Bab 3 Mekanika LagrangeBab 3Mekanika Lagrange

Persamaan gerak sistem partikel dan lintasan geraknya dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan hukum II Newton untuk kondisi awal tertentu yang diketahui. Hukum II Newton mensyaratkan informasi tentang kondisi awal dan gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut. Namun demikian, banyak persoalan yang tidak mudah dapat diselesaikan meskipun kondisi awal dan gaya-gaya yang bekerja pada sistem telah diketahui apalagi jika tidak tepat dalam memilih sistem koordinat yang dipakai. Terdapat dua metode yang diharapkan dapat menyelesaikan masalah mekanika dengan lebih mudah, yakni Lagrange dan Hamilton. Dua metode ini sebenarnya merupakan pengembangan dari Hukum Newton namun diharapkan dapat memberikan kemudahan dalam menyelesaikan persoalan-persoalan gerak sistem fisis. Kedua metode ini menggunakan sistem koordinat umum dalam menyatakan persamaan gerak sistem fisis. Koordinat umum yang digunakan dalam mekanika Lagrange adalah posisi dan kecepatan sedangkan pada mekanika Hamilton adalah posisi dan momentum.Dalam bab ini, pembahasan mekanika Lagrange diawali dari prinsip variasi Hamiltonan. 1. Prinsip Variasi HamiltonIntegrasi Lagrangan terhadap waktu sepanjang suatu lintasan tertentu yang dilalui oleh partikel atau sistem fisis disebut integral aksi (action)

Prinsip variasi Hamilton menyatakan bahwa untuk sistem monogenik integral aksi bernilai ekstremum (ekstrim) pada variasi infinitesimal lintasan di sekitar lintasan nyata (actual path) yang dilalui partikel. Sistem partikel dinamakan sistem monogenik jika potensial sistem tersebut bergantung (gayut) pada koordinat posisi dan kecepatan. Ekstremum maksudnya variasi infinitesimal haruslah sama dengan nol dalam interval waktu dan

Besaran dinamakan Lagrangan, yakni selisih antara energi kinetik dan energi potensial.

Untuk partikel yang jatuh bebas misalnya, integral aksi akan ekstremum jika lintasan yang dilalui partikel adalah lintasan yang memenuhi hukum II Newton. Andaikan tinggi partikel dari tanah untuk sembarang waktu t adalah y dan kecepatan partikel maka dan adalah variasi posisi dan kecepatan partikel di sekitar lintasan yang sesungguhnya dilalui oleh partikel. Energi potensial partikel sama dengan mgy sedangkan energi kinetik partikel . Lagrangan bagi partikel adalah sehingga variasi aksi diberikan oleh persamaan

Variasi kecepatan dapat dinyatakan dalam variasi posisi menurut

Integrasi suku pertama persamaan (3.3)

Suku pertama ruas kanan persamaan (3.5) lenyap karena posisi partikel tidak berubah pada saat dan untuk berbagai variasi lintasan (meskipun lintasan partikel bervariasi tetapi posisi awal dan posisi akhir partikel adalah tetap). Oleh karena itu, didapat

Persamaan (3.6) di atas akan sama dengan nol jika suku dalam kurung sama dengan nol karena ,

Persamaan di atas tidak lain adalah persamaan hukum II Newton untuk partikel jatuh bebas di bawah pengaruh medan gravitasi homogen. Solusi bagi persamaan (3.7) adalah

yang menunjukkan persamaan gerak partikel.2. Koordinat UmumPersamaan gerak sistem partikel menurut hukum II Newton mudah ditampilkan dengan menggunakan Sistem Koordinat Kartesian. Namun, koordinat ini hanya cocok digunakan pada sistem partikel yang sederhana. Jika dihadapkan pada sistem partikel yang dipengaruhi gaya sentral, misalnya gerak planet-planet, maka lebih cocok menggunakan Sistem Koordinat Polar karena dengan menggunakan koordinat polar persamaan gerak sistem ini menjadi lebih sederhana. Sebenarnya untuk menggambarkan persamaan gerak sistem partikel dapat digunakan sistem koordinat apa saja; Sistem Koordinat Kartesian, Sistem Koordinat Polar, Sistem Koordinat Silinder, maupun Sistem Koordinat Bola. Namun, harus diperhatikan pada saat kapan menggunakan sistem koordinat-sistem koordinat tersebut agar masalah lebih sederhana.

