1

BAB IPENDAHULUAN

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu

zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa

pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan

sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral

bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir

menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih

jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep

kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk

persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12

untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil

takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000,

matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan

rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi

matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil

pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-

12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil

yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan

matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus

khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang

oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John

Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory

membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried

Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak

dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya

dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama

sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu

kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan

2

kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi

kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

1.1 LATAR BELAKANG

Turunan adalah suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar.

Arti ini penting dalam linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata

terbentuk dari beberapa kata dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari

beberapa senyawa. Dalam finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan.proses

dari menirunkan disebut diferensiasi. Sedangkan dalam matematika definisi turunan adalah

suatu fungsi yang diberi lambang f’(dibaca f aksen) dan didefinisikan sebagai

f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

dengan menganggap limit ini ada, jika f’(x) bias diperoleh, f dikatakan dapat diturunkan

(differentiable). f’(x) disebut turunan f terhadap x, dan proses pencarian turunannya disebut

penurunan (differentiation).

Alasan pemilihan materi ini untuk disajikan dalam makalah ini adalah banyaknya

kejadian yang akrab dengan kehidupan sehari-hari yang merupakan aplikasi /penerapan atau

setidaknya kejadiannya dapat dijelaskan dengan konsep turunan.

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik

untuk melakukan sesuatu. Sebagai ocntoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman

yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil

suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seoran gkepala pabrik akan menekan

sekecil mungkin biaya distribusinya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat

dirumuskan sehinggas melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu

himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana ampuh

untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Andaiakan bahwa kita diberikan suatu fungsi f dan daerah asal S. Tugas pertama kita

adalah menentukan apakah f memiliki suatu nilai maksimum atau minimum pada S. Dengan

menganggap bahwa nilai-nilai yang demikian itu ada, kita ingin mengetahui dimana dalam S

nilai-nilai tersebbut dicapai. Akhirnya, kita ingin menentukan nilai maksimum dan minimum

itu.

1.2 TUJUAN

3

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk meningkatkan wawasan penulis tentang

pokok bahasan /materi yang disajikan di dalam makalah ini, sekaligus untuk memenuhi tugas

yang dibebankan oleh Dosen kepada Mahasiswa untuk membuat sebuah makalah sederhana.

Selain itu mempelajari kalkulus khususnya dibidang turunan memberikan manfaat

dalam mempermudah pemahaman tentang aplikasi yang berhubungan dengannya di

kehidupan sehari-hari namun seringkali tidak disadari. Di dalam makalah ini kita akan

menyajikan konsep-konsep dasar dan menguraikannya kemudian menjelaskannya. Setelah itu

kita akan melihat beberapa contoh penerapan dalam kehidupan. Singkatnya tujuan penulisan

makalah ini adalah untuk memberikan kita pemahaman tentang konsep dasar turunan dan

mampu menganalisa contoh-contohnya yang terjadi disekitar kita.

1.3 RUANG LINGKUP MATERI

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir,

Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di

Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz

mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh

yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan,

kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan

luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi

deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai

ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha

memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari

deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti

paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga,

yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut. Kalkulus menjadi topik yang sangat

umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus

memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus Kalkulus pada umumnya

dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang

dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil

takterhingga (infinitesimal) tetaplah kecil takterhingga, dengan kata lain kecil takterhingga

4

tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan

teknik untuk memanipulasi kecil takterhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil takterhingga digantikan oleh konsep limit. Limit

menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari

sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

BAB IILANDASAN TEORI

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,

misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai

bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642

– 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 –

1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat

untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema

tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk

turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0

2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1

4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g

(x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

5

3. (fg)’ (x) = f (x) g’(x) + g’(x) f(x)

4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x

2. d/dx ( cos x ) = - sin x

3. d/dx ( tan x ) = - sec2 x

4. d/dx ( cot x ) = - csc2 x

5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x

6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)

2.1 KAIDAH PENURUNAN UMUM

Kelinearan

Kaidah darab

Kaidah timbalbalik

Kaidah hasil-bagi

Kaidah rantai

Turunan fungsi invers

Kaidah pangkat umum

6

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila

komposisi dan invers ada

2.2 TURUNAN FUNGSI SEDERHANA

2.3 TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut

menghasilkan bilangan kompleks

Persamaan di atas juga berlaku untuk semua c namun menghasilkan bilangan kompleks

7

Turunan logaritma alamiah dengan argumen fungsional tergeneralisasi f(x) adalah

Dengan menerapkan aturan pergantian basis logaritma, turunan untuk basis lain adalah

2.4 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

2.5 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK

8

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 DEFINISI TURUNAN

Misalkan y adalah fungsi dari x atau y=f ( x ) . Turunan (atau diferensial) dari y

terhadap x dinotasikan dengan

dydx atau y ' atau f ' ( x ) , dan didefinisikan sebagai:

dydx

= limΔx→0

ΔyΔx

= limΔx→ 0

f ( x+ Δx )−f ( x )Δx

Contoh 1:

Jika diberikan y=2 x , maka tentukanlah turunan y terhadap x.

Jawab:

dydx

= limΔx→0

ΔyΔx

=lim

x→0

2 ( x+ Δx )−2 xΔx

=lim

x→0

2 x+2 Δx−2 xΔx

=lim

x→0

2 ΔxΔx

=lim

x→02

9

= 2

Secara grafis turunan dapat kita lihat sebagai berikut ini

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik

adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kalkulus

diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau

kemiringan dari sebuah grafik.

Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang

ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input

sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan

outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika.

Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan

turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.

.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju

perubahan di mana fungsi tersebut berubah. Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka

fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

.

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah

garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat

10

menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu

fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua

titik.Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik

adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini

ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

3.2 RUMUS-RUMUS TURUNAN

11

Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan sejumlah rumus tentang turunan,

yaitu:

1. Jika y=cxn dengan c dan n konstanta real, maka

dydx

=cnxn−1

Contoh :

a. y=2 x4 →

dydx

=2. 4 x4−1=8 x3

b.y=6 3√x→

dydx

=6 . 13

x13−1

=2. x−2

3= 23√x2

2. Jika y = c dengan c∈R , maka

dydx

=0

Contoh :

a. y=2 →

dydx

=0

b. y=10 →

dydx

=0

3. Jika y=f ( x )+g ( x ) , maka

dydx

=f ' ( x )+g ' ( x )

Contoh :

a. y=2 x4+3 x2 →

dydx

=8 x3+6 x

b.y=4 x5+5 x4+3 x3−6 x2

→

dydx

=20 x4+20 x3+9 x2−12 x

4. Jika y=f ( x ). g ( x ) , maka

dydx

=f ' ( x ) .g ( x )+ f ( x . ) g ' ( x )

Contoh :

y=2 x4 (3 x2+4 x )f ( x )=2x4

→ f ' ( x )=8x3

g ( x )=3 x2+4 x → g ' ( x )=6 x+4

y=2 x4 (3 x2+4 x ) →

dydx

=8 x3 . (3 x2+4 x )+2 x4 (6 x+4 )

=24 x5+32x 4+12 x5+8 x4=36 x5+40 x4

5. Jika y=

f ( x )g ( x ) , maka

dydx

=f ' ( x ) . g (x )−f ( x ) . g ' ( x )

( g ( x ) )2

Contoh :

y= 2 x

x2+1f ( x )=2 x→ f ' ( x )=2g ( x )=x2+1→ g ' ( x )=2 x

12

dydx

=2 . ( x2+1 )−2x .2 x

( x2+1 )2=2 x2+2−4 x2

( x2+1 )2= 2−2 x2

( x2+1 )2

6. Jika y= [ f ( x ) ]n , maka

dydx

=n [ f ( x ) ]n−1. f ' ( x )

Contoh :

y=( 3x2+2x )4

f ( x )=3 x2+2 x→ f ' ( x )=6 x+2dydx

=4 . (3 x2+2 x )3 . (6 x+2 )

7. Jika y=ln f ( x ) , maka

dydx

= 1f ( x )

. f ' ( x )

Contoh :

y=ln (3 x2+2 x )f ( x )=3 x2+2 x→ f ' ( x )=6 x+2dydx

= 1

( 3x2+2 x ). (6 x+2 )

=

(6 x+2 )(3 x2+2 x )

8. Jika y=e f ( x ), maka

dydx

=e f ( x ) . f ' ( x )

Contoh :

y=e(3 x2+2 x)

f ( x )=3 x2+2 x→ f ' ( x )=6 x+2dydx

=e

(3 x2+2 x). (6 x+2 )

9. Jika y=sin f ( x ) , maka

dydx

=[cos f (x ) ] . f ' ( x )

Contoh 1:

y=sin ( 3 x2+2 x )f ( x )=3 x2+2 x→ f ' ( x )=6 x+2dydx

=[cos ( 3x2+2x ) ] . (6 x+2 )=(6 x+2 ) . cos (3 x2+2 x )

10. Jika y=cos f ( x ) , maka

dydx

=[−sin f ( x ) ] . f ' (x )

Contoh :

y=cos (3 x2+2 x )f ( x )=3 x2+2 x→ f ' ( x )=6 x+2dydx

=[−sin (3 x2+2 x ) ] . (6 x+2 )=−(6 x+2 ) . sin (3 x2+2 x )

3.3 TURUNAN KEDUA

13

f(a + h) – f(a)

h

y = f(x)

g

X

Y

a

xa

a

h

h

y = f(x)

y

–

f’(x) < 0

f’(x) > 0

Turunan kedua y=f ( x ) terhadap x dinotasikan dengan

d2 ydx2

atau y '' atau f '' ( x ) . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.

Contoh :

y=5 x4+6 x3+4 x2+5 x+6

dydx

=20 x3+18 x2+8 x+5

d2 ydx2

=60 x2+36 x+8

3.4 PENGGUNAAN TURUNANMenentukan Gradien Garis Singgung Kurva

Misal garis g menyinggung kurva y=f ( x ) di titik (a, f(x)). Maka gradien g adalah:

mg=limh→0

f ( a+h )−f (a )h

=f ' (a )

Contoh :

Tentukan gradien garis singgung kurva y=x2+3 x di titik (1, 4).

Jawab:

y=x2+3 x→ y '=2 x+3

Gradien garis singgung kurva di titik (1, 4) adalah :m= y ' (1 )=2 .1+3=5

2. Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun

Kurva y=f ( x ) naik untuk f ' ( x )>0 dan turun untuk f ' ( x )<0 . Interval yang

memenuhi f ' ( x )>0 dan f ' ( x )<0 dapat ditentukan dengan menggambarkan

garis bilangan dari f ' ( x )

14

xa

a

h

h

y = f(x)

y

–

Titik maksimum

f’(x)

Titik minimum

0 0

Titik maksimum Titik minimum

Contoh :

Tentukan interval fungsi naik dan turun dari y = x3 + 3x2 – 24x.

Jawab:

y = f(x) = x3 + 3x2 – 24x

f’(x) = 3x2 + 6x – 24

= 3(x2 + 2x – 8)

= 3(x + 4)(x – 2)

x1 = – 4 ; x2 = 2

dengan melihat garis bilangan dapat diketahui bahwa f ' ( x )>0 untuk x < – 4 atau x >

2 dan f ' ( x )<0 untuk – 4 < x < 2.

Jadi fungsi naik untuk x < – 4 atau x > 2 dan fungsi turun untuk – 4 < x < 2.

3. Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum fungsiNilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim atau

nilai stasioner fungsi tersebut. Nilai ekstrim dari fungsi y=f ( x ) diperoleh pada

f ' ( x )=0 . Misalkan a adalah nilai x yang memenuhi f ' ( x )=0 , maka (a, f(a)) adalah

titik ekstrim dan f(a) adalah nilai ekstrim. Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai

maksimum jika f ' ( x )<0 atau f '' ( x )>0 . Untuk lebih mudah perhatikan grafik

berikut.

15

f’(x)

minimummaksimum

00+ +-– 4 2

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = x3 + 3x2 – 24x.

Jawab:

y = f(x) = x3 + 3x2 – 24x

f’(x) = 3x2 + 6x – 24

= 3(x2 + 2x – 8)

= 3(x + 4)(x – 2)

f’(x) = 0 untuk x1 = – 4 dan x2 = 2

f(x) maksimum untuk x1 = – 4; nilai maksimum f(-4) = (-4)3 + 3(-4)2 – 24.(-4) = 80

f(x) minimum untuk x1 = 2; nilai minimum f(2) = (2)3 + 3(2)2 – 24.(2) = – 28

3.5 KONSEP TURUNAN

Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

Jika x à c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

mPQ=f ( x )−f (c )

x−c

m=limx→c

f ( x )−f (c )

x−c

16

b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat

diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di

f(c+h).

Perubahan waktu Perubahan posisi

c

f(c)P

x

f(x)

Q

x-c

f(x)-f(c)

c

c+h

s

f(c)

f(c+h)

17

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua

masalah tersebut berada dalam satu tema,

yaitu turunan

Definisi: Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan

sebagai berikut:

bila limit diatas ada

Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau

ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

Contoh : Diketahui

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

f +' (c )= lim

x→c+

f ( x )−f ( c )x−c

f−' (c )= lim

x→ c−

f ( x )−f (c )x−c

f ' (c )=limx→c

f ( x )−f (c )

x−c

v=limx→c

f (x )−f (c )

x−c

v=limh→0

vrata−rata=limh →0

f (c+h )−f (c )

h

vrata−rata=f ( c+h)− f (c )

h

f ' (1)

f ( x )={x2−x+3 , x<11+2√ x , x≥1

f ' (c )

f−' (c )= f +

' (c ) dan f '(c )=f ¿' (c )=f +

' (c )

18

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1.

Turunan Fungsi Implisit

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut

fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas

yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi

dari x.

3.6 TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Sebuah pesawat membawa perang membawa awaknya untuk di kirim ke tempat yang

dituju. Misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah s = 10t2. Dari informasi ini

dapatkah kita menghitung kecepatan pesawat saat t = 1 detik, 2 detik, 3 detik dst? Dengan

mempelajari turunan fungsi aljabar, pertanyaan tersebut dapat kita jawab.

Berikut kita sajikan ringkasan konsep dasar yang akan digunakan dalam materi

turunan fungsi aljabar. Adapun rumus yang akan diberikan berikut ini adalah rumus yang

akan sering kita pergunakan dalam penyelesaian permasalahan tentang materi turunsan fungsi

aljabar baik tentang teori yang berhubungan maupun tentang aplikasi yang berhubungan

dengan materi ini yang sering kita jumpai dalam kehiduan sehari-hari.

Adapun rumusnya akan kita berikan pada halaman berikut ini :

2 . sin( xy )+x2= y2+1

1 . x3 y2+x2+ y=10

dan f ' (1 )=1 .

=limx→1

2√x−2x−1

=2 limx→1

√ x−1(√ x−1)(√ x+1)

=1

f +' (1 )= lim

x→1+

f ( x )−f (1 )x−1

= limx→1

1+2√x−(1+2√1 )x−1

=limx→1

x2−xx−1

=limx→1

x ( x−1 )x−1

=1

f −' (1 )= lim

x→1−

f ( x )−f (1 )x−1

=limx→1

x2−x+3−(1+2√1)x−1

19

1 . f ' ( x )=Limh→ 0

f ( x+h )−f ( x )h

f ' ( x ) dibaca f`` ital aksenf ' ( x ) disebut turunan (derivatif ) pertama dari f ( x )

f ' (a )=Limh →0

f (a+h )−f ( a )h

disebut perubahan sesaat atau laju perubahan f ( x )

pada x=a atau turunan f pada x=a2 . Notasi Leibniz

Jika y=f ( x ) , y '=dydx

=LimΔx→0

ΔyΔx

=Limh→0

f ( x+h )−f ( x )h

3 . Beberapa rumus turunan fungsi aljabar .a . y=xn⇒nxn−1

b . y=( f (x ) )n⇒ y '=n (f ( x ) )n−1f ' ( x )

c . y=c ; c konstanta⇒ y '=0

Contoh:

1. Tentukan turunan pertama dari f (x )=3x2

Penyelesaian

Cara 1 Cara 2

f (x )=3x2

f (x+h )=3 ( x+h )2

f ' ( x ) =Limh→ 0

3 ( x+h )2−f ( x )h

=Limh→0

3 ( x+h )2−3 x2

h

=Limh→0

3 ( x2+2 xh+h2)−3 x2

h

=Limh→0

(3 x2+6 xh+3h2)−3x2

h

=Limh→0

6 xh+3h2

h=Lim

h→0

h (6 x+3h )h

=Limh→0

6 x+3.0=6 x

2. Diketahui f (x )=1

x

Penyelesaian

f (x )=1x=x−1

f ' ( x )=−x−2 atau −1x2

f (x )=3 x2

f ' ( x )=2.3 x2−1

=6 x

20

f (a + h) f))

(a + h)

f (a)

a

P(a , f (a))

y = f (x)

gGaris singgung

Q (a + h, f (a + h))

R

x

y

0

Garis Singgung Pada Kurvay = f (x) di x = a

3.7 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

Menentukan turunan dari suatu fungsi sama artinya dengan menentukan persamaan garis

singgung dari suatu kurva. Masalah tentang garis singgung pada kurva ini sudah dibicarakan para ahli

matematika sejak zaman ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 – 212 SM). Selanjutnya di abad ke-

17 ilmuawan terkenal Newton mengembangkan teori yang kemudian kita kenal sekarang dengan

kalkulus.

1. Gradien garis singgung pada kurva y = f (x) di titik P(a, f (a)) adalah

m=f ' (a )=Limh→0

f (a+h )−f ( a )h

.

2. Persamaan garis singgung di titik (a, b) pada kurva y = f (x) adalah y−b=f ' (a ) ( x−a )

1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabol y=5 x2+2 x−12 di titik (2 , 12 )

Penyelesaian

21

y=5 x2+2 x−12⇒ y '=10x+2Melalui titik (2 , 12 ) ⇒m=10 (2 )+2=22

Persamaan garis singgung melalui (2, 12) dengan gradien = 22 adalah.

y− y1=m (x−x1 )y−12 =22 (x−2 )

y=22 x−44+22y=22 x−32

2. Tentukan persamaan garis singgung yang menyinggung parabol y = - x2 dan sejajar dengan garis

4 x+ y+3=0

Penyelesaian

Garis 4 x+ y+3=0⇒m1=−4

Karena sejajar dengan garis singgung parabol maka m2=m1 , y=−x2

m2= y ' =−2 x=−4⇒ x=2untuk x=2⇒ y=−4

Persamaan garis singgung yang melalui (2, -4) adalah:

y+4 =−4 ( x−2 )y=−4 x+8−4=−4 x+4

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = - 4x + 4

Rumus Turunan Fungsi

Terkadang sukar bagi kita untuk mencari turunan dari suatu fungsi aljabar. Berikut ini adalah

beberapa rumus yang dapat memudahkan kita dalam memecahkan masalah tersebut.

1 . y=u ± v ⇒ y '=u' ± v '2 . y=c . u ⇒ y ' =c .u '3 . y=u . v⇒ y '=u . v ' + v .u '4 . y=un⇒ y '=n .un−1 . u'

5 . y=uv

⇒ y '=u ' . v−v . u 'v2

; v≠0

22

Contoh :

1. Tentukan turunan dari f ( x )=( 3 x2+4 )5 (2 x−1 )4

Penyelesaian

f ( x )=( 3 x2+4 )5 (2 x−1 )4

misal :

u=(3 x2+4 )5⇒u '=5 (3 x2+4 )4 . 6 xv=(2 x−1 )4 ⇒ v '=4 (2 x−1 )3 . 2y =u ' v+uv '

=30 x (3 x2+4 )4 (2 x−1 )4+ (3 x2+4 )5 . 8 (2x−1 )3

=( 3 x2+4 )4 . (2 x−1 )3{30 x (2x−1 )+8 . (3 x2+4 )}=( 3 x2+4 )4 . (2 x−1 )3 (60 x2−30 x+24 x2+32 )=( 3 x2+4 )4 . (2 x−1 )3 (84 x2−30 x+32 )

2. Jika f’ (x) adalah tutunan pertama dari f (x )=2 x−1

x+2 , tentukan f I (x). Kemudian tentukan f I (0).Penyelesaian

f (x )=2 x−1x+2 diketahui a = 2, b = -1, c = 1 dan d = 2

Dengan rumus

f (x )=ax+bcx+d

⇒ f ' ( x )=ad+cb

(cx+d )2

f ' ( x )=2 .2−(1 .−1)( x+2 )2

=5

( x+2 )2

Jadi f ' (0 )= 5

(0+2 )2=5

4

3. 8 APLIKASI TURUNAN

Ada banyak hal yang terjadi di kehidupan kita sehari-hari ternyata bisa dibahas

dengan menggunakan konsep turunan. Misalnya kita mempunyai sebuah benda yang bergerak

di sepanjang suatu garis lurus. Untuk melihat gerakan benda ini, tetapkan titik asal 0 pada

garis tersebut. Ambillah arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri dari angka nol tersebut.

Jarak berarah (jarak yagn nilainya dapat positif atau negatif) dari benda pada saat t adalah f(t).

Dalam hal ini f(t) < 0 bila benda berada disebelah kiri 0 dan f(t) > 0 bila posisi benda berada

disebelah kanan titik 0. Gerakan sebuah benda disepanjang garis lurus dikenasl dengan gerak

rektilinear dengan s =f(t) sebagai persamaan geraknya.

Untuk mempermudah pemahama mari kita simak contoh berikut ini.

23

Aplikasi dalam gerak yang terjadi pada saat mengisi suatu wadah yang berbentuk kerucut

(kerucut terbalik) dengan air.

Soal :Air dituangkan kedalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8dm/menit. Jika tinggi

wadah adsalah 12dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, Seberapa cepat permukaan air

naik bilamana tinggi permukaan adalah 4 dm?

Penyelesaian : Nyatakan tinggi permukaan air dalam bak pada saat tsebarang adalah h dan

andaikan r jari-jari permukaan air yang berpadanan. Seperti ditunjukkan pada gambar.

6

r h

12

Diketahui bahwa V volume air dalam bak naik dengan laju 8 dm/menit yaitu dvdt

=8. Kita

ingin mengetahui seberapa cepat air naik yakni dhdt

pada saat h = 4. Kita perlu mencari sebuah

persamaan yang mengaitkan V dan h. Rumus untuk volume air dalam wadah adalah V= 13

π

r2h mengandung peubah r yang tidak diinginkan, Tidak diinginkan karena kita tidak

mengetahui lajunya drdt

. Tetapi memakai segitiga-segitiga yang sebangun seperti yang

ditunjukkan pada gambar. Kita mempunyai rh= 6

12, sehingga dengan penggantian ini kedalam

persamaan V memberikan V= πh3

12 sebuah hubungan yang berlaku untuk semua t>0.

Diferensialkan secara implisit, dengan mengingat bahwa h tergantung pada t.

Diperoleh dVdt

=3 πh2 dh12dt

atau dVdt

=πh2 dh4 dt

Dengan penggantian h = 4 dan dVdt

=8, Kita peroleh:

8=π (4)2 dh

4 dt

dhdt

= 2π

= 0,637

Jadi jika ketinggian air mencapai 4 dm maka permukaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit.

Contoh lain tentang soal dalam bentuk yang lain akan kita berikan seperti berikut ini.

24

Soal : Sebuah pesawat udara terbang mendatar pada ketinggiasn 4 km, melintasi sebuah

menara. Jika laju pesawat itu tetap sebesar 180 km/jam, berapa cepat jarak dar menara

tersebut bertambah setelah lima meit kemudian?

Penyelesaian: Kita akan menggunakan gambar sebagai alat bantu.

x pesaawat

4 y

menara

Andaikan t menyatakan banyaknya menit setelah pesawat melintasi menara, x mneyatakan

jarak horizontal antara menara dengan posisi pesawat dengan ketinggian 4 km setelah t menit

kemudian, dan y menyatakan jarak antara menara dengan pesawat setelah t menit kemudian.

Peubah x tergantung pada t. Dengan menggunakan dalil Phytagoras kita memperoleh

persamaan yang menghubungkan x dan y, yaitu :

X2 +42 = y2

Jika kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan menggunakan aturan rantai, kita

peroleh:

2x dxdt

=2 ydydt

atau x dxdt

= ydydt

Diketahui laju pesawat dxdt

= 180 km/jam, dan karena 1 jam = 60 menit maka laju ini sama

saja dengan 18060

km/menit atau 3 km/menit.

Jadi dalam 1 menit pesawat tersebut dapat menempuh 3 km.

Pada t = 5 menit, x = 5 . 3 = 15 km dan y = √ x2+16 = √152+42 = √225+16 = √241 ≈15,52

km

Sehingga laju pertambahan jarak pesawat dengan menara:

dydt

= xy

dxdt

≈15

15,52 . 3 =

4515,52

= 2,9 km/menit.

Contoh selanjutnya akan kita berikan tentang debit air pada wadah yang berbentuk setengah

bola dengan air.

Soal : Air keluar dari bawah tangki berbentuk setengah bola yang jari-jarinya 6 dm dengan

laju 3 dm/jam. Pada suatu saat tertentu tangki tersebut penuh. Seberapa cepat permukaan air

berubah pada saat tingginya h adalah 2 dm?

25

r

h

Penyelesaian : Volume segmen setengah bola dengan jari-jari r dan tinggi adalah

V = πh2 [r – (h/30)]

Diketahuhi r = 6 dm dan laju air yagn keluar dari bawah tangki : dV/dt = 3 dm/jam

Karena h = 2 dm, maka pada saat itu

dVdt

=π 2h [r−h3 ]+π h2[0−1

3dhdt ]

Atau 3 = π 2 (2 )(6−23 )+π 22[0−1

3dhdt ]

Atau 3 = π 4 (163 )−π 4 [ 1

3dhdt ]

Sehingga dhdt

= 34 π [ 64 π

3−3 ]≈ 3

4π [64 .

3,143

−3]= 34 π

63,99=15,28 dm / jam

Jadi cepat permukaan air berubah pada saat tingginya 2 dm adalah 15,28 dm/jam

Berikutnya akan kita berikan soal yang masih berhubungan dengan gerak dan perubahan.

Soal : Sebuah tangga panjangnya 5 meter bersandar pada dinding tegak yang licin. Ujung

atasnya bersandar pada dinding dan ujung bawahnya juga bersandar pada lantai yang datar

dan licin juga. Jika pada saat 3 meter dari lantai kecepatan meluncur ujung atasnya adalah 1

meter/detik. Tentukan kecepatan meluncur ujung tangga yang bersandar pada lantai saat itu.

Penyelesaian :

Pada gambar tersebut misalkan pada setiap saat t jarak ujung atas

tangga ke lantai adalah y meter dan jarak ujung bawah tangga ke

dinding adalah x meter. Kita akan menentukan dxdt

pada saat y = 3

26

meter bila diketahui dydt

= -1 meter/detik (tanda negatif menunjukkan bahwa ujung tangga

pada dinding meluncur ke bawah. Karena panjang tangga adalah 5 meter maka persamaan

yagn mengaitkan x dan y adalah x2+ y2=25. Turunan implisit terhadap t dari kedua

persamaan ini menghasilkan

2 xdxdt

+2 ydydt

=0.

Untuk y = 3 meter, x = √25−9=4 meter dan dy/dt = -1 meter/detik sehingga diperoleh

2 .4dxdt

+2 . 3 (−1 )=0 dxdt

=34

. Jadi kecepatan meluncur tangga di lantai pada saat

kecepatan ujung atas tangga adalah 1 meter/detik dan 3 meter diatas permukaan lantai adalah

¾ meter/detik.

Soal : Sebuah tangga panjangnya 6 meter bersandar pada sebuah dinding tegak yang

tingginya 4 meter dengan bagian atas tangga melewati dinding. Jika ujung bawahnya ditarik

horizontal dengan kecepatan 2 meter/detik menjauhi dinding, tentukan percepatan vertikal

ujung atas tangga pada saat tangga membentuk sudut 60o dengan permukaan lantai.

Penyelesaian : Pada gambar tersebut misalkan setiap saat t sudut antara tangga dengan

permukaan lantai adalah θ, jarak ujung bawah tangga ke dinding

adalah x meter, sedangkan jarak ujung atas tangga dengan lantai

adalah y meter. Kita akan menentukan dy/dt pada saat θ=60o bila

diketahui dx/dt = 2 meter /detik. Tentukan dahulu kecepatan

perubahan sudut θ pada setiap saat t. Dari kaitan tanθ = 4x

atau x

tanθ = 4. Turunan implisit terhadap t dari kedua ruasnya

menghasilkan x sec2 θdθdt

+ tan θdθdt

=0. Untuk θ 60o maka

x = 4

tan 60o= 4

√3=4

3√3, dan dx/dt = 2 meter /detik. Kita mempunyai

43

√3 .4dθdt

+√3 .2=0

sehingga dθdt

=−38

kemudian dari y = 6 sin θ diperoleh dydt

=6 cosθdθdt

=6 .12 (−3

8 )=−98

meter/detik (tanda negatif menandakan ujung atas tangga meluncur ke bawah).

27

Jadi, kecepatan vertikal ujung atas tangga pada saat membentuk sudut 60o dengan permukaan

lantai dan ujung bawah tangga ditarik horizontal ditarik 2 meter/detik menjauhi dinding

adalah 98

meter/detik.

BAB IVPENUTUP

4.1 KESIMPULAN

Dari materi yang disajikan maka penulis akan menyimpulkan poin-poin utama dalam

makalah yang telah dilakukan pembahasan melalui pemberian konsep dasar dan contoh-

contoh yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Diketahui bahwa turunan adalah

suatu objek yang berdasarkan atau dibuat dari suatu sumber dasar. Arti ini penting dalam

linguistik dan etimologi, dimana bentuk turunan dari suatu kata terbentuk dari beberapa kata

dasar. Dalam kimia, turunan adalah senyawa yang terbentuk dari beberapa senyawa. Dalam

finansial, turunan adalah kependekan dari jaminan turunan.proses dari menirunkan disebut

diferensiasi. Sedangkan dalam matematika definisi turunan adalah suatu fungsi yang diberi

lambang f’(dibaca f aksen) dan didefinisikan sebagai

f ' ( x )=limh→0

f ( x+h )−f (x )h

28

dengan menganggap limit ini ada, jika f’(x) bias diperoleh, f dikatakan dapat

diturunkan (differentiable). f’(x) disebut turunan f terhadap x, dan proses pencarian

turunannya disebut penurunan (differentiation). Ada banyak kejadian yang terjadi di

kehidupan kita sehari-hari yang merupakan aplikasi /penerapan atau setidaknya kejadiannya

dapat dijelaskan dengan konsep turunan. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan

kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Kalkulus juga digunakan

untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Jadi

dengan menguasai konsep dasar yang berlaku pada turunan kita dapat mengkaji berbagai

kejadian yang berhubungan dengan gerak dan perubahan yang akrab/sering terjadi di

kedhidupan kita sehari-hari.

4.2 SARAN

Dari kajian yang disajikan dalam makalah ini penulis (dalam hal ini mahasiswa)

menganjurkan kepada sekalian pembaca agar lebih mengutamakan penguasaan konsep dasar

yang berhubungan dengan suatu formula (dalam hal ini diferensial). Kemudian kita harus

menyadari bahwa semua formula matematika tidak hadir begitu saja tanpa adanya manfaat

yang berhubungan. Melainkan semua itu muncul karena adanya permasalahan yang

membutuhkan penyelesaian dengan menggunakan formula tersebut. Jadi hampir semua

konsep matematika memiliki penerapan di berbagai bidang di kehidupan.