BAB 2 Teori Bilangan

BAB 2

Teori Bilangan

2.1 Keterbagian

Dipahami bahwa 13 dibagi 5 hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis: 135=

2 + 35atau 13 = 2 5 + 3. Secara umum, apabila a bilangan bulat dan b

bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian

hingga

a = qb+ r, 0 r < b

Dalam hal ini, q disebut hasil bagi (quotion) dan r adalah sisa pembagian

(remainder). Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b| a.Untuk a tidak habis dibagi b ditulis b - a.

Lemma 2.1.1 (1) Jika a|b maka a|bc untuk sebarang c I; (2) jika a| b danb| c maka a| c; (3) jika ab| c maka a| c dan b| c; (4) jika a|b dan b|a maka a = b;(5) jika a| b dan a| c maka a| (bx+ cy) untuk sebarang bilangan bulat x dan y.

Proof. Bukti sifat (1): a| b maka b = ka, dan b| c maka c = lb = l(ka) = (kl)amaka a| c. Bukti sifat (3): a| b maka b = ka bx = kxa, dan a| c makac = la cy = kya. Kemudian bx+ cy = (kx+ ly)a maka a| (bx+ cy). 2

Lemma 2.1.2 Suatu bilangan a habis dibagi 2n jika n bilangan terkhir dari

bilangan tersebut habis dibagi 2n.

5

Chapter 2. Teori Bilangan 6

Proof. Misal n = 1, berarti a habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan

tersebut habis dibadi 2. Misal a = . . . a3 , a2 a1 a0 maka a = 10(. . . a3 , a2 a1) +

a0. Karena 2| 10(. . . a3 , a2 a1) maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a0habis dibagi 2. 2

Example. Apakah 173332 habis dibagi oleh 8? Karena 23| 332 maka 8| 173332.

Example. Apakah 13+23+ +1003 habis dibagi 7? Tidak, karena 13+23+ + 1003 = (1 + 2 + 3 + + 100)2 = (5050)2 = 25502500 dan 7 - 25502500.

Lemma 2.1.3 Suatu bilangan a = anan1 . . . a1a0 berturut-turut habis dibagi3,9,11 jika jumlah angka-angkanya (an + an1 + an2 + + a1 + a0) habisdibagi 3; (an+an1+an2+ +a1+a0) habis dibagi 9; dan jika (anan1+an2 an3 + . . . ) habis dibagi 11.

Proof.

a = anan1 . . . a1a0

= an 10n + an1 10n1 + . . . a1 101 + a0 100

= an (9 + 1)n + an1 (9 + 1)n1 + . . . a1 (9 + 1)1 + a0 (9 + 1)0

= an[9n + n 9n1 + + 9n] + an + an1[9n1 + (n 1) 9n2 +

+ 9(n 1)] + an1 + + 9a1 + a1 + a0= an[9

n + n 9n1 + + 9n] + an1[9n1 + (n 1) 9n2 + +9(n 1)] + + 9a1 + an + an1 + + a1 + a0

= K(a) +Q(a)

Karena (3 9)|K(a) maka agar (3 9)| a haruslah (3 9)|Q(a). 2


2.2 Bilangan Khusus

2.2.1 Bilangan Prima dan Komposit

Theorem 2.2.1 Eratosthenes. Untuk setiap bilangan komposit n ada bilan-

gan prima p sehingga p|n dan p n. Teorema ini mempunyai makna yangsama dengan Jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan

p n maka n adalah bilangan prima.

Example. Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima?. Bilangan-bilangan

prima yang 157 adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan

bilangan prima. Kemudian bilangan - bilangan prima yang 221 adalah 2,3, 5, 7, 11, 13. Karena 13| 221 maka 221 merupakan bilangan komposit.

2.2.2 Bilangan Kuadrat

Ada tiga hal yang perlu kita ketahui tentang bilangan kuadrat, yakni:

Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5,6, dan 9.

Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1.

Jika p bilangan prima dan p|x2 maka p| z, dimana z = x2/p.

Example. Carilah suatu bilangan kuadrat smpurna yang angka-angkanya

berturut-turut adalah k, k + 1, k + 2, k + 3.

Solution. Angka satuan bilangan kuadrat ini adalah k + 1 sehingga k yang

mungkin adalah 1, 2, 3, 6. Sedangkan angka puluhannya adalah 3k maka k

yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3. Dari kedua kemungkinan ini diperoleh k yang

mungkin adalah 1, 2, 3. Dengan demikian bilangan kuadrat yang mungkin

adalah 12334, 23465, 34596. Karena 12334 dibagi 4 bersisa 2 maka 12334 bukan


bilangan kuadrat. Bilangan 23465 dibagi 4 bersisa 1, namun karena 5|23465akan tetapi 5 - 4693 maka 23465 bukan bilangan kuadrat. Bilangan 4|34596,kemudian

2 | 345962 | 172983 | 86493 | 288331 | 96131 | 31

Sehingga 34596 = 22 32 312 = 1862 adalah bilangan kuadrat.

2.3 GCD dan Algoritma Euclid

Jika a dan b sembarang bilangan bulat dan d bilangan bulat yang memenuhi

sifat d| a dan d| b, maka d disebut faktor persekutuan dari a dan b. Nilai terbe-sar dari d disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) atau Greater Common

Divisor (GCD) dan ditulis dengan GCD(a, b). {Ingat untuk terminologi keli-patan persekutuan terkecil (KPK) disebut Least Common Multiple (LCM)}.

Algorithm 2.3.1 Algoritma Euclide. Diberikan dua bilangan bulat a dan b

dengan a > b > 0, maka GCD(a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma

pembagian berikut:

a = q1b+ r1; 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2; 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3; 0 < r3 < r2...

rn2 = qnrn1 + rn; 0 < rn < rn1rn1 = qn+1rn + 0

Maka rn, pembagi terakhir dari pembagian di atas yang memberikan sisa 0

merupakan GCD(a, b).


Example. Tentukan GCD(4840, 1512). Maka penyelesaiannya adalah

4840 = 3 1512 + 3041512 = 4 304 + 296304 = 1 296 + 8296 = 37 8 + 0

Jadi GCD(4840, 1512) = 8.

Lemma 2.3.1 Jika a|c dan b|c maka ab|c jika dan hanya jika GCD(a, b) = 1.

Example. 2|30 dan 6|30 maka 2 6 - 30 karena GCD(2, 6) 6= 1, akan tetapi3|30 dan 5|30 maka 3 5|30 karena GCD(3, 5) = 1.

2.4 Modulo

Diberikan bilangan bulat m yang lebih besar dari 1 dan bilangan-bilangan

bulat a dan b. Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo m, dituliskan

dengan a b (modm), jika m| a dan m| b memberikan sisa yang sama.

Lemma 2.4.1 Jika a dan b kongruen modulo m maka m| (a b).

Proof. a b (modm) = a = q1m+ r dan b = q2m+ r. Kemudian a b =(q1 q2)m sehingga m| (a b). 2

Lemma 2.4.2 (1) Penrnyataan a b (modm), b a (modm) dan a b 0 (modm) adalah setara; (2) jika a b (modm) dan b c (modm) makaa c (modm); (3) jika a b (modm) dan d|m maka a b (mod d); (4)jika a b (modm) dan c d (modm) maka ax + cy bx + dy (modm) danac bd (modm), untuk x, y I.

Proof. a b (modm) m|(ab) dan c d (modm) m|(cd). SesuaiLemma 2.1.1 maka m|((a b)x + (c d)y) atau m|((ax + cy) (bx + dy)),sehingga ax+ cy bx+ dy (modm). 2


Akibat dari Lemma 2.4.2, jika f(x) adalah suatu fungsi polinom dengan koefisien-

koefisien bilangan bulat dan a b (modm) maka f(a) f(b) (modm).

Example. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n maka S = 2903n 803n + 261n 464n habis dibagi 7 dan 271. Buktikan juga bahwa 1897|S.

Solution. Karena 2903 803 (mod 7) dan 464 261 (mod 7), demikian juga2903 464 (mod 271) dan 803 261 (mod 271) maka sesuai dengan Lemma2.4.2(4) dipastikan bahwa 7|S dan 271|S. Selanjutnya karena 1897 = 7 271dan GCD(7, 271) = 1, maka sesuai Lemma 2.3.1 terbukti 1897|S. 2

Lemma 2.4.3 (am+ b)n bn (modm)

Proof. Pembuktian ini sama artinya dengan membuktikan ada bilangan bulat

k sehingga (am+ b)n bn = km.

(am+ b)n bn = (am)n + n(am)n1 b+ + n(am)bn1 + bn bn

= {a(am)n1 + an(am)n2 + + an(b)n1}m= km.

2

Example. Tentukan angka satuan bilangan 19971991.


Solution. Dengan menggunakan Lemma 2.4.3 maka solusinya adalah sebagai

berikut:

Angka satuan 19971991 = Sisa pembagian 19971991 oleh 10

= (199 10 + 7)1991 (mod 10)= 71991 (mod 10)

= 74497+3 (mod 10)

= (74)497 73 (mod 10)= (2401)497 343 (mod 10)= (240 10 + 1)497 (34 10 + 3) (mod 10)= 1 3 (mod 10)= 3 (mod 10)

Angka satuan bilangan 19971991 adalah 3.

2.5 Persamaan Diophantine

Persamaan ax + by = c dengan a, b, c bilangan-bilangan bulat dan a, b dua-

duanya bukan nol disebut persamaan linier Diophantine jika penyelesaiannya

dicari untuk bilangan-bilangan bulat.

Theorem 2.5.1 Persamaan Diophantine ax+ by = c mempunyai penyelesa-

ian jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar a dan b membagi c.

Proof. Misal d = GCD(a, b) dan d| c, maka d| c c = kd untuk sebarangbilangan bulat k. Sedangkan d|GCD(a, b) am + bn = d untuk sebarangbilangan bulat m dan n sehingga:

k(am+ bn) = kd

a(km) + b(kn) = c,

berarti x = mk dan y = nk


Theorem 2.5.2 Jika d = GCD(a, b) dan x0, y0 merupakan penyelesaian per-

samaan Diophantine ax+by = c, maka penyelelesaian umum persamaan terse-

but adalah :

x = x0 +b

dk dan y = y0 a

dk dengan k parameter bilangan bulat.

Example. Penyelesaian umum persamaan Diophantine 738x + 621y = 45

adalah . . .

Solution. Mencari GCD(738, 621) dengan Alogaritma Euclide

738 = 1 621 + 117621 = 5 117 + 36117 = 3 36 + 936 = 4 9 + 0.

Jadi GCD(738, 621) = 9. Karena 9| 45 maka persamaan di atas mempunyaipenyelesaian. Menentukan 9 sebagai kombinasi 738 dan 621.

9 = 117 3 36= 117 3(621 5 117) = 3 621 + 16 117= 3 621 + 16(738 621)

9 = 16 738 19 621

Kalikan kedua ruas dengan 5, didapat: 45 = 80 738 45 621, sehinggadidapat x0 = 80, y0 = 95. Dengan demikian penyelesaian umumnya adalah:

x = 80 +621

9k = 80 + 69k

y = 95 7389k = 95 82k

BAB 2 Teori Bilangan

Documents

Transcript of BAB 2 Teori Bilangan