Bab 1

Modul ResponsiTeori Peluang

BAB I ANALISA KOMBINATORIKAPercobaan adalah suatu proses yang menghasilkan data mentah. Jika sebuah mata uang dilantunkan berulang kali maka tidak dapat dipastikan pada lantunan tertentu akan menghasilkan muka. Akan tetapi seluruh kemungkinan yang terjadi dapat diketahui. Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut Ruang Sampel (S). Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Penghitungan jumlah titik sampel dalam ruang sampel atau suatu kejadian dapat mempergunakan analisa kombinatorika yang terdiri dari teori dasar (perkalian), permutasi dan kombinasi. Teori Dasar (Perkalian) Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan untuk setiap kedua operasi tersebut operasi ketga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1 n2 n3 . . . nk cara. Permutasi Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n! Banyaknya permutasi n benda yang berlainan bila diambil r sekaligus adalah n Pr = n! (n r )!

Banyaknya permutasi n benda yang berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua , . . . , nk bejenis k adalah n! n1!n 2 !...n k !

Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel kedua, . . . ,nk dalam sel ke k adalah n! n1!n 2 !...n k ! dengan n1 + n2 + n3 +. . .+ nk = n

1


Kombinasi Jumlah kombinasi dari n benda berlainan bila diambil sebanyak r adalah nCr = n! r!(n r )!

Contoh Soal 1. Suatu percobaan terdiri atas lantunan suatu mata uang dan kemudian mata uang tersebut dilantunkan untuk kedua kalinya bila muka yang muncul pada lantunan pertama. Bila belakang yang muncul pada lantunan pertama, maka sebuah dadu dilantunkan sekali. Pertanyaan : a. Berapa jumlah anggota S dan tuliskan anggota ruang sample S. b. Tuliskan anggota S yang berkaitan dengan kejadian A bahwa yang muncul bilangan yang lebih kecil dari 4 pada dadu. c. Tuliskan anggota S yang berkaitan dengan kejadian B bahwa belakang muncul dua kali. Jawaban : a. Percobaan ini terdiri dari 2 tahap. Tahap pertama yang muncul dua kemungkinan ( n1 = 2) yaitu M atau B. Jika muncul M dilantunkan uang sekali lagi ( n21 = 2) sehingga didapat 1 x 2 = 2 yaitu MM dan MB. Jika yang muncul B dilantunkan dadu( n22 = 6) { MM,MB,B1,B2,B3,B4,B5,B6 } b. S = { B1,B2,B3 } c. S = { } 2. Surat lamaran dua orang pria untuk jabatan di suatu perusahaan diletakkan dalam satu map yang sama dengan surat lamaran dua orang wanita. Ada dua jabatan yang lowong, yang pertama jabatan direktor dipilih secara acak dari keempat pelamar. Jabatan kedua, wakil direktor dipilih secara acak dari ketiga sisanya. Pertanyaan : a. Berapa anggota ruang contoh S. b. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian A bahwa lowongan direktor diisi oleh pelamar pria. c. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian B bahwa tepat satu dari lowongan diisi oleh pelamar pria. sehingga didapat 1x 6 = 6 yaitu B1,B2,B3,B4,B5,B6. Jumlah anggota S adalah 2+6=8. Daftar ruang contoh S =

2


d. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian C bahwa ada lowongan yang diisi oleh pelamar pria. Jawaban : a. Jabatan direktor dipilih satu dari empat pelamar, kemungkinanya ada 4C1. Jabatan wakil direktor dipilih satu dari tiga pelamar, kemungkinanya ada 3C1. Dengan menggunakan teori perkalian banyaknya anggota ruang contoh S = 4C1 x 3C1 = 4 x 3 = 12 b. Jabatan direktor diisi pria, kemungkinanya ada 2C1. Jabatan wakil direktor dipilih satu dari tiga pelamar (bebas pria atau wanita), kemungkinanya ada 3C1. Dengan menggunakan teori perkalian banyaknya anggota kejadian A = 2C1 x 3C1 = 2x3=6 c. Ada dua kemungkinan jabatan untuk direktur dan wakilnya. Pertama jabatan direktor diisi pria, kemungkinanya ada 2C1. dan jabatan wakil direktor dipilih dari wanita kemungkinanya ada 2C1. Dengan menggunakan teori perkalian banyaknya anggota kemungkinan pertama = 2C1 x 2C1 = 4. Kedua jabatan direktor diisi wanita, kemungkinanya ada 2C1. dan jabatan wakil direktor dipilih satu pria kemungkinanya ada 2C1..

Dengan menggunakan teori perkalian

banyaknya anggota kemungkinan pertama = 2C1 x 2C1 = 4. Jadi anggota dari kejadian A adalah kemungkian pertama ditambah kemungkinan kedua = 4 + 4 =8 d. Ada tiga kemungkinan jabatan untuk direktur dan wakilnya. Pertama jabatan direktor diisi pria, kemungkinanya ada 2C1. dan jabatan wakil direktor dipilih satu pria kemungkinanya ada 1C1..


banyaknya anggota kemungkinan pertama = 2C1 x 1C1 = 2. Kedua jabatan direktor diisi pria, kemungkinanya ada 2C1. dan jabatan wakil direktor dipilih dari wanita kemungkinanya ada 2C1. Dengan menggunakan teori perkalian banyaknya anggota kemungkinan pertama = 2C1 x 2C1 = 4. Ketiga jabatan direktor diisi wanita, kemungkinanya ada 2C1. dan jabatan wakil direktor dipilih satu pria kemungkinanya ada 2C1..


banyaknya anggota kemungkinan pertama = 2C1 x 2C1 = 4. Jadi anggota dari kejadian B adalah kemungkian pertama ditambah kemungkinan kedua dan ketiga = 2 + 4 + 4 = 10 Soal-soal Latihan 3


1. Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaiannya dengan sabun merek X. a. Tuliskan anggota ruang contoh S dengan menggunakan huruf Y untuk ya dan T untuk tidak b. Tuliskan anggota ruang contoh S yang berkaitan dengan kejadian E bahwa paling sedikit dua wanita menggunakan sabun X. c. Tentukan kejadian yang beranggotakan titik { YYY, TYT, YYT,TYT } 2. Empat murid dipilih secara acak dari statu kelas dan dikelompokkan atas pria atau wanita. Tuliskan anggota ruang contoh S1 dengan menggunakan huruf P untuk pria dan W untuk wanita. Tentukan ruang contoh S2 yang anggotanya menyatakan jumlah wanita yang terpilih. 3. Surat lamaran dua orang pria untuk jabatan di suatu perusahaan diletakkan dalam statu map yang sama dengan surat lamaran dua orang wanita. Ada dua jabatan yang lowong, yang pertama jabatan direktor dipilih secara acak dari keempat pelamar. Jabatan kedua, wakil direktor dipilih secara acak dari ketiga sisanya. a. Tuliskan anggota ruang sampel S. b. Tuliskan anggota S yang berkaitan dengan kejadian A bahwa lowongan direktor diisi oleh pelamar pria. c. Tuliskan anggota S yang berkaitan dengan kejadian B bahwa tepat satu dari lowongan diisi oleh pelamar pria. d. Tuliskan anggota S yang berkaitan dengan kejadian C bahwa ada lowongan yang diisi oleh pelamar pria. e. Buatlah diagram Venn yang memperlihatkan hubungan antara kejadian A, B, C dan S. 4. Surat lamaran dua orang pria untuk jabatan di suatu perusahaan diletakkan dalam statu map yang sama dengan surat lamaran dua orang wanita. Ada dua jabatan yang lowong, yang pertama jabatan direktor dipilih secara acak dari keempat pelamar. Jabatan kedua, wakil direktor dipilih secara acak dari ketiga sisanya. Pertanyaan : a. Berapa anggota ruang contoh S. b. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian A bahwa lowongan direktor diisi oleh pelamar pria. c. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian B bahwa tepat satu dari lowongan diisi oleh pelamar pria.

4


d. Berapa anggota S yang berkaitan dengan kejadian C bahwa ada lowongan yang diisi oleh pelamar pria. 5. Lima orang hendak antri naik bus dengan satu pintu. a. Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk bus yang terdiri dari lima orang. b. Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara antrian yang dapat terjadi. 6. Disediakan angka 0,1,2,3,4,5. Pertanyaan : a. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka (digit) dapat dibentuk bila tiap angka hanya boleh dipergunakan satu kali. b. Berapa banyak dari padanya (a) yang merupakan bilangan ganjil. c. Berapa banyak yang lebih besar dari 330. 7. Dengan berapa carakah empat pria dan tiga wanita dapat duduk dalam satu baris bila pria dan wanita harus duduk berselingan. 8. Sembilan orang pecinta lingkungan hidup pergi ke gunung Bromo dengan tiga mobil, masing masing dapat membawa 2,4 dan 5 penumpang. Berapa carakah dapat dibuat untuk membawa kesembilan orang tersebut ke gunung. 9. Dari kelompok yang terdiri dari lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggota tiga orang dapat dibuat : a. tanpa pembatasan. b. dengan dua pria dan seorang wanita. c. dengan seorang pria dan dua wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia.

5


BAB II PELUANG DAN HUKUMNYAPeluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah P(A) = n/N. Peluang suatu kejadian mempunyai sifat 0 P(A) 1, P() = 0, dan P(S) = 1. Untuk menghitung peluang suatu kejadian dapat melalui beberapa peluang kejadian yang lain dengan mengikuti beberapa hukum (aturan) Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB) Bila A1, A2, A3, ,An suatu kejadian sembarang, maka P(A1 UA2 UA3 UAn) =

n

i =1

P ( Ai ) i1 i 2 P( Ai1 Ai 2 ) +... + (1) r +1 i1 i 2 ... ir P ( Ai1 Ai 2 ... Air ) + ... + (1) n +1 P (A1 A2 ... An )

Bila A dan B kejadian terpisah (mutually exclusive), maka P(AUB) = P(A) + P(B) Bila A1, A2, A3, ,An saling terpisah, maka P(A1 UA2 UA3 UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + +P(An) Bila A dan A kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A) = 1 P(A)

Contoh soal 1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluang lulus biologi 4/9. Bila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5, berapakah peluang lulus kedua mata kuliah. Jawab Bila M menyatakan kejadian lulus matetatika dan B kejadian lulus biologi, maka P(MUB) = P(M) + P(B) P(MB) = 2/3 + 4/9 4/5 = 14/45 2. Suatu mata uang setangkup dilantunkan berturut-turut sebanyak 6 kali. Berapa peluangnya paling sedikit sekali muncul muka.

6


Jawab Ruang sampel dari enam kali lantunan mata uang 26 = 64 titik sampel. Dari enam kali lantunan mata uang tersebut akan menghasilkan nol muka sampai dengan enam muka. Perhitungan dengan menggunakan komplemen lebih praktis dari pada menghitung jumlah dari peluang satu muka sampai dengan enam muka. Bila E menyatakan kejadian tidak ada (0) muka yang muncul, P(E) = 1/64. Misalkan E menyatakan kejadian paling sedikit sekali muncul muka, maka P(E) = 1 1/64 = 63/64. Soal-soal Latihan. 1. Misalkan k bilangan bulat positif. Misalkan X1, X2, ..., Xk sampel berukuran k, dipilih secara acak satu demi satu dengan pengembalian, dari populasi angka 0,1,2,...,9. Misalkan A kejadian tidak ada nol maupun 1 yang muncul dalam sampel dan B kejadian satu tidak muncul tapi 2 muncul. Hitunglah ; a. P(A) b. P(B) c. P(AUB) 2. Dalam suatu kelas terdiri dari 20 mahasiswa. Berapa peluang paling sedikit dua mahasiswa mempunyai hari ulang tahun yang sama. 3. Misalkan bulan kelahiran dipilih secara bebas dan acak dari himpunan 12 kemungkinan bulan. Berapa peluang dalam kelompok 10 mahasiswa tepat 3 yang sama bulan lahirnya, yang berbeda dengan bulan kelahiran 7 lainnya (semuanya berlainan bulan kelahirannya). 4. Bila dua kendaraan luar angkasa (misalnya, satu dari AS dan satu dari Rusia) mencoba mendarat di Mars. Berapa peluang tepat satu yang berhasil? (rumusan yang tepat dari modelnya merupakan bagian soal ini) 5. Bila ketiga tombol pada kunci kombinasi tekan, tombol ditekan dalam urutan acak. Berapa peluang bahwa urutan penekanan ini benar untuk membuka kunci? (anggap bahwa tiap tombol hanya ditekan tepat sekali, dan suatu permutasi tertentu akan membuka kunci tersebut) 6. Bila n orang termasuk Ali dan Badu, ditempatkan secara acak pada suatu baris, berapa peluang terdapat tepat r orang dalam barisan diantara Ali dan Badu . 7. SLTA Negeri VIII Malang mencalonkan muritnya ke ITS dan UB. Ia mengira bahwa peluang diterima di ITS 0.7 sedang di UB peluang akan ditolak 0.5 dan

7


peluang paling sedikit satu perguruan tinggi akan ditolak 0.6. Berapa peluang dia akan diterima paling sedikit satu dari perguruan tinggi. 8. Pada semester tambahan ada dua mata kuliah yang diberikan yaitu Peluang dan Stat. Mat. Biro pendidikan dapat laporan bahwa 20% peserta Peluang tidak lulus, 30% peserta Stat. Mat. tidak lulus dan 8% tidak lulus keduanya. Pertanyaan : a. Berapa % yang tidak lulus Peluang? b. Diantara yang tidak lulus Peluang, Berapa % yang tidak lulus Stat Mat ? c. Diantara yang tidak lulus StatMat, Berapa % yang tidak lulus Peluang ? 9. Komputer disuruh menghasilkan dua bilangan acak n1 dan n2 berurutan. Hasil (n1, n2) dapat digambarkan di bujur sangkar (1x1). Jika setiap titik mempunyai peluang sama, hitunglah peluang berikut: a. P(n1 < n2) c. P(n1 + n2 1/2)

10. Suatu mata uang yang mempunyai diameter 2 cm dijatuhkan ke papan catur (yang dianggap tak terhingga luasnya). Setiap bujur sangkar papan catur berukuran (4x4) cm. Hitunglah peluang berikut ini : a. Mata uang tepat dalam satu luasan bujur sangkar? b. Mata uang berpotongan dengan satu garis? c. Mata uang berpotongan dengan dua garis? 11. Lima orang terdiri dari 2 wanita dan 3 pria ditempatkan secara acak mengelilingi meja bundar. Hitunglah peluang dua wanita duduk berdampingan . 12. Dalam dus terdiri dari 10 pasang kaos kaki yang terdiri dari 4 warna putih, 2 hitam, 2 coklat dan 2 biru. Pertanyaan : a. Jika diambil secara acak 2 kaos kaki, hitunglah peluang bahwa kedua kaos kaki berwarna sama. b. Jika diambil secara acak 4 kaos kaki, hitunglah peluang bahwa 4 kaos kaki terdiri dari 2 pasang kaos kaki. c. Hitunglah peluang 4 kaos kaki berlainan warna.

8


BAB III KEJADIAN BERSYARATPeluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat. Peluang bersyarat B dengan diketahui A, dinyatakan dengan P(B/A), dinyatakan oleh P ( B / A) = P( A B) P ( A) , bila P(A) > 0

Bila dalam suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, dapat terjadi, maka P(A1 A2 A3 ) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2) ... Jika P(B/A) = P(B), maka kejadian A dan B dikatakan bebas. Kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika : P(AB) = P(A) P(B) Aturan Bayes Misalkan { B1 B2 B3 Bn } suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang sample S dengan P(Bi) 0 untuk i = 1,2,,n. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) 0. Maka untuk k = 1,2,,n, P ( Bk / A) = P ( Bk A) P ( Bk ) P ( A / Bk )

P( Bi =1

n

=

k

A)

P( B ) P( A / B )i =1 i i

n

Contoh soal 1. Suatu pabrik mempunyai empat mesin yang menghasilkan barang yang sama. Mesin 1 dan 2 masing-masing menghasilkan 20% dari seluruh hasil produksi, sedangkan mesin 3 dan 4 lebih besar masing-masing menghasilkan 30% dari seluruh hasil produksi. Diketahui bahwa 6% dari hasil mesin 1 cacat, mesin 2 menghasilkan 5% barang yang cacat, sedangkan mesin 3 dan 4 menghasilkan 8% barang yang cacat. Suatu barang dipilih secara acak dari hasil produksi pabrik. Pertanyaan : a. Berapa peluang barang tersebut cacat. b. Misalkan barang yang dipilih di pertanyaan a cacat, berapa peluangnya barang itu dihasilkan mesin 2. Jawab : a. Misalkan A kejadian bahwa barang yang terpilih cacat dan Bi kejadian bahwa barang yang terpilih dihasilkan mesin i (i=1,2,3,4).

9


P ( A) = P ( A / Bi ) P ( Bi )i =1

4

= 0.06 x 0.02 + 0.05 x 0.02 + 0.08 x 0.30 +0.08 x 0.30 = 0.07 Dengan menggunakan aturan Bayes P ( B2 / A) = P ( A / B2 ) P ( B2 ) 0.05 0.20 1 = = P ( A) 0.07 7

Soal-soal Latihan. 1. Suatu dadu persegi enam yang setangkup dilantunkan dua kali. Berapa peluang bersyarat bahwa keduanya menunjukkan bilangan genap, bila diketahui jumlahnya 8? 2. Suatu kantong berisi uang logam. Uang pertama dua mukanya(kedua permukaannya sama betul). Uang kedua baik, sedangkan yang ketiga tidak setangkup(bias) dengan peluang mendapatkan belakang p. Sekeping uang diambil secara acak dari kantong kemudian dilantunkan. Pertanyaan : a. Berapa peluang menghasilkan muka b. Misalkan hasil lantunan belakang. Hitung peluang bersyarat bahwa keping yang terambil bias. 3. Agen yang menyewakan mobil cukup banyak. Di suatu kota ada 3 agen A,B dan C. Agen A mempunyai peluang 0.1, agen B mempunyai peluang 0.08, dan agen c mempunyai peluang 0.125 menyewakan pada langgananya mobil yang tak aman. Suatu mobil dipilih secara acak dan mobil yang disewa darinya ternyata tak aman. Berapa peluang bersyarat bahwa mobil berasal dari agen B? 4. Seorang pengusaha perumahan mempunyai delapan kunci induk untuk membuka beberapa rumah baru. Suatu rumah hanya akan dapat dibuka dengan satu kunci induk tertentu. Bila 40% dari rumah biasanya tak terbunci, berapa peluang pengusaha tersebut dapat masuk ke sebuah rumah tertentu bila dia mengambil tiga kunci induk secara acak sebelum meninggalkan kantornya. 5. Seorang manajer mempunyai dua mobil, satu sedan Toyota Camry dan satu lagi Toyota Kijang. Untuk bekerja dia menggunakan sedan 75% dan Kijang 25%. Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba di rumah pukul 17.30 kira-kira 75% , sedangka bila menggunakan Kijang dia tiba di rumah pukul 17.30 kira-kira 60% ( tapi dia merasa tenang memakai Kijang karena tidak khawatir diserempet mobil lain). Bila dia tiba di rumah pukul 17.35, berapakah peluang dia memekai sedan? 10


6. Si Alam telam tinggal di suatu kota beberapa tahun menganggap peluang a priori cuaca pada suatu hari akan buruk 0.2( dia mengira peluang cuaca akan baik 0.8). Si Alam pada pagi hari mendengarkan ramalan cuaca dari radio. Peramal membuat tiga ramalan: cuaca baik, buruk dan tidak pasti. Si Alam telah membuat perkiraan peluang bagi ramalan cuaca yang berbeda seperti yang ditujukan tabel berikut Keadaan cuaca Baik buruk baik 0.7 0.3 buruk 0.2 0.6 Tidak pasti 0.1 0.1

Anggaplah Si Alam mendengar peramal meramal cuaca baik, berapa peluang posteriori cuaca baik. 7. Siti anak perempuan dari keluarga dengan 3anak. Hitunglah peluang kejadian berikut: a. Siti punya adik perempuan b. Siti punya kakak laki-laki c. Siti punya adik perempuan dan kakak laki-laki 8. Seorang penjahat akan dihukum mati, tetapi eksekusi akan dihapus jika dilakukan permainan penarikan satu bola dan muncul bola putih. Dalam permainan tadi tersedia 3 dos dan 5 bola putih, 5 bola merah . Bagaimana cara meletakkan bolabola ke dalam dos supaya peluang munculnya bola putih maksimal?

11


12

Bab 1

Documents

Transcript of Bab 1