APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Aplikasi persamaan diferensial

Dalam teori persamaan diferensial, masalah utama yang dihadapi adalah mengetahui

adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi

persamaan diferensial). Oleh karena itu, diperlukan teorema yang menjamin adanya suatu

penyelesaian (Siswanto, 1997).

Persamaan diferensial eksak yang merupakan bagian dari persamaan diferensial memiliki

penyelesaian sebagai berikut:

1. F(x, y) = + = c

Pilih sebarang titik (x0, y0) secara bijaksana pada daerah dimana fungsi-fungsi M, N, turunan-

turunan parsial My dan Ny kontinu. Titik (x0, y0) diperoleh secara bijaksana, tetapi hal tersebut

tidaklah mudah (Finizio dan Ladas, 1988).

2. Pengelompokan

Menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kembali suku-sukunya,

harus diketahui bahwa masing-masing kelompok adalah diferensial total dari suatu fungsi

(Ayres, 1981).

3. F(x, y) = + c(y)

c(y) = (Ross, 1984)

Dari ketiga cara penyelesaian persamaan diferensial eksak, cara ketiga merupakan cara

yang sistematik (Finizio dan Ladas, 1988). Ditambahkan Ross (1984), cara ketiga merupakan

cara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak.

Penyelesaian persamaan diferensial eksak dengan menggunakan rumus

standar F(x,y)=+ c(y) atau F(x,y) = + c(x). Jika dikaji dari langkah - langkah pengerjaannya,

maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhanakan

sehingga langkah-langkah penyelesaian soal-soal persamaan diferensial eksak lebih sederhana.

Eksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang

esensial untuk dibuktikan dan dijelaskan. Bagi yang awam tentang matematika, persoalan ini

bukan merupakan pemikiran bagi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil

penyederhanaan tersebut tanpa pernah muncul pertanyaan dalam pikirannya mengapa

penyelesaian itu caranya berbeda. Sementara bagi orang matematika hal tersebut harus dapat

dibuktikan dan dijelaskan.

Berdasarkan uraian-uraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan

judul: “Penyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.”

Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan diferensial eksak dibatasi yaitu:

1. Persamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua variabel dengan bentuk umum

persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

2. = M(x, y), = N(x, y) dan =

3. Rumus penyelesaiannya adalah F(x, y)=+ c(y) atau F(x, y) = + c(x)

1. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah, peneliti merumuskan masalah sebagai

berikut:

Bagaimana cara menyederhanakan rumus F(x,y) = + c(y) dan F(x,y) = + c(x), sehingga c(y) =

+ c dan c(x) = + c.

2. Tujuan Penelitian

Pada prinsipnya penelitian ini berusaha untuk menjawab masalah-masalah yang

dipaparkan pada latar belakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyederhanakan

penyelesaian persamaan diferensial eksak.

3. Manfaat Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai berikut:

1. Dari peneliti, manfaat yang dapat diambil adalah untuk mengembangkan pengetahuan yang ada

pada peneliti.

2. Dalam kaitannya dengan pengembangan pendidikan tinggi di Indonesia, penelitian ini

diharapkan dapat memberikan tinjauan baru dalam teori persamaan diferensial eksak.

3. Informasi yang diberikan dalam penelitian ini akan membuka peluang diadakan penelitian lebih

lanjut dengan melibatkan bentuk-bentuk persamaan diferensial yang lain.

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi

matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan

antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial

ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya 

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak

diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu

sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan

peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin

lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan

teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa

elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan

fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan

sebagai turunan).

Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi

dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang

(mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk

menyatakan variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak

diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial (disebut

persamaan gerak) dapat dipecahkan Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan

diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan

hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan

gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap

konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola.

Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya,

yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan

pemecahan sebuah persamaan diferensial.

Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian

besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya

hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya

mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari

persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari

pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi

dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan

pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik

yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.

        Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak

diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan

turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun

klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk

persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa

maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.

          Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika

hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan

tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari

persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah

contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. 

Persamaan tersebut mempunyai bentuk: dx/dt = ax - axydy/dt = -cy+ °xy

Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut :

1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial

parsial.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada

dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2 adalah orde dua dy/dx adalah orde

satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari

turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit

          Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian

nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain

ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam

hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak

lagi.