PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

Analisis Titik Luluh Material Menggunakan Metode Secant

Fitriyanti Nakul1, Mega Silvia Lestari1, Linda Handayani1, Deni1 dan Sparisoma Viridi1,a)

. 1Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung,

Jl. Ganesha no. 10 Bandung, Indonesia, 40132

a) dudung@fi.itb.ac.id (corresponding author)

Abstrak

Kekuatan mekanik material menjadi salah satu faktor penting yang menentukan kualitas bahan. Jika ditinjau secara mikroskopik, kekuatan mekanik mencerminkan kekuatan antar ikatan partikel dari material tersebut. Pada penelitian ini, ikatan antar partikel terdekat didekati dengan sistem partikel-pegas bergandeng. Kondisi gerak pada sistem diasumsikan sebagai gerak statis sehingga percepatan bernilai nol. Selain itu, parameter konstanta pegas dan jenis material yang digunakan juga divariasikan. Penyelesaian numerik dengan metode secant digunakan untuk menentukan titik regangan luluh saat bahan mulai berdeformasi. Perbandingan hasil perhitungan secara numerik dengan hasil analitik yang dirujuk sesuai data referensi menunjukkan nilai regangan luluh untuk alumunium dan tembaga, masing-masing bersesuaian saat konstanta pegas dari alumunium, k1 = 1,35 x 105 N/m dan k2 =1,55 x 105 N/m dan tembaga, dengan nilai k1 = 0,89 x 105 N/m dan k2

=0,79 x 105 N/m.

Kata-kata kunci: Regangan luluh, Metode secant, Konstanta pegas

PENDAHULUAN

Bahan logam maupun non logam memiliki karakteristik mekanik yang menentukan kualitas bahan tersebut. Karakteristik ini berkaitan dengan kemampuan bahan untuk menahan beban luar yang mengenainya. Beban atau gaya luar yang diberikan akan cenderung menimbulkan perubahan bentuk dan ukuran (deformasi) ketika mencapai batasan nilai tertentu [1]. Untuk menghindari masalah yang akan ditimbulkan dari perubahan bentuk tersebut maka perlu dilakukan pengujian karakteristik material melalui pengontrolan dan desain yang tepat, termasuk pentingnya menentukan nilai batasan saat bahan mulai berdeformasi yang direpresentasikan oleh titik luluh material. Titik luluh merupakan parameter yang mendeskripsikan suatu kondisi saat material tidak lagi berada dalam kondisi elastis, dengan kata lain ketika pembebanan dihilangkan, benda tersebut tidak dapat kembali ke bentuk semula [2]. Titik maksimum ini menjadi batasan antara daerah A (linear/elastis) dan daerah B (plastis), saat mulai terjadi deformasi seperti tampak pada Gambar 1.

Berdasarkan Gambar 1, secara kuantitatif untuk daerah linier (daerah A) berlaku persamaan yang mengikuti hukum Hooke [2] sedangkan pada daerah plastis (daerah B) berlaku persamaan Hollomon [3]. Persamaan Hollomon merepresentasikan kondisi saat bahan mengalami deformasi. Deformasi yang terjadi kerap menimbulkan masalah saat diberikan beban yang berlebihan, tetapi juga dapat dimanfaatkan untuk mendesain bentuk material sesuai yang diinginkan. Hal ini tentu bergantung pada titik luluh dari material yang digunakan sehingga dibutuhkan penentuan parameter fisis dari material yang berkaitan dengan kondisi tersebut, termasuk karakteristik regangan luluh. Dalam penelitian ini, penyelesaian numerik dengan metode secant digunakan untuk mendapatkan nilai konstanta dari persamaan Hollomon yang menghubungkan

ISBN : 978-602-19655-9-7 246

PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

persamaan tersebut dengan persamaan Hooke. Penyelidikan juga dilakukan untuk beberapa variasi, yakni variasi material berupa alumunium dan tembaga, dan variasi nilai konstanta pegas sehingga dapat diperoleh relasi antara konstanta pegas terhadap deformasi pada bahan yang dideskripsikan dengan parameter regangan luluh. Selanjutnya, perbandingan antara hasil pendekatan secara numerik dan hasil analitik sesuai data referensi dianalisis terhadap nilai konstanta pegas yang dipilih.

