Materi 3Distribusi Variabel Diskret dan Kontinu

Ir. Risma A. Simanjuntak, MT

Teknik IndustriFakultas Teknologi industri

Institut Sains & Teknologi AKPRINDYogyakarta

Kompetensi

• Mampu mengidentifikasi distribusi variabel diskrit

• Mampu mengidentifikai distribusi variabel kontinu

Pokok Bahasan

• Distribusi Binomial• Distribusi Poisson• Distribusi Normal• Distribusi Eksponensial

Pengantar

• Dalam melakukan simulasi, pertama-tama harus diketahui atau dilakukan penarikan random number . Penarikan random number sangat tergantung pada fungsi atau distribusi dari data yang diselidiki, khususnya yang dapat disusun dalam fungsi-fungsi sebagai berikut :

a. Data dengan fungsi diskret b. Data dengan fungsi kontinu.

Distribusi Variabel Random Diskret

• Distribusi binomial• Distribusi poisson

Distribusi Binomial

• Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), di mana p adalah probabilitas sukses dan q = 1- p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, jika suatu variabel acak X menyatakan banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut.

Distribusi Binomial (lanjut)

Dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas binomial dengan fungsi probabilitasnya:

Pb(x;n’ p) = nCx px (i – p)n-x = nCx px qn-x

di mana:nCx = kombinasi dari n objek di mana setiap pemilihan diambil x objek

x = 0,1,2, ..., nn = 1,2,3, ...0 ≤ p ≤ 1

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial di atas dapat dinyatakan sebagai:

x

k

x

k

knkknbb ppCpnkPpnxF

0 0

1,;,;

10,...3,2,1,...,2,1,0

pb

nx knkkn qpC

Jadi fungsi probabilitas binomial adalah fungsi dengan dua parameter yaitu n dan p.

Distribusi Diskret Uniform

• Dalam meninjau distribusi ini probabilitas untuk menyeleksi setiap bilangan integer di antara a dan b adalah sama saja.Dengan demikian fx (x=r) = p ---- r = a,....., b

dan diperoleh (b-a+1) p =1 maka

11

abp

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson ini mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut:

untuk x = 0,1,2,...

Juga sering disimbolkan dengan P(λ) dan secara teoritis dapat dilakukan dengan beberapa cara.

!)()(xetxf

tx

Distribusi Poisson (lanjut)

Sebagai contoh:• Dapat dilakukan melalui batasan dan Distribusi

Binomial dengan B(n,p), bila n mencapai nilai besar tidak terbatas dan juga P sangat kecil maka dapat dilakukan dengan Poisson Variate.

• Dan terdapat melalui hubungan dengan distribusi eksponensial dengan ε (β).β merupakan parameter eksponensial, apabila ada “Waktu di antara dua event (kejadian) adalah Independen”.

Dengan diketahui ti adalah random variate dari distribusi eksponensial:

Dengan demikian dari hubungan pada distribusi eksponensial akan dapat digunakan untuk menggenerate Random Variate x sebagai suatu Poisson variate yang dapat dirumuskan melalui pertabahan waktu t dengan batasan-batasan sebagai berikut:

n

i

n

i

titti11

InRiti1

Maka diperoleh:

InRitInRi

InRitInRi

n

i

n

i

n

i

n

i

1

1

1

1

1

1

11

11

InRitInRin

i

n

i

1

1

1

dan dikalikan

Dengan mengalikan angka -1 akan mengubah ketidaksamaan

RiIntInRin

i

n

i

1

1

1

Juga melalui pembuktian matematis:

RiInInRin

i

n

i

1

1

1ln

Maka diperoleh:

Dengan mengubah kembali logaritma normal akan diperoleh:

InRitInRin

i

n

i

1

11

IRieRin

i

tn

i

1

11

Distribusi Variabel Random Kontinu

• Distribusi eksponensial• Distribusi normal

Distribusi ExponentialDistribusi eksponensial ini mempunyai PDF sebagai berikut:

Berarti CDF-nya adalah:

F(x)

x

e

untukX

xf1

00

)(

/

0

1

1

x

x x

e

dxe

Kemudian untuk mengambil random number bagi distribusi ini yang dinyatakan dengan R sebagai random number disusun R=F(x)Berarti:

Random number yang diambil dari Uniform Variate (0-1) dapat di ganti dengan R.

RXRX

RXRe

Re

exFR

x

x

x

ln)1ln(

)1ln(/)1ln(ln

1

1)(

/

/

/

Selanjutnya apabila diketahui bukan mean atau rata-rata dari distribusi eksponensial, namun yang diketahui adalah tingkat pelayanan dan juga lamanya waktu pelayanan itu, maka: t = waktu pelayanan λ = tingkat pelayanan (service rate) dalam unit waktuItu berarti distribusi fungsi densitas eksponensialnya adalah:

untuk t>0

maka untuk CDF akan diperoleh

tetf )(

tt

x edxetF 1)(0

RtRe

Re

eRtF

t

t

t

ln)1ln(ln

1

1)(

Rt ln1

Ret ln

Bila dinyatakan dalam random number akan diperoleh:

untuk R = antara 0 dan1

Maka

atau

Fungsi Densitas Uniform

lainnya

untukxf

ab

0)(

abxy

abdyab

xF xx 1])(11)( 00

abaxxF

)(

a < = x < = b

Dengan fungsi densitas uniform ini harus di cari fungsi kumulatifnya (CDF) sebagai berikut:

a dan b adalah bilangan konstan

Ini berarti CDF dari distribusi Uniform adalah:

Apabila disamakan f(x)=R, maka akan diperoleh:

axabRabaxRxF

)(

)(

X=R (b-a) + a

Distribusi Normal

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter µx dan σx di mana dan σx>0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dariX adalah:

x

)2()(2

2

21),;( x

xx

xxxN exf

x

Di mana:µx = meanσx = deviasi standard

Distribusi Normal (lanjut)

Untuk setiap nilai µx dan σx , kurva fungsi akan simetris terhadap µx dan memiliki total luas di bawah kurva tepat 1. Nilai σx menentukan bentangandari kurva sedangkan µx menentukan pusat simetrisnya.

Distribusi normal kumulatif di definisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu.

Maka fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai:

dtedttxXPxF x

xt

x

xx

xxxxN)2()(2

2

21),;()(),;(

Untuk setiap distribusidari popilasi dari suatu variabel acak yang mengikuti distribusi normal :

68,26% dari nilai- nilai variabel berada dalam ± 1σx dari µx

95,46% dari nilai- nilai variabel berada dalam ± 2σx dari µx 99,73% dari nilai- nilai variabel berada dalam ± 3σx dari µx

Rangkuman :

• Random variabel merupakan suatu fungsi distribusi kumulatif (CDF) termasuk didalamnya random number. Random variabel ini cukup penting untuk menghasilkan angka-angka yang dipakai langsung pada distribusi fungsi tersebut. Dalam nerumuskan random variabel dari fungsi-fungsi distribusi yang terdapat pada kehidupan nyata. Pada umumnya : (a) Random Variabel dari distribusi fungsi diskret dan (b) fungsi distribusi kontinu

Soal-soal :

1. Jika diketahui p=0,5 dan k 2 (dari distribusi binomial)a. Generate random variabel inib. Apabila roses bilangan acak diketahui data

a = 77, Zo = 12357 dan m = 127. perhitungkan Xn yang optimal diperoleh untuk 5 kali random number,

Soal-soal (lanjut)

2. Sebuah toko roti membuat kue jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi diskret uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimal 40 unit.Pertanyaan : apabila digunakan random number dengan data a = 77, m = 127 dan Zo = 12357, perhitungkan sbanyak 5 kali pengambilan random number

Kunci jawaban

1. a. (0,25, 0,50, 0,25) b. ( 0, 0, 1, 1, 2)

2. (42, 41, 66, 85, 100 unit)