Bab 1

Bentuk Pangkat, Akar, dan LogaritmaSMKN 4 BANJARMASIN

1–1 BENTUK PANGKAT NEGATIF

Konsep pangkat bulat negatife dapat dipahami melalui konsep pangkat bulat

positif. Pangkat bulat negative merupakan cara ringkas untuk menuliskan

perkalian dari bilangan-bilangan yang sama.

Perkalian bilangan-bilangan yang sama disebut sebagai perkalian berulang.

Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan

notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen.

Sebagai contoh :

Perkalian berulang 2 x 2 x 2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan

berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23.

Jadi, 2 x 2 x 2 = 23.

Berdasarkan paparan di atas, bilangan pangkat bulat positif dapat

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Pangkat Bulat Positif

Bentuk an adalah bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a disebut

bilangan pokok atau basis dan n (bilangan asli > 1) disebut pangkat atau

eksponen.

1

Jika a adalah bilangan real ( a € R ) dan n adalah bilangan bulat positif

lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an) adalah perkalian n buah

bilangan a.

Difinisi ini dituliskan secara sederhana sebagai

an = a x a x a x . . . x a x a x a (perkalian n buah bilangan)

CONTOH 1

Dengan cara menuliskan dalam bentuk factor-faktornya, tunjukkan

bahwa

a) = 52 b) = a


Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi contoh di atas memperlhatkan

berlakunya sifat eksponen berikut.

dengan a € R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.

Sebagai ilustrasi, misalnya :

a3 : a5 = a3-5 = a-2

Definisi: Pangkat Bulat Positif

2

ap : aq = ap-q

Misalkan a€R dan a≠0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau

sebaliknya

CONTOH 2

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk pangkat bulat

positif.

a) 3-4 b)

Jawab:

a) 3-4 = b) = 4b6

jawab:

a) = b) =

= 5 x 5 = a

Jadi, = 25 Jadi, = a


Latihan 1

1. Hitunglah!

a) 3-2 b) c) (0,2)-4 d)

2. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bulat positif!

a) 2-6 b) c) d)

3. Tulislah bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif!

a) b) c) d)

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat!

a) b)

1–2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN

1-2-1 Bentuk Akar

Bilangan irasional dalam bentuk akar dapat pula kita jumpai dalam mencari akar-

akar dari sebuah persamaan kuadarat. Sebagai contoh, persamaan kuadrat x2 – 2 =

0 mempunyai penyelesaian x = - atau x = . Bilangan-bilangan - atau

merupakan contoh bilangan irasional dalam bentuk akar.

Beberapa contoh dari bilangan irasional dalam bentuk akar yang lain adalah

, dan lain sebagainya. Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita

dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Sekarang timbul pertanyaan, apakah dengan adanya tanda akar ( ) pada sebuah

bilangan akan menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar?

Jawabannya, tentu saja tidak. Sebab terdapat bilangan yang dituliskan dengan

tanda akar, tetapi hasilnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini adalah contoh

3

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya

merupakan bilangan irasional


beberapa bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, akan tetapi bukan

merupakan bentuk akar.

a) bukan bentuk akar, sebab = 3 (bilangan rasional)

b) bukan bentuk akar, sebab = 0,5 (bilangan rasional)

Latihan 2

1. Di antara bilangan-bilangan di bawah ini, manakah yang merupakan bentuk

akar? Jika bilangan itu bukan bentuk akar, berikan alasannya.

a) b) c) d) e) f)

2. Tentukan jawaban dari persamaan-persamaan berikut ini. Di antara jawaban

yang Anda peroleh itu, manakah yang merupakan bentuk akar dan manakah

yang bukan?

a) b) c)

d) e) c)

3. Panjang sisis siku-siku sebuah segitiga ABC adalah a dan b, sedangkan

panjang sisi miringnya adalah c. untuk segitiga ABC di bawah ini bilangan c

manakah yang merupakan bentuk akar?

a) a = 2, b = 4 b) a = 3, b = 1

c) a = 0,3; b = 0,4 d) a = 7, b = 24

4

CONTOH 3

Di antara bilangan-bilangan berikut ini, manakah yang merupakan

bentuk akar?

a) b)

Jawab:

a) , merupakan bentuk akar.

b) , bukan bentuk akar sebab = = 0,2.


Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.

Penyederhanaan itu dapat dilakukan denga cara menyatakan bilangan di bawah

tanda akar sebagai perkalian dua bilangan. Satu diantara bilangan itu harus dapat

dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Latihan 3

1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk akar yang paling

sederhana!

a) b) c)

d) e) f)

2. ABCD adalah persegi panjang dan BDE adalah segitiga siku-siku. Jika AB =

4 cm, AD = 2 cm, dan DE = 5 cm. hitunglah panjang BD dan Be dalam bentuk

akar yang paling sederhana.

3. Nyatakan bilangan-bilangan di bawah ini dalam bentuk akar yang paling

sederhana.

a) b) c)

5

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku

= x

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat

murni.

CONTOH 4

Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini.

a) b)

Jawab:

a) = = x = 6

b) = = x = 2a


4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rususk AB = 9 cm, AD = 6

cm, dan AE = 3 cm. Tentukan panjang diagonal sisi AC dan panjang diagonal

ruang AG dalam bentuk akar yang paling sederhana.

1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapt

dirumuskan sebagai berikut.

A. Perkalian Bentuk Akar

Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan sifat =

x dengan a dan b masing-masing bilangan positif. Sifat ini dapat pula

dipakai untuk menentukan hasil kali bilangan dalam bentuk akar.

B. Menarik Akar Kuadrat

6

Untuk setiap a,b,dan c bilangan rasional positif, maka berlaku

hubungan

a + b = ( a + b ) atau a - b = ( a - b )

CONTOH 5

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a) 3 + 5 - 2 b) 4 - +

Jawab:

a) 3 + 5 - 2 = (3 + 5 – 2) = 6

b) 4 - + = 4 - 2 + 3 = (4 – 2 + 3) =5

CONTOH 6

Sederhanakan perkalian-perkalian berikut ini.

a) x b) - )

Jawab:

a) x = = = 4

b) - ) = - = 8 - = 8 - 2


Jika a dan b merupakan bilangan-bilangan rasional positif, maka bentuk

dan dapat dituliskan sebagai ( + ) dan ( -

).

Latihan 4

1. Nyatakan penjumlahan dan pengurangan di bawah ini dalam bentuk akar yang

paling sederhana.

a) b) c)

2. Hitunglah tiap hasil kali bilangan-bilangan di bawah ini!

a) b) c)

3. Diketahui carilah!

a) b) c)

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk atau .

a) b) c)

5. Dengan cara mengkuadratkan bentuk , tunjukkan bahwa

1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

7

CONTOH 7

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk + atau - . a)

b)

Jawab:

a) =

= +

b) =

=

= -


A. Pecahan Berbentuk

Mengubah pecahan menjadi = 4 dinamakan merasionalkan

penyebut pecahan. Perhatikan bahwa dalam merasionalkan penyebut pecahan itu,

kita mengalikan dengan = 1. Dengan demikian, nilai pecahan ekuivalen

dengan atau 4 .

Dari uraian tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut.

8

Pecahan ( a bilangan rasional dan merupakan bentuk akar ), bagian

penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan itu

dengan , sehingga pecahan itu menjadi:

= x =

CONTOH 8

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini.

a) b)

Jawab:

a) = x = 2

b) = =

= x = 2


B. Pecahan Berbentuk atau

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-brntuk akar sekawan, penyebut

pecahan yan berbentuk atau dapat dirasionalkan dengan melakukan

manipulasi aljabar sebagai berikut.

9

untuk pecahan diubah menjadi

= x =

untuk pecahan diubah menjadi

= x =

CONTOH 9

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini

a) b)

Jawab:

a) = x = = -2(1-)

b) = x = = -(3+2)


C. Pecahan Berbentuk atau

Penyebut pecahan yang berbentuk dapat dirasionalkan dengan

menggunakan manipulasi aljabar berikut.

10

Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( - ),

menjadi:

=x=

Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( + ),

menjadi:=x=

CONTOH 10

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini.

a) b)

Jawab:

a) =x= =3( - ).b) =x==+).


Latihan 5

1. Nyatakan penyebut pecahan-pecahan berikut ini dalam bentuk akar yang

paling sederhana, kemudian rasionalkan pecahan-pecahan itu.

a) b)

2. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut ini.

a) b)

3. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dengan cm dan cm.

Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana.

1-2-3Pangkat Pecahan

Bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi

dengan m dan n bilangan bulat, a bilangan real, dan a ≠ 0.

A. Pangkat Pecahan

Berdasarkan proses penarikan akar, akar pangkat n dari suatu bilangan a dapat

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Akar Pangkat Bilangan

11

Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real

sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.