Gambar 1. Hubungan regangan dan tegangan pada bahan.

PEMODELAN SISTEM DAN METODE NUMERIK

Pemodelan Sistem

Penentuan titik luluh dilakukan dengan menggunakan model sistem pegas bergandeng (1 partikel, 2 pegas) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Model sistem pegas bergandeng Dengan menerapkan persamaan Euler-Lagrange pada sistem tersebut, maka persamaan gerak sistem

dinyatakan menjadi,

0)( 221211 =−++ xkxkkxm (1) Gerak pada sistem ditinjau sebagai gerak statis, maka 01 =x , sehingga:

12

212 )( x

kkkx +

= (2)

Beberapa parameter penting yang berelasi dengan fokus kajian dari sistem yang ditinjau meliputi:

Tegangan (σ ) sebagai besaran pengukuran intensitas gaya (F) atau reaksi dalam yang timbul persatuan luas (A). Sedangkan regangan (ε ) merupakan perubahan geometri panjang awal sebagai hasil dari gaya yang

k1x1 k2 (x1-x2)

m

ISBN : 978-602-19655-9-7 247

PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

menarik atau menekan material. Kemudian, K dan n sebagai konstanta empirik yang diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan sebelum terjadi necking, dan C merupakan konstanta berdimensi (N/m2).

Pada kasus ini, fungsi persamaan untuk daerah A (linier) dan fungsi persamaan untuk daerah (plastis), ditentukan untuk mengetahui di titik mana bahan mulai berdeformasi. Persamaan untuk kedua daerah, masing-masing diwakili sebagai berikut,

a) Fungsi untuk daerah A (linier)

fungsi regangan; l

xx 21 +=ε (3)

lx

kkk 1

2

21 2

+=ε (4)

fungsi tegangan; εσ m= (5)

dengan,

+

+

=21

221

22

kklk

Akkm

(b) Fungsi untuk daerah B (plastis)

CK n += εσ (6) Fungsi Hollomon [3] pada persamaan (6) dipilih untuk mewakili daerah saat terjadi deformasi, dengan K

dan n, masing-masing sebagai konstanta natural sebelum terjadi necking. Selain itu, jika dianalisis secara numerik, fungsi ini memberikan gambaran adanya parameter konstanta C yang menghubungkan dua persamaan yang diwakilkan oleh dua daerah berbeda (daerah linier dan daerah plastis) sehingga menyatu dalam satu titik tertentu. Titik yang dimaksudkan, kemudian dijadikan acuan dalam penentuan koordinat regangan luluh material.

Penentuan Syarat Batas

Penentuan titik potong yang menghubungkan persamaan Hooke dan Hollomon diperoleh dengan menerapkan syarat batas kontinuitas yang harus terpenuhi pada dua daerah yang ditinjau, kedua syarat batas, diberikan pada persamaan (7) dan (8), yaitu

)()( 21 εσεσ = (7)

εεσ

εεσ

dd

dd )()( 21 = (8)

Dari penerapan syarat batas diperoleh,

1

1−

=

n

nKmε (9)

Sedangkan parameter konstanta K diekspresikan melalui persamaan (10).

