Analisis Struktur 2 - Modul 2

MODUL PERKULIAHAN

Analisis Struktur 2

Review Teori matriks

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Teknik Perencanaan dan Desain

Teknik Sipil

0211018 Gneis Setia Graha, ST., MT.

Abstract KompetensiMateri Analisa Struktur 2 berisikan review teori matriks: (1) definisi matriks, (2) jenis matriks, (3) operasi dan sifat matriks, (4) determinan matriks, dan (5) invers matriks.

Mahasiswa/i dapat mengingat kembali teori matematik tentang matriks dan dapat menyelesaikan operasi-operasi matriks.

‘13 1

Analisis Struktur 2Pusat Bahan Ajar dan eLearning

Gneis Setia Graha, ST., MT. http://www.mercubuana.ac.id

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI.............................................................................................................................................2

1 MATRIKS........................................................................................................................................3

1.1 Definisi Matriks......................................................................................................................3

1.2 Jenis Matriks..........................................................................................................................3

1.3 Operasi dan Sifat Matriks.......................................................................................................4

1.3.1 Operasi Matriks..............................................................................................................4

1.4 Transpose Matriks.................................................................................................................6

1.5 Determinan Matriks...............................................................................................................6

1.6 Invers Matriks........................................................................................................................7

2 DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................................................9

‘13 2



1 MATRIKS1.1 Definisi Matriks

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk

persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom (Wikipedia, 2015). Secara spesifik,

suatu matriks terdiri atas m-baris dan n-kolom, seperti ditunjukkan matriks berikut.

A=(a11 a12a21 a22

⋯ a1n⋯ a2n

⋮ ⋮am1 am2

⋱ ⋮⋯ amn

)Dalam operasi matematik, matriks biasa ditulis kedalam bentuk Amxn atau Ajumlah baris x jumlah kolom.

Contoh matriks A2x2:

A=[2 41 −6]

1.2 Jenis Matriks

Jenis matriks secara garis besar dibagi dua, yaitu (1) matriks berdasarkan jumlah baris dan

kolomnya dan (2) matriks berdasarkan elemennya.

Tabel 1 Jenis Matriks (Pengertian dan Jenis-jenis Matriks, 2015)

NO TIPE CONTOH

Pola Baris dan Kolom

1 Matriks Persegi

Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.matriks2 x2→[2 4

1 −6 ]2 Matriks Baris

Matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa

kolom.

matriks3 x1→ (1 2 3 )

3 Matriks Kolom

Matriks yang terdiri dari satu kolom dan beberapa

baris.

matriks1 x3→(123)Pola Elemen

1 Matriks Nol

Matriks yang elemen-elemennya bernilai nol.matriks2 x2→[0 0

0 0]

‘13 3



m-baris

n-kolom

ELEMEN

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

NO TIPE CONTOH

2 Matriks Diagonal

Matriks yang elemen selain diagonal utama bernilai

nol.

matriks3 x3→[1 0 00 2 00 0 3]

3 Matriks Identitas

Matriks yang elemen-elemen di diagonal utamnya

bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama

bernilai nol. Matriks identitas biasa disebut matriks I.

matriks3 x3→

I=[1 0 00 1 00 0 1]

4 Matriks Segitiga

Matriks segitiga atas merupakan matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utamanya

bernilai nol.

Matriks segitiga bawah merupakan matriks yang

elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai

nol.

Matriks segitiga atas:

matriks3 x3→[1 2 30 4 50 0 6 ]

Matriks segitiga bawah:

matriks3 x3→[ 1 0 02 3 04 5 6 ]

5 Matriks Simetris

Matriks yang elemen-elemen di bawah dan di atas

diagonal utamanya simetris.

matriks3 x3→[ 1 4 54 2 66 5 3]

6 Matriks Sebarang

Matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya

bernilai nol dan yang di luar diagonal utama nilainya

Amn=−Anm.

matriks3 x3→[ 0 2 −3−2 0 13 −1 0 ]

7 Matriks Skalar

Matriks yang elemen-elemen pada diagonal

utamanya sama dan elemen lain bernilai nol.

matriks3 x3→[2 0 00 2 00 0 2]

1.3 Operasi dan Sifat Matriks

1.3.1 Operasi MatriksOperasi perhitungan matematik pada matriks, meliputi penjumlahan, pengurangan dan

perkalian. Sedangkan pada operasi perhitungan matriks tidak ada pembagian. Berikut sifat

operasi perhitungan matriks:

1. A+B=B+A

2. A+(B+C )=( A+B )+C

3. A+0=A

4. A−B≠ B−A

‘13 4



5. A×B≠B× A

6. A (B×C )=(A ×B )C

7. |A×B|=|A|∙|B|

‘13 5



Tabel 2 Operasi Matriks (Lerner, 2008)

NO TIPE RUMUS CONTOH

1 Operasi Penjumlahan Matriks

Matriks A dan B yang memiliki ukuran yang sama,

maka penjumlahan matriks A+B dapat ditentukan

oleh rumus disamping.

( A+B )mn=Amn+Bmn ( 2 1−3 47 0 )+(6 −1.2

π x1 −1 )=( 8 −0.2

π−3 x+48 −1 )

2 Operasi Pengurangan Matriks

Matriks A dan B yang memiliki ukuran yang sama,

maka pengurangan matriks A-B dapat ditentukan

oleh rumus disamping.

( A−B )mn=Amn−Bmn ( 2 1−3 47 0 )−(6 −1.2

π x1 −1 )=( −4 2.2

−3−π 4−x6 1 )

3 Perkalian Skalar Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan skalar C untuk

mendapatