4. TURUNAN

MA1114 Kalkulus I

1

4.1 Konsep Turunan4.1.1 Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

mPQ

f ( x ) f (c ) ! xc

f(x)

Q f(x)-f(c)

Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

f(c)

P x-c c x

f(x) f(c) m ! lim xpc xcMA1114 Kalkulus I 2

b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktuc c+h

Perubahan posisif(c) f(c+h)

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalahvrata rata ! f (c h) f (c ) hMA1114 Kalkulus I 3

s

Jika h

0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :v ! lim v rata rata ! limhp0 hp0

f (c h ) f (c ) h

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

f(x) f(c) v ! lim xp c xcDari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c ) didefinisikansebagai berikut:

f ' (c) ! limx pc

bila limit diatas adaMA1114 Kalkulus I

f(x) f(c) xc4

Notasi lain :df ( c ) , y' (c ) dx

Contoh : Diketahui

f(x)!

1 x

tentukan f ' (3)1 1 x 3 x 3

f'( 3 ) ! lim

f(x) f( 3 ) ! x3 xp 3

limx p 3

( x 3) 3 x ! lim ! lim x p 3 3 x(x 3 ) x p 3 3 x(x 3 )

1 1 ! lim ! xp 3 3 x 9MA1114 Kalkulus I 5

4.1.2 Turunan SepihakTurunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ( x ) f (c ) f ( c ) ! lim xp c xcTurunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ' (c) ! limbila limit ini ada.

xpc

f(x) f(c) xc

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika ' ' ' ' f ( c ) ! f ( c ) dan f ' ( c ) ! f _ ( c ) ! f ( c ) sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.MA1114 Kalkulus I

f (c )

6

Contoh : Diketahui

2 x 3 , x 1 x f ( x) ! 1 2 x , x u 1

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab :a.' f ( 1) !

f ( x ) f (1 ) li x 1 xp1

x 2 x 3 (1 2 1 ) ! lim x 1 x p1

x2 x ! li xp1 x 1b.' f (1) ! lim

! lim

x( x 1 ) !1 x 1 xp1

f ( x ) f (1) x 1 xp1

! lim

1 2 x (1 2 1 ) x 1 x p1

! li

2

xp1

x 1 x 2 ! 2 lim !1 1 xp ( x 1)( x 1) x 1

Jadi, f diferensiabel di x=1.

dan f ' (1) ! 1 .MA1114 Kalkulus I 7

Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalahxpc

lim f ( x ) ! f ( c )f ( x ) ! f (c ) f ( x ) f (c ) .( x c ) , x { c xc

Perhatikan bahwaMaka

f ( x ) f (c ) lim f ( x ) ! lim f ( c ) ( x c) xp c xpc xc f ( x ) f (c ) ! lim f ( c ) lim . lim ( x c ) xp c xpc xpc xc! f ( c ) f ' ( c ). 0

= f(c).

Terbukti.

Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

MA1114 Kalkulus I

8

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

x , x u 0 f ( x) !| x |! x , x 0f(0) = 0x p0

lim f ( x ) ! lim x ! 0xp0

lim f ( x) ! 0xp0

x p0xp 0

lim f ( x ) ! lim ( x ) ! 0x p0

lim f ( x ) ! f ( 0 )f kontinu di x=0MA1114 Kalkulus I 9

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0' f ( 0 ) ! lim

xp0

f ( x ) f (0) x 0 x ! lim ! lim ! 1 x0 x x p0 x p0 x

' f( 0) !

x x 0 f ( x ) f (0) ! lim ! lim ! 1. lim x xp 0 xp 0 x x0 x p0

Karena 1 ! f ' ( 0 ) { f ' ( 0 ) ! 1 maka f tidak diferensiabel di 0.

MA1114 Kalkulus I

10

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;

f ( x) ! ax , x

x2 b , x 1

1

Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup) f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

f (1) ! lim f ( x) ! lim f ( x). x p1 x p1

a ! lim x 2 b ! lim ax a ! 1 b ! a b ! a 1x p1 x p1

MA1114 Kalkulus I

11

x2 b a f (x) f (1) ! lim ' f(1) ! lim x 1 xp1 xp1 x 1

x2 ( a 1) a ! lim x 1 xp1! lim

x2 1 ! lim xp1 x 1

( x 1 )( x 1 ) x 1 x p1

! li

xp1

x 1 ! 2

f' (1) ! lim xp 1

f (x) f (1) x1

! lim

ax a xp1 x 1

! a lim

x 1 ! a xp1 x 1

f ' (1) ! f ' (1) a ! 2Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.MA1114 Kalkulus I 12

Soal Latihan Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.1.

ax b ; x 2 f (x ) ! 2 2 x 1 ; x u 2

,

x=2

2 1 ; x 3 x 2. f ( x ) ! ax b ; x u 3 2 3.

,

x=3

x 3 ;0 e x 1 a f (x ) ! 2 x bx ; x u 1

,x=1

MA1114 Kalkulus I

13

4.2 Aturan Pencarian Turunany

Fungsi Turunan Pertama Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis f ' ( x ) didefinisikan sebagai , f (t ) f ( x ) f '( x ) ! lim , xtp x tx atau jika h=t-x f ( x h) f ( x) f '( x ) ! lim , xhp 0 h bila limitnya ada.

Notasi lain y ' ,

dy df ( x ) , , D x y , D x f ( x ) , bentuk dy dikenal dx dx dx

sebagai notasi Leibniz.MA1114 Kalkulus I 14

Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :1. Jika f (x)=k, maka 2. d x

f ' ( x) ! 0; r R

dx 3. d f(x) s g(x) ! f ' (x) s g ' (x) dx4.

! r xr

r 1

d f ( x) g ( x) ! f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) dx

5.

d f ( x ) g ( x ) f ' ( x ) g ( x ) f ( x ) g ' ( x ) dengan g(x) {0. ! 2 dx g ( x)MA1114 Kalkulus I 15

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x) h' ( x) ! lim h( x h) h( x) hp0 h! limhp 0

f ( x h) g ( x h) f ( x ) g ( x ) h

! limhp0

f ( x h) g ( x h ) f ( x h ) g ( x ) f ( x h ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) h

f ( x h) f ( x) g ( x h) g ( x) ! lim f ( x h ) g ( x h) h p0 h h

! lim f ( x h) limhp0 hp0

g ( x h) g ( x ) f ( x h) f ( x ) lim g ( x h) lim h p0 hp 0 h h

! f ( x ) g ' ( x) g ( x) f ' ( x )

! f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)

MA1114 Kalkulus I

16

Contoh 3 2 1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) ! x 3 x 4 Jawab :

f ' ( x) ! 3 x 2 3.2 x 0 ! 3 x 2 6 x2. Tentukan turunan pertama dari f ( x) ! ( x 3 1)( x 2 2 x 3) Jawab :

f ' ( x ) ! 3 x 2 ( x 2 2 x 3) ( x 3 1)( 2 x 2)

! 3x 4 6 x 3 9 x 2 2 x 4 2 x 3 2 x 2 ! 5x4 8x3 9 x 2 2 x 23.Tentukan turunan pertama dari f ( x ) ! 2 x 1 Jawab :f'( x)! 1 .( x 2 1 ) 2 x ( x 3 ) ( x 1)2 2

x3

!

x2 1 6x 2x2 ( x 1)2 2

!

x 2 6x 1 ( x 1)2 2

.

MA1114 Kalkulus I

17

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1.

f ( x) ! x1 / 2 3 x 2 1f ( x) ! ( x 1) ( x 3 2 x 1) x 1 f ( x) ! x 1 x f ( x) ! 2 x 1x2 1 f ( x) ! 2 x 1MA1114 Kalkulus I 18

2. 3.

4.

5.

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinusa . f ( x ) ! sin x p f ' ( x ) ! cos x b. f ( x ) ! cos x p f ' ( x ) ! sin xBukti:a. Misal f(x) = sin x makat x t x 2 cos sin 2 2 ! lim tp x tx

f ' ( x ) ! lim

tp x

sin t sin x t xtx ). lim tx 2 p02

sin(

! lim cos(tp x

tx ) 2 tx ( ) 2

! cos x.1 ! cos x.

