Matriks InversMatriks InversMatriks InversMatriks Invers Diktat Aljabar Diktat Aljabar Diktat Aljabar Diktat Aljabar LinearLinearLinearLinear

Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 7

2. MATRIKS INVERS

2.1. PENGANTAR DEFINISI 2.1: Jika A adalah matriks bujur sangkar Jika didapat matriks B sedemikian hingga : AB = BA = I (2.1) Maka A dikataka dapat diinverskan dan B dinamakan invers dari A TEOREMA 2.2: Jika baik B maupun C adalah invers dari matriks A, maka pastilah B = C, dengan kata lain, invers sebuah matriks bujur sangkar selalu tunggal Bukti: Jika B adalah invers dari A maka BA = I (BA)C = I C = C Jika C adalah invers dari A maka B(AC) =BI = B Berarti B = C NOTASI : Jika A dapat diinverskan, maka inversnya dinyatakan dalam notasi A-1 A A-1 = I dan A-1A = I TEOREMA 2.3: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat diinverskan dan ukurannya sama, maka

1. AB dapat diinverskan 2. (AB)-1 = B-1 A-1

Penjelasan : Jika (AB)-1 adalah invers dari AB maka menurut definisi 2.1 dapat diturunkan :

• (B-1 A-1)(A B) = I, perhatikan hasil perkalian dalam A-1A = I maka didapat B-1 I B = B-1B = I

• (AB) (B-1 A-1) = I , perhatikan hasil perkalian dalam BB-1= I maka didapat A A I A-1 = AA-1 = I

DEFINISI 2.4: Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan pangkat bilangan bulat tak negatif dari A sebagai berikut : A0 = I An = A A … A (sebanyak n faktor, dengan n > 0) Jika A dapat diinverskan maka : A-n = (A-1)n = A-1 A-1… A-1 (sebanyak n faktor, dengan n > 0) TEOREMA 2.5: 1. Jika A adalah matriks bujur sangkar dan r,s ∈ Ζ, maka Ar As = Ar+s dan (Ar)s = Ars 2. Jika A dapat diinverskan maka :

Diktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar Linear Matriks Invers Matriks Invers Matriks Invers Matriks Invers

8 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra

a. A-1 dapat diinverskan, yaitu (A-1)-1 = A b. An dapat diinverskan, yaitu (An)-1 = (A-1)n n = 0,1,2,...

c. Untuk setiap k ≠0 , skalar, kA dapat diinverskan, yaitu (kA)-1 = k1 A-1

CATATAN-CATATAN 2.6: Jika matriks A tidak mempunyai invers maka A dikatakan singular, sebaliknya A dikatakan nonsingular. Matriks nonsingular sering pula dikatakan sebagai matriks regular, sedang sebaliknya dikatakan sebagai matriks nonregular. 2.2. MENGHITUNG MATRIKS INVERS Perhartikan sistem persamaan linear a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 :. : (2.2)

. . . am1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn Sistem persamaan linear ini dapat dituliskan dalam bentuk matiks Ax = b

Dengan A =

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

!

""

!

!

21

22221

11211

x =

nx

xx

"2

1

b =

nb

bb

"2

1

Jika A nonsingular, maka A-1 dapat diperoleh sedemikian hingga : x = A-1 b Misalkan A-1 = (αij)nxn maka

x1 = α11 b1 + α12 b2 + … + α1n bn x2 =α21 b1 + α22 b2 + … + α2n bn

:. : (2.3) . . . xn = αm1 b1 + αn2 b2 + … + αnn bn Menentukan αij tidaklah mudah, salah satu caranya adalah sebagai berikut : Jika kita menuliskan b1 = 1, dan bj = 0 untuk j = 2,3,..,n maka kita akan mendapatkan kolom pertama dari matriks A-1. Kolom berikut dari matriks A-1 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (2.2) dengan menggantikan nilai-nilai bj bersesuaian dengan In secara bergantian. Akhirnya dengan metode Eliminasi Gauss – Jordan kita dapat mentransformasikan matriks diperbesar [ A | I ] melalului operasi baris elementer menjadi [ I | A-1]

Diktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar LinearDiktat Aljabar Linear Matriks Invers Matriks Invers Matriks Invers Matriks Invers

9 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra

TEOREMA 2.6 : Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka penyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain: (a) A dapat diinverkan (b) Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial (c) A ekivalen baris pada In (d) Ax = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran nx1.