Sebagai contoh dalam masalah sistem dua benda (two body problem) orang dapat mengganti koordinat vektor posisi partikel 1 dan 2, dan , dengan koordinat pusat massa R dan koordinat vektor posisi relatif r dari kedua partikel tersebut. Penggantian ini dimaksudkan agar gaya interaksi kedua partikel saling bergantung terhadap posisi relatif antara kedua partikel. Di samping itu, dalam banyak hal orang lebih tertarik untuk menyatakan gerak relatif antara kedua partikel seperti halnya gerak planet. Telaah masalah sistem banyak partikel (many body problem) lebih cocok menggunakan koordinat pusat massa karena gerak pusat massa dapat dinyatakan dengan persamaan yang lebih sederhana menurut Sistem Koordinat Pusat Massa.

Berbagai sistem koordinat di atas merupakan bagian dari sistem koordinat yang lebih umum yang dinamakan Sistem Koordinat Umum. Koordinat umum dapat berupa posisi, panjang, sudut, energi, atau besaran fisika yang lain. Jangan dibayangkan koordinat umum berupa seperangkat sumbu-sumbu yang saling tegak lurus dan membentuk vektor seperti koordinat kartesian. Koordinat umum adalah seperangkat koordinat yang dapat menyatakan keadaan atau konfigurasi (posisi) sistem partikel setiap saat. Koordinat umum biasanya lambangkan q dengan indeks, . Jumlah minimal koordinat umum yang diperlukan untuk menggambarkan konfigurasi sistem partikel menunjukkan derajat kebebasan (degrees of freedom) sistem itu. Adanya kendala (pembatasan gerak) akan mengurangi derajat kebebasan sistem. Pada benda tegar misalnya, kendalanya adalah jarak dan orientasi masing-masing partikel-partikel penyusunnya adalah tetap. Andaikan ada m buah kendala pada sistem N partikel maka derajat kebebasan partikel akan berkurang dari 3N menjadi

Kendala dalam sistem mekanika dapat dibagi menjadi dua macam, yakni kendala Holonomik dan kendala Non-Holonomik. Apabila kendala dapat dituliskan dalam persamaan-persamaan yang menghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentuk

maka kendala semacam ini dinamakan kendala Holonomik. Contoh sistem N partikel yang membentuk benda tegar dimana jarak antar partikel adalah konstan a. Persamaan kendala bagi sistem ini adalah

dengan dan . Kendala Non-Holonomik adalah kendala yang tidak Holonomik. Artinya, kendala tidak dapat dituliskan sebagai mana persamaan (3.10). Contohnya Sebuah partikel yang terisolasi dalam tangki berbentuk silinder dengan jari-jari alasnya a dan tinggi h. Kendala bagi sistem ini adalah kendala Non Holonomik

dan

Ditinjau gerak pendulum (bandul) dalam ruang tiga dimensi seperti pada gambar 3.1 berikut. Tanpa adanya kendala sistem ini memiliki tiga derajat kebebasan, yakni . Kendala bagi pendulum tersebut adalah geraknya terbatas pada bidang xy dan panjang tali konstan sebesar r. Konfigurasi pendulum (posisi) dapat disajikan dalam vektor

Gambar 3.1. Pendulum yang diosilasikan pada bidang xy.Pemilihan vektor posisi r untuk menggambarkan konfigurasi sistem pendulum ini tentu saja tidak tepat karena mengabaikan kendala yang dimiliki oleh pendulum, yakni

dan

Apabila dicermati, sebenarnya busur lingkaran saja yang berubah setiap saat sementara panjang tali tetap r. Artinya, hanya diperlukan satu besaran skalar untuk menggambarkan konfigurasi pendulum tersebut yakni panjang busur lingkaran atau posisi sudut pendulum. Dengan kata lain hadirnya dua buah kendala tadi mengurangi derajat kebebasan pendulum menjadi

.

Hadirnya kendala menyebabkan partikel yang awalnya memiliki tiga kebebasan gerak sepanjang sumbu koordinat (tiga dimensi) menjadi satu derajat kebebasan saja yakni hanya pada arah .3. Energi Kinetik dan Energi Potensial dalam Sistem Koordinat UmumDalam subbab ini akan dibahas energi kinetik dan energi potensial sistem partikel dalam sistem koordinat umum. Lagrangan suatu sistem dituliskan

dengan koordinat umum q dan kecepatan umum . Pada persamaan (3.15) Lagrangan dan energi kinetik merupakan fungsi koordinat umum q dan kecepatan umum sedangkan energi potensial pada umumnya hanya merupakan fungsi koordinat (posisi) umum. Kecepatan umum didefinisikan sebagai turunan koordinat umum terhadap waktu, yakni

.

yrmXxMUntuk lebih jelasnya, ditinjau sistem fisis seperti pada gambar berikut.

