APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT

BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS

(STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)

Skripsi

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan

guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Chandra Nugroho Erlangga

NIM 12305141035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2016

i

PERSETUJUAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-

INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah disetujui oleh

pembimbing untuk diujikan.

Yogyakarta, 20 Juni 2016

Dosen Pembimbing

Rosita Kusumawati, M.Sc

NIP. 19800707 200501 2 001

ii

PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-

INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah dipertahankan di depan

Dewan Penguji pada tanggal 27 Juni 2016 dan dinyatakan lulus.

DEWAN PENGUJI

Nama Jabatan Tanda Tangan Tanggal

Rosita Kusumawati, M.Sc.

NIP.19800707 200501 2 001 Ketua Penguji ............ ............

Nikenasih Binatari, M.Si.

NIP.19841019 200812 2 005

Sekretaris

Penguji ............ ............

Mathilda Susanti, M.Si.

NIP.19640314 198901 2 001

Penguji I

(Utama) ............ ............

Retno Subekti, M.Sc.

NIP. 19811116 200501 2 002

Penguji II

(Pendamping) ............ ............

Yogyakarta, Juli 2016

Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Dekan,

Dr. Hartono

NIP. 19620329 198702 1 002

iii

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya:

Nama : Chandra Nugroho Erlangga

NIM : 12305141035

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul Skripsi : APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU

DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-

INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI

KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT),

menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang

pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan

orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan

karya ilmiah yang telah lazim.

Apabila ternyata terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka sepenuhnya

menjadi tanggung jawab saya, dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan

yang berlaku.

Yogyakarta, 20 Juni 2016

Yang menyatakan

Chandra Nugroho Erlangga

NIM. 12305141035

iv

MOTTO

“Jesus answered and said unto him, What I do thou knowest not now; but thou

shalt know hereafter”

(KJV Bible, John 13: 7)

“You cannot say to the sun ‘More sun’, or to the rain ‘Less rain’.”

(Chiyo Sakamoto/Sayuri Nitta, Memoirs of a Geisha)

“Things you take for granted someone else is praying for.”

(Marlan Rico Lee)

“If you do not value your own time, please value others’. You do not know how

much time they have left.”

(CNE)

v

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

Indonesia, atas kesempatan berkuliah yang amat berharga.

Mama Ester Rini Lestari, Om Adhi, Papa Titus Erlinta dan Ibu serta

Keluarga: Adik-adikku Indra, Michael, Jocelyn dan Harry, dan Eyang

Kakung Petrus H. Sukamto.

Sepuluh perempuan paling berharga dalam hidup: Mei, Arvi, Asnay,

Devie, Fitri, Triyanti, Seli, Izza, Dela dan Chen Wanzhen.

Heny Setyawan dan Rifki Chandra Utama.

Seluruh keluarga Matematika Subsidi 2012.

Seluruh keluarga Tutor Bahasa Indonesia untuk Penutur Asing, kelas

Guangdong University of Foreign Studies.

Seluruh keluarga KKN 1041.

vi

APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT

BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA

DI AMERIKA SERIKAT)

Oleh:

Chandra Nugroho Erlangga

12305141035

ABSTRAK

Anuitas merupakan salah satu jenis produk keuangan yang menjadi dasar

berbagai instrumen keuangan. Variabel utama yang digunakan dalam penghitungan

anuitas adalah tingkat suku bunga. Tingkat suku bunga besarnya berubah-ubah dan

pergerakannya cepat sehingga pelaporannya dilakukan setiap hari. Pada

kenyataannya penghitungan anuitas masih sering menggunakan tingkat suku bunga

deterministik dibandingkan tingkat suku bunga stokastik. Anuitas dengan suku

bunga stokastik yang dihitung dengan suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy

menggunakan metode forward-induction akan disusun.

Model Black-Derman-Toy merupakan model suku bunga stokastik waktu

diskrit yang memanfaatkan tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil dari

obligasi tanpa kupon untuk menyusun pohon suku bunga sesaat. Pembangunan

model ini menerapkan teori-teori dari bidang teori peluang, proses stokastik,

matematika keuangan dan finansial derivatif.

Data obligasi tanpa kupon yang digunakan di dalam skripsi ini adalah data

United States Treasury Zero Coupon Yield Rate periode 1 Januari 2010 - 31

Desember 2010, yang terdiri dari tingkat imbal hasil untuk waktu jatuh tempo 1-5

tahun pada 252 hari kerja. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan ternyata tidak

memenuhi sifat-sifat dasar pohon suku bunga sesaat yang seharusnya. Kemudian

dicari rerata tingkat imbal hasil di semua waktu jatuh tempo. Hal yang sama

dilakukan pada volatilitas imbal hasil, sehingga menghasilkan satu tingkat imbal

hasil dan satu volatilitas imbal hasil untuk semua waktu jatuh tempo. Pohon suku

bunga sesaat yang dihasilkan dari tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil baru

memenuhi kriteria yang disyaratkan di awal. Lintasan-lintasan dibuat untuk

mengaplikasikan model suku bunga stokastik ke penghitungan anuitas. Selisih nilai

anuitas dengan suku bunga stokastik dan suku bunga aktual menghasilkan nilai

MAPE dan MSE sebesar 1,2147% dan 0,004358 untuk nilai sekarang anuitas dan

1,3655%dan 0.007974 untuk nilai masa depan anuitas.

Kata kunci: Black-Derman-Toy, suku bunga stokastik, anuitas, forward-induction

vii

KATA PENGANTAR

Ucapan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yesus Kristus, karena

berkat anugerah dan kasih karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT

BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI

AMERIKA SERIKAT)”. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi

salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta.

Penulisan skripsi ini dapat diselesaikan dengan bantuan berbagai pihak. Oleh

karenanya, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menyelesaikan studi.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang

telah memberikan kelancaran dalam pelayanan akademik untuk

menyelesaikan studi.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika

yang telah memberikan bimbingan, arahan juga kemudahan dalam urusan

akademik.

4. Bapak Emut, M.Si selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan

arahan dan bimbingan penulis selama menjalani studi.

viii

5. Ibu Rosita Kusumawati, M.Sc selaku Pembimbing Tugas Akhir yang telah

rela dan sabar meluangkan waktu, ilmu dan tenaga demi membimbing,

memberikan arahan dan motivasi bagi penulis untuk menyelesaikan studi.

6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan arahan, motivasi, dan ilmu yang

berharga.

7. Seluruh pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan dalam

penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak kekurangan.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dalam penyempurnaan

skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis tetapi bagi

semua yang membacanya

Yogyakarta, 20 Juni 2016

Penulis

Chandra Nugroho Erlangga

ix

DAFTAR ISI

PERSETUJUAN ...................................................................................................... i

PENGESAHAN ...................................................................................................... ii

PERNYATAAN ..................................................................................................... iii

MOTTO ................................................................................................................. iv

PERSEMBAHAN ................................................................................................... v

ABSTRAK ............................................................................................................. vi

KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii

DAFTAR ISI .......................................................................................................... ix

DAFTAR TABEL .................................................................................................. xi

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Batasan Masalah........................................................................................... 4

C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5

D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 5

E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 7

A. Peluang dan Peubah Acak ............................................................................ 7

B. Fungsi Peluang Binomial ........................................................................... 15

C. Proses Stokastik ......................................................................................... 18

D. Martingale .................................................................................................. 19

E. Bunga dan Anuitas ..................................................................................... 20

F. Obligasi Tanpa Kupon ............................................................................... 27

G. Model Black-Derman-Toy dengan Teknik Forward-Induction ................ 29

H. Pengukuran Galat ....................................................................................... 43

BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 45

A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat .............................................. 45

B. Sumber dan Karakteristik Data .................................................................. 48

C. Model BDT untuk Data US Treasury Zero Coupon Yield Curve .............. 48

D. Penghitungan Anuitas ................................................................................ 51

x

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 58

A. Kesimpulan ................................................................................................ 58

B. Saran ........................................................................................................... 59

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 61

LAMPIRAN .......................................................................................................... 63

xi

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Tabel Penyajian Suku Bunga Sesaat. ...................................................... 30

Tabel 2.Tabel penyajian kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. ...... 32

Tabel 3. Tabel Kurva Imbal Hasil (Black dkk, 1990) ........................................... 40

Tabel 4. Tabel Pohon Suku Bunga Sesaat. ........................................................... 43

Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve .... 48

Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014 ...... 48

Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual. .............................................. 50

Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru.................................................. 51

Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat. ........................................................... 52

Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual ................................ 53

Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik ............................ 54

Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik ............ 55

Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual ............................ 56

Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik ....................... 56

Tabel 15. Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan stokastik ....... 57

xii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve ................... 64

Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy.... 65

Lampiran 3. Output Program R I .......................................................................... 68

Lampiran 4 Output Program R II .......................................................................... 69