BAB 2 DAN BAB 3

DISUSUN OLEH :

ANNISA KHOERUNNISYA

AKUNTANSI/1

SISTEM BILANGAN

NYATA KHAYAL

BILANGAN

IRRASIONAL RASIONAL

BULAT PECAH

AN

Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayaladalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatubilangan negatif.Contoh bilangan nyata : 2,-2,

Contoh bilangan khayal : −4 = ±2

Bilangan rasional adalah hasil bagi antara 2 bilangan, yangberupa bilangan bulat,atau berupa pecahan dengan desimalterbatas atau desimal berulang.Contoh: 0,1492525Bilangan irrasional adalah hasilbagi antara 2 bilangan, berupapecahan dengan desimal tak terbatas dan tak terulang, termasukbilangan 𝜋 dan bilangan 𝑒.Contoh: 0,1492525393993999

Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua bilangan yanghasilnya bulat, termasuk nol.Bilangan pecahan adalah hasil bagi antara 2 bilangan yanghasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau desimalberulang.

Bilangan asli adalah semua bilangan bulat positif, tidaktermasuk nol.

Contoh: A={1,2,3…..}

Bilangan cacah adalah semua bilang bulat positif ataunol.

Contoh: A={0,1,2,3…..}

Bilangan prima adalah bilangan asli yang besarnyatidak sama dengan hanya habis dibagi oleh dirinyasendiri.

Contoh: {2,3,5,7……..}

Ada 4 macam tanda ketidaksamaan, yaitu :

1. Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”

2. Tanda > melambangkan “lebih besar dari”

3. Tanda ≤ melambangkan “lebih kecil dari atau samadengan”

4. Tanda ≥ melambangkan “lebih besar dari atau samadengan “

1) Jika a ≤ b, maka -a ≥ –b sedangkan

jika a ≥ b,maka –a ≤ –b

2) Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b

sedangkan jika a ≥ b dan x ≥ 0,maka

x.a≥x.b

3) Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a≥x.b

sedangkan jika a ≥ b dan x≤0,maka

x.a≤x.b

4) Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤b+d sedangkan jika a ≥ b dan c ≤d,maka a + c≥ b+d

1. Kaidah komutatif

2. Kaidah Asosiatif

a + b = b + a 4 + 6 = 6 + 4

a x b = b x a 4 x 6 = 6 x 4

(a + b)+ c = a +(b +

c)

(4 + 6)+ 5= 4 +(6 +

5)

(a x b)x c = a x (b x

c)

(4 x 6) x 5=4 x(6 x

5)

3. Kaidah pembatalan

4. Kaidah distributif

5. Unsur Penyama

Jika a + c =b + c

Maka a = b

Jika a c = b c (c≠0)

Maka a = b

a (b + c) = a b + a c

4 (6 + 5) = (4 x 6) + (4

x 5)

a ± 0 = 𝑎4 ± 0 = 4

a x 1 = a

4 x 1 = 4

a : 1 = a

4 : 1 = 4

6. Kebalikan

a + (-a) = 0

4 + (-4) = 0𝑎 ×

1

𝑎= 1

4 ×1

4= 1

OPERASI PENJUMLAHAN( +a ) + (+b) = (+c)

( +4) + (+6) =

(+10)

( -a) + (-b) = (-c)

( -4) + (-6) = (-10)

( +a) + (-b) = (+c) jika

|a|> |𝑏|( +9) + (-6) = (+3)( +a) + (-b) = (-d) jika

|a|< |𝑏|( +4) + (-6) = (-2)( -a) + (+b) = (+c) jika |a|< |𝑏|( -4) + (+6) = (+2)

ata

u

ata

u ( -a) + (+b) = (-d) jika |a|> |𝑏|( -9) + (+6) = (-3)

OPERASI PENGURANGAN

( +a) - (+b) = (+c) jika |a|> |𝑏|( +9) - (+6) = (+3)ata

u ( +a) - (+b) = (-d) jika |a|< |𝑏|( +4) - (+6) = (-2)

( -a) - (-b) = (+c) jika |a|< |𝑏|( -4) - (-6) = (+2)

( -a) - (-b) = (-d) jika |a|> |𝑏|( -9) - (-6) = (-3)

ata

u

( +a) - (-b) = (+c)

( +4) - (-6) = (-2)

;v.j,/( -a) - (+b) = (-c)

( -4) - (+6) = (-10)

( +a) x (+b) = (+c) ( -a) x (-b) = (+c)

( +9) x (+6) = (+24) ( -4) x (-6) = (+24)

( +a) x (-b) = (-c) ( -a) x (+b) = (-c)

( +4) x (-6) = (-24) ( -4) x (+6) = (-24)

( +a) : (+b) = (+c) ( -a) : (-b) = (+c)

( +8) : (+6) = (+2) ( -8) : (-6) = (+2)

( +a) : (-b) = (-c) ( -a) : (+b) = (-c)

( +8) : (-4) = (-2) ( -8) : (+4) = (-2)

Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yangtidak bulat atau tidak utuh. Pecahan biasa

Contoh :3

4dan pecahan desimal contoh : 0,75.

Pecahan kompleks adalah pecahan yang padasalah satu atau kedua-dua sukunya terdapatsatu pecahan atau lebih.

Contoh :

3

5

8,13

4

,

2

43

5

,…….

𝑎

𝑏=

𝑎 𝑥 𝑐

𝑏 𝑥 𝑐

𝑎

𝑏=

𝑎∶ 𝑐

𝑏 ∶ 𝑐

Contoh :

1.5

8+

2

8=

7

8

2.5

8−

2

8=

3

8

3.6

8−

2

4=

3

4+

2

4=

5

4

4.6

8−

2

4=

3

4−

2

4=

1

4

Contoh :

1.𝑎

𝑥×

𝑏

𝑦=

𝑎𝑏

𝑥𝑦

2.3

4×

5

6=

15

24=

5

8

3. 5 3

4× 6

1

2=

299

8= 37

3

8

Contoh :5

8∶3

4=

5

8×

4

3=

20

24=

5

6

atau 5

8∶3

4=

5

8×

4

3=

5

6

2

Pangkat adalah suatu indeks yang

menunjukkan banyaknya perkalian bilangan

yang sama secara beruntun.Contoh :

7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 750,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7= 0,75

1.000.000.000 = 109 5.000.000.000 = 5 . 109

0,000.000.034 = 34 . 10−9

1) Bilangan bukan nol berpangkat nol adalah satu

2) Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu

tersendiri

3) Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol

4) Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali

5) Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari

bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam

pecahan pangkat

𝑥0=1 ( 𝑥 ≠ 0) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ ∶ 30 = 1

𝑥1=x 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ ∶ 31 = 3

0𝑥= 0 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ ∶ 03= 0

𝑥𝑎 =1

𝑥𝑎

𝑥𝑎

𝑏= 𝑏𝑥𝑎

𝑥𝑎. 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏 32. 34 = 32+4 = 36 =729

𝑥𝑎. 𝑦𝑎 = (𝑥𝑦)𝑎 32. 52 = (3.5)2= 152 = 225

𝑥𝑎: 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎−𝑏32. 34 = 32−4 = 3−2 =

1

9

𝑥𝑎: 𝑥𝑎 = (𝑥

𝑦)𝐚 32. 35 = (

3

5)2 =

9

25

Akar adalah bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat.xa; x disebut basis dan a disebut pangkat.

Pangkat akarnya berupa bilangan genap, maka radikan positif dan negatif akan menghasilkan 2 macam akar :

9 = ±3, (+3)2= 9; (−3)2= 9

Pangkat akarnya berupa bilangan ganjil, contohnya :

364 = +4

3−64 = −4

KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN

𝑎 𝑚 = 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 = m (x adalah basis)

KAIDAH

PENJUMLAHAN(PENGURANGAN)

BILANGAN TERAKAR

𝑏 𝑥 . 𝑏 𝑦 = 𝑏 𝑥𝑦 →38.

364 =

38.64 =

3512 = 8

KAIDAH PERKALIAN BILANGAN

TERAKAR

𝑏 𝑐𝑥𝑎 =

𝑏𝑐𝑥𝑎

315 625 =

2.315 625 = 5

KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN TERAKAR𝑏 𝑥𝑏 𝑦

=𝑏 𝑥

𝑦

38

364=

3 8

64=

3 1

8= 0,5

LOGARITMA

Kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengangkaran.

a = 𝑥log 𝑚 atau a=𝑙𝑜𝑔𝑥 m

a. 5log 25 = 2

b. 4log 64 = 3

c. 10log 100 = 2

Bentuk Pangkat Bentuk Akar Bentuk Logaritma

𝑥𝑎 = m 𝑎 𝑚 = 𝑥 𝑥log 𝑚=𝑎

Contoh :

1) 6log 36= 2 sebab 62=36 atau 36 = 6

2) 𝑗𝑖𝑘𝑎 3log 𝑚=10,berarti 310= m, m = 59 049

3) Jika 10log 1000=𝑎, berarti 10𝑎=1000, 10𝑎=103,

a=3

BASIS LOGARITMA

Basis logaritma yang paling lazim dipakai, karena

pertimbangan praktis dalam perhitungan, adalah

bilangan 10.

KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA

1. 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 =1 sebab 𝑥1=x

2. 𝑥𝑙𝑜𝑔1=0 sebab 𝑥0= 1

3. 𝑥log 𝑥𝑎=𝑎 sebab 𝑥𝑎= 𝑥𝑎

4. 𝑥log 𝑚𝑎=𝑎 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚

5. 𝑋 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚 =𝑚

6. 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚 𝑛 =𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚+𝑥𝑙𝑜𝑔𝑛

7. 𝑥log

1

8=𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚−𝑥𝑙𝑜𝑔𝑛

8. 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚.𝑚𝑙𝑜𝑔𝑥=1

9. 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑚.𝑚𝑙𝑜𝑔𝑛. 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥=1

PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA

Persamaan eksponesial adalah persamaan yang bilangan anunya berupa pangkat, misalnya5𝑥=125

Contoh :

Hitunglah x untuk 3𝑥+1=27

Dengan melogaritmakan kedua ruas

log 3𝑥+1= log 27

(x+1) log 3 = log 27

X+1 = log 27

log 3=1,4314

0,4771= 3

X=3-1=2 bukti 3𝑥+1=33=27