MA1114 Kalkulus I

19

b. Misal f(x) = cos x maka

cos( x h ) cos x f ' ( x ) ! lim hp 0 h! lim

cos x cosh sin x sinh cos x ! lim h p0 hh cos x( sin 2 ) 2 sin x sinh ! lim h p0 h h

cos x(cosh 1) sin x sinh h p0 h

h cos x ( sin 2 )h 2 sin x sinh ) ! lim( hp0 h ( h / 2) 2 4

sinh sin(h / 2) h ! cos x lim sin x lim ( h / 2)p0 hp0 h h/2 4

2

! cos x .0 sin x ! sin x

MA1114 Kalkulus I

20

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/vsin d tan x d x cos x c. ! dx dx

cos 2 x sin 2 x ! cos 2 x

!

1 cos 2 x

! sec 2 x

d cot x d cos x sin x sin 2 x cos 2 x d. ! ! dx dx sin 2 x

1 ! sin 2 x

! csc 2 x

d sec x d 1cos x ! sin x e. ! cos 2 x dx dx

!

sin x 1 cos x cos x

! tan x sec x

d csc x d 1sin x ! cos x ! cos x 1 f. ! sin 2 x sin x sin x dx dx

! csc x cot x

MA1114 Kalkulus I

21

4.4 Aturan Rantai

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka du dx dy dy du! dx du dxContoh : Tentukan dari y ! sin( x 1) dx Jawab : Misal u ! x 2 1sehingga bentuk diatas menjadi Karena2

dy

y ! sin u

dy ! cos u dan dumaka

du ! 2x dx

dy 2 ! cos( x 2 1) 2 x ! 2 x cos( x 1) dx

MA1114 Kalkulus I

22

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandy dy du dv ! dx du dv dx

dy du dv , , Ada, maka du dv dx

Contoh : Tentukan Jawab : Misal

dy dx3

4 3 dari y ! Sin ( x 5)

v ! x 5u = Sin v

ppp

dv ! 3 x2 dxdu ! cos v ! cos( x 3 5) dv dy ! 4 u 3 ! 4 Sin 3 ( x 3 5) du

y ! u4sehingga

dy dy du dv ! . . ! 12 x 2 Sin 3 ( x 3 5) Cos ( x 3 5) dx du dv dxMA1114 Kalkulus I 23

Contoh : Tentukan jawab :

f ' ( x ) jika

2

d ( f ( x 2 )) ! x 2 1, x { 0 dx

d ( f ( x 2 )) ! x 2 1 dx

f ' ( x 2 ).2 x ! x 2 1x2 1 f '(x ) ! 2x2

MA1114 Kalkulus I

24

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari

1.

y! 2 x 2x 3

x 2x 5

2

Tentukan f' (cos(x 2 )), jikad(f(cos(x 2 )) dx

2. 3. 4. 5. 6.

y ! 2 x 310 y ! sin 3 xy ! cos 4 4 x 2 x x 1 y! x 12

! 2 x 3

10

y = sin x tan [ x2 + 1 ]MA1114 Kalkulus I 25

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

f

(n)

( x) !

d f dx

( n 1)

( x)

Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n

df x f ' (x) ! dxd 2 f x f " ( x) ! dx 2

d f x dx n Contoh : Tentukan y ' ' dari y ! 4 x 3 sin x fn

d 3 f x f " ' ( x) ! dx 3 n

( x) !

Jawab :

y ' ! 12 x 2 cos xMA1114 Kalkulus I

aka y' ' ! 24 x sin x26

Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari1. 2.

y ! sin 2 x 1y ! 2 x 34

x 3. y ! x 14.

y ! cos2 x T

B. Tentukan nilai c sehingga f "( c) ! 0 bila f ( x ) ! x 3 3 x 2 45 x 62 C. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x ) ! ax b x c bila g (1) = 5,

g ' (1) ! 3 dan g ' ' (1) ! 4

MA1114 Kalkulus I

27

4.6 Turunan Fungsi Implisit

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.Contoh :

1. x 3 y 2 x 2 y ! 10

2. sin( xy ) x 2 ! y 2 1

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

MA1114 Kalkulus I

28

Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut1. x 3 y 2 x 2 y ! 10Jawab1. Dx ( x 3 y 2 x 2 y ) ! Dx (10)x

2. sin( xy ) x 2 ! y 2 1

(x3 y 2 )

x

(x2 )

x

( y) !

x

(10)

(3 x 2 y 2 2 x 3 y y ' ) 2 x y ' ! 0(2 x 3 y 1) y' ! 2 x 3x 2 y 2 2 x 3x 2 y 2 y' ! 2x3 y 12 . D x ( sin( xy ) x 2 ) ! D x ( y 2 1)

cos( xy ) ( y xy ' ) 2 x ! 2 yy '0 ( x cos( xy ) 2 y ) y ' ! 2 x y cos( xy )y' ! 2 x y cos( xy ) x cos( xy ) 2 y

MA1114 Kalkulus I

29

Soal Latihan' Tentukan turunan pertama ( y ) dari bentuk implisit1. 2.

x 3 3x2 y y2 ! 0

y sin xy ! 1

3. tan ( x y ) - 2 y = 0 4.

x 2 sin( xy ) y ! x

MA1114 Kalkulus I

30

4.7 Garis singgung dan garis normal

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah y y0 = m( x x0 ).

Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

1 y y 0 ! ( x x 0 ). mMA1114 Kalkulus I 31

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi Jawab :y ! x3 2 x 2 6 di (2,6).

y ' ! 3 x 2 4 x p y ' ( 2,6 ) ! 3 .2 2 4 .2 ! 4

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

y 6 ! 4( x 2) y ! 4x 2Persamaan garis normal dititik (2,6) :

y6 ! y!

1 1 1 ( x 2) y 6 ! x 4 4 2

1 13 x . 4 2MA1114 Kalkulus I 32

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

x 2 y 2 xy 6 ! 0 di titik dengan absis( x) = 1Jawab : Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

y2 y 6 ! 0

( y 3)( y 2) ! 0

y = 3 dan y = -2

Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2) Hitung terlebih dahulu y ' dengan menggunakan turunan fungsi implisit ( x 2 y 2 xy 6 ) ! x ( 0 ) 2 xy 2 2 x 2 yy '( y xy ' ) 0 ! 0 x

2 xy 2 2 x 2 yy ' y xy' ! 0MA1114 Kalkulus I 33

(2 x y x) y ' ! y 2 xy2

2

y 2 xy 2 y' ! 2 2x y x

Di titik (1,3) 3 2.1.9 15 y ' |(1,3) ! ! ! 3 2 . 1 .3 1 5 Persamaan garis singgungy 3 ! 3( x 1) ! 3 x 3

3x y ! 6Persamaan garis normal1 1 1 y 3 ! ( x 1) ! x 3 3 3

x 3 y ! 8MA1114 Kalkulus I 34

Di titik (1,-2)y ' |(1, 2 ) ! 2 2.1.4 10 ! !2 2.1.( 2) 1 5

Persamaan garis singgung

y 2 ! 2( x 1) ! 2 x 2

2x y ! 4Persamaan garis normal1 1 1 y 2 ! ( x 1) ! x 2 2 2

x 2 y ! 3

MA1114 Kalkulus I

35

4.8 Diferensial dan Hampiran

4.8.1 DiferensialJika f ' ( x) ada, maka

f ' ( x ) ! limQ T

(x p 0

f ( x (x) f ( x) (y ! lim (x p 0 ( x (x

.

P x

x

x (x

(y } f ' ( x) , (y } f ' ( x)(x Untuk ( x sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni , (x

Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah dx ! ( x Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah dy ! f ' ( x) dxMA1114 Kalkulus I 36

4.8.2 Hampiran

Perhatikan kembali gambar sebelumnya, Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + x. Jika x ditambah x, maka y bertambah sepadan dengan y yang dapat dihampiri oleh dy . Jadi , f ( x ( x ) } f ( x ) dy ! f ( x ) f ' ( x ) ( x (*) Contoh : Hampiri Jawab : Pandang,3

281 1

f ( x ) ! x 3 f ( 27) ! 27 3 ! 3 27 ! 32 2 2

Dengan pers (*)

1 3 1 1 3 3 1 3 f ' ( x ) ! x f ' ( 27 ) ! ( 27 ) ! (3 ) ! 3 3 3 27

1 f ( 28 ) } f ( 27 ) f ' ( 27 )( 28 27 ) ! 3 . 27MA1114 Kalkulus I 37

Soal Latihan 1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

y sin xy ! 1Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (T ,1)

2. Gunakan diferensial untuk menghampiria. b.

1033

g 3. Jika diketahui f ' (0) ! 2 , g (0) ! 0 , g ' (0) ! 3 tentukan ( f Q )' (0).

MA1114 Kalkulus I

38