April 2012 · Rumus Turunan Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam...

Galeri Soal

Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

www.matikzone.wordpress.com

April 2012

Semoga sedikit contoh soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika khususnya Bab Turunan. Kami mengusahakan agar soal-soal yang kami bahas sevariasi mungkin, sehingga manfaatnya bisa lebih maksimal. Untuk soal latihan, kami belum bisa mencoba semuanya. Untuk itu jika ada yang ingin menambah, memberikan saran dan koreksinya akan kami terima dengan senang hati.

Galeri Soal TURUNAN

Email : [email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only) Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…


Soal-soal Turunan dan Penyelesaiannya

Definisi

Turunan dari fungsi )(xfy = adalah dxdf

dxdy

xfy === )('' ( 'y dibaca ”y aksen”, dst),

didefinisikan sebagai: h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

−+=

→

Soal-soal:

a). 6=y

00lim0

lim66

lim)()(

lim'0000

===−

=−+

=→→→→ hhhh hhh

xfhxfy

b). xy 2=

22lim2

lim222

lim2)(2

lim)()(

lim'00000

===−+

=−+

=−+

=→→→→→ hhhhh h

hh

xhxh

xhxh

xfhxfy

c). 23xy =

( )

( )xxhx

hhxh

hxhxhx

hxhxhx

hxhx

hxfhxf

y

hhh

hhh

60.3636lim36

lim3363

lim

323lim

3)(3lim

)()(lim'

00

222

0

222

0

22

00

=+=+=+

=−++

=

−++=

−+=

−+=

→→→

→→→

d). 3xy =

( )

( ) ( )222

22

0

22

0

322

0

33223

0

33

00

300.33

33lim33

lim33

lim

33lim

)(lim

)()(lim'

xxx

hxhxh

hxhxhh

hxhhxh

xhxhhxxh

xhxh

xfhxfy

hhh

hhh

=++=

++=++

=++

=

−+++=

−+=

−+=

→→→

→→→

e). xy =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) xxxxx

xhxxhxhh

xhxhxhx

xhxxhx

hxhx

hxhx

hxfhxf

y

hhh

hhh

211

01

1limlimlim

limlim)()(

lim'

000

000

=+

=++

=

++=

++=

++−+

=

++++

⋅−+

=−+

=−+

=

→→→

→→→


f). xxy 52 −=

( )( ) ( )

( )

( ) 5205252lim52

lim

5552lim

55)(lim

)()(lim'

0

2

0

222

0

22

00

−=+−=+−=−+

=

+−−−++=

−−+−+=

−+=

→→

→

→→

xxhxh

hhxhh

xxhxhxhxh

xxhxhxh

xfhxfy

hh

h

hh

Rumus Turunan

Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam variabel x , berlaku:

Soal-Soal:

a. 0'9 =⇒= yy

b. 22.1.2'2 011 ===⇒= − xxyxy

c. 3144 12.4.3'3 xxyxy ==⇒= −

d. 3 2

32

32

131

31

3 11.

31

.3'33xx

xxyxyxy ====⇒⋅=⇒⋅=−−

e. 2

152

15.

23

.5'5..55 21

123

23

21 x

xxyxxxyxxy ===⇒==⇒⋅=−

f. xxxx

xxyxx

yx

y.2

5

.2

5

.2

525

.21

.5'555

323

23

121

21

21

−=−=−=−=−=⇒==⇒=−−−−

g. 42151213523 5126.5.1.2.6.3.2'62 xxxxxxyxxxy −+=−+=⇒−+= −−−

Turunan Fungsi Trigonometri xy sin= xy cos' =⇒ axy sin= axay cos' =⇒ xy cos= xy sin' −=⇒ axy cos= axay sin' −=⇒ xy tan= xy 2sec' =⇒ axy tan= axay 2sec' =⇒ uy sin= uuy cos'' =⇒ uy cos= uuy sin'' −=⇒ uy tan= uuy 2sec'' =⇒

Sifat –sifat: vuy ±= ''' vuy ±=⇒

vuy ⋅= ''' uvvuy +=⇒

vu

y = 2

'''

vuvvu

y−

=⇒

nuy = '' 1 unuy n ⋅=⇒ − )(xafy = )('' xafy =⇒

Rumus Turunan cy = 0' =⇒ y

naxy = 1' −=⇒ nanxy

Lainnya:

0,log >= xxy a ex

y a log1

' ⋅=⇒

uy a log= euu

y a log'

' ⋅=⇒

uey = ueuy '' =⇒

vay = vaavy ⋅⋅=⇒ ln''

xy ln= x

y1

' =⇒

uy ln= uu

y'

' =⇒


h. ( )( )523 26 xxxxy −+=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )42352

45223

5262123'''

52'2,123',6

xxxxxxxuvvuy

xvmakaxxvdanxxuxxu

−++−+=+=

−=−=+=+=⇒

( ) ( )

2367

62736273

368428

301252122436

xxxx

xxxxxxxx

++−−=

−+−+−+−=

i. 2

3

53

xxx

y+

=

( ) ( )( ) ( )

( ) 4

4242

22

322

2

223

2510301515

5

10.35.33'''

10',533',3

xxxxx

x

xxxxxv

uvvuy

xvxvdanxuxxu

−−+=

+−+=

−=⇒

==+=+=⇒

( )( ) 2

2

22

22

4

24

53

5535

25155

xx

xxxx

xxx −

=−

=−

=

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

j. ( )24sin xy = xuxu 8',4 2 ==⇒

( )24cos.8cos'' xxuuy ==⇒

k. ( )323 24cos xxy +=

( )( ) ( )( )( )232322 6824sin24cos3' xxxxxxy ++−+=⇒

( ) ( ) ( )322322 24cos24sin683 xxxxxx +++−=

l. xey 2= 2',2 ==⇒ uxu xu eeuy 2.2'.' ==⇒

m. ( ) ( ) 23',22ln 233 +=+=⇒+= xuxxuxxy

xx

xuu

y223'

'3

2

++

==

n. ( ) ( ) 66',6262log 2333 −=−=⇒−= xuxxuxxy

exx

xe

xxx

euu

y a log333

log6266

log.'

' 33

23

3

2

−−

=

−−

==

Aturan Rantai

Jika ( )ufy = fungsi dari u yang dapat diturunkan, ( )xgu = fungsi dari x yang dapat

diturunkan, serta ( )( )xgfy = fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka

( )( ) ( )( ) ( )xgxgfxgfdxd

y ''' ⋅== atau dxdu

dudy

dxdy

⋅=


Soal-soal:

a. ( ) ⇒+=32 52 xxy misal xxu 52 2 += maka 3uy = sehingga diperoleh 23u

dudy

= dan

54 += xdxdu

. Kita dapatkan ( ) ( ) ( )5452354.3'222 ++=+=⋅== xxxxu

dxdu

dudy

dxdy

y

b. ( )⇒+= xxy 52sin 24 misal ( ) 42 52sin uyxxu =⇒+= ,dan vuxxv sin52 2 =⇒+= .

Kita peroleh 34ududy

= , vdvdu

cos= , dan 54 += xdxdv

. Akhirnya kita peroleh:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xxxxx

xxxxxxvudxdv

dvdu

dudy

dxdy

y

52cos52sin544

5452cos52sin454cos4'

223

2323

+++=

+⋅+⋅+=+⋅⋅=⋅⋅==

Persamaan Garis Singgung Kurva

Gradien garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah ( )1' xfm gs = . Maka

persamaan garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah:

( )( ) ( )111

11

' xxxfyy

xxmyy gs

−⋅=−⇒

−=−

Soal-soal:

a. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) xxxfy 35 2 −== di titik (2, 14).

Jawab: ( ) 310' −= xxf maka ( ) 1732032102' =−=−⋅=f jadi ( ) 172' == fm gs .

Persamaan garis singgung kurva adalah ( ) ( )2171411 −=−⇒−=− xyxxmyy gs

2017

143417341714

−=⇒+−=⇒−=−⇒

xyxy

xy

b. Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva ( ) 133 2 +−== xxxfy yang

bergradien 15.

Jawab: * ( ) ( ) 36'133 2 −=⇒+−= xxfxxxf

* ( ) 318631563615' 11111 =⇒=⇒+=⇒−⋅=⇒= xxxxxfm gs

* ( ) ( ) 19192713333 211 =+−=+⋅−== xfy

Jadi, titik singgungnya ( )19,3T

c. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 322 −+= xxxf yang sejajar garis

52 +−= xy

Jawab: * Garis 52 +−= xy memiliki gradien 2−=m , karena sejajar 2−== mm gs

* ( ) 22)('322 +=⇒−+= xxfxxxf


* 242222)(' 1111 −=⇒−=⇒+=−⇒= xxxxfm gs

* ( ) ( ) ( ) 33443222 211 −=−−=−−+−== xfy

* Titik singgungnya ( )3,2 −−T

* Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−

( ) ( )( )( )

72423223

223

−−=⇒−−=+⇒+−=+⇒

−−−=−−⇒

xyxyxyxy

d. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 242 +−= xxxf yang tegak lurus garis

062 =+− yx

Jawab: * Garis 062 =+− yx memiliki gradien 21

=m , karena tegak lurus 1−=⋅ mm gs

maka 22

111

−=−=−=m

m gs

* ( ) 42)('242 −=⇒+−= xxfxxxf

* 122422)(' 1111 =⇒=⇒−=−⇒= xxxxfm gs

* ( ) 124121.41211 −=+−=+−== xfy

* Titik singgungnya ( )1,1−T

* Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−

( ) ( )

12221121

+−=⇒+−=+⇒−−=−−⇒

xyxyxy

Dalil L’Hopital

Jika ( )( )xgxf

y = dimana ( )( ) 0

0lim =

→ xgxf

ax atau

( )( ) ∞

∞=

∞→ xgxf

xlim (bentuk tak tentu) maka

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

axax ''

limlim→→

= dan ( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xx ''

limlim∞→∞→

= .

Apabila masih diperoleh bentuk tak tentu, maka masing-masing pembilang dan penyebut

diturunkan kembali.

Soal-soal:

a). 00

42

lim22

=−

−→ x

xx

BTT, maka 41

221

21

lim4

2lim

222=

⋅==

−−

→→ xxx

xx


b). 00

42

lim42

23

0=

−−

→ xxxx

xBTT, mk 2

24

0240

48246

lim162

43lim

42

lim203

2

042

23

0−=−=

−−

=−

−=

−−

=−−

→→→ xx

xxxx

xxxx

xxx

c). 00

2432

lim2

=−+

+∞→ xx

xx

BTT, maka 02

422

lim24

32lim

2=

∞=

+=

−++

∞→∞→ xxxx

xx

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

a). ( ) 0' >xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi naik pada selang ( )ba,

b). ( ) 0' <xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi turun pada selang ( )ba,

c). ( ) 0' =xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi konstan pada selang ( )ba,

Soal-soal:

a). ( ) ( ) 0'9 =⇒= xfxf , maka ( ) 9=xf adalah fungsi konstan untuk setiap nilai x.

b). Tentukan interval dimana ( )xf naik dan ( )xf turun dari fungsi ( ) 1032 −+= xxxf

Jawab: * ( ) ( ) 32'1032 +=⇒−+= xxfxxxf

* ( )xf naik jika ( ) 0' >xf maka 23

32032 −>⇒−>⇒>+ xxx

Jadi ( )xf naik pada interval 23

−>x

* ( )xf turun jika ( ) 0' <xf maka 23

32032 −<⇒−<⇒<+ xxx

Jadi ( )xf turun pada interval 23

−<x

Ilustrasi Grafik

Titik Stasioner

Jika fungsi f mempunyai turunan pada selang I yang memuat c. Jika ( ) 0' =cf , maka

( )( )cfcT , adalah titik stasioner dari fungsi f.

a). Jika ( ) 0'' >cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Minimum relatif dari fungsi f.

b). Jika ( ) 0'' <cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Maksimum relatif dari fungsi f.

c). Jika ( ) 0'' =cf maka ( )( )cfcT , titik Belok Grafik fungsi f.

Diturunkan 2x

23

−

( ) 0' <xf ( ) 0' >xf


Dimana ( )xf ' adalah turunan pertama ( )xf dan ( )xf '' trurunan kedua dari ( )xf

Soal-soal:

1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi ( ) xxxxf 1292 23 +−=

Jawab: Diketahui ( ) xxxxf 1292 23 +−= maka ( ) 12186' 2 +−= xxxf

( ) ( )( ) ( )( )216'

236' 2

−−=+−=

xxxfxxxf

Titik stasioner diperoleh jika ( ) 0' =xf ( )( ) 0216 =−−⇒ xx diperoleh 11 =x dan 22 =x

Untuk 11 =x ( ) 512921.121.91.2 231 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )5,1(1T

Untuk 22 =x ( ) 42436162.122.92.2 232 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )4,2(2T

Dengan Turunan Kedua:

( ) ( ) 1812''12186' 2 −=⇒+−= xxfxxxf

Untuk 11 =x ( ) 06181.121'' <−=−=⇒ f maka )5,1(1T adalah Titik Balik Maksimum.

Untuk 22 =x ( ) 06182.122'' >=−=⇒ f maka )4,2(2T adalah Titik Balik Minimum.

Dengan Diagram Grafik:

Uji nilai:

Untuk x < 1 pilih x = 0 maka ( ) 012120.180.60' 2 >=+−=f , ( )xf Naik

Untuk 1<x< 2 pilih x = 23 maka ( ) ( ) 0

21

11223.182

3.623'

2<−=+−=f , ( )xf Turun

Untuk x > 2 pilih x = 3 maka ( ) 012123.183.63' 2 >=+−=f , ( )xf Naik

1 2

+ – + Sehingga:

)5,1(1T Titik Balik Maksimum. )4,2(2T Titik Balik Minimum.

c1 c2 c3 c4

f(c1) f(c2) f(c4) f(c3)

T (c1, f(c1)) titik balik maksimum T (c2, f(c2)) titik belok T (c3, f(c3)) titik balik minimum T (c4, f(c4)) titik belok


2. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki titik stasioner (1, -1) tentukan nilai a dan b.

Jawab:

( ) ( ) bxaxxfbxaxxf 23' 223 +=⇒+=

Syarat stasioner ( ) 0230' 2 =+⇒= bxaxxf , untuk x = 1 maka

02301.21.3 2 =+⇒=+ baba

Titik stasioner (1, -1) maka ( ) 111.1.1 23 −−=⇒+=−⇒+= abbabaf

Subtitusi 1−−= ab ke 023 =+ ba

( )312

202230123−=−−=⇒

=⇒=−−⇒=−−+⇒baaaaa

Jadi a = 2 dan b = - 3

Nilai Stasioner

Jika ( )( )cfcT , adalah titik stasioner grafik fungsi f, maka ( )cf adalah nilai stasioner di titik

cx =

Soal-soal:

Dari soal di atas, )5,1(1T Titik Balik Maksimum. Nilai stasioner di titik x = 1 adalah 5.

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Untuk mencari Nilai Maksimum dan Nilai Minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup

[ ]ba, dapat dilakukan dengan cara:

a). Menentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval tersebut.

b). Menentukan nilai fungsi ( )af dan ( )bf

c). Menyelidiki nilai maksimum (terbesar) dan minimum (terkecil) pada poin a). dan b).

Soal-soal:

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi ( ) xxxxf 36152 23 +−= dalam interval

51 ≤≤ x

Jawab:

a. Nilai stasioner f diperoleh jika ( ) 0' =xf

( ) ( ) ( )( ) 0326036306'36152 223 =−−⋅⇒=+−=⇒+−= xxxxxfxxxxf

2=x atau 3=x


Terdapat dua titik stasioner pada interval 51 ≤≤ x

Untuk 2=x maka ( ) 282.362.152.22 23 =+−=f

Untuk 3=x maka ( ) 273.363.153.23 23 =+−=f

b. Menentukan nilai ( )1f dan ( )5f

( ) 231.361.151.21 23 =+−=f dan ( ) 555.365.155.25 23 =+−=f

c. Dari nilai-nilai tersebut dapat kita lihat bahwa nilai maksimumnya adalah 55 dan nilai

minimumnya adalah 23.

Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari

Kebun Pak Subur berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 60 meter. Jika panjangnya x

meter dan lebarnya y meter, tentukan:

a. Persamaan yang menyatakan hubungan antara x dan y

b. Ukuran kebun Pak Subur agar luasnya maksimum.

Jawab:

a. Keliling ABCD = 2 (x + y)

xyyx

yx

−=⇔=+⇔

+=⇔

3030

)(260

Jelaslah bahwa y > 0 untuk 300 ≤≤ x

Jadi xy −= 30 dengan 300 ≤≤ x

b. yxL ⋅=

( )( ) 230

30

xxxL

xx

−=

−=

Harus dicari nilai maksimum L.

( ) xxLxxxL 230)('30 2 −=⇒−=

Nilai stasioner L didapat jika 0)(' =xL . Jadi 1502300)(' =⇒=−⇒= xxxL

Dengan menguji nilai )(' xL menggunakan garis bilangan, diperoleh

y x

D C A B

++ --

15


Untuk x = 15 terdapat nilai balik maksimum. ( ) 2252254501515.3015 2 =−=−=L

Nilai L pada ujung-ujung interval 150 ≤≤ x adalah ( ) 22515 =L dan ( ) 00 =L

Jadi, Luas maksimumnya adalah 225 2m , jika segi empat tersebut berbentuk persegi, dengan

lebar = panjang = 15 m.

Kecepatan dan Percepatan

Jika suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, maka berlaku dtds

v = dan dtdv

a = , dimana:

v = kecepatan pada t detik ( )sm

s = panjang lintasan dalam t detik ( )m

a = percepatan pada t detik ( )2sm

Soal-soal:

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan s meter pada waktu t

detik, didefinisikan dengan persamaan 3125 tts −+= .

a. Tentukan rumus kecepatan saat t detik.

b. Tentukan t jika kecepatan sesaatnya nol.

c. Tentukan percepatan benda pada saat t detik.

d. Hitunglah jarak dan kecepatan sesaat jika percepatannya nol.

Jawab: 3125 tts −+=

a. Kecepatan sesaat = 2312 tdtds

−=

b. Kecepatan sesaat = ( )( ) 2022040312 22 ±=⇒=+−⇔=−⇔=− ttttt detik

Jadi, kecepatan sesaatnya nol setelah 2 detik.

c. Percepatan (a) = tdt

sddtds

dtd

dtdv

62

2

−==

= (turunan kedua dari s terhadap t)

d. 0606 =⇔−=⇔−= ttta detik

Jarak 500.125125 33 =−+=−+= tts meter

Kecepatan sesaat = dtmtv 120.312312 22 =−=−=

Menggambar Kurva (Grafik)

Untuk menggambar grafik fungsi yang dapat didefferensialkan adalah dengan menentukan:

a). Titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y.

b). Titik stasioner dan nilai ekstrimnya.

c). Garis penunjuk arah kurva.


Soal-soal:

Gambarlah kurva dari fungsi ( ) 82 2 −= xxf .

Jawab:

a. ( ) 82 2 −== xxfy memotong sumbu x jika y = 0 ( )( ) 0222082 2 =+−⇒=−⇒ xxx

diperoleh 2±=x . Jadi )0,2(1 −T dan )0,2(2T

( ) 82 2 −== xxfy memotong sumbu y jika x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y . Jadi )8,0(3 −T

b. ( ) xxfxxf 4)('82 2 =⇒−=

Titik stasioner diperoleh jika 0)(' =xf sehingga diperoleh 004 =⇒= xx

Untuk x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y . Jadi titi stasionernya adalah )8,0( −T

c. Bentuk grafik

xxf 4)(' =

Uji titik: Untuk x = – 1 maka ( ) 414)1(' −=−=−f < 0 Grafik Turun

Untuk x = 1 maka ( ) 414)1(' ==f > 0 Grafik Naik

d. Sketsa Grafik

-- ++ 0

– 2 2 – 8

x

y


Catatan:

a. m dan h dua garis yang sejajar maka hg mm =

b. m dan h dua garis yang saling tegak lurus maka 1−=⋅ hg mm

c. Persamaan garis adalah cmxy += (gradien m) atau 0=++ cbyax (gradien m = ba

− )

d. Persamaan garis lurus melalui satu titik ( )11 , yx dengan gradien m adalah ( )11 xxmyy −=−


Soal-soal Latihan Turunan

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut

menggunakan definisi

hxfhxf

xfh

)()(lim)('

0

−+=

→

1. ( ) 3−=xf

2. ( ) 9−=xf

3. ( ) 11=xf

4. ( ) 50=xf

5. ( )645

=xf

6. ( ) xxf 18=

7. ( ) xxf 10−=

8. ( ) xxf 2=

9. ( ) xxf21

=

10. ( ) xxf 15=

11. ( ) 25xxf =

12. ( ) 25xxf −=

13. ( ) 220xxf =

14. ( ) 2

25

xxf =

15. ( ) 34xxf =

16. ( ) 310xxf −=

17. ( ) 37xxf −=

18. ( ) 3

31

xxf =

19. ( ) xxf 6=

20. ( ) xxf 2−=

21. ( ) 25 += xxf

22. ( ) 52 −= xxf

23. ( )x

xf1

=

24. ( )x

xxf1

+=

25. ( ) xxxf 22 +=

Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut

dengan menggunakan rumus:

26. ( ) 2xxf =

27. ( ) 24xxf =

28. ( ) xxf 9=

29. ( ) xxf 11−=

30. ( ) xxf51

=

31. ( ) 2

65

xxf −=

32. ( ) 106xxf −=

33. ( ) 75xxf =

34. ( )x

xxf

75=

35. ( )3 22

12

xxxf

−=

36. ( )3

5xxx

xf =

37. ( ) xxxf 35=

38. ( ) 3

32

xx

xf +=

39. ( ) 25 3xxxf −=

40. ( )x

xxf2

−=

41. ( ) xxxf 65 2 −=

42. ( ) 35 294 xxxxf −+=

43. ( ) 1023 3 −+= xxxf

44. ( ) 86 345 xxxf +−=

45. ( ) 31

23

21

24−

−+= xxxxg


46. ( ) xxxxg −+=−− 2

12 23

47. ( )x

xxg2

12 +=

48. ( )72

87xx

xg +=

49. ( ) 321

31 23 +−= xxxg

50. ( )2

331

4

+= xxxg

51. ( ) ( )( )3522 +−= xxxxg

52. ( ) ( )( )3223 +−= xxxg

53. ( ) ( )( )5413 +−= xxxg

54. ( ) ( )52 2 += xxxg

55. ( ) ( )( )2333 4287 xxxxxg +−+= −−

56. ( ) ( )( )1433 22 +−+= xxxxxg

57. ( ) ( )32 −= xxxxg

58. ( ) ( )123 2 +⋅= xxxg

59. ( ) ( )( )1

2−+

=xx

xg

60. ( ) ( )( )1

23

2

−−

=x

xxxg

61. ( )x

xxg

6583

−+

=

62. ( )5

132

2

+−+

=x

xxxg

63. ( )75

534 2

−−−

=x

xxxg

64. ( )734

5

23

−−

=x

xxxg

65. ( )xx

xg−+

=11

66. ( )x

xxg

−=

12 2

67. ( )3

2

332

xxx

xg−

+=

68. ( )32

5

xxx

xg−

=

69. ( )x

xxg

−+

=5

15

70. ( )xxx

xg+

−=

4

21

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di

bawah ini:

71. ( ) ( )42 5xxxf −=

72. ( ) ( )432 −= xxf

73. ( ) ( )514 += xxf

74. ( ) ( )336 xxf −=

75. ( ) ( )62 16 +−= xxxf

76. ( ) ( )632 43 xxxf +−=

77. ( ) ( )72 1054 −+= xxxf

78. ( ) ( ) 253 −+= xxf

79. ( ) ( ) 322−

−= xxxf

80. ( ) ( ) 52 76−

−+= xxxf

81. ( ) ( ) 723 42−

+−= xxxxf

82. ( )( )252

4−

=x

xf

83. ( )( )334

5x

xg−

=

84. ( )( )52 253

9

+−

−=

xxxg

85. ( ) xxxg 42 +=

86. ( ) xxxxg −+= 34 4

87. ( ) ( )52 4+= xxg

88. ( ) 3 261 xxg −=

89. ( ) 3 2874 xxxg −+=

90. ( ) ( )3 24 xxg −=

91. ( ) ( )3 22 143 −+= xxxg

92. ( ) ( )5 21−= xxg


93. ( )26

1

xxg

−=

94. ( )xx

xg25

82 +

=

95. ( )3 33

7

xxg

−=

96. ( )( )3 22 2

2

xxxg

−=

97. ( )3 32351

10

xxxxg

−+−=

98. ( )8

1215

−+

=xx

xg

99. ( )9

531

+−

=x

xxg

100. ( )4

11 −

+−

=x

xxg

101. ( )5

2

2

1

−

+

=x

xxg

102. ( ) ( ) ( )53 134 ++= xxxg

103. ( ) ( ) ( )54 321 +−= xxxg

104. ( ) ( ) ( )44 652 +−= − xxxg

105. ( )2

32

2

+

+=

x

xxg

106. ( )( )32

2

4

2

xx

xxg

+

−=

107. ( ) ( ) 21

2 6−

+= xxxg

108. ( ) ( )31

243 xxg −=

109. ( )3

2 1

+=

xxxg

110. ( )3

2

14

−=

xxxg

Tentukan rumus turunan dari fungsi

berikut:

111. ( ) xxh sin2=

112. ( ) xxh sin8−=

113. ( ) xxh 5sin=

114. ( ) xxh cos5=

115. ( ) xxh cos9−=

116. ( ) xxh 8cos=

117. ( ) xxh tan3=

118. ( ) xxh tan4−=

119. ( ) xxh 7tan=

120. ( ) xxf sec=

121. ( ) xxf seccos=

122. ( ) xxf cot=

123. ( ) ( )3sin −= xxh

124. ( ) ( )xxxh 2sin 2 +=

125. ( ) ( )xxxxh +−= 23 32sin

126. ( ) ( )223 3sin xxxh −=

127. ( ) ( )323sin xxxh −=

128. ( ) ( )5cos += xxh

129. ( ) ( )xxxh 3cos 3 +=

130. ( ) ( )xxxxh 235cos 23 −+=

131. ( ) ( )32 52cos xxxh +=

132. ( ) ( )423cos xxxh −=

133. ( ) ( )xxh −= 5tan

134. ( ) ( )xxxh += 3tan

135. ( ) ( )xxxxh 235tan 23 −−=

136. ( ) ( )22 52tan xxxh +=

137. ( ) ( )42 23tan xxxh −=

138. ( ) xxxf cossin −=

139. ( ) xxxf 2cos5sin +=

140. ( ) xxxf 5tan5cos −=

141. ( ) xxxf 2sin3tan2 −=

142. ( ) xxxf 6sin4 2 +=

143. ( ) xxxf sin=

144. ( ) xxxf sin2=


145. ( ) ( ) xxxf tan25 +=

146. ( ) ( ) xxxxf 3cos52 −=

147. ( ) xxxf cossin=

148. ( ) xxxf 3cos3sin=

149. ( ) ( )53tan2sin −= xxxf

150. ( ) ( ) ( )53tan42cos −−= xxxf

151. ( ) ( ) xxxxf 2cos43sin 2 ⋅−=

152. ( ) ( ) ( )23sin3sin 2 −⋅−= xxxxf

153. ( )xx

xf+

=1sin

154. ( )x

xxf

cos

2

=

155. ( )xx

xfcossin

=

156. ( )xx

xfsincos

=

157. ( )xxxx

xfsincossincos

−+

=

158. ( )xxxx

xfsincoscossin

+−

=

159. ( )x

xxf

cos3sin+

=

160. ( )x

xxf

sin42 +

=

161. ( )xx

xxf

cossincos

+=

162. ( )( )32 3

cos

xx

xxf

+=

163. ( )xx

xftan2tan2

−+

=

164. ( )xx

xxf

sin1 2+

=

165. ( )x

xxf

cos21sin

−=

166. ( )x

xxf

3cos2sin

=

167. ( ) ( )xxg cossin=

168. ( ) ( )xxg sincos=

169. ( ) xxg 3sin=

170. ( ) xxg 4cos5=

171. ( ) xxg 2tan3 5=

172. ( ) ( )24 2sin3 xxxg −−=

173. ( ) ( )xxg cossin4 3=

174. ( ) ( )xxg 5sincos4 3−=

175. ( ) ( )( )25 2coscos7 xxxg −=

Soal-soal persamaan garis singgung kurva.

Tentukan gradien dan persamaan garis yang

menyinggung kurva berikut pada titik yang

telah ditentukan.

176. ( ) 132 ++= xxxf di titik (1, 5)

177. ( ) 352 2 +−= xxxf di titik (2, 1)

178. ( ) 23 ++= xxxf di titik (–1, 0)

179. ( )x

xf4

= di titik (1, 4)

180. ( ) 2xxf = di titik (3, 9)

181. ( ) xxf = di titik (4, 2)

182. ( ) ( )( )23 2 +−= xxxf di titik (1, –6)

183. ( ) 21 xxf −= di titik (2, 0)

184. ( ) 543 23 −−= xxxf di titik (2, 3)

185. ( ) 542 −−= xxxf di titik (-2, 7)

186. ( ) 3 5 xxf −= di titik (-3, 2)

187. l. ( )x

xf8

−= di titik (4, -4)

188. ( ) 72 −= xxf di titik (3, 2)

189. ( ) ( )( )2

53x

xxxf

−+= di titik (5, 0)

190. ( ) 164 2 −= xxf di titik (-2, 0)

Tentukan gradien dan persamaan garis

singgung kurva-kurva berikut:

191. ( ) 32 −= xxf di x = 1

192. ( ) 23 2 −= xxf di x = 3


193. ( ) ( )( )43 +−= xxxf di x = -1

194. ( ) ( )( )132 +−= xxxf di x = 0

195. ( )x

xf1

1 −= di x = 3

196. ( ) 473 −+= xxxf di x = -3

197. ( )x

xf1

= di x = 3

198. ( ) 321 2 +−= xxf di x = -2

199. ( )322 −= xxf di x = 1

200. ( ) xxf 3= di x = 9

Tentukan gradien dan persamaan garis

singgung kurva-kurva berikut:

201. 3xy = di titik berordinat 8.

202. 552 ++= xxy di titik berordinat –1.

203. 2

4x

y = di titik berordinat 4

204. 21 xy −= di titik berordinat –15

205. 23xy = di titik berordinat 12

206. xy = di titik berordinat 3

207. ( ) 452 ++= xxxf , di titik berabsis –3.

208. xxy 52 −= di titik berabsis 5.

209. 533 +−= xxy di titik berabsis 1.

210. 3210 xy −= di titik berabsis 2.

211. 232 +−= xxy di titik berabsis 2.

Tentukan persamaan garis singgung kurva:

212. ( ) 232 2 +−= xxxf dengan m = 5

213. ( ) 433 2 ++= xxxf dengan m = -3

214. ( ) 23 23 ++−= xxxxf dengan m = -2

215. ( ) 24 ++= xxxf dengan m = -3

216. ( ) 32 +−= xxxf dengan m = 1

217. ( ) 2235 xxxf −+= dengan m = -3

218. ( ) ( )( )11 +−= xxxf dengan m = 2

219. ( ) ( )( )53 −+= xxxf dengan m = 0

220. ( ) 23 xxxf += dengan m = 1

221. ( ) 17331 23 +++= xxxxf , m = -1

222. ( ) 3xxf = , dengan m = -1

223. ( )3

1x

xf = , dengan m = -3

224. ( )2

1x

xf = , dengan m = 1/4

225. ( )x

xf1

1 −= , dengan m = 4

226. ( ) 321 2 +−= xxf yang sejajar garis

0462 =+− yx

227. ( ) xxxxf 1021

31 23 −−= yang sejajar garis

xy 2=

228. ( ) xxxf 32 −= yang sejajar garis

72 += xy

229. ( ) 32 2 += xxf yang sejajar garis

038 =+− yx

230. ( ) xxxf 43 2 −= yang sejajar garis

032 =+− yx

231. ( )x

xf4

= yang sejajar garis 5+−= xy

232. ( ) 23 xxxf −−= yang sejajar garis

5+−= xy

233. ( )x

xxf8

21 2 += yang sejajar sumbu x.

234. ( ) 652 +−= xxxf yang sejajar garis

53 −= xy .

235. ( ) 132 2 +−= xxxf yang sejajar sumbu x.

236. ( ) 132 2 +−= xxxf yang tegak lurus

trehadap garis xy =


237. ( ) 34 −= xxf yang tegak lurus garis

0112 =−+ yx

238. ( ) 24 xxxf −= yang tegak lurus garis

421

+−= xy

239. ( ) 556 23 ++−= xxxxf yang tegak

lurus garis 014 =+− yx

240. ( ) xxxf 64 −= yang tegak lurus garis

062 =+− yx

241. ( ) ( ) 31

67 −−= xxf yang tegak lurus garis

02748 =+− yx

242. ( )2

12

xxxf −= yang tegak lurus garis

931

−−= xy


garis 24 =+ xy

244. ( ) 3186 23 ++−= xxxxf yang tegak

lurus garis 029 =++ xy


garis 032 =++ xy

246. ( ) 622 +−= xxxf yang tegak lurus

garis 023 =+− yx

Soal-soal Lainnya:

247. Garis yang menyinggung kurva

( ) 6483 23 −+−= xxxxf di titik (2, -2)

juga menyinggung kurva ( ) xxxf 22 −=

di titik P. Tentukan koordinat titik P!

248. Garis yang menyinggung kurva

( ) 4xxf = di titik (1, 1) juga

menyinggung kurva ( ) kxxxf ++= 22

di titik P. Tentukan koordinat titik P dan

nilai k.

249. Tentukan nilai k jika garis 56 += xy

menyinggung kurva ( ) kxxxf ++= 22 .

250. Tentukan nilai k jika garis kxy += 2

menyinggung kurva

( ) 453 23 −++= xxxxf .

251. Kurva ( ) 23 3xxxf −= memotong sumbu

Y positif di titik P. Tentukan persamaan

garis yang menyinggung kurva

( ) 23 3xxxf −= di titik P.

252. Kurva ( ) 222 ++= xxxf memotong

sumbu Y di titik P. Tentukan persamaan

garis yang menyinggung kurva

( ) 222 ++= xxxf di titik P.

253. Kurva ( ) 322 −−= xxxf memotong

sumbu X positif di titik P. Tentukan

persamaan garis yang menyinggung kurva

( ) 322 −−= xxxf di titik P.

254. Kurva ( ) xxb

axf

+= melalui titik

P(4, 8), gradien garis singgung di P adalah

2. Tentukan a dan b.

255. Garis k tegaklurus garis 033 =+− xy dan

menyinggung kurva ( ) 132 2 −+= xxxf di

Q. Tentukan titik Q.

256. Jika titik P mempunyai absis dan ordinat

sama, maka tentukan gradien garis

singgung kurva ( ) 2

21

xxf = di P.

257. Garis singgung titik Q pada kurva

( ) 72 2 +−= xxxf sejajar garis

012 =+− yx . Tentukanlah koordinat titik

Q.

258. Tentukan nilai a dan b, jika garis singgung

kurva bxaxy += 2 melalui titik (1, 5) dan

bergradien 8.


259. Tentukan persamaan garis singgung

kurva 2xy = yang sejajar dengan garis

yang me-motong kurva tersebut di x = -1

dan x = 4.

260. Suatu kurva mempunyai persamaan

qpxxy ++= 2 dengan p dan q konstan.

Jika garis xy 2= menyinggung kurva di

titik (4, 2), tentukanlah nilai p dan q.

261. Buktikanlah bahwa gradien garis

singgung kurva 1126 23 ++−= xxxy

tidak pernah negatif. Tentukanlah titik-

titik pada kurva tersebut sehingga garis

singgung di titik itu mempunyai gradien

nol.

262. Tunjukkan bahwa kedua garis singgung

kurva 3xy = pada titik dengan x = 1 dan

pada titik dengan x = -1 adalah sejajar.

Tentukan koordinat titik-titik potong

kedua garis singgung itu dengan sumbu

X dan sumbu Y.

263. Buktikan bahwa tidak ada garis yang

melalui titik (1, 2) merupakan garis

singgung kurva 24 xy −= .

264. Kurva ( )( )( )432 −−−= xxxy

memotong sumbu X di titik-titik P(2,0),

Q(3,0) dan R(4,0). Buktikan bahwa

gradien pada P dan R sama, dan tentukan

persamaan garis singgung di titik Q.

265. Tentukan koordinat suatu titik pada

kurva 2126 23 ++−= xxxy yang

gradiennya sama dengan gradien garis

04 =− yx .

266. Garis singgung di A pada

1642 −+= xxy sejajar garis

23 =− yx . Tentukan koordinat titik A.

267. Jika garis singgung kurva xy 62 = di

titik P membentuk sudut 045 dengan

sumbu X positif, tentukan koordinat titik

P.

268. Tentukan persamaan garis singgung

terhadap kurva fungsi ( ) xxxxf 223 −+=

pada titik yang absisnya merupakan titik

potong kurva dengan sumbu X.

269. Tentukan persamaan garis singgung kurva

1683 23 +−−= xxxy yang membuat

sudut 045 terhadap sumbu X positif.

270. Tentukan titik-titik singgung pada kurva

432 2 −+= xxy dan persamaan garis

singgung kurva tersebut, sehingga garis

singgung kurva di titik itu membentuk

sudut 0135 dengan sumbu X positif.

271. Tentukan persamaan garis singgung kurva

di titik

21

,6π

K pada kurva ( ) xxf sin= .

272. Tunjukkan bahwa tidak ada garis yang

melalui titik (1, 2) merupakan garis

singgung kurva 24 xy −=

Tentukan interval fungsi naik dan fungsi

turun dari fungsi-fungsi berikut:

273. ( ) 2xxf =

274. ( ) 23xxf =

275. ( ) 3 2xxf =

276. ( ) xxxf 62 +=

277. ( ) 2xxxf −=

278. ( ) 223 xxxf −=

279. ( ) 33 xxxf −=

280. ( ) xxxf 123 2 +=

281. ( ) 542 +−= xxxf

282. ( ) 23 −= xxf

283. ( ) 23 3xxxf −=

284. ( ) 83 23 +−= xxxf


285. ( ) xxxxf 1292 23 +−=

286. ( ) 4331 23 +−−= xxxxf

287. ( ) 5122 +−= xxxf

288. ( ) ( )22−= xxf

289. ( ) ( )242 += xxf

290. ( ) ( )23−= xxxf

291. ( ) ( )32−= xxxf

292. ( ) ( )( )2971 2 −+−= xxxxf

293. ( ) xxxxf 621

31 23 −−=

294. ( ) 53 23 ++= xxxf

295. ( ) xxxxf 2492 23 −+=

296. ( ) xxxxf 156 23 −+=

297. ( ) 193 23 −−+= xxxxf

298. ( ) 321 xxxxf −−+=

299. ( ) 1033 23 −+−= xxxxf

300. ( ) 34 43 xxxf −=

301. ( ) xxxf 44 +=

302. ( ) 234 44 xxxxf +−=

303. ( ) 630152 345 −+−= xxxxf

304. ( )x

xf1

=

305. ( ) 12 −+= xxxf

306. ( ) 1,1

−≠+

= xx

xxf

307. ( )x

xxf

2122

−−

=

308. ( )92 +

=x

xxf

309. ( )42

2

+=

xx

xf

310. ( )( )22

6−

=x

xf

311. ( ) π20;sin ≤≤= xxxf

312. ( ) π20;sincos ≤≤+= xxxxf

Untuk setiap fungsi berikut, nyatakan

apakah fungsinya naik atau turun.

313. ( ) 112 2 −= xxf pada x = 3

314. ( ) 32 2xxxf −= pada x = –1

315. ( ) 94 36 ++= xxxf pada x = 1

Lainnya:

316. Tunjukkan secara aljabar bahwa fungsi

( ) 1033 23 −+−= xxxxf tidak pernah

turun.

317. Tunjukkan bahwa grafik fungsi

( ) xxxxf ++= 23

31

tidak pernah turun.


( ) 326152 xxxxf −+−= selalu turun.


( ) xxxxf ++= 35

32

51

selalu naik.

320. Tunjukkan secara aljabar bahwa fungsi

( ) xxxxf 232 23 −+−= selalu turun.


( ) 563 23 ++−= xxxxf selalu naik untuk

semua x bilangan real.

322. Tunjukkan bahwa fungsi ( ) xxxf sin+=

tidak pernah turun.

323. Tunjukkan bahwa fungsi

( ) xxxf sin3 +−= selalu turun.


( ) xxxf cos2 += selalu naik untuk semua

x bilangan real.

325. Jika ( ) 623 +++= pxpxxxf selalu naik

untuk setiap nilai x, maka tentukan nilai p.

326. Jika ( ) 842 23 −++−= xpxpxxf selalu

turun untuk setiap nilai x, maka tentukan

nilai p.


327. Jika grafik fungsi

( ) cbxaxxxf +++= 23 hanya turun

pada interval 35 ≤≤− x , maka nilai a +

b = ....

Nilai Maksimum dan Minimum

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

fungsi- fungsi berikut untuk interval yang

diberikan:

328. ( ) 22xxf = pada 22 ≤≤− x .

329. ( ) 162 −= xxf pd 22 ≤≤− x .

330. ( ) 322 −−= xxxf pada 42 ≤≤ x .

331. ( ) 362 +−= xxxf pada 21 ≤≤− x .

332. ( ) 6126 23 −+−= xxxxf pd 30 ≤≤ x .

333. ( ) 23 6xxxxf −−= pada 31 ≤≤− x .

334. ( ) xxxxf 36152 23 +−= pd 51 ≤≤ x .

335. ( ) ( )xxxf −= 6 pada 24 ≤≤− x .

336. ( ) ( )( )52 −+= xxxf pada 42 ≤≤ x .

337. ( ) 2100 xxf −= pada 86 ≤≤− x

338. ( ) ( )31−= xxf pada 41 ≤≤− x .

339. ( ) 63 24 −+= xxxf pd 42 ≤≤− x .

340. ( ) 242 xxxf −= pd 43 ≤≤− x .

341. ( ) xxxf cossin += pd ππ 22 ≤≤− x .

Titik Stasioner.

Carilah titik balik dan jenisnya dari fungsi-

fungsi berikut:

342. ( ) 22xxf −=

343. ( ) 5xxf =

344. ( ) 652 −+= xxxf

345. ( ) 322 +−= xxxf

346. ( ) 355 +−= xxxf

347. ( ) ( )xxxf −= 43

348. ( ) 34 4xxxf −=

349. ( ) ( )41−= xxf

350. ( ) ( )( )51 −+= xxxf

351. ( ) ( ) ( )43 23 +−= xxxf

352. ( ) ( ) ( )( )321 2 −−−= xxxxf

353. ( ) 0;162 ≠+= xx

xxf

354. ( )43 +

=x

xxf

355. ( )x

xxf

12 +=

356. ( )11

2

2

+−

=xx

xf

357. ( ) xxxf −+= 1

358. ( ) 263 24 +−= xxxf

359. ( ) 5432 23 −−−= xxxxf

360. ( ) 32 421243 xxxxf −−+=

361. ( ) 162

112

41 234 +−+−= xxxxxf

362. ( ) 3625

31 23 ++−= xxxxf

363. ( ) 2223

31 23 ++−= xxxxf

364. ( ) 1292 23 +−= xxxf

365. ( ) 433 23 ++−= xxxxf

Soal lainnya:

366. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki titik

stasioner (1, -1). Tentukan nilai a dan b.

367. Jika absis stasioner dari

( ) 123 −−−= pxpxxxf adalah x = p,

tentukan nilai p yang mungkin!

368. Diketahui ( ) axxxf +−= 42 mempunyai

ekstrim -6. Tentukan jenis ekstrim dari

fungsi ( ) 122 +−= axaxxf .


Aplikasi Turunan, Nilai Maksimum/

Minimum, Nilai Stasioner.

369. Tinggi silinder adalah dua kali jari- jari

alasnya. Jika jari-jarinya berkurang

dengan laju 0,1 cm/s, laju perubahan

volume dari silinder ketika jari-jarinya 5

cm adalah....

370. Jumlah dua bilangan adalah 18.

Tentukan kedua bilangan itu agar

menghasilkan perkalian yang terbesar.

371. Jumlah dua bilangan adalah 16.

Tentukan kedua bilangan itu agar

menghasilkan perkalian yang terbesar.

372. Jumlah dua bilangan positif sama

dengan 10. Tentukan kedua bilangan itu

agar menghasilkan perkalian yang

terbesar.

373. Tentukan dua bilangan yang hasil

kalinya 12 dan jumlah kuadratnya

minimal.

374. Jumlah dua bilangan asli adalah 150.

Tentukan hasil kali terbesar antara

bilangan yang satu dengan kuadrat

bilangan yang lainnya.

375. Jika x dan y merupakan bilangan positif

yang jumlahnya 48, tentukan nilai 2xy

agar maksimum.

376. Jika x dan y merupakan bilangan positif

yang jumlahnya 36, tentukan nilai yx 2

terbesar dan terkecil.

377. Jika a dan b bilangan real sedemikian

sehingga jumlahnya 8, tentukan nilai 33 ba + terbesar dan terkecil.

378. Luas permukaan kotak tanpa tutup

dengan alas persegi adalah 108 2cm .

Tentukan ukuran-ukuran kotak agar

volumnya maksimum.

379. Sebuah perusahaan akan membuat

kontainer tertutup yang berbentuk balok

yang alasnya persegi dengan volum 2.000 3m . Tentukan ukurannya agar volumnya

maksimum.

380. Tentukan jarak terdekat titik (8, 2)

terhadap parabola 2xy = .

381. Sebuah perusahaan susu akan membuat

kaleng susu yang berbentuk tabung

tertutup dari bahan logam dengan volume

8 3cm . Tentukan ukuran kaleng agar luas

bahan yang dibutuhkan seminimal

mungkin.

382. Carilah ukuran persegi panjang dengan

keliling 100 meter, agar luasnya

maksimum.

383. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang

alasnya persegi adalah 432 2cm . Agar

volum kotak tersebut mencapai

maksimum, tentukanlah panjang rusuk

persegi itu.

384. Yudha akan membuat sebuah kotak tanpa

tutup atas dengan tinggi kotak sama

dengan dua kali salah satu sisi alasnya.

Jika volume kotak harus 400 3cm ,

tentukan ukuran kotak agar bahan yang

dibutuhkan sesedikit mungkin.

385. Volume sebuah kotak yang alasnya

persegi adalah 2 liter. Biaya pembuatan

per satuan luas bidang alas dan atas kotak

adalah dua kali biaya pembuatan bidang

sisinya. Biaya pembuatan yang minimum

tercapai jika luas permukaan kotak

adalah...

386. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat dengan

alas berbentuk persegi. Jumlah luas

keempat dinding dan alasnya 27 2m .

Volume terbesar diperoleh jika luas

alasnya.....


387. Suatu kotak terbuka dengan alas persegi

berisi x cm dibuat dari selembar kertas

yang luasnya 75 2cm . Tunjukkan bahwa

volume, V 3cm , diberikan oleh

( )37541

xxV −= . Tentukan nilai x yang

menyebabkan V maksimum dan tentukan

nilai maksimumnya.

388. Diketahui secarik kertas yang luasnya 2 2m . Garis tepi atas, bawah dan sisinya

berturut-turut 21 cm, 21 cm, dan 14 cm.

Berapa ukuran poster jika luas bagian

yang dicetak harus maksimum?

389. Tentukan jari- jari kerucut dengan

volume maksimum yang dapat

dimasukkan ke dalam sebuah bola

berjari- jari r.

390. Tentukan ukuran kerucut dengan volume

terkecil yang dapat dilingkupkan di

sekeliling bola dengan jari-jari 20 cm.

391. Dian membuat suatu silinder yang

berkapasitas 1.000 3cm . Tentukan

ukuran tanung itu (tanpa tutup atas) agar

bahan yang dipakai minimum.

392. Cari dua buah bilangan positif dengan

hasil kalinya 12 dan jumlah kuadratnya

minimum.

393. Bilangan 120 dibagi menjadi dua bagian

sehingga perkalian satu bagian dengan

kuadrat bagian lainnya maksimum.

Tentukan bilangan-bilangan itu.

394. Jika AB = 12 dan CD = 6, tentukan x

dan y agar luas persegi panjang

maksimum.

395. Sebuah persegi panjang yang mempunyai

lebar (8 – x) cm dan memiliki keliling

(2x + 24) cm. Agar luasnya maksimum

tentukanlah panjangnya.

396. Suatu perusahaan menghasilkan produk

yang dapat diselesaikan dalam x jam,

dengan biaya per jam

+−

xx

1208004

ratus ribu rupiah. Agar biaya yang

dikeluarkan minimum, dalam waktu

berapa jamkah produk tersebut harus

diselesaikan?

397. Seekor semut merayap dalam bidang

XOY. Pada saat t ia berada di titik

( ) ( )( )tytx , dengan ( ) 2ttx = dan

( ) 542 +−= tttx . Tentukan jarak semut itu

dari sumbu Y agar jarak semut ke sumbu

X maksimum.

398. Sebuah prisama tegak yang alasnya

berbentuk segitiga siku-siku sama kaki

memiliki volume ( ) 3224 m− . Jika

prisma itu dibuat sehingga luas seluruh

permukaannya sekecil mungkin,

tentukanlah luas alasnya.

399. Selembar seng yang panjangnya p meter

mempunyai lebar 64 cm. Kedua sisi

panjangnya harus dilipat ke atas untuk

membuat talang. Dengan memisalkan

lebar lipatan pada tiap sisi adalah x,

tentukan: a). Kapasitas talang dalam x, b).

Lebar lipatan tiap sisi agar kapasitas

maksimum, c). Kapasitas maksimum jika

panjang seng adalah 3 m.

400. Segitiga ABE merupakan segitiga sama

sisi serta BCDE merupakan persegi

panjang. Jika keliling bangun tersebut 18

cm, tentukan ukuran bangun tersebut agar

luasnya maksimum.


401. Sebuah lingkaran berjari-jari R dipotong

sebagian sehingga menjadi juring seperti

pada gambar. Juring tersebut akan

dibentuk sebuah kerucut, tentukan

volume maksimum kerucut yang terjadi.

402. Sebuah tabung akan dibentuk di dalam

sebuah bola yang berjari- jari R

sedemikian sehingga tepi alas dan tepi

atasnya menyinggung sisi dalam bola.

Hitunglah volume maksimum tabung

yang terjadi.

403. Sebuah tabung akan dibentuk di dalam

sebuah kerucut sedemikian sehingga

alasnya berimpit dengan alas kerucut

dan bidang atasnya menyinggung

apotema kerucut. Buktikan bahwa volum

maksimum tabung yang terjadi besarnya

4/9 volum kerucut.

404. Sepetak tanah berbentuk persegi panjang

yang luasnya 64 2m . Berapakah ukuran

dari sepetak tanah tersebut agar dapat

dipagari dengan bahan sehemat mungkin?

405. Selembar karton dengan luas 24 2cm yang

berbentuk persegi panjang, ujung-

ujungnya dipotong berbentuk bujursangkar

yang ukurannya sama. Sisi-sisi karton

tersebut dilipat ke atas sehingga diperoleh

sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan

volume paling besar dari kotak yang dapat

dibuat dari karton tersebut.

406. Sepotong kawat yang panjangnya 16 cm

dipotong menjadi dua bagian. Satu potong

dilipat menjadi bujur sangkar dan sisanya

dilipat untuk dijadikan lingkaran. Pada

bagian manakah kawat tadi harus dipotong

supaya jumlah luas bujur sangkar dan

lingkaran sesempit mungkin?

407. Sepotong kawat yang panjangnya 16 cm

dipotong menjadi dua bagian. Satu bagian

sepanjang 8x cm dibengkokkan dan dibuat

persegi panjang dengan ukuran 3x cm x x

cm. Bagian lainnya dibengkokkan dan

dibuat persegi. Tentukan luas minimum

gabungan persegi panjang dan persegi

tersebut.

408. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter

akan dibuat bangun yang berbentuk 3

persegi panjang seperti pada gambar.

Tentukan luas maksimum daerah yang

dibatasi kawat tersebut.


409. Satu lembar karton berbentuk persegi

panjang dengan ukuran 40 cm x 25 cm

akan dibuat kardus yang berbentuk balok

tanpa tutup dengan cara memotong tiap

sudutnya sepanjang x cm. Tentukan

tinggi kardus agar volumenya maksimal.

Menggambar Grafik

Gambarlah grafik dari fungsi berikut:

410. ( ) 2xxf =

411. ( ) 3xxf =

412. ( ) 25xxf =

413. ( ) xxxf 82 2 +=

414. ( ) 382 2 +−= xxxf

415. ( ) 266 xxxf −+=

416. ( ) 34 4xxxf −=

417. ( ) 4383 24 +++= xxxxf

418. ( ) ( )23−= xxxf

419. ( ) ( )( )2112 −+= xxxf

420. ( ) 652 −+= xxxf

421. ( ) 322 +−= xxxf

422. ( ) ( )( )51 −+= xxxf

423. ( ) 38 xxf −=

424. ( ) 33 xxxf −=

425. ( ) 323 xxxf −=

426. ( ) xxxf 93 −= .

Soal-soal Spesial:

1. Tentukan turunan dari ( )

+

+=x

xxf

11

2. Tentukan turunan dari ( )

11

1

++

=

xx

xf

3. Jika xa

ax

y += , buktikan bahwa

( )

−=

xa

ax

dxdy

xy2

Sumber:

a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri.

b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen

Kanginan.

c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama,

Sulistiyono, dkk.

d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team.

e. Matematika Bilingual, Yrama Widya, Suwah S dkk

f. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk.

g. Lainnya.

Catatan:

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

April 2012 · Rumus Turunan Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam...

Documents

Transcript of April 2012 · Rumus Turunan Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam...