BAB 3

BEBERAPA DISTRIBUSI PENTING

Distribusi peubah acak dapat digunakan sebagai model untuk distribusi frekuensi relatif

dari populasi. Dengan demikian jika model suatu populasi tertentu, yang artinya distribusi

(peubah acak yang menentukan ) populasi tersebut tertentu, maka parameter-parameter

populasi yang dikehendaki dapat ditentukan. Pada umumnya parameter-parameter tersebut

adalah ekspektasi atau momen-momen.

Berikut ini akan dibicarakan beberapa distribusi parametrik yang banyak digunakan

dalam statistika.

Definisi : Suatu populasi / distribusi adalah parametrik, jika fungsi padat peluangnya

ditentukan oleh satu atau beberapa parameter.

1. Distribusi Peubah Acak Diskrit Univariat

Beberapa distribusi peubah acak diskrit (univariat) yang akan dibicarakan adalah

distribusi binomial, distribusi geometri, distribusi binomial negatif dan distribusi

poisson, hypergeometrik

1.1. Distribusi Binomial

Distribusi sebuah variabel acak yang mempunyai dua peristiwa yang mungkin

terjadi, yaitu sukses atau gagal. Variabel ini pada umumnya dikaitkan dengan sebuah percobaan

yang disebut Percobaan Bernoulli. Variabel dengan dua peristiwa yang mungkin terjadi disebut

variabel dikotomus.

Variabel dengan distribusi Binomial dapat dibentuk atau terjadi jika kita

melakukan percobaan Bernoulli berulang kali dengan peluang sukses yang konstan, sebutlah p,

secara independen. Jika percobaan dilakukan n kali, maka yang diperhatikan adalah ruang

sampel yang menunjukkan banyaknya sukses yang mungkin diantara ke-n percobaan tersebut.

Dalam hal ini, ruang sampel percobaan ini dapat dinyatakan sebagai variabel acak X dengan

peristiwa yang mungkin terjadi membentuk himpunan di bawah ini.

di mana k menyatakan k sukses di antara n percobaan untuk . Variabel X ini mempunyai

suatu distribusi peluang yang disebut distribusi Binomial

Suatu eksperimen dikatakan sebagai eksperimen binomial bila dipenuhi hal-

hal sebagai berikut :

Eksperimen merupakan gabungan dari n trial identik yang saling bebas.

Setiap trial hanya mempunyai 2 hasil, yang biasanya disebut sukses (= S)

dan gagal (= G).

Peluang mendapatkan sukses dalam setiap trial adalah p = P (S) dan

peluang mendapatkan gagal adalah q = P(G) = 1 – p

Yang menjadi perhatian dalam suatu eksperimen binomial adalah

menentukan berapa peluang mendapatkan suatu harga X yaitu harga peubah

acak yang menyatakan banyaknya sukses dalam eksperimen binomial. Peubah

acak yang ditentukan oleh suatu eksperimen binomial disebut peubah acak

binomial, sedangkan distribusi dari peubah acak tersebut biasa dikenal sebagai

distribusi peluang binomial.

Definisi :

Jika X adalah suatu peubah acak binomial, maka :

f(x) = P (X=x) =

untuk x= 0, 1, 2,…, n, dengan 0 < p < 1 dan q = 1 – p , adalah fungsi padat

peluang.

Jika suatu peubah acak X adalah peubah acak Binomial,

maka X mempunyai distribusi binomial, ditulis X ~ Bin (n,p).

Jika X ~ Bin (n,p), maka :

μX = np, = npq

dan mX (t) = ( pet + q )n

Distribusi Bernoulli adalah suatu distribusi binomial

dengan n = 1. Distribusi ini sering disebut distribusi binomial titik.

Jika saling bebas dengan Xi ~ Bin (ni,p)

i = 1, 2, …, n , maka

~ Bin (ni,p)

Bukti :

Karena saling bebas, menggunakan sifat mX (t), maka

Xi (t) =

= (pet + q)

= (pet + q) ,

yang adalah fungsi pembangkit momen untuk Bin .

Jadi terbukti :

Xi ~ Bin

Contoh 3.1:

Langkah-langkah perhitungan dengan minitab

1. Pastikan bahwa minitab sudah terbuka (aktif)

2. Masukkan data di window worksheet 0 1 2 3 4 dan 5

3. Pada window session klik calc, pilih probability distributions lalu klik binomial akan

muncul kotak dialog

4. Dikotak dialog klik probability, dibaris : Number of trials diisi angkah 5, probability

diisi 0,4 dan kilik dobel c1.

5. Klik oke

Hasilnya sebagai berukut :

Probability Density Function

Binomial with n = 5 and p = 0,400000

x P( X = x )

0,00 0,0778

1,00 0,2592

2,00 0,3456

3,00 0,2304

4,00 0,0768

5,00 0,0102

Distribusi binomial ini kerapkali dinyatakan dengan simbol dengan parameter n dan ,

untuk . Untuk keprluan praktis, dalam buku-buku statistika disajikan tabel distribusi Binomial

sekurang-kurangnya untuk n sampai denagn 30 utnuk beberapa nilai p. untuk dapat dipakai

pendekatan distribusi normal.

1.2. Distribusi Geometrik

Peubah acak W = banyaknya trial Bernoulli yang dilakukan sampai mencapai

sukses pertama, adalah suatu peubah acak geometrik. Distribusi dari W adalah distribusi

geometrik.

Fungsi padat peluang untuk W adalah :

fW(w) = (1 – p) p,

untuk w = 0, 1, 2,… dengan 0 < p < 1

Jika W ~ geometrik, maka :

μW = , = dan

mW (t) =

3.1.3.Distribusi Binomial Negatif

Peubah acak T = banyaknya trial Bernoulli yang dilakukan sampai mencapai r sukses,

adalah suatu peubah acak binomial negatif. Distribusi dari T adalah distribusi binomial negatif,

yang sering juga disebut distribusi Pascal.

Fungsi padat peluang untuk T adalah :

fT(t) = pr (1 – p),

untuk t = r, r+1,…, dengan 0 < p < 1 dan r > 0

Jika T ~ Negatif Binomial, maka :

μT = , = dan mT(t) =

Jika r = 1 , distribusi binomial negatif adalah distribusi geometrik.

Jika T adalah peubah acak / berdistribusi binomial negatif, maka :

T = Wi ,

dengan Wi , i = 1, 2, …, r berdistribusi geometrik yang saling bebas.

1.4. Distribusi Poisson

Jika dalam eksperimen Binomial, ukuran sampel n sangat besar dan peluang untuk sukses

sangat kecil, maka distribusi binomial dapat didekati atau dihitung dengan menggunakan

distribusi poisson yang disefinisikan sebagai berikut :

dimana : = menyatakan mean dari variabel acak X atau E(X).

dengan parameter λ > 0

Jika X ~ P(λ), maka : μX = λ , = λ dan mX (t) =

Untuk pendekatan diastribusi Binomial dipakai , sehingga diperoleh rumus :

dengan catatan bahwa distribusi poisson akan merupakan pendekatan yang baik untuk distribusi

Binomial dengan .

Dapat diperlihatkan bahwa peluang akan mendekati nol jika k bertambah besar untuk

setiap pasangan n dan p. Keadaan ini dapat dilihat dengan jelas dalam setiap tabel peluang

distribusi poisson. Perhatikan ilustrasi berikut :

Ilustrasi pemakaian distribusi poisson.

Andaikan di Indonesia kita akan memilih 100 rumah tangga secara acak. Dengan asumsi

angkah kematian 5 per 1000 ibu rumah tangga, berdasarkan rumus distribusi Binomial , maka

diperoleh distribusi poisson sebagai berikut :

Probability Density Function

Poisson with mu = 0,500000

x P( X = x )

0,00 0,6065

1,00 0,3033

2,00 0,0758

3,00 0,0126

4,00 0,0016

5,00 0,0002

6,00 0,0000

7,00 0,0000

Cumulative Distribution Function

Poisson with mu = 0,500000

x P( X <= x )

0,00 0,6065

1,00 0,9098

2,00 0,9856

3,00 0,9982

4,00 0,9998

5,00 1,0000

6,00 1,0000

7,00 1,0000

Fungsi distribusi kumulatif distribusi poisson menunjukkan . Dengan kata lain

1.5. Distribusi Hypergeometrik

Untuk lebih jelasnya pengertian pemakaian distribusi hipergeometrik ini, pertama-tama

perhatikan aktivitas atau ilustrasi di bawah ini.

Ilustrasi :

Di dalam sebuah tempat (peti kemas atau gudang) terdapat 25 satuan barang, dimana 5 atau

20% diantaranya rusak atau tidak memenuhi kualifikasi yang ditentukan. Kualitas barang di

dalam peti kemas ini akan dipelajari dengan pengambilan sampel berukuran 4 secara acak. Jika

X menyatakan banyaknya satuan barang yang rusak diantara keempat sampel diambil, maka

himpunan nialai X dapat dinyatakan sebagai :

Variabel X ini dinyatakan mempunyai distribusi hipergeometrik, yang dapat dinyatakan

dengan rumus sebagai berikut :

Langkah-langkah perhitungan dengan minitab

1. Pastikan bahwa minitab sudah terbuka (aktif)

2. Masukkan data di window worksheet 0 1 2 3 dan 4

3. Pada window session klik calc, pilih probability distributions lalu klik hipergeometrik

akan muncul kotak dialog

4. Dikotak dialog klik probability, dibaris : Population Zise (N)diisi angkah 25, Successes in

populationa (X) diisi angkah 5 , sampel zise (n) diisi angkah 4 dan kilik dobel c1.

5. Klik oke

Hasil olahan minitab sebagai berikut :

Probability Density Function

Hypergeometric with N = 25, X = 5, and n = 4

x P( X = x )

0,00 0,3830

1,00 0,4506

2,00 0,1502

3,00 0,0158

4,00 0,0004

Secara umum distribusi hipergeometrik didefinisikan : Distribusi peluang variabel acak

hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n yang dambil dari N

yang mengandung k beranama sukses dan N-k bernama gagal dinyatakan dengan :

Nilaia harapan dan variansi dari distribusi hipergeometrik adalah :

dan

2. Distribusi Peubah Acak Kontinu Univariat

Berikut akan dibicarakan beberapa distribusi peubah acak kontinu (univariat) yang

banyak digunakan dalam statistika.

2.1. Distribusi Normal

Salah satu distribusi peluang dari peubah acak kontinu yang sangat banyak digunakan

dalam statistika adalah distribusi peluang normal. Dalam persoalan pengambilan kesimpulan

distribusi ini cukup banyak berperan disebabkan karena banyak estimator untuk parameter

ataupun statistik yang digunakan untuk uji hipotesis, mempunyai distribusi yang mendekati

distribusi normal, jika n, yaitu ukuran sampel, diambil cukup besar.

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah

distribusi Normal. Grafiknya, disebut kurva normal, berbentuk seperti lonceng, menggambarkan

berbagai kumpulan data yang muncul di alam penelitian. Pada tahun 1733 DeMoivre

menemukan persamaan matematika kuva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika

induktif. Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777

– 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang

berulang-ulang mengenai bahan yang sama.

Suatu variabel acak X yang distribusinya berbentuk lonceng disebut variabel

variabel acak. Persamaan matematika disebut distribusi peluang variabel acak normal

kontinu bergantung pada dua parameter dan , yaitu mean (rataan) dan simpangan baku. Jadi

fungsi kepekatan peluang (fkp) dinyatakan dengan :

,

dengan

n(x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

Contoh variabel random yg memiliki distribusi normal misalnya:

1.Distribusi error dalam pengukuran

2. Pengukuran dalam meteorologi

3. Pengukuran curah hujan

4. Sebagai pendekatan bagi distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik, dan lainnya

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

1.Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ

2.Mode (maximum) terjadi di x=μ

3.Bentuknya simetrik thd x=μ

4.Titik belok tepat di x=μ±σ

5.Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x=μ

6.Total luasnya = 1

Jika variabel X mempunyai distribusi normal dengan mean (rataan) dan variansi

(simpangan baku ), maka dapat ditunjukkan statistik Z yang didefinisikan sebagai :

mempunyai distribusi normal standar, sehingga fkpnya disebut fungsi kepekatan peluang

normal standar.

