua permukaan adalah poligon sekata yang kongruenBilangan permukaan yang bertemu pada setiap bucu adalah sama.

Terdapat empat jenis pepejal Kepler-Poinsot: Dodekahedron stelat kecil,dodekahedron besar, dodekahedron stelat besar dan ikosahedron besar.

Dodekahedron stelat kecil dan dodekahedron stelat besar ditemui oleh JohannesKepler pada 1619 dengan melakukan stelat ke atas dodekahedron cembung sekata.

Pada 1809, Louis Poinsot menemui dua lagi bintang sekata, iaitu ikosahedron besardan dodekahedron besar.

8
http://www.answers.com/topic/truncated-icosahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-icosahedronhttp://www.answers.com/topic/fullerenehttp://www.answers.com/topic/history-of-football-soccer-ballshttp://www.answers.com/topic/rhombicosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/rhombicosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-icosidodecahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-icosidodecahedronhttp://www.answers.com/topic/snub-dodecahedronhttp://www.answers.com/topic/chirality-mathematicshttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snub_dodecahedron_flat.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snub_dodecahedron_ccw.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snubdodecahedroncw.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Snubdodecahedronccw.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_icosidodecahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Great_rhombicosidodecahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedicosidodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Rhombicosidodecahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Small_rhombicosidodecahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Rhombicosidodecahedron.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_icosahedron_flat.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncated_icosahedron.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Truncatedicosahedron.jpghttp://www.answers.com/topic/truncated-icosahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-icosahedronhttp://www.answers.com/topic/fullerenehttp://www.answers.com/topic/history-of-football-soccer-ballshttp://www.answers.com/topic/rhombicosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/rhombicosidodecahedron-1http://www.answers.com/topic/truncated-icosidodecahedronhttp://www.answers.com/topic/truncated-icosidodecahedronhttp://www.answers.com/topic/snub-dodecahedronhttp://www.answers.com/topic/chirality-mathematicshttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedron


9/13

MTE3103

Geometri

Dodekahderon besar (great dodecahedron) mempunyai bilangan bucu dan sisi yang

sama dengan ikosahedron. Dodekahedron stelat kecil (small stellated dodecahedron) mempunyai bilangan bucu

dan sisi yang sama dengan ikosahedron besar (great icosahedron). Kedua-duanyamempunyai bilangan bucu (tetapi bukan sisi) yang sama seperti ikosahedron.

Dodekahedron stelat besar (great stellated dodecahedron) mempunyai bilangan bucu

(tetapi bukan sisi) yang sama seperti dodekahedron. Keempat-empat pepajal Kepler-Poinsot mempunyai paksi simetri dan satah simetri

yang sama seperti ikosahedron dan dodekahedron.

Simbol Schlfli:Simbol pecahan {p/q} bermakna rajah satah dengan p bucu di mana setiap bucu ke-qdisambungkan. Oleh itu, 5/2 adalah satu bentuk bintang dengan 5 hujung.

Bagi dodekahedron stelat besar (great stellated dodecahedron), simbol Schlfli

{5/2,3}, permukaan ialah pentagram, rajah bucu ialah segitiga. Bagi dodekahderon stelat kecil, simbol Schlfli {5/2,5}, permukaan ialah pentagram,

rajah bucu ialah pentagon. Ikosahedron besar, dengan simbol Schlfli {3,5/2}, permukaan ialah segitiga, rajah

bucu ialah pentagram. Dodekahedron besar, dengan simbol Schlfli {5,5/2}, permukaan ialah pentagon, rajah

bucu ialah pentagram.

Ciri-ciri pepejal Kepler-Poinsot:

Nama Gambar Schlfli{p,q}

Permukaan{p}

SisiBucu

{q}

Dual

Dodekahedronstelat kecil

{ 5,2

5}

12{5/2} 30

12{5} Dodekahedron

besar

dodekahedronbesar

{5, }

12{5} 30

12{5/2} Dodekahedron

stelat kecil

9
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_dodecahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/small_stellated_dodecahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_icosahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_stellated_dodecahedron.wrlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Schl%C3%A4fli_symbolhttp://en.wikipedia.org/wiki/Dual_polyhedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagram.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagon.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5-2.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_ring.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagon.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagram.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5-2.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler-Poinsot_solids.svghttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_dodecahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/small_stellated_dodecahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_icosahedron.wrlhttp://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/great_stellated_dodecahedron.wrlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Schl%C3%A4fli_symbolhttp://en.wikipedia.org/wiki/Dual_polyhedronhttp://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedron


10/13

MTE3103

Geometri

Dodekahedronstelat besar

{ , 3}12

{5/2} 30

20{3} Ikosahedron besar

Ikosahedronbesar

{3, }20{3} 30

12{5/2} Dodekahedron

stelat besar

3.4 Prisma dan Anti-prisma

Prisma terdiri daripada dua salinan sebarang poligon sekata (satu di atas dan satu lagi dibawah), disambungkan dengan segiempat sama di sisi-sisi. Di setiap bucu, dua segiempatsama dan satu daripada poligon-poligon itu bertemu.

Anti-prisma juga terdiri daripada dua salinan sebarang poligon sekata tetapi tepinyadisambung dengan segitiga sama sisi yang disusun seperti dalam rajah di bawah. Pada setiapbucu, tiga segitiga dan satu poligon bertemu.

Prisma segitiga (4,4,3) Prisma segiempattepat (4,4,4)

Prisma pentagon (4,4,5)Prisma heksagon (4,4,6)

Prisma dekagon Prisma pentagram Prisma heksagram Antiprisma segiempatsama (3,3,3,4)

Antiprisma pentagon

Antiprisma heptagon(3, 3, 3, 7) Antiprisma heksagon

A

ntiprisma dekagon

10
http://www.korthalsaltes.com/photo/rectangular_prism.jpghttp://www.korthalsaltes.com/photo/prism/decagonal_antiprism_01.jpghttp://home.comcast.net/~tpgettys/anti6.wrlhttp://home.comcast.net/~tpgettys/anti4.wrlhttp://www.korthalsaltes.com/photo/prism/decagonal_prism.jpghttp://home.comcast.net/~tpgettys/prism6.wrlhttp://www.korthalsaltes.com/photo/pentagonal_prism.jpghttp://www.korthalsaltes.com/photo/rectangular_prism.jpghttp://www.korthalsaltes.com/photo/triangular_prism.jpghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagram.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangle.Equilateral.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5-2.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_3.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_ring.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangle.Equilateral.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentagram.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_5-2.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_3.pnghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:CD_dot.png


11/13

MTE3103

Geometri

Ulangkaji

Soalan Objektif

1. Apakah simbol Schlafli bagi sebuah oktahedron?(A) {3, 3} (B) {3, 4} (C) {4, 3} (D) {5. 3}

2. Namakan polihedron yang mempunyai bentangan berikut:

(A) Ikosahedron(B) Dodekahedron(C) Cuboktahedron(D) Ikosidodekahedron

3. Yang manakah antara berikut ialah pepejal Kepler-Poinsot?

(A) Dodekahedron (B) Cuboktahedron (C) Dodekahedron terpenggal (D) Dodekahedron besar

4. Kombinasi segiempat sama, heksagon dan dekagon akan membentuk teselasi satahyang menarik. Gabungan lanjutan teselasi ini boleh menghasilkan satu sfera. Rajahberikut menunjukkan satu sfera yang dihasilkan oleh teselasi ikosidodekahedronterpenggal.

3D: sfera

Cari bilangan garis simetri bagi teselasiikosidodekahderon satah terpenggal.(A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 10

5. Satu ciri utama pepejal Archimedean ialah bahawa setiap permukaan merupakan

poligon sekata, dan di sekitar setiap bucu, poligon-poligon yang sama muncul dalamurutan yang sama, iaitu heksagon-heksagon-segitiga dalam tetrahedron terpenggal.Dua atau lebih poligon yang berbeza muncul pada setiap pepejal Archimedean. Apakahsyarat yang mesti dipenuhi oleh suatu polihedron?(A) cembung (B) cekung (C) sekata (D) tidak sekata

6. Satu cara untuk menghasilkan bintang adalah dengan melukis satu poligon, kemudianmelanjutkan pasangan sisi hingga bertemu. Permukaan-permukaan pepejal tigadimensi dilanjutkan hingga bertemu. Apakah nama yang diberikan kepada proses ini?(A) Stelat (B) Teselasi (C) Pengulangan (D) Replikasi

7. Pada 1809, Louis Poinsot menjumpai dua pepejal Archimedean. Sesetengah orangmenamakannya pepejal Poinsot. Poinsot mempertimbangkan bucu dan permukaan

11


12/13

MTE3103

Geometri

bintang, dengan demikian menjumpai dua lagi bintang sekata, dengan salah satunyaialah ikosahedron besar. Apakah bintang yang satu lagi?(A) Dodekahedron stelat besar (B) Dodekahedron stelat kecil(C) Dodekahedron kecil (D) Dodekahedron besar

Soalan Berstruktur

1. Pepejal Platonik merupakan polihedron cembung sekata.

(a) Jelaskan maksud cembung.(b) Namakan pepejal Platonik yang merupakan dual kendiri. (1 markah)(c) Tuliskan simbol Schlafli bagi pepejal Platonik dalam (b). (1 markah)(d) Namakan pepejal Platonik yang mempunyai 12 permukaan pentagon.(1 markah)(e) Nyatakan bilangan sisi dan bucu bagi pepejal Platonik dalam (d). (2 markah)(f) Lukiskan bentangan bagi pepejal Platonik dalam (b) dan (d). (4 markah)

2. Prisma dan antiprisma sekata merupakan polihedra semi-sekata yang mempunyaitapak yang sekata dan panjang sisinya adalah sama.(i) Jelaskan maksud polihedra semisekata. (1 markah)(ii) Nyatakan satu persamaan antara prisma sekata dan antiprisma sekata. (1%)(iii) Nyatakan satu perbezaan antara prisma sekata dan antiprisma sekata. (1%)

(iv) Namakan prisma yang

ditunjukkan. (1%)(v) Lakarkan bentangan bagi

prisma yang ditunjukkan. (2%)(vi) Tuliskan konfigurasi bucu bagi

prisma yang ditunjukkan. (2%)

3. Plato percaya baahwa terdapat kesepadanan antara empat daripada pepejal dengan empatelemen dalam alam.(a) Senaraikan hubungan antara pepejal Platonik dengan elemen-elemen alam. (4%)(b) Namakan poligon yang membina permukaan setiap pepejal Platonik. (5%)

4. Namakan pepejal yang mempunyai bentangan berikut: (2%)

5. Berikan dua contoh bagi (i) prisma, (ii) antiprisma.Bagi setiap contoh, nyatakan bilangan permukaan, sisi, bucu dan lukiskanbentangannya.

Soalan esei

1. Pepejal Platonik dibentuk dengan menyambungkan beberapa permukaan poligon.(2%)(a) Nyatakan dua syarat utama bagi membentuk polihedron daripada poligon.(b) Bagi setiap pepejal Platonik, jelaskan kenapa pepejal itu boleh dibentuk

daripada poligon. (10%)

2. Pepejal Archimedean berbeza daripada pepejal Platonik. Namakan dua contoh pepejalArchemedean. Berdasarkan contoh-contoh anda, huraikan tiga perbezaan antarapepejal Archimedean dan pepejal Platonik. (8%)

3. (a) Bagi lima pepejal Platonik:(i) Senaraikan namanya dan nyatakan bilangan bucu, sisi dan permukaannya.

12


13/13

MTE3103

Geometri

(ii) Nyatakan simbol Schlafli.(iii) Hubungkaitkan kedualan pepejal platonik tersebut. (6%)

(b) Lukiskan satu bentangan bagi setiap pepejal Platonik. (10%)

(c) Apakah perbezaan utama antara pepejal Platonik dan pepejal Archimedean? (4%)

4. Bagi kesemua pepejal Kepler-Poinsot:

(a) Senaraikan nama dan nyatakan ciri-cirinya (bilangan bucu, sisi dan permukaan).(b) Nyatakan simbol Schlafli.(c) Hubungkaitkan kedualannya. (10%)

Aktiviti:

Cuba anda cari dari Yuotube cara-cara melipat kertas sehingga terhasilnya pelbagai jenispepejal yang anda telah pelajari di atas.

Selain itu, anda juga boleh meneroka bentuk-bentuk lain seperti Kudusama.

Nota tentang lipatan kertas akan diberi dalam kuliah.

13

Bab 3_Pepejal Sekata Dan Semisekata

Documents

Transcript of Bab 3_Pepejal Sekata Dan Semisekata