= =

CONTOH 11

Tentukan akar-akar pangkat berikut

a) b)

Jawab:

a) = = 3 b) = = -3


Hubungan dengan

Setelah konsep akar pangkat n dari bilangan a atau dipahami, sekarang akan

dicari hubungan dengan pangkat pecahan .

Definisi: Pangkat Pecahan

B. Pangkat Pecahan

Definisi: Pangkat Pecahan

12

Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka

pangkat pecahan sama dengan akar pangkat n dari bilangan a.

= , dengan catatan merupakan bilangan real.

Misalkan a bilangan real tidak nol, m bilangan bulat dan n bilangan asli ,

maka pangkat pecahan sama dengan akar pangkat n dari biangan am

ditulis:

= , dengan catatan merupakan bilangan real.

CONTOH 12

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bntuk .

a) b)

Jawab:

a) = b) = =


Latihan 6

1. Hitung nilai dari:

a) b) c)

2. Jika , hitung nilai dari f(81)!

3. Besar gaya Coulomb dua muatan Q dan q yang berjarak r, ditenyukan dengan

rumus:

Dengan k sebuah konstanta (tetapan). Tunjukkan bahwa .

1-3 SIFAT-SIFAT PANGKAT RASIONAL

Operasi aljabar pada bilangan berpangkat rasional memenuhi sifat-sifat tertentu.

Sifat-sifat tersebut daoat dikaji melalui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat

positif, yaitu sebagai berikut.

13

Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif maka:

a) d)

b) , dengan p>q e)

c) f)

CONTOH 12

Dengan memakai sifat-sifat diatas, sederhanakan bentuk-bentuk berikut

ini.

a) b)

Jawab:

a) = b)


Latihan 7

1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a) d)

b) e)

c) f)

2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam notasi baku.

a) d)

b) e)

c) f)

3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut!

a) b)

4. Jika x bilangan real yang tidak sama dengan 0 dan p = 1 serta berlaku

hubungan , hitunglah nilai p!

1-4 PENGERTIAN LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu

bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Definisi: Logaritma Bilangan

Ekspresi tersebut menunjukkan bahwa bilangan dalam bentuk pangkat dapat

diubah ke logaritma dan sebaliknya.

Sifat-sifat pokok logaritma.

14

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif

yang tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ).

a)

b)

c)


Latihan

Latihan 8

1. Nyatakan tiap bentuk pangkat berikut ini dengan menggunakan notasi

logaritma.

a) d)

b) e)

c) f)

2. Nyatakan tiap bentuk logaritma berikut ini ke dalam bentuk pangkat.

a) d)

b) e)

c) f)

3. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

a) d)

b) e)

c) f)

15

CONTOH 13

Nyatakan tiap bentuk eksponen dengan memakai notasi logaritma atau

sebaliknya.

a) 52 = 25 b)

Jawab:

52 = 25


1-5 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Sifat-sifat logaritma dapt dirangkum sebagai berikut

16

1. 5. a)

2. b)

3. c)

4. a) 6.

b)

CONTOH 14

a) Jika log p = a, log q = b, dan log r = c, nyatakan log dalam a, b, dan c.

b) sederhanakan:

Jawab:

a) log =

=

=

b) =

= 22 + 32 – 3

= 10


1-5-1 Logaritma Bilangan dari 10 atau Antara 0 dan 1

A. Logaritma Bilangan Lebih dari 10

Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan

menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritma itu dalam notasi baku

a x 10n dengan dan n bilangan bulat.

Langkah 2:

Gunakan sifat logaritma (sifat 1)

Langkah 3:

Oleh karena maka log a dapat dicari dari table logaritma. Nilai log a

yang diperoleh dari table logaritma tadi dijumlahkan dengan n. hasil

penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.

B. Logaritma Bilangan antara 0 dan 1

Nilai logaritma bilangan-bilangan antara 0 dan 1 dapat ditentukan dengan

menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan nilai

logaritma bilangan-bilangan yang lebih dari 10.

17

CONTOH 16

Carilah nilai dari log (0,000124)

Jawab:

log (0,000124) = log (1,24 x 10-4)

= log 1,24 + log 10-4

= log 1,24 -4 ; dari table logaritma diperoleh log 1,24 = 0,0934

Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4 = -3,9066

CONTOH 15

Carilah nilai logaritma dari log 67,5.

Jawab:

log 67,5 = log (6,75 x 101)

= log 6,75 + log 101

= log 6,75 + 1, dari table logaritma log 6,75 = 0,8293

= 0,8293 + 1 = 1,8293

Jadi, log 67,5 = 1,8293.


C. Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan

Pada bagian ini, kita akan mempelajari cara menentukan antilogaritma suatu

bilangan yang nilainya lebih dari 1 atau yang kurang dari 0.

1-5-2 Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan

A. Mengalikan dan Membagi Bilangan

Untuk memahami logaritma untuk untuk mengalikan dan mambagi bilangan-

bilangan, simaklah beberapa contoh berikut.

18

CONTOH 17

Tentukan bilangan yang logaritmanya 1,6.

Jawab:

Dari table logaritma diperoleh antilog 0,6 = 3,981.

Karena karakteristiknya 1 ( didapat dari log 101, maka bilangan itu

adalah 3,981 x 101 = 39,81.

Jadi, bilangan yang logaritmanya sama dengan 1,6 adalah 39,81

Jawab:

a) kita misalkan x = 4,321 x 6,517, maka:

log x = log (4,321 x 6,517)

log x = log 4,321 + log 6,517

log x = 0,6356 + 0,8140

log x = 1,4496

log x = 1 + 0,4496

log x = log 101 + log 2,816 (antilog 0,4496 = 2,816)

log x = log (101 x 2,816)

log x = log 28,16

x = 28,16

b) kita misalkan x = 0,7418 : 9,835, maka:

log x = log 0,7418 – log 9,835

log x = (0,8703 – 1) – 0,9928

log x = -0,1225 -1

log x = 0,8775 – 2

log x = log 7,542 + log 10-2

log x = log (7,542 x 10-2)

log x = log 0,07542

x = 0,07542

CONTOH 18

Dengan menggunakan logaritma hitunglah:

a) 4,321 x 6,517 b) 0,7418 : 9,835


B. Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan

Untuk memahami penggunaan logaritma untuk menghitung pemangkatan dan

penarikan akar suatu bilangan, simaklah beberapa contoh berikut.

19

Jawab:

a) misalkan x = (12,48)3

log x = log (12,48)3

log x = 3 x log 12,48

log x = 3 x (1,0962)

log x = 3,2886

log x = 3 + 0,2886

log x = log 103 + log 1,9436

log x = log (103 x 1,9436)

log x = log 1.943,6

x = 1.943,6

b) misalkan x = , maka:

log x = log

log x =

log x =

log x = 0,4513

log x = log 2,827

x = 2,87

CONTOH 19

Hitunglah.

a) (12,48)3 b)


Latihan 9

1. Sederhanakan!

a)

b)

c)

2. a) Jika p, q, r adalah bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukkan

bahwa .

b) Hitunglah nilai dari:

3. Carilah nilai x pada persamaan berikut:

LATIHAN SOAL BAB 1

Pilihlah jawaban yang tepat.

20


1. Nilai . . . .

a. 125 b. 9 c. 0,8 d. 0,008 e. 0,125

2. Nilai dari adalah . . . .

a. -1 b. c. d. e. 1

3. Bentuk sama nilainya dengan . . . .

a. 2 b. c. d. e.

4. Bentuk sederhana dari adalah . . . .

a. b. c. d. e.

5. . . . .

a. b. c. d. e.

6. Jika maka . . . .

a. b. c. d. e.

7. Jika x > 0, y > 0, maka . . . .

a. b. c. d. e.

8. Ditentukan nilai a = 9, b = 16, dan c = 36. Nilai adalah. . . .

a. 3 b. 1 c. 9 d. 12 e. 18

9. Diketahui dan . Nilai . . . .

a. b. c. d. .

e.

10. Jika dan , maka . . . .

21


a.36 b. 34 c. 32 d. 30 e. 28

11. Pecahan yang senilai dengan adalah. . . .

a. b. c. d. e.

12. Jika dan , maka nilai a + b = . . . .

a. b. 4 c. 1 d. -4 e.

13. Apabila dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi . .

a. b. c. d. e.

14. Jika , maka . . . .

a. b. c. d.

e.

15. Jika , maka . . . .

a. b. c. d. e.

16. Nilai dari . . . .

a. 10 b. 8 c. 5 d. 4 e. 2

17. Jika a > 1, b > 1, dan c > 1, maka: . . .

a. ¼ b. ½ c. 1 d. 2 e. 3

18. Jika , maka nilai . . . .

a. b. c. d.

e.

19. Diketahui log 2,25 = p. Nilai log 0,15 = . . . .

a. b. c. d. e.

22


20. Jika a >1, b > 1, dan c > 1, maka . . . .

a. b. c. d. e.

23

Bab 1

Documents

Transcript of Bab 1