1. PENGENALAN MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang (Tumisah, 2002). Suatu matriks dinotasikan dengan huruf capital. Sebuah matriks mempunyai ukuran yang disebut ordo. Ordo matriks berbentuk a x b dengan a banyak baris dan b banyak kolom. Kadangh ordo ini dituliskan sebagai indeks pada notasi matriks.Contoh :

A2x3 =

Matriks A diatas memiliki 2 baris dan 3 kolom.Baris pertama beranggotakan 1, 2, 3Baris kedua beranggotakan 4, 5, 6Kolom pertama beranggotakan 1, 4Kolom kedua beranggotakan 2, 5Kolom ketiga beranggotakan 3, 6Karena memiliki 2 baris dan 3 kolom maka matriks A diatas memiliki ordo 2 x 3.

Bilangan dalam kurung disebut sebagai elemen, unsur, atau komponen matrik. Pada contoh matriks diatas, komponen baris kedua-kolom ketiga adalah 6, komponen baris pertama-kolom kedua adalah 2, dan sebagainya. Komponen matriks tersebut dilambangkan dengan huruf kecil sesuai notasi matriksnya dan memiliki indeks letak komponen tersebut berada. Dari matriks A diatas a2, 3 menyatakan komponen baris kedua-kolom ketiga. Berarti a2,3 menyatakan komponen baris kedua-kolom ketiga. Berarti a2,3 = 6.

a.) Baris dan KolomNama baris dan kolom disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6 dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat dilihat dengan mudah pada matriks berikut.

b.) Operasi Elementer

Ada tiga macam operasi elementer baris dan kolom, yang sering diperlakukan kepada matrik berukuran n x k, yaitu :1. Perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar c 0.2. Pertukaran dua baris atau kolom.3. Pertukaran baris (kolom) ke i dengan baris (ko- lom) ke i ditambah c kali baris (kolom) ke j.

Setiap satu macam operasi dinyatakan oleh satu matrik elementer.

Definisi 1,Perkalian baris (kolom) ke q matrik A berukurann x k dengan skalar c, adalah sama dengan meng-kalikannya dari kiri (kanan) dengan matrik ele-menter E1 = (eij) berukuran n x n (k x k), dengan :

c, i = q ; j = q,eij = 1, i = j ; i q,

0, yang lain.

Definisi 2,Pertukaran baris (kolom) ke p dengan baris (kolom) ke q matrik A berukuran n x k, adalah sama dengan mengalikannya dari kiri (kanan) dengan matrik ele- menter E2 = (eij), dengan :

1, i = j ; i p,q, 0, i = j ; i = p,q,

eij = 1, i j ; i = p,q ; j = p,q 0, yang lain.

Definisi 3,Perubahan baris (kolom) ke p matrik A dengan uku-ran n x k, dengan baris (kolom) ke p ditambah c kali baris (kolom) ke q adalah sama dengan mengalikan-nya dari kiri (kanan), dengan suatu matrik elementer E3 = (eij), dimana :

1, i = j ; semua i,eij = c, i j ; i = p ; j = q,

0, yang lain.

Contoh :

Diketahui matrik A berukuran 4 x 4.

1. Baris ke dua matrik A dikalikan 3, maka matrik elementer yang sesuai adalah :

2. Baris ke dua dan ke tiga bertukar tempat, matrik elementer yang sesuai adalah :

3. Baris ke dua digantikan oleh baris kedua ditam- bah 10 kali baris ke tiga.

Bila kepada matrik A diperlakukan ke tiga macam operasi elementer sekaligus, maka matrik A menja-di matrik B, yang didapatkan dengan cara sbb:

B = E1 E2 E3 A

c.) Operasi pada Matriks

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij )

Contoh :

A= B= C= maka

A+B = + = =

3 14 2

0 21 3

3 14 2

0 21 3

3+0 1+24+1 2+3

3 35 5

1 0 21 0 5

A+C = +

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.

Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh :

A= B= maka

A-B = - = =

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a ij ) maka matriks kA=(kaij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Contoh :

A= maka 2A=

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB.

Contoh :

A= B= dengan k=2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

2(A+B) = 2 + = 2 =

2A+2B = 2 + 2 =

3 14 2

1 0 21 0 5

3 44 5

0 23 4

3 44 5

0 23 4

3-0 4-24-3 5-4

3 21 1

1 2 3 0 -1 5

2* 1 2*2 2* 32* 0 2*-1 2*5

0 12 -1

3 41 1

0 12 -1

3 41 1

3 53 0

6 106 0

0 12 -1

3 41 1

6 106 0

Perkalian Matriks dengan Skalar

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah

banyaknya baris matriks kedua.3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks

C=(cij ) berukuran mxn dimanacij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Contoh : 1) A= dan B= maka

A x B= * = =

2) A= dan B= maka

A x B = =

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C3. Tidak Komutatif, A*B B*A4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0(ii) A=0 atau B=0(iii) A0 dan B0

5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

2. TRANSPOSE MATRIKS

Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

(i) (A+B)T = AT + BT

(ii) (AT) = A(iii) k(AT) = (kA)T

(iv) (AB)T = BT AT

3. MATRIKS INVERS

3 2 1 3

1

0

3 2 13

1

0

(3*3) + (2*1) + (1*0) 11

3 2 1

1 2 1

3

1

0

(3*3) + (2*1) + (1*0)

(1*3) + (2*1) + (1*0)

11

5

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.

Jika dengan , maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:

Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

Contoh:

Tentukan invers dari matriks berikut!

4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

a. Metode Cramer

Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu system persamaan linier berbentuk Ax b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det (A) ≠ 0 . Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.

Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk Ax b dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) _ 0 sedangkan nilai x dan b adalah

maka penyelesaiaan untuk x yaitu

Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan vector b

Contoh:

Diketahui sistem persamaan linear berbentuk

a. Periksa apakah metod cramer dapat digunakanb. Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk ?

Jawab:

a.

Karena det (A) = -1 maka metode cramer dapat digunakan

b. A

Jadi nilai untuk x, y, z adalah

b. Eliminasi Gauss

c.

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6y + z = 3z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3y + 3 = 3y = 0x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

5. NILAI EIGEN

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan An n, maka vektor x ≠ 0 di Rn disebut vektor eigen (eigen vektor) dari

A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λx untuk suatu skalar λ.

Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

Ax = λx Ax = λIx

(λI – A)x = 0

(A - λI)x = 0

Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai

penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika: det (λ I – A) = 0

Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan

karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi

persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A.

Dengan kata lain, untuk menentukan nilai eigen suatu matriks, maka kita harus

menentukan dahulu persamaan karakteristiknya. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa

polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.

Dengan demikian jika An n, maka persamaan karakteristik dari matriks A

mempunyai derajat n dengan bentuk

det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0

Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik

tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode

Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran n n

paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda.

Berikut ini diberikan contoh-contoh soal yang berkaitan dengan nilai eigen dan

persamaan karakteristik suatu matriks.

Contoh

1. Matriks A = mempunyai vector eigen x = , karena Ax

merupakan kelipatan dari x, yaitu Ax = = = -1 = -x.

Dengan demikian λ = -1 adalah nilai eigen dari matriks A.

2. Tentukan nilai eigen .

Untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen, kita harus membentuk

persamaan karakteristik. Misal = A.

Persamaan karakteristik: det (I – A) = 0

det

det = 0

( + 3)( – 5)( + 2) – 6 – 42 – 6( – 5) + 6( + 3) + 7( + 2) = 0

3 – 12 – 46 = 0

( + 2)2(– 4) = 0

= -2; = 4

Jadi nilai eigen adalah -2 dan 4.

6. PENDIAGONAL MATRIKS

Asumsikan A berukuran n x n.1. Matriks A dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat matriks P sehingga

D = P-1AP; dimana D suatu matriks diagonal. Dalam hal ini matriks P disebut pendiagonal matriks A.

2. Misalkan v1, v2, …, vn adalah vektor-vektor eigen dari A yang bebas linear. Jika P = [v1, v2, …, vn] maka P akan mendiagonalkan A.

3. Jika A mempunyai n buah nilai eigen yang berbeda maka A dapat didiagonalkan.

4. Jika det(A) 6= 0 maka 0 bukan nilai eigen dari A.5. Jika nulitas(A) = r > 0 artinya 0 adalah salah satu nilai eigen

dari A dan dim(E0) = r.6. Jika A dapat didiagonalkan maka An juga dapat didiagonalkan.

Perhatikan bahwa Dn = P-1AnP