1−= nnmKε

(10)

ISBN : 978-602-19655-9-7 248

PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

Dengan mensubtitusikan parameter K dan ε ke persamaan (7) diperoleh nilai konstanta C secara analitik sebagai berikut;

−=

−11

n

nKm

nmmC (11)

Selain itu, syarat peralihan dari daerah A (linier) ke daerah B (plastis) harus terpenuhi dengan menerapkan

kondisi sebagai berikut: (a) jika intersectεε ≤ → (daerah linier)

(b) jika intersectεε ≥ → (daerah plastis)

Metode Numerik

Penyelesaian secara numerik diimplementasikan melalui penggunaan metode secant, Adapun metode secant dimanfaatkan untuk menentukan nilai akar-akar dari sebuah fungsi [4]. Secara umum, bentuk metode secant diberikan pada persamaan (12).

)()()()(

1

11

−

−+ −

−−=

nn

nnnnn XfXf

XfXXXX (12)

Berdasarkan pendekatan yang digunakan pada kasus ini, maka nilai konstanta C secara numerik dihasilkan dari fungsi pada persamaan (13) yang diperoleh dari penerapan syarat batas yang telah ditentukan.

n

nKmC

nmmcF

−

−−=

11

)( (13)

Dalam implementasinya persamaan (5), (9), (11) dan (13) dituangkan dalam algoritma berikut:

L01. Input parameter k1, k2, A, l, K, n

L02. Definisikan parameter

+

+

=21

221

22

kklk

Akkm

L03. Ambil kondisi syarat awal, x1 = 0, x2 = 0, ∆ x = 0; 000001, = 0 L04. x1 = …? , x2 =…?, dan xtot =…? L05. ?...?,... 11 == σε

L06. ?...secint =terε L07. Konstanta Ca =…? #analitik L08. F(C) =…? #numerik

L09. Gunakan metode secant, )()()()(

1

11

−

−+ −

−−=

nn

nnnnn CfCf

CfCCCC

L10. Terapkan syarat batas, intersectεε ≤ → (daerah linier), intersectεε ≥ → (daerah plastis) L11. Output, plot grafik hubungan regangan dan tegangan bahan.

ISBN : 978-602-19655-9-7 249

PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

HASIL NUMERIK DAN PERBANDINGAN DATA REFERENSI Parameter yang digunakan dalam penyelesaian secara numerik, diberikan pada Tabel 1. Parameter luas penampang bahan (A) dan panjang pegas (L) dipilih sembarang. Sedangkan, data untuk parameter konstanta K dan n sesuai dengan rujukan referensi dari hasil penelitian yang terkait [5].

Tabel 1. Nilai-nilai parameter yang digunakan

Material A (m2) L (m) n K (N/m)

Alumunium 1,5 x 10-6 2,5 0,2 1,8 x 108 Tembaga 1,6 x 10-6 0,95 0,54 3,15 x108

Secara spesifik, parameter yang dibahas pada penelitian ini ditujukan pada nilai regangan luluh

Aluminium dan Tembaga dengan variasi konstanta pegas. Kurva deformasi dari kedua material, Alumunium dan Tembaga masing- masing dapat dilihat pada Gambar 3.

(a)

(b)

Gambar 3. Perbandingan hubungan tegangan dan regangan material dengan variasi konstanta pegas k1 dan k2, (a) Alumunium, (b) Tembaga.

Variasi parameter dilakukan dengan mengubah nilai konstanta pegas untuk melihat posisi regangan

luluhnya. Konstanta pegas yang digunakan dan regangan luluh yang diperoleh secara berurutan ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Perhitungan numerik regangan luluh dari variasi parameter konstanta pada material Alumunium dan Tembaga

Material Variasi Ke-

k1 (N/m)

k2 (N/m) Regangan luluh

Alumunium I 1,60 x 105 2,55 x 105 17 x 10-5 II 2,40 x 105 1,25 x 105 26 x 10-5 III 1,35 x 105 1.55 x 105 28 x 10-5

Tembaga I 2,89 x 105 2,79 x 105 5 x 10-5 II 1,89 x 105 1,79 x 105 12 x 10-5 III 0,89 x 105 0,79 x 105 68 x 10-5

Berdasarkan Tabel 1, tampak bahwa perubahan variasi parameter nilai konstanta pegas memberikan

perubahan terhadap titik dimana bahan mulai berdeformasi. Secara keseluruhan, semakin besar konstanta pegas, menyebabkan gaya yang mengenai bahan juga besar. Hal inilah yang kemudian menyebabkan aluminium maupun tembaga dengan konstanta pegas yang lebih besar lebih cepat berdeformasi jika dibandingkan dengan nilai konstanta pegas yang lebih kecil. Untuk memperoleh nilai regangan luluh yang proporsional saat terjadi peralihan dari daerah linieritas ke deformasi, nilai konstanta pegas k1 dan k2 tidak dapat dipilih sembarang, melainkan terdapat kisaran nilai konstanta tertentu yang dapat memenuhi kondisi tersebut.

ISBN : 978-602-19655-9-7 250

PROSIDING SKF 2015

16-17 Desember 2015

Jika merujuk pada literatur yang telah ada, besar nilai regangan ( nε ) yang dianalisis secara numerik, memiliki nilai yang sama dengan nilai pada data referensi [5]. Analisis nilai regangan pada data referensi ini diperoleh dari hasil perbandingan besaran modulus Young dan tegangan luluh. Data parameter modulus Young ( E ), tegangan luluh (σ ), dan hasil analitik regangan luluh (ε ) [5] serta hasil perhitungan regangan luluh dengan pendekatan numerik ditunjukkan pada Tabel 3.

Tabel 3. Tabel Perbandingan Perhitungan analitik dan numerik regangan luluh Material

Material E (N/m2) σ (N/m2) Regangan luluh Referensi Numerik

Alumunium 1011 2,8 x 106 28 x 10-5 28 x 10-5 Tembaga 11 x 1011 69 x 106 67 x 10-5 68 x 10-5

Berdasarkan Tabel 3. Nilai regangan luluh yang diperoleh dengan pendekatan numerik bersesuaian

dengan data referensi [4]. Pada alumunium, kondisi ini terpenuhi ketika k1 = 1,35 x 105 N/m dan k2 =1,55 x 105 N/m, sedangkan pada tembaga, kondisi ini terjadi saat k1 = 0,89 x 105 N/m dan k2 =0,79 x 105 N/m. Pada kajian ini, nilai konstanta pegas dipilih untuk mendapatkan regangan luluh. Selanjutnya, diharapkan dengan analisa dan pendekatan numerik yang tepat dapat ditentukan nilai konstanta pegas yang bersesuaian.

KESIMPULAN

Perubahan nilai konstanta pegas dan jenis bahan yang berbeda mempengaruhi besarnya nilai regangan luluh suatu material. Pada aluminium, dengan konstanta pegas k1 = 1,35 x 105 N/m dan k2 =1,55 x 105 N/m , besarnya regangan luluh adalah 28 x 10-5. Pada tembaga, dengan k1 = 0,89 x 105 N/m dan k2 =0,79 x 105 N/m besarnya regangan luluh adalah 68 x 10-5.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan satu tim yang telah memberikan bantuan dalam merampungkan Research Based Learning (RBL) ini.

REFERENSI

1. Souisa, Metheus. Analisis Modulus Elastisitas dan Angka Poison Bahan dengan Uji Tarik. Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan. 2011, 9.14

2. M. Vable "Mechanics of Materials: Mechanical Properties of Materials", Chapter 3. 2014. http://www.me.mtu.edu/ mavable/Book/Chapter3.pdf.

3. J.H. Hollomon, Tensile Deformation, Trans. AIME, 162, 268 (1945). 4. A, Setiawan. Pengantar Metode Numerik. (2006). Penerbit Andi, Yogyakarta. Hal. 37 5. Daryus, Asyari. "Diktat Material Teknik", Teknik Mesin Universitas Darma Persada, Jakarta. Hal. 16

ISBN : 978-602-19655-9-7 251