Created by :

Raning Bhaktiniah

Permana

Akuntansi semester 1

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuauh

fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi

yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati

suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari 𝑦 = 𝑓 𝑥 akan

dapat diketahui limit atau batas perkembangan 𝑓(𝑥) ini

apabila variabel 𝑥 terus menerus berkembang hingga

mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi 𝑓(𝑥) mendekati

𝐿manakala variabel 𝑥 mendekati 𝑎 (𝑎 dan 𝐿 keduanya

konstanta) maka 𝐿 disebut limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥mendekati 𝑎. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)=𝐿

Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan :

ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah 𝐿, atau

− 𝐿, atau 0, atau ~ atau -~) atau tidak adasama sekali

(tidak terdefinisi), dan tidak boleh tak tentu (0

0atau

~

~)

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Terdiri atas

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

(analisis sisi kiri)

x→ 𝑎 dilihat dari

Nilai-nilai x <a *)

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

(analisis sisi

kanan)

x→ 𝑎 dilihat dari

Nilai-nilai x > a *)

𝑥 → 𝑎− maksudnya 𝑥 mendekati 𝑎 melalui nilai-nilai 𝑥 < 𝑎 (dari kiri)

𝑥 → 𝑎+ maksudnya 𝑥 mendekati 𝑎 melalui nilai-nilai 𝑥 > 𝑎 (dari kanan).

𝑎− ≠ −𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑎+ ≠ +a

1. Jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 dan 𝑛 > 0, maka lim𝑥→𝑎

𝑥𝑛= 𝑎𝑛

2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.

lim𝑥→𝑎

𝑘=k

3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih)

dari limit

fungsi- fungsinya.

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya.

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-

fungsinya

dengan syarat limit fungsi pembaginya tidak sama dengan nol.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)dengan syarat lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0

6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya

lim𝑥→𝑎

{𝑓 𝑥 }𝑛 ={lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)}𝑛

7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit

fungsinya

8. Dua buah fungsi yang serupa mempunyai limit yang sama

• Bentuk Tak Tentu 0/0

Limit yang menghasilkan bentuk taktentu 0/0 dapat

dihindari dengan cara menguraikan fungsi-fungsinya

• Bentuk Tak Tentu ~/~

Bentuk tak tentu ~/~ dapat terjadi dalam kasus

penentuan limit pembagian fungsi untuk variabel 𝑥 →′.Hasil ~/~ yang potensial untuk terjadi, dapat dihindari

dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya

dengan variabel berpangkat tertinggi pada penyebut.

• Penyelesaian Pintas Limit Fungsi-Pembagian untuk 𝑥 →~

Penyelesaian pintas ini dilakukan dengan cara

memperbandingkan suku-suku berpangkat tertinggi pada

pembilang dan penyebut.

Jika 𝑦 𝑥 =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑖=0𝑚 𝑎𝑖𝑥

𝑖

𝑗=0𝑛 𝑏𝑗𝑥

𝑗

Dimana 𝑓 𝑥 dan 𝑔(𝑥) masing-masing merupakan fungsi

polinom berderajat 𝑚 dan berderajat 𝑛,

Maka

lim𝑥→~

𝑦(𝑥)

*kaidah ini berlaku hanya jika 𝑦(𝑥) merupakan fungsi

pembagian dan limitnya ditentukan untuk 𝑥 → ~

= 0 dalam hal 𝑚 < 𝑛

=𝑎𝑚/ 𝑏𝑛 dalam hal 𝑚 = 𝑛

= + ~ dalam hal 𝑚 > 𝑛 dan 𝑎𝑚 > 0

= − ~ dalam hal 𝑚 > 𝑛 dan 𝑎𝑚 < 0

Secara visual, sebuah fungsi dikatakan sinambung

(continous) apabila gambarnya berupa sebuah kurva yang

tidak terputus; yakni jika dalam menggambarkan kurva

tersebut kita tidak perlu mengangkat alat tulis, cukup

menggeserkannya ke arah yang bersesuaian.

Sebuah fungsi dikatakan sinambung pada 𝑥 = 𝑎 jika

:

1. 𝑓(𝑎) terdefinisi

2. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) terdefinisi

3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Ketidaksinambungan sebuah fungsi dapat berbentuk

salah satu dari tiga kemungkinan: asinambung tak

berhingga, asinambung berhingga, dan asinambung titik.

Contoh grafik asinambung tak berhingga :

𝑓(𝑥)

x

(0;1)

0

𝑥=3

𝑓 𝑥 =9

(𝑥 − 3)2

Contoh grafik asinambung berhingga :

-3 -2 -1 0 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) -1 -1,5 -3 ~ 3 1,5 1

f(x

)

x

𝑓 𝑥 =3

𝑥

𝑓 𝑥 menuju −~untuk x→ 0 dari sis

kiri, tetapi menuju +~

untuk x→ 0 dari sisi

kanan terdapat

perubahan drastis

nilai 𝑓 𝑥 pada 𝑥 = 0

Contoh grafik asinambung titik

0 2

4

𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥 =𝑥2 − 4

𝑥 − 2

Fungsi-fungsi dalam bisnis dan ekonomi banyak

yang berbentuk fungsi asinambung. Bahkan sesungguhnya

sebagian besar fungsi yang ada merupakan fungsi

asinambung, terutama fungsi permintaan dan penawaran

yang unit atau satuannya selalu diskrit (berupa bilangan

bulat, tidak mungkin dipecah-pecah). Begitu pula fungsi

biaya dan fungsi penerimaannya. Penyinambungan fungsi-

fungsi yang sesungguhnya asinambung atau diskrit

memungkinkan untuk ditelaah dengan analisa matematik.

Contoh Kasus :

Seorang pedagang menjalankan kebijakan diskriminasi

harga dalam penjualan jeruk dengan termin berikut :

Rp 900,00 per kg untuk pembelian sebanyak 5kg atau

kurang

Rp 850,00 per kg untuk pembelian lebih dari 5 kg tapi tak

lebih dari 10 kg

Rp 750,00 per kg untuk pembelian lebih dari 10 kg

Apabila harga total (=penerimaan bagi penjual atau

pengeluaran bagi pembeli) dilambangkan dengan Y dan

jumlah jeruk dalam kilogram dilambangkan dengan X,

maka fungsinya dapat dituliskan sebagai:

Y =

= 900 X 0≤ 𝑋 ≤ 5

= 850 X 5< 𝑋 ≤ 10

= 750 X 𝑋 < 10

Y (rupiah)

0 5 10 15

4500

8500

X (kg)

Dengan kebijakan

harga semacam ini

(diskriminasi harga

derajat kedua) penjual

dapat menarik pembeli

untuk membeli lebih

banyak. Dalam kasus

ini memeli jeruk 11 kg

lebih murah daripada

membeli 10 kg

Sekian dan Terimakasih