Gambar 3.2 Pendulum yang dihubungkan dengan balok yang bebas bergerak sepanjang sumbu x.

Bagaimanakah konfigurasi sistem pendulum di atas? Masing-masing massa memerlukan tiga koordinat kartesan untuk menyatakan posisinya. Jadi, ada enam derajat kebebasan . Tetapi karena adanya empat kendala Holonomik, yakni

maka derajat kebebasan sistem berkurang menjadi 2 derajat kebebasan (2 koordinat umum), yakni koordinat sumbu X yang menunjukkan posisi horisontal massa M dan posisi sudut pendulum dari garis vertikal. Energi kinetik dan energi potensial sistem tersebut adalah

Untuk menyatakan energi kinetik dan energi potensial dalam koordinat umum diperlukan transformasi koordinat

Turunan terhadap waktu persamaan (3.19) memberikan kecepatan umum

sehingga energi kinetik dan energi potensial sistem dapat ditulis

Jadi Lagrangan atau fungsi Lagrang bagi sistem itu adalah

Catatan penting, apabila sistem partikel memiliki kendala Holonomik maka selalu ada transformasi koordinat yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum yang menggambarkan konfigurasi sistem. Sebagai contoh sebuah partikel yang hidup dalam ruang tiga dimensi berlaku transformasi

Partikel yang hidup dalam bidang dua dimensi (gerak partikel dibatasi hanya pada bidang/permukaan) berlaku transformasi

Jika pertikel dibatasi geraknya hanya pada garis lurus maka

Trnasformasi kecepatan umum diberikan oleh persamaan

dengan n adalah derajat kebebasan sistem.4. Persamaan Lagrange untuk Sistem KonservatifSelanjutnya hendak dijabarkan bagaimana mendapatkan persamaan Lagrange dari prinsip variasi Hamilton. Pembahasan dalam subbab ini dibatasi pada sistem konservatif dengan kendala Holonomik.

Lagrangan suatu sistem merupakan fungsi koordinat umum dan kecepatan umum , persamaan (3.15). Variasi aksi untuk Lagrangan adalah

Koordinat merupakan fungsi waktu yang berevolusi dari ke . Variasi adalah pergeseran infinitesimal dari koordinat umum sehingga dapat didefinisikan

.Subtitusikan persamaan (3.28) ke dalam suku kedua persamaan (3.27) kemudian diintegralkan secara parsial diperoleh

Karena tidak ada variasi pada ujung lintasan, posisi partikel pada saat dan tidak berubah (sistem konservatif), maka suku pertama persamaan (3.29) lenyap sehingga diperoleh variasi aksi Hamiltonan

Variasi Hamiltonan di atas akan sama dengan nol jika suku dalam kurung siku sama dengan nol,

Persamaan di atas disebut persamaan Lagrange atau persamaan gerak sistem konservatif dengan kendala Holonomik. 5. Beberapa Aplikasi Persamaan LagrangeBerikut disajikan beberapa aplikasi persamaan Lagrange untuk menentukan persamaan gerak sistem fisis.a. Osilator HarmonikDitinjau osilator harmonik satu dimensi. Andaikan osilator tersebut berosilasi sepanjang sumbu x. Koordinat umum untuk sistem ini dapat dipilih sumbu x. Lagrangan untuk osilator harmonik tersebut adalah

Dengan menggunakan persamaan Lagrange (3.31) diperoleh

sehingga persamaan gerak (persamaan Lagrange) osilator harmonik adalah

Karena maka diperoleh persamaan (persamaan osilator harmonik).b. Partikel Tunggal dalam Pengaruh Medan Gaya Sentral

Ditinjau sebuah partikel yang bergerak dalam bidang datar di bawah pengaruh gaya sentral. Kendala bagi sistem ini hanya z = 0 sehingga diperlukan dua koordinat umum. Masalah partikel dalam bidang datar di bawah pengaruh gaya sentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat polar dan . Transformasi antara koordinat kartesan dan koordinat polar adalah

Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah

Lagrangan sistem

Untuk mendapatkan persamaan Lagrange sistem terlebih dahulu diselesaikan persamaan

sehingga diperoleh dua buah persamaan Lagrange

dan

c. Mesin Atwood

Mesin Atwood terdiri atas dua beban dengan massa dan yang dihubungkan oleh tali ideal tak bermassa melalui sebuah katrol dengan jari-jari a dan momen inersia I.

Gambar 3.3 Mesin AtwoodSistem ini memiliki lima kendala Holonomik yakni

dan

dengan dan jarak relatif masing-masing beban terhadap pusat massa katrol. Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah

sehingga Lagrangan sistem

Koordinat umum bagi sistem ini adalah sehingga

Persamaan gerak (persamaan Lagrange)

d. Persamaan Euler untuk Rotasi Bebas Benda TegarDitinjau rotasi bebas benda tegar; momen gaya total dan energi potensial sama dengan nol. Lagrangan bagi sistem ini sama dengan energi kinetiknya, yakni

dengan kecepatan sudut benda tegar terhadap sumbu utamanya. Kecepatan sudut dapat dinyatakan dalam sudut-sudut Euler dan menurut

Koordinat umum dalam sistem ini adalah sudut-sudut Euler sehingga ada tiga persamaan Lagrange

Untuk koordinat umum berlaku

dan

Persamaan Lagrange

Dengan cara sama, diperoleh persamaan Lagrange untuk koordinat umum dan

e. Balok yang Meluncur ke Bawah dari Puncak Bidang Miring

Sebuah balok bermassa meluncur ke bawah dari permukaan bidang miring yang memiliki sudut kemiringan dengan arah mendatar, seperti pada gambar di bawah.

hm x

Gambar 3.4 Balok meluncur pada bidang miringJika permukaan bidang miring tersebut licin maka sistem tersebut adalah sistem konservatif. Energi kinetik sistem tersebut adalah

Energi potensialnya

Lagrangan bagi sistem tersebut adalah

Persamaan gerak sistem diperoleh melalui persamaan Lagrange

Sehingga persamaan gerak sistem adalah

f. Partikel Meluncur pada Bidang Miring yang BergerakSebuah balok bermassa m meluncur bebas pada bidang miring bermassa M seperti tampak pada gambar 3.4 berikut.

(a) (b)Gambar 3.4 Sebuah balok meluncur pada bidang miring yang bebas bergerak sepanjang sumbu x.

Dari gambar di atas tampak bahwa sistem tersebut memiliki dua derajat kebebasan karena kedua massa dibatasi geraknya pada satu dimensi, yakni arah mendatar sumbu x dan arah menurun bidang miring x. Hubungan vektor kecepatan antara dua koordinat umum tersebut diberikan oleh gambar 3.4 (b). Andaikan vektor satuan arah bidang miring adalah maka kecepatan bidang miring dan kecepatan balok masing-masing adalah

Energi kinetik masing-masing

Energi potensial sistem hanya berasal dari balok m. Jika puncak bidang miring dianggap sebagai titik acuan maka

Dengan demikian Lagrangan sistem adalah

Karena ada dua derajat kebebasan (koordinat umum) maka ada dua persamaan gerak

dan

Selesaikan masing-masing untuk dan diperoleh

6. Momentum Umum (Konjugat Momentum)Pada kasus partikel yang bergerak pada bidang datar di bawah pengaruh gaya sentral dan rotasi bebas benda tegar muncul besaran momentum terkait dengan koordinat umum namun tidak muncul secara eksplisit dalam Lagrangan sistem. Oleh karena itu, dalam subbab ini akan dibicarakan momentum ini secara lebih detail untuk mendapatkan gambaran yang lebih utuh. Untuk memudahkan, ditinjau sebuah partikel yang bebas bergerak dalam lintasan lurus satu dimensi, misal sepanjang sumbu x. Energi kinetik partikel adalah

dengan m massa partikel dan kecepatan partikel sepanjang sumbu x. Lagrangan bagi partikel ini adalah L = T sehingga persamaan Lagrangnya

Jadi = konstan. Secara garis besar dapat dikatakan bahwa jika Lagrangan secara eksplisit tidak gayut terhadap koordinat umum maka penyelesaian persamaan gerak (persamaan Lagrange) adalah konstanta. Konstanta ini tidak lain momentum sudut atau momentum linier sistem tersebut. Untuk partikel bebas yang bergerak sepanjang sumbu x misalnya, konstanta ini adalah yakni momentum linier ,

Oleh karena itu, dalam koordinat umum dapat didefinisikan besaran momentum umum menurut

Besaran disebut konjugat momentum dari koordinat umum . Dengan demikian Lagrangan untuk sistem konservatif dapat dituliskan

Jadi, jika Lagrangan suatu sistem secara eksplisit tidak mengandung koordinat umum maka persamaan Lagrange bagi sistem tersebut adalah

Persamaan (3.37) adalah persamaan Lagrange sebagai fungsi momentum.7. Gaya Kendala: Pengali LagrangeGaya yang muncul karena adanya kendala (pembatasan gerak) sistem disebut gaya kendala. Pada subbab sebelumnya telah diuraikan persamaan gerak sistem partikel dengan kendala Holonomik tetapi belum dikaji munculnya gaya kendala akibat kendala tersebut. Mekanika Newton memerlukan informasi semua gaya yang bekerja pada sistem termasuk gaya kendala. Tetapi tidak selamanya gaya kendala yang bekerja pada sistem dapaat diketahui. Oleh karena itu, jika dalam kondisi tertentu terdapat gaya yang tidak diketahui maka penyelesaian dengan pendekatan mekanika Newton tidak lagi berlaku. Salah satu kelebihan mekanika Lagrangan adalah dapat mendeskripsikan gerak sistem tanpa meninjau gaya kendala. Dengan kata lain, gaya kendala dapat diabaikan. Andaikan untuk suatu alasan orang ingin mengetahui gaya kendala yang dialami sistem fisis, misal seorang kontraktor ingin menghitung gaya normal yang dialami oleh jembatan akibat truk yang melewati jembatan itu. Untuk tujuan tertentu gaya kendala dapat dimasukkan secara eksplisit ke dalam persamaan Lagrangan. Caranya adalah dengan tidak meninjau persamaan-persamaan kendala untuk mengurangi dejarat kebebasan sistem. Tentu saja ini menambah persoalan dalam persamaan Lagrangan karena koordinat-koordinat umum sistem tidak lagi bebas satu dengan yang lainnya maka Lagrangan sistem juga saling gayut. Untuk menyelesaikan masalah ini dikenalkan teknik pengali Lagrange (Lagrange multiplier).

Ditinjau sistem fisis dengan dua derajat kebebasan atau dua koordinat umum dan dengan satu persaman kendala yang belum diketahui yakni

Prinsip variasi Hamiltonan bagi sistem ini adalah

dengan saling terkait (gayut). Artinya variasi akan memberikan variasi pada sebagaimana persamaan (3.38) sehingga variasi kendala memenuhi kaitan

Dari persamaan (3.40) dapat diperoleh

Subtitusikan persamaan (3.41) ke dalam prinsip variasi Hamiltonan (3.39) di dapat persamaan integrasi

Sekarang tinggal satu koordinat umum yang berubah yakni, . Karena dan dt bervariasi (tidak sama dengan nol) maka integral (3.42) akan sama dengan nol jika suku dalam kurung lenyap atau

Ruas kiri merupakan fungsi koordinat umum dan turunannya sedangkan ruas kanan merupakan fungsi koordinat umum dan turunannya. Secara implisit kedua ruas merupakan fungsi waktu t. Ruas kanan akan sama dengan ruas kiri hanya jika keduanya merupakan suatu konstanta yang gayut terhadap waktu sehingga

Sekarang kita dihadapkan pada tiga fungsi waktu yang harus ditentukan, yakni dan . Masalah berikutnya adalah menyelesaikan dua persamaan Lagrange (3.44) dan satu persamaan kendala (3.38). Besaran

yang muncul dalam persamaan Lagrange (3.44) disebut pengali Lagrange. Besaran ini tidak lain adalah gaya kendala yang muncul akibat pembatasan gerak (kendala). Gaya ini muncul semata-mata karena orang tidak memasukkan persamaan kendala untuk mereduksi derajat kebebasan sistem. Besaran disebut pula gaya umum kendala (generalized force of constraint). Jika gaya kendala sistem ingin ditentukan maka persamaan Lagrange bagi sistem fisis ini adalah

Tampak bahwa ada m+n buah persamaan yang belum diketahui, yakni dan . Informasi tambahan yang diperlukan untuk menyelasaikan masalah ini muncul dari m buah persamaan kendala biasanya telah diketahui salah satunya atau muncul dari salah satu persamaan berikut

Persamaan (3.48) merupakan turunan total dari persamaan (3.47). Dalam beberapa kasus, kendala sistem hanya mengandung persamaan

tanpa suku turunan terhadap waktu sehingga lebih sederhana. Persamaan kendala (3.49) apabila disubtitusikan ke dalam prinsip variasi Hamiltonan akan diperoleh persamaan Lagrange (3.46). Bahkan jika yang disubtitusikan adalah persamaan kendala (3.47) dan (3.48) juga akan diperoleh persamaan Lagrange (3.46) karena variabel waktu dijaga tetap dalam prinsip variasi Hamiltonan. Sebagai contoh, ditinjau sebuah cakram dengan jari-jari a yang dililitkan tali dengan salah satu ujung tali diikat pada papan seperti pada gambar. Ketika cakram dilepas jatuh maka cakram akan berputar jatuh seperti pada permainan yo-yo. Tentukanlah persamaan gerak cakram dan gaya kendalanya!

Gambar 3.5 Cakram atau yo-yo.Energi kinetik cakram saat dilepas

dengan m adalah massa cakram, a jari-jari cakram, dan momen inersia cakram. Energi potensial cakram

Lagrangan sistem

Dari Lagrangan sistem tampak bahwa ada dua koordinat umum, yakni y dan . Perhatikan gambar 3.5! Persamaan kendala bagi sistem ini adalah

Kendala ini mengakibatkan derajat kebebasan sistem berkurang menjadi satu derajat kebebasan.

Untuk mendapatkan gaya kendala digunakan persamaan Lagrange (3.46) dengan faktor pengali Lagrange yang belum diketahui, sehingga

Turunan terhadap waktu persamaan kendala memberikan

Subtitusikan persamaan ini ke dalam persamaan Lagrange kemudian dengan sedikit proses eleminasi diperoleh

Jika disubtitusikan ke dalam persamaan Lagrange diperoleh persamaan gerak

Akhirnya diperoleh persamaan gerak untuk dua koordinat umum yang saling gayut, yakni y dan .

Jika cakram jatuh bebas tanpa ada batasan gerak oleh tali maka cakram akan jatuh bebas dengan percepatan g. Tampak dari persamaan gerak yang pertama adanya gaya tegangan tali atau gaya kendala mengakibatkan percepatan gerak jatuh cakram berkurang sebesar . Jelas bahwa haruslah sebanding dengan gaya tegangan tali sehingga diperoleh gaya kendala

adalah gaya umum (gaya tegangan tali) yang menyebabkan percepatan jatuh cakram berkurang sedangkan gaya umum (torka) yang menyebabkan cakram berotasi pada pusat massanya. 8. Prinsip DAlembert

Pergeseran maya didefinisikan sebagai perubahan konfigurasi (posisi atau orientasi) sistem akibat pergeseran infinitesimal yang kosisten dengan gaya-gaya dan kendala yang bekerja pada sistem itu pada saat t. Istilah pergesaran maya digunakan untuk membedakan dengan pergeseran sesungguhnya karena pergeseran maya terjadi tanpa memerlukan waktu. Suatu sistem yang berada dalam keadaan seimbang menurut hukum I Newton memenuhi persamaan

akibatnya muncul konsep usaha maya (virtual work) yang didefinisikan

Problem dalam dinamika sistem fisis selalu berkaitan dengan benda-benda yang berada dalam keadaan tak seimbang sehingga memerlukan hukum II Newton untuk mendapatkan persamaan geraknya. Hukum II Newton dituliskan

D Alembert menyadari bahwa masalah dinamika dapat diselesaikan melalui konsep usaha maya dengan memasukkan besaran ke dalam persamaan usaha maya (3.51) sebagai gaya nyata, yakni

Persamaan ini dikenal sebagai prinsip DAlembert. Efek dari prinsip Dalembert ini mengubah keadaan sistem dari keadaan dinamis menjadi keadaan statis. Selanjutnya hendak diturunkan persamaan Lagrange dari prinsip DAlembert ini.Ditinjau partikel tunggal yang bebas bergerak dalam ruang tiga dimensi. Menurut koordinat kartesian usaha semu bagi partikel ini adalah

dengan i adalah arah sumbu-sumbu koordinat kartesian dan gaya total yang bekerja pada partikel pada arah i. Andaikan konfigurasi sistem ini dinyatakan dengan koordinat umum maka suku pertama persamaan (3.54) dapat dituliskan

dengan

adalah gaya umum terkait dengan koordinat umum . adalah gaya jika koordinat umum adalah posisi dan adalah torka jika koordinat umum adalah sudut. Suku kedua persamaan (3.54) dapat ditulis

Mengingat

maka suku pertama dalam kurung persamaan (3.57) dapat ditulis

Untuk mendapatkan ungkapan suku kedua persamaan (3.57) orang perlu mengetahui turunan waktu . Secara umum, turunan waktu sembarang fungsi yang gayut dan t diberikan oleh

sehingga diperoleh

. Hasil ini sama dengan dengan membalik urutan turunan

. Oleh karena itu, suku kedua persamaan (3.57) menjadi

Akhirnya suku kedua persamaan (3.54) dapat dituliskan

Kombinasi persamaan (3.64) dan (3.55) memberikan prinsip DAlembert

Koordinat umum dapat bervariasi secara bebas sehingga . Agar integral (3.65) sama dengan nol maka suku dalam kurung harus sama dengan nol,

Andaikan gaya luar yang bekerja pada sistem adalah gaya konservatif sedemikian sehingga dapat diturunkan dari fungsi potensial V, . Untuk gaya konservatif, gaya umum dapat dituliskan

dengan . Subtitusikan persamaan (3.67) ke dalam persamaan (3.66) diperoleh

Jika energi potensial V merupakan fungsi koordinat umum saja, maka persamaan (3.68) bisa ditulis

Karena maka diperoleh persamaan Lagrange untuk gaya konservatif

.

Secara umum, untuk sistem dengan gaya umum tak konservatif dan gaya kendala persamaan Lagrange sistem diberikan oleh

Persamaan (3.71) adalah persamaan Lagrange untuk partikel tunggal, dengan tiga koordinat umum, yang diturunkan dari prinsip DAlembert. Apabila sistem yang ditinjau adalah sistem N partikel maka jumlah koordinat umum yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan konfigurasi sistem adalah . Persamaan Lagrange ini ekuivalen dengan persamaan gerak sistem fisis menurut hukum II Newton. 9. Fungsi Hamiltonian dan Persamaan Gerak (Persamaan Hamilton)

Dalam kerangka acuan inersial variabel waktu bersifat homogen sehingga Lagrangan sistem fisis tertutup secara eksplisit tidak mengandung variabel t. Andaikan Lagrangan suatu sistem adalah maka turunan total Lagrangan diberikan oleh

Untuk sistem tertutup atau terisolasi berlaku

dan turunan total Lagrangan terhadap waktu menjadi

atau

Dari persamaan Lagrange diketahui bahwa

. Subtitusi persamaan (3.76) ke dalam persamaan (3.75) diperoleh

Akhirnya diperoleh persamaan

Besaran dalam tanda kurung bernilai konstan terhadap waktu. Besaran ini dinamakan Hamiltonan, disimbolkan H,

Dengan menggunakan definisi konjugat momentum Hamiltonan persamaan (3.79) dapat dituliskan

Jadi, Hamiltonan sistem bernilai konstan jika Lagrangan sistem secara eksplisit tidak bergatung pada waktu t.

Pada umumnya, energi kinetik sistem fisis T merupakan fungsi kuadrat kecepatan umum sedangkan energi potensial merupakan fungsi koordinat umum saja,

Dengan memanfaatkan teorema Euler untuk fungsi homogen f berderajat n dengan variabel

diperoleh

Angka 2 muncul karena energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat sehingga . Sehingga berlaku hubungan

Tampak bahwa fungsi Hamiltonan sama dengan tenaga total, yakni jumlahan tenaga kinetik dan tenaga potensial sistem fisis yang ditinjau. Andaikan ditinjau n buah persamaan konjugat momentum

Penyelesaian untuk dalam p dan q sedemikian sehingga berlaku hubungan

. Selanjutnya, fungsi Hamiltonan dapat dinyatakan sebagai fungsi p dan q menurut

Variasi fungsi Hamiltonan (3.87) dituliskan

Suku pertama dan ketiga dalam kurung persamaan (3.88) saling menghapus karena kemudian menggunakan persamaan Lagrange persamaan (3.88) menjadi