Untuk penggunaan peraktis, variabel acak kontinu yang paling mendasar yang harus

diperhatikan adalah variabel Z yang mempunyai distribusi normal standar yang mempunyai nilai

harapan (mean) nol dan variansi satu dengan fungsi fkp adalah :

,

Untuk keperluan aplikasi, peluang yang diperhatikan adalah peluang kumulatif untuk nilai

z di antara , dinyatakan dalam simbol :

yang menyatakan bagian luar di bawah kurva normal standar dari titik Z=z ke sebelah kiri,

dengan karakteristik anatara lain sabagai berikut :

1.

2..

3.

4.

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi normal, ditulis X ~ N ( μ, )

atau

X ~ N ( μX, ), jika

f(x) = , exp , untuk -∞ < x < ∞

dengan parameter-parameter -∞ < μ < ∞ dan α > 0

Jika X ~ N ( μX, ), maka

rataan = μX , variansi = dan mX (t) =

Jika saling bebas dengan Xi ~ N (μi, ),

i = 1, 2, …,n maka :

Y = ai Xi ~ N (μy, )

dengan μy = ∑ ai μi dan = ∑

Bukti :

Karena saling bebas, menggunakan sifat mX (t), maka :

mY (t) =

= , karena Xi ~ N (μi ,)

=

yang berarti

Y =

Contoh soal distribusi Normal

1.Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus)

terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan

standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah

bolam produksinya akan:

a)Berumur antara 778 jam dan 834 jam

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

μ= 800 σ=40.

a) P(778<x<834)

x1=778 à z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55

x2=834 à z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85) = P(z<0.85)-P(z<-0.55)

= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

μ= 800 σ=40.

P( x < 750 atau x > 900)

x1=750 à z1 = (x1-μ)/σ = (750-800)/40 = -1.25

x2=900 à z2 = (x2-μ)/σ = (900-800)/40 = 2.5

P(x< 750 atau x>900) = P(z < -1.25) + P( z > 2.5)

= P(z < -1.25) + 1- P(z < 2.5)

= 1 + P(z< -1.25) - P(z < 2.5)

= 1 + 0.1056-0.9938 = 0.1118

2. Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean 3cm dengan

standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau menerima jikalau ball bearingnya

memiliki diameter 3.0±0.01cm.

a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa diterima pembeli?

b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing, berapa banyak yg

harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli?

Pendekatan distribusi Binomial terhadap Distribusi Normal

Jika X adalah variabel random dengan rata-rata μ=np dan variansi σ2=npq, maka jika n à

∞ dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka bentuk distribusi variabel Z :

Adalah normal standar. Contoh berikut n=15 p=0.4

Distribusi Normal-Binomial

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Binom

normal

Contoh soal :

Probabilitas seorang pasien sembuh dari sebuah penyakit adalah 0.4. Jika 100 orang

menderita sakit tsb, berapakah probabilitasnya bahwa yg sembuh kurang dari 30 orang?

Jawab:

Ini adalah distribusi binomial, dengan n=100, p=0.4, q=1-0.4=0.6, jika x adalah jumlah

orang yg sembuh, maka ingin dicari adalah:

P(x<30) = B(r=30;n=100, p=0.4).

Atau karena n besar dan p tidak terlalu kecil atau dekat 1, maka distribusi binomial akan

didekati dengan distribusi normal dengan rata-rata μ=np=100*0.4=40 dan σ=√(npq)=

√(100*0.4*0.6)=4.899. Hitung dulu

z = (x-μ)/σ= (30-40)/4.899 = -2.04

Berarti P(x<30) = P (z< -2.04) = 0.0207

2.2. Distribusi Gamma

Definisi distribusi Gamma: Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi

Gamma ditulis X ~ G (α,β), dengan parameter α dan β, jika fungsi rapat

probabilitasnya diberikan oleh:

f(x) = , untuk 0 < x < ∞ ,

Definisi fungsi gamma :

Dengan sifat Γ(α)= (α-1) Γ(α), sehingga untuk α=n yang berupa bilangan bulat

positif, maka Γ(n) = (n-1)!

Jika X ~ G (α,β) , maka :

μX = α,β , = α,β2 dan mX (t) = dengan t <

Jika saling bebas dengan

Xi ~ G (αi,β) maka :

Jika β = 2 dan α =, r = 1, 2, 3, … maka distribusi Gamma adalah distribusi

chi-kuadrat dengan derajat bebas r, ditulis X12

Jika X – N (μ,α2), maka X2 ~ X12

Jika β = θ dan α = 1, maka distribusi Gamma adalah distribusi

eksponensial, ditulis E(θ) atau Exp(θ). Secara eksplisit untuk α=1, berarti :

Γ(1)=0!=1, dan distribusinya adalah

Pada distribusi eksponensial mean dan variansinya μX = β , = β2

Β memiliki interpretasi sebagai waktu rata-rata antara dua kejadian berturut-

turut.

Hubungan distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki satu parameter λ yg diartikan rata-rata kejadian

per unit waktu atau area. Menurut distribusi Poisson bahwa tidak terjadi

sesuatu (berarti x=0) selama waktu t akan diberikan oleh:

Jika didefiniskan variabel random X yang menyatakan lamanya waktu yang

diperlukan untuk terjadinya peristiwa Poisson pertama kali, tentunya

probabilitasnya = probabilitas tidak terjadi sesuatu selama x: P (X>x)

= e-λt

Dengan distribusi kumulatifnya:

P(0≤ X ≤x) = 1 - e-λt

Turunan dari distribusi kumulatif ini = distribusi Poisson!

Contoh :Aplikasi Distribusi Gamma dan eksponensial

1. Komponen elektronik di sebuah komputer mempunyai lama waktu sebelum rusak selama

T tahun. Diketahui variabel random T dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial

dengan waktu rata-rata sebelum rusak (mean time before failure = MTBF) β=5. Sebanyak

5 komponen dipakai dalam 5 komputer berbeda, berapakah probabilitasnya bahwa

setelah 8 tahun paling tidak 2 buah komponen masih baik berfungsi?

Jawab:

Probabilitas sebuah komponen masih berfungsi setelah 8 tahun diberikan oleh:

Selanjutnya, misalkan X menyatakan jumlah komponen yg masih berfungsi setelah 8 tahun.

Sekarang persoalan adalah distribusi binomial, dengan probabilitas “sukses” p=0.2 (berfungsi

setelah 8 tahun), banyak percobaan (yaitu banyak komponen yg diuji n=5, dan yg ingin

diketahui adalah sebanyak 5 “sukses”, x=5.

Jadi probabilitas bahwa setelah 8 tahun, sebanyak paling tidak 2 komponen masih berfungsi

diberikan :

2. Dalam studi thd tikus, dipelajari efek racun thd waktu survival-nya. Diketahui bahwa

untuk dosis tertentu racun, waktu survivalnya mengikuti pola distribusi gamma dengan

α=5 dan β=10 dalam satuan minggu. Berapakah probabilitasnya bahwa seekor tikus akan

masih selamat (survive) tak lebih dari 60 minggu.

Jawab:

Misal X adalah variabel random yg menyatakan waktu hidup (survival time), berarti

probabilitasnya bahwa X≤60 adalah:

Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan

tabel fungsi gamma tak lengkap F:

Jadi didefinisikan x/β=y, berarti x= βy dx= βdy dan x=60 jadi y= 60/10=6 sehingga:

Dengan definisi fungsi gamma tak lengkap F(x;α) jadi:

P (X≤60)= F(x=6; α=5) = 0.715

2.3. Distribusi Beta

Definisi : Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi Beta, ditulis X ~ B

(α,β) , jika :

f(x) = , untuk 0 < x < 1

dengan parameter-parameter α > 0 dan β > 0

Jika X ~ B (α,β) , maka:

μX = dan =

Jika α = β = 1, maka distribusi Beta adalah distribusi uniform dalam selang

(0,1) , ditulis U (0,1)

2.4. Distribusi Weibull

Teknologi modern saat ini telah berhasil mendesain system-sistem yang rumit yang

operasi atau safetynya bergantung pada rehabilitas komponen-komponen yang

membentuknya. Umur suatu komponen yang dipresentasikan oleh variabel random

kontinu T dengan distribusi kemungkinan f(t) sering merupakan gambaran dari

distribusi Weibull.

Definisi:

Variabel random kontinu T memiliki distribusi Weibull dengan parameter α dan β

jika fungsi kepadatannya adalah

untuk t > 0

= 0, untuk t yang lainnya

dengan > 0 dan > 0

Mean dan varians distribusi Weibull adalah

Untuk menerapkan distribusi Weilbull dalam teori reliabilitas, pertama-tama perlu

didefinisikan reliabilitas suatu komponen atau produk sebagai berikut

Definisi:

Reliabilitas suatu komponen atau produk adalah besar kemungkinan dari komponen

atau produk tersebut akan berfungsi secara baik, paling tidak dalam suatu waktu

tertentu dari kondisi eksperimen yang tertentu pula.

3. Distribusi peubah acak Bivariat dan Multivariat

Beberapa distribusi peubah acak multivariat (termasuk bivariat) yang akan

dibicarakan adalah distribusi multinomial dan distribusi multinormal.

3.1. Distribusi Multinomial

Suatu eksperimen dikatakan sebagai eksperimen multinomial bila diperlukan

hal-hal berikut :

Eksperimen merupakan gabungan dari n trial ; identik yang saling bebas.

Setiap trial mempunyai lebih dari dua hasil yang menjadi perhatian, yaitu

hi , i = 1 ≥ 2

P (hi) = Pi adalah sama untuk setiap trial, i = 1, 2, …, k

Yang menjadi perhatian dalam suatu eksperimen multinomial adalah

menentukan peluang mendapatkan sejumlah hasil tertentu dari setiap trial,

misalnya Xi dari trial ke-i , i = 1, 2, …,k dengan Xi = n

Distribusi Multinomial adalah distribusi bersama dari peubah acak – peubah

acak , karena salah satu Xi pasti akan bergantung pada (k-1) Xi yang lain.

Definisi :

Jika berdistribusi multinomial, maka :

= ,

dengan xi = n dan pi.

Jika berdistribusi multinomial, maka :

, COV (Xi,Xj) = - n pi pj

dan

=

Jika k = 2 , maka distribusi multinomial adalah distribusi binomial.

3.2. Distribusi Multinormal

Definisi :

Suatu peubah acak multivariat dengan

= COV (Xi,Xj) , i dan j = 1, 2, …, p dikatakan berdistribusi multinormal atau

berdistribusi multivariat normal ditulis , jika :

= exp [ ]

dengan

- = vektor (x1,x2,…,xp)' , -α < xi < α , i = 1, 2, …, p

- = vektor ( E(X1),…,E(Xp))' , i = 1, 2, …, p

dan

- ∑ = matriks positif definit simetris dengan komponen-komponennya

adalah , i dan j = 1, 2, …, p

Jika , maka

- = =

- Cov (Xi ,Xj) = komponen (i , j) dari ∑

Jika X1,X2,…,Xp berdistribusi multinormal, maka distribusi marginal dari

beberapa X1,X2,…,Xk , 1 ≤ k ≤ p-1. adalah multinormal dan distribusi

bersyarat dari beberapa X1,X2,…Xk , 1 ≤ k ≤ p-1 , jika beberapa, …, Xp ,

tertentu harganya, juga berdistribusi multinormal.