ASSALAMU’ALAIKUMWR.WB

kaidah pencacahan, permutasi dan

kombinasi

By :Weni kusumaningrum

a410090260

STANDAR KOMPETENSI

KOMPETENSI DASAR

INDIKATOR

Memecahkan konsep dengan teori peluang

Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah

KAIDAH PENCACAHAN

NOTASI FAKTORIAL

KOMBINASI

PERMUTASI

SOAL LATIHAN

Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

Kaidah pencacahan

pengertian

Contoh soal

suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan

tertentu.

penyelesaian

Jawab:

Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:

Langkah 1:

Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.

Langkah 2:

Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.

Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi

Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :

Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi.n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dannk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi.Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah

n1 x n2 x n3 x … x nk.

Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.

Definisi dan Notasi faktorial

Definisi:Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu

sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.

jadi n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

Masalah Permutasi

Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

Pengertian:Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan

Contoh soal:

ObyekEksp.

A

B

C

Cara Eksp.

Diundi untuk

memperebutkan 2 hadiah

A

B

C

B…

C…

A…

C…

A…

B…

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

S, n(S) =

3 cara

2 cara

32P

Menurut prinsip perkalian

= 3×2 =

1

123 )!23(

!3

nrP

)!rn(

!n

=

32P

32PBanyaknya cara: n(S) =

= 3×2 = 6 = ==

Penyelesaian :

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

Contoh soal

Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.

penyelesaian

Jika semua anggota diberi indeks

MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM

Ada 6 cara

M1 A 1 M2 A2

M2 A2 M1 A1

M1 A2 M2 A1

M2 A1 M1 A2

Banyak huruf = 4, banyak M =2, banyak A = 2

P = 62

12

1.2

3.4

!2!.2

!2.3.4

!2!.2

!4

Rumus umumBanyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus :

!!.!.

!

mlk

np

Permutasi Siklis

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

A

C B

C

B A

B

A C

Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).

Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = )!1( npsiklis

Permutasi berulang

Contoh soal

penyelesaian

Rumus umum

berapa banyak kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama

Jika kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia

boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:

dengan r nnp r

berulang)(

KOMBINASIRumus umum

contoh soal

penyelesaian

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur ditulis n

adalahccc rnrn

n

ratau

)(,,

!)!.(

!

rrn

ncrn

Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemainputri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:a. ganda putrab. ganda putri

a.Karena banyaknya pemain putra ada10 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

b. Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya cara

ada:

carac 452

90

!8.1.2

!8.9.10

!8!2

!10

)!210(!2

!10210

carac 282

56

!6.1.2

!6.7.8

!6!.2

!8

)!28!.(2

!828

Soal latihan

1. Tentukan banyaknya cara untuk menentukan 5 orang pemain cadangan dari 16 orang anggota kesebelasan sepak bola

2. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah?

3. Bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda, disusun dari angka 4, 5, 6, 7, 8. Tentukan banyak bilangan dengan angka – angka yang berlainan dan kurang dari 500.

penyelesaian

1. Banyak anggota = 16 orang, banyak pemain cadangan = 5 orang

C(16,5) =

2. Banyaknya jabat tangan dari 15 orang adalah C(15,2)

3. Karena bilangan kurang dari 500, maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu 4. angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh 5,6 7, 8.memilih 2 angka dari 4 angka.

Jadi ada 12 cara untuk membuat bilangan kurang dari 500

4368120

524160

!5!.11

!11.12.13.14.15.16

!5!.11

!16

!5)!.516(

!16

1051.2

14.15

!13!.2

!13.14.15

!13!2

!15)2,15( c

12!2

!2.3.4

!2

!4

)!24(

!4)2,4(

P

SekianN

Terima kasih

WASSALAMU’ALAIKUMWR.WB