Karena fungsi Hamiltonan H merupakan fungsi dan maka variasi fungsi Hamiltonan dapat pula dituliskan

Bandingkan persamaan (3.89) dan (3.90) sehingga diperoleh

Dua persamaan terakhir disebut persamaan gerak Hamiltonan/persamaan Kanonik Hamiltonan dalam variabel p dan q. Variabel p dan q disebut sebagai variabel-variabel kanonik Hamiltonan. Contoh 1.Tentukan persamaan gerak Hamiltonan untuk osilator harmonik satu dimensi! Penyelesaian :Energi kinetik, energi potensial, Lagrangan, dan konjugat momentum osilator harmonik masing-masing adalah

Hamiltonan osilator harmonik

sehingga persamaan gerak Hamiltonan

Dengan mensubtitusikan persamaan pertama ke dalam persamaan kedua diperoleh

Persamaan terakhir tidak lain adalah persamaan osilator harmonik satu dimensi.

Contoh 2

Sebuah bola bermassa jatuh bebas dari ketinggian tertentu, di bawah pengaruh medan gravitasi seragam . Dengan menggunakan persamaan Hamilton tentukan persamaan gerak bola tersebut!Penyelesaian:Energi kinetik, energi potensial, Lagrangan, dan konjugat momentum osilator harmonik masing-masing adalah

Momentum konjugat dan kecepatan umum

Energi kinetik dapat dituliskan

Sehingga Fungsi Hamiltonan bola tersebut adalah

Persamaan Hamilton

Dari persamaan (a) dan (b) diperoleh

10. Latihan Mandiri1. Tentukanlah persamaan kendala bagi sebuah manik-manik (biji tasbih) yang diuntai pada seutas kawat yang berbentuk lingkaran berjari-jari a. Berapakah derajat kebebasan bagi sistem ini?2. Dua buah kelerang besi disambung dengan kawat tegar yang panjangnya l sehingga membentuk semacam barbel. Tentukan persamaan kendala dan derajat kebebasan bagi sistem tersebut!3. Lagrangan suatu sistem diberikan oleh

Tentukanlah persamaan gerak sistem dan carilah harga stasioner !4.

Tentukanlah persamaan gerak bola pejal bermassa yang menggelinding ke bawah dari permukaan bidang miring licin yang memiliki sudut kemiringan dengan arah mendatar! Bandingkan antara Mekanika Newton dan Mekanika Lagrange untuk kasus ini!5.

Dengan menggunakan persamaan Hamiltonan turunkanlah persamaan gerak Sebuah balok bermassa yang meluncur ke bawah dari permukaan bidang miring licin yang memiliki sudut kemiringan dengan arah mendatar!6.

Dua pegas dengan tetapan pegas masing-masing adalah dan dipasang secara paralel kemudian dihubungkan dengan beban bermassa . Tentukan persamaan gerak sistem pegas tersebut!7.

Dua pegas dengan tetapan pegas masing-masing adalah dan dipasang secara seri kemudian dihubungkan dengan beban bermassa . Tentukan persamaan gerak sistem pegas tersebut!8.

Hamiltonan suatu sistem dengan a,b,, k konstanta riil. Tentukanlah Lagrangan bagi sitem ini!9. Lagrangan suatu sistem dengan satu derajat kebebasan diberikan oleh

a. Tentukanlah Hamiltonan sistem ini dan tunjukkan apakah Hamiltonan kekal!b. Definisikan koordinat baru . Tuliskan Lagrangan dan Hamiltonan dalam koordinat yang baru. Tunjukkan apakah Hamiltonan dalam koordinat yang baru juga kekal!10.

Sebuah partikel bermuatan q bergerak pada sumbu x di bawah pengaruh medan listrik konstan sebesar dan potensial . Gerak partikel diperlambat oleh gaya redaman sebanding dengan kecepatan partikel. Lagrangan partikel untuk sembarang waktu t diberikan oleh persamaan

dengan m massa partikel, dan tetapan riil. a. Dengan menggunakan persamaan Lagrange, tuliskan persamaan gerak partikel!b. Tentukan konjugat momentun serta fungsi Hamiltonan partikel tersebut!c. Tuliskan persamaan gerak partikel tersebut dengan menggunakan persamaan Hamiltonan.

81Program Studi FisikaFakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta