APLIKASI_TURUNAN_PARSIAL

8/19/2019 APLIKASI_TURUNAN_PARSIAL

http://slidepdf.com/reader/full/aplikasiturunanparsial 1/7

APLIKASI TURUNAN PARSIAL

Dalam banyak masalah terapan kita sering dihadapkan pada kenyataan bahwa

penentuan titik maksimum atau minimum sering diiringi dengan persyaratan atau kendala

yang harus dipenuhi. Misalnya, sebuah perusahaan ingin meningkatkan produksinya danmencari titik maksimum dari produksinya, tetapi ia terikat pada dana yang tersedia untuk

maksud tersebut.

Untuk menangani masalah tersebut , tersedia suatu cara yang yang dikenalsebagai Lagrange Multiplier (Pengali Lagrange)

Metode Lagrange Multiplier/ Metode Pengali Lagrange

Suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relatif atau minimum relatif darifungsi f(x,y) yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g(x,y) = 0 terdiri atas

pembentukan fungsi penolong.

),(),(),,( y xg y x f y xF λ λ +=

dengan persyaratan:

0,0,0 =∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

λ

F

y

F

x

F

yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relatif maupun minimum relatif.

Parameter λ yang tidak tergantung pada x dan y disebut Lagrange Multiplier (Pengali

Lagrange)

Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange

Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu

parameter λ sebagai Lagrange Multiplier (Pengali Lagrange)

Jika f(x,y) adalah fungsi yang ditentukan maksimum atau minimum relatifnya dan

g(x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk:

),(),(),,( y xg y x f y xF λ λ +=

Fungsi penolong F(x,y,λ ) ini adalah fungsi dari tiga variabel x, y dan λ .

Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) dengan persyaratan g(x,y) = 0



Jawab:

Persyaratan yang harus dipenuhi 42=+ y x

ditulis: 042),( =−+= y x y xg

Fungsi penolongnya:

),(),(),,( y xg y xC y xF λ λ += )42()63( 2

−++−+= y x y xy x λ

032 =++=∂

∂λ y x

x

F ................ (1)

063 =+−=∂

∂λ x

y

F ................. (2)

042 =−++=∂

∂ y xF

λ .................. (3)

dari : (1) y x 32 −−=λ

(2) x36 −=λ

Sehingga 633632 =−→−=−− y x x y x ............... (4)

Dengan menggunakan (3) dan (4), penyelesaian dari sistem ini memberikan93,9,33 −=== λ y x

Maka biaya minimum diperoleh, jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9

mesin y dengan biaya minimum C(33,9) = 1926

3. Sebuah kotak terbuka mempunyai volume tertentu. Jika diinginkan agar bahan yang

digunakan luasnya seminimal mungkin, berapa ukuran kotak tersebut. Gunakan

Lagrange Multiplier (Pengali Lagrange)

Jawab:

Volume: V = xyz = konstanLuas: S = xy + 2xz + 2yz

Fungsi penolongnya:),,(),,(),,,( z y xV z y xS z y xF λ λ +=

)()22( V xyz yz xz xy −+++= λ



02 =++=∂

∂ yz z y

x

F λ →

yz

z y )2( +−=λ

02 =++=∂

∂ xz z x

y

F λ →

xz

z x )2( +−=λ

022 =++=∂

∂ xy y x

F λ

λ →

xy

y x )22( +−=λ

0=−=∂

∂V xyz

F

λ

xz

z x

yz

z y )2()2( +−=

+− → x = y

xy

y x

xz

z x )22()2( +−=

+− → y = 2z → x y z

2

1

2

1==

3

2

1)

2

1)(( x x x x xyzV === → V x 23

=

∴Ukuran kotak tersebut adalah:

3 2v x = ; 3 2v y = ; 3 22

1v z =

Kasus Dengan Dua Pengali Lagrange

Metode pengali Lagrange dapat diperluas untuk menyelesaikan masalah yang

melibatkan lebih dari satu persyaratan. Untuk keperluan ini digunakan dua parameter λ

dan atau lebih yang tidak tergantung pada x dan y.

Metode Lagrange juga dapat diperluas untuk menyelesaikan fungsi yang melibatkantiga variabel atau lebih.

Untuk memperoleh nilai-nilai relatif maksimum atau minimum dari fungsi F(x,y,z)

dengan persyaratan 0),,( = z y xφ , dibentuk fungsi pembantu.

),,(),,(),,,( z y x z y x f z y xF λφ λ +=

Yang harus memenuhi persyaratan:

0,0,0 =∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

z

G

y

G

x

G dan 0=

∂

∂

λ

G



Metode ini dapat diperluas. Jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau

minimum dari suatu fungsi F(x1, x2, x3, ....., xn) yang harus memenuhi kendala 1φ (x1, x2, .....,

xn) = 0, 2φ (x1, x2, ....., xn) = 0, ........, k φ (x1, x2, ....., xn) = 0, dibentuk fungsi penolong:

k k k n F x x xG φ λ φ λ φ λ λ λ λ ++++= .....),......,,,,.....,,( 22112121

yang memenuhi persyaratan

0,.....,0,021

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

n x

G

x

G

x

G , 0,.....,0,0

21

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

k

GGG

λ λ λ

dengan k λ λ λ ,.....,, 21 tidak tergantung pada x1, x2, ....., xn dan disebut Lagrange Multiplier

(Pengali Lagrange)

Contoh Soal

1. Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f(x,y,z) = xz + yz dan titik (x,y,z)

terletak pada perpotongan antara permukaan x2 + z

2 = 2 dan yz = 2.

Jawab:

Fugsi penolongnya:

)2()2()(),,,,( 22−+−+++= yz z x yz xz z y xF µ λ µ λ

02 =+=

∂

∂ x z

x

F λ 02 =+++=

∂

∂ y z y x

z

F µ λ

0=+=∂

∂ z z

y

F µ 0222

=−+=∂

∂ z x

F

λ

1−= , z = 0 (tak berlaku) 02 =−=∂

∂ yz

F

µ

x

z

2−=λ . Substitusi menghasilkan:

00)1()2

(22

=−−+→=−+−++ y x

z y x y z

x

z y x

Diperoleh x2 = z

2. Substitusi ke dalam dua persamaan terakhir menghasilkan:

2x2 - 2 = 0 atau x

2 = 1 → x = 1, x = -1



Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z=1 dan z=-1. Persamaan

penyelesaian.

1,2

1,1,2,1 −=−==== µ λ z y x

1,2

1,1,2,1 −==−=−== µ λ z y x

1,2

1,1,2,1 −====−= µ λ z y x

1,2

1,1,2,1 −=−=−=−=−= µ λ z y x

Kelompok penyelesaian pertama dan ke empat menghasilkan f(x,y,z)=3, dan yang ke

dua dan ke tiga memberikan f(x,y,z)=1. Maka f(x,y,z) mempunyai nilai maksimumrelatif 3 dan minimum relatif 1

2. Tentukan titik pada bidang 2x-3y +5z = 19 yang paling dekat pada titik asal O(0,0,0).

Jawab:

Fungsi yang dicari minimumnya dapat dipilih sebagai kuadrat dari jarak titikP(x,y,z) terhadap titik O(0,0,0) ialah:

222),,( z y x z y x f ++=

Kendala adalah : 019532),,( =−+−= z y x z y xg

Fungsi penolong ialah:

19532()(),,,( 222 −+−+++= z y x z y x z y xF λ λ

022 =+=∂

∂λ x

x

F 052 =+=

∂

∂λ z

z

F

032 =−=∂

∂λ y

y

F 019532 =−+−=

∂

∂ z y x

F

λ

λ λ λ 2

5,

2

3, −==−= z y x

1192

3819

2

25

2

92 −=→=−→=−−− λ λ λ λ λ →

2

5,

2

3,1 =−== z y x

Titik P(2

5,

2

3,1 − ) terletak paling dekat pada titik asal O(0,0,0) dan P terletak pada

bidang 2x-3y +5z = 19

APLIKASI_TURUNAN_PARSIAL

Documents

Transcript of APLIKASI_TURUNAN_PARSIAL