BAB III

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Dalam bab ini akan dibahas sistem persamaan linear yang secara umum dapat dituliskan sebagai :

(3.1)Dengan a adalah koefisien konstan dan c adalah konstan. Persamaan 3.1 dituliskan dalam bentuk notasi matriks sebagai berikut :

(3.2)Berbagai cara untuk mencari nilai , diantaranya Metode Eliminasi Gaus, metode Matriks Invers, Metode Iterasi Jacobi, Metode Iterasi Gaus seidel dan Metode yang lainnya yang mungkin belum kami sebutkan dalam bab ini :

3.1. Metode Determinan

Sistem persamaan mempunyai penyelesaian, jika determinan dari matriks koefisien, |A| ( 0.

Berdasarkan aturan Cramer, maka harga xj dapat dihitung dengan pembagian determinan, yaitu :

; j= 1,2,3...... ndengan : |Aj| = Determinan yang dihasilkan dengan mengganti kolom ke j dari determinan |A| dengan {C}.

Untuk sistem dengan n persamaan, aturan Cramer memerlukan perhitungan (n + 1) determinan, dan n pembagian. Karena tiap determinan memerlukan (n-1)n! perkalian, maka jumlah total perkalian dan pembagian adalah (n + 1)(n - 1)n! + n. Oleh karena itu, jika variabel yang harus dihitung lebih dari 4 dianjurkan menggunakan metode lain.

Contoh

dalam bentuk matriks,

determinan |A| =

determinan |A1| =

determinan |a2| =

determinan |a3| =

Jadi,

3.2. Metode Inverse Matriks

Jika sistem persamaan ditulis , maka : ; adalah inverse matriks koefisien. Inverse suatu matriks dapat dihitung menggunakan metode Eliminas Gauss-Jordan atau metode adjoint matriks.

Contoh

Determinan dari matriks koefisien, |A| =10.

Transpos dari matriks, [A] =

danAdjoint [A] =

Inverse matriks, [A]-1 = =

Jadi x = 2; y = 3 dan z = -2,5.

3.3. Iterasi Jacobi

Penggunaan metode determinant dan metode inverse untuk menyelesaikan suatu SPL terkadang menjumpai masalah, seperti adanya pembulatan. Metode ini juga kurang efisien untuk menyelesaikan SPL-SPL berukuran besar. Untuk itulah maka dikembangkan metode iterasi. Beberapa metode iterasi yang ada, metode iterasi Jacobi adalah salah satu metode iterasi untuk menyelesaikan SPL. Misalkan diberikan n buah persamaan, yang dalam notasi matriks adalah:

Jika elemen - elemen diagonal semuanya tidak nol, persamaan pertama dapat diselesaikan untuk x1, yang kedua untuk x2, dan seterusnya hingga dihasilkan :

Proses penyelesaiannya dilakukan sebagai berikut :

1. Pertama-tama diambil nilai awal bagi x1, x2, hingga xn sama dengan nol.

2. Nilai-nilai awal nol ini disubstitusikan ke 3.3.a, b, c dan d untuk memperoleh nilai baru katakan , , , . . . .

3. Nilai kemudian disubstitusikan lagi ke persamaan 3.4.a, b, c, d untuk memperoleh :

4. Lakukan proses ini secara berulang-ulang hingga terjadi kekonvergenan. Kriteria konvergen terpenuhi jika:

Metode ini mempunyai keterbatasan sebagai berikut :

1. Proses iterasinya lambat, terutama untuk persamaan linear ordo tinggi

2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear yang memenuhi syarat

3. Ada kasus tertentu tidak bisa diselesaikan dengan proses iterasi padahal penyelesaiaanya ada. Contohnya :

0.3 x1+ 0.25 x2+ 0.18 x3= = 18.00000

0.4 x1+ 0.50 x2+ 0.30 x3= == 30.00000

0.3 x1+ 0.25 x2+ 0.52 x3 = 28.00000

Padahal nilai x1 = 21.17647, x2 = 25.41176 dan x3 = 29.41176Contoh:

Selesaikan SPL berikut dengan metode iterasi Jacobi:

SPL tersebut dapat ditu1iskan dalam bentuk:

Substitiasikan nilai awal untuk menghitung

Substitusikan lagi ke SPL tersebut untuk memperoleh:

Prosedur di atas hingga terjadi kekonvergenan. Hasil iterasi sebagai berikut :

Iterx1x2x3error x1error x2error x3

11,66666672,85714292,0000000

21,38095242,76190482,476190520,68965523,448275919,2307692

31,57142863,12925172,552381012,121212111,73913042,9850746

41,47437643,05306122,62312936,58259002,49554372,6970954

51,52335603,13884032,63147393,21524262,73282690,3171102

61,49754453,11442822,64619371,72358600,78383730,5562629

71,51058853,13548612,64675350,86350110,67159900,0211492

81,50375583,12827242,64995910,45437620,23059960,1209671

91,50722893,13355062,64980660,23043090,16844230,0057525

101,50541873,13150062,65052870,12024680,06546280,0272414

111,50634273,13284452,65043280,06134080,04289570,0036183

121,50586283,13227542,65060070,03187000,01816900,0063360

131,50610843,13262162,65056500,01631230,01105190,0013459

141,50598123,13246592,65060530,00845270,00496980,0015171

151,50604643,13255592,65059390,00433570,00287220,0004283

161,50601273,13251372,65060380,00224270,00134650,0003724

171,50603003,13253722,65060040,00115200,00075120,0001268

181,50602113,13252592,65060290,00059520,00036250,0000933

191,50602573,13253212,65060190,00030600,00019730,0000361

201,50602333,13252902,65060260,00015800,00009720,0000237

211,50602453,13253062,65060230,00008130,00005200,0000100

221,50602393,13252982,65060250,00004190,00002600,0000061

231,50602423,13253032,65060240,00002160,00001370,0000027

241,50602403,13253002,65060240,00001110,00000690,0000016

251,50602413,13253022,65060240,00000570,00000360,0000007

261,50602413,13253012,65060240,00000300,00000180,0000004

271,50602413,13253012,65060240,00000150,00000100,0000002

281,50602413,13253012,65060240,00000080,00000050,0000001

3.4. Iterasi Gauss-Seidel

Selain metode iterasi Jacobi, terdapat cara lain iterasi bagi SPL, yaitu dengan metode iterasi Gauss - Seidel. Seperti halnya iterasi Jacobi, maka SPL dapat disusun dalam bentuk:

Proses penyelesaiannya dapat dimulai dengan nilai awal bagi x1, x2, hingga xn sama dengan nol. Nilai-nilai awal nol ini dapat disubstitusikan ke 3.6a, b, c dan d untuk memperoleh nilai baru . Nilai baru x1, kita substitusikan ke persamaan 3.6b, bersama nilai awal yang lain ( x3 = x4 = . . . = xn = 0 ) untuk menghitung nilai baru x2. Demikian seterusnya hingga xn. Prosedur diulangi lagi dari awal dengan nilai - nilai baru yang didapat. Kekonvergenan dapat diperiksa dengan :

untuk semua nilai i, di mana j adalah hasil iterasi sekarang dan j-1 adalah hasil iterasi sebelumnya.

Contoh:

Selesaikan SPL dalam contoh sebelumnya dengan metode iterasi Gauss Seidel :

Dengan nilai awal x2 = x3 = 0, hitung :

Selanjutnya dengan nilai = 1,66667 dan x3 = 0, hitung :

Dengan = 1,66667 dan = 1,90476, hitunglah :

Selanjutnya nilai dan dipakai untuk menghitung nilai . Proses ini diulangi hingga mencapai kekonvergenan yang diinginkan. Hasil hitungan ditabelkan sebagai berikut :

Iterx1x2x3Error x1Error x2Error x3

10,00000000,00000000,0000000

21,66666672,85714292,0000000100,000000100,000000100,000000

31,38095242,76190482,476190520,68965523,448275919,2307692

41,57142863,12925172,552381012,121212111,73913042,9850746

51,47437643,05306122,62312936,58259002,49554372,6970954

61,52335603,13884032,63147393,21524262,73282690,3171102

71,49754453,11442822,64619371,72358600,78383730,5562629

81,51058853,13548612,64675350,86350110,67159900,0211492

91,50375583,12827242,64995910,45437620,23059960,1209671

101,50722893,13355062,64980660,23043090,16844230,0057525

111,50541873,13150062,65052870,12024680,06546280,0272414

121,50634273,13284452,65043280,06134080,04289570,0036183

131,50586283,13227542,65060070,03187000,01816900,0063360

141,50610843,13262162,65056500,01631230,01105190,0013459

151,50598123,13246592,65060530,00845270,00496980,0015171

161,50604643,13255592,65059390,00433570,00287220,0004283

171,50601273,13251372,65060380,00224270,00134650,0003724

181,50603003,13253722,65060040,00115200,00075120,0001268

191,50602113,13252592,65060290,00059520,00036250,0000933

201,50602573,13253212,65060190,00030600,00019730,0000361

211,50602333,13252902,65060260,00015800,00009720,0000237

221,50602453,13253062,65060230,00008130,00005200,0000100

231,50602393,13252982,65060250,00004190,00002600,0000061

241,50602423,13253032,65060240,00002160,00001370,0000027

251,50602403,13253002,65060240,00001110,00000690,0000016

261,50602413,13253022,65060240,00000570,00000360,0000007

271,50602413,13253012,65060240,00000300,00000180,0000004

281,50602413,13253012,65060240,00000150,00000100,0000002

291,50602413,13253012,65060240,00000080,00000050,0000001

3.5. Metode LU Decomposition

Selain metode iterasi, metode lain yang merupakan modifikasi dari metode eliminasi, dan disebut juga metode reduksi atau dikenal dengan Metode Dekomposisi L-U.

Metode dekomposisi L-U adalah metode penyelesaian persamaan serentak linear dengan cara Matriks koefisien ditransformasi menjadi perkalian antara dua matriks, yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas , dan dipilih elemen - elemen diagonal utama dari sedemikian sehingga u = 1 untuk .

Kelebihan dari metode ini adalah metode ini sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan linear ordo tinggi. Hasil penyelesaiannya sangat mendekati nilai eksaknya (bahkan sering didapatkan hasil penyelesaian sama dengan eksaknya). Akan tetapi cara penyelesaian dengan menggunakan metode ini cukup kompleks.

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Langkah pertama membuat

EMBED Equation.3 = atau

EMBED Equation.3 =

Elemen-elemen baris pada dikalikan dengan kolom 1 dari maka akan diperoleh :

Jadi, elemen - elemen kolom pertama dari = elemen-elemen kolom pertama dari .

Secara umum dapat dituliskan bahwa :

selanjutnya baris pertama dari dikalikan dengan kolom-kolom dari akan memberikan :

Jika diamati untuk hal diatas maka dapat dirumuskan :

untuk i = 1, maka

Untuk i ( 1 maka akan diperoleh :

Dengan cara yang sama akan diperoleh :

Secara umum untuk matriks orde-n:

Dimana dan

Kemudian mencari vektor matriks hasil (( dengan menggunakan algoritma sebagai berikut :

i = 1;

i = 2, 3, . . . nLangkah kedua adalah mencari penyelesaian untuk dilakukan dengan substitusi mundur dari persamaan [U] {x} = ((, yaitu

j = n-1, n-2, . . . 1Secara skematis, penyelesaian suatu SPL dengan menggunakan dekomposisi L-U adalah sebagai berikut :

Langkah-langkah Dekomposisi L-U

Contoh 1: Selesaikan SPL contoh berikut ini dengan metode dekomposisi L U :

x1+ x2+ x3= = 6

x1+ 2 x2+ 3 x3= == 14

x1+ 4 x2+ 9 x3 = 36

Penyelesaian :

Matriks koefesien, matriks variabel dan matriks hasil

Mencari Matriks L dan Matriks U dari matrik koefesien A sebagai berikut :

=

EMBED Equation.3 diagonal utama matriks U, semuanya bernilai 1

pada j = 1, didapatkan :

Pada i = 1, didapatkan :

Untuk i ( 1 maka akan diperoleh :

Jadi matriks L dan U adalah :

dan

Kemudian mencari matrik ((

Jadi matrik (( adalah :

(( =

Langkah ketiga mencari penyelesaian untuk (x( dilakukan dengan substitusi mundur dari persamaan [U] {x} = ((, yaitu

dan penyelesaiaannya adalah :

Contoh 2: Selesaikan SPL dalam contoh sebelumnya dengan menggunakan metode dekomposisi L U :

Jawab :

Latihan :

1. Carilah penyelesaian kumpulan persamaan linear di bawah ini dengan metode iterasi jacobi

a.

b.

2. Carilah penyelesaian kumpulan persamaan linear di bawah ini dengan metode iterasi Gauss Seidel.

a.

b.

3. Carilah penyelesaian kumpulan persamaan linear di bawah ini dengan metode dekomposisi L-U.

a.

b.

[A]

{x}

= {B}

[U]

[L]

[L]

{b}

= {B}

{x}

[U]

= {b}

{b}

{x}

Subtitusi maju

Subtitusi mundur

Dekomposisi

EMBED Equation.3

Kalikan setiap baris L dengan sebuah kolom pada matrik U. Lakukan terus menerus hingga semua kolom matrik U selesai dikalikan

Created by Supiyanto, Jurusan Matematika FMIPA UNCEN

_1285443492.unknown

_1285586583.unknown

_1318623613.unknown

_1318624234.unknown

_1319266455.unknown

_1353670389.unknown

_1353670390.unknown

_1319825794.unknown

_1319869078.unknown

_1319825518.unknown

_1319263379.unknown

_1318623922.unknown

_1318624016.unknown

_1318624233.unknown

_1318623913.unknown

_1318623491.unknown

_1318623559.unknown

_1318623578.unknown

_1318623518.unknown

_1318623058.unknown

_1318623210.unknown

_1318623475.unknown

_1286076425.unknown

_1286076429.unknown

_1286076433.unknown

_1286076426.unknown

_1286076421.unknown

_1285586249.unknown

_1285586435.unknown

_1285586472.unknown

_1285586279.unknown

_1285585766.unknown

_1285586064.unknown

_1285586127.unknown

_1285586090.unknown

_1285586011.unknown

_1285443811.unknown

_1285444221.unknown

_1285585720.unknown

_1285444225.unknown

_1285444088.unknown

_1285443781.unknown

_1251918640.unknown

_1251963325.unknown

_1254082304.unknown

_1254083354.unknown

_1254540392.unknown

_1254541570.unknown

_1285441970.unknown

_1254541956.unknown

_1254540488.unknown

_1254541564.unknown

_1254083948.unknown

_1254084213.unknown

_1254083587.unknown

_1254083120.unknown

_1254083201.unknown

_1254082727.unknown

_1254081806.unknown

_1254081945.unknown

_1254082172.unknown

_1254081846.unknown

_1254080800.unknown

_1254081411.unknown

_1254079952.unknown

_1254080668.unknown

_1254078704.unknown

_1251918964.unknown

_1251919326.unknown

_1251963209.unknown

_1251919193.unknown

_1251919320.unknown

_1251919195.unknown

_1251919188.unknown

_1251918822.unknown

_1251918831.unknown

_1251918645.unknown

_1251918648.unknown

_1251918664.unknown

_1251918643.unknown

_1250804787.unknown

_1251918626.unknown

_1251918635.unknown

_1251918637.unknown

_1251918628.unknown

_1251918621.unknown

_1251918624.unknown

_1250804794.unknown

_1251918608.unknown

_1250805010.unknown

_1250804790.unknown

_1231011142.unknown

_1250804774.unknown

_1250804779.unknown

_1250804784.unknown

_1250802880.unknown

_1250804766.unknown

_1250802918.unknown

_1250801403.unknown

_1231007708.unknown

_1231010204.unknown

_1231010276.unknown

_1231010635.unknown

_1231010090.unknown

_1231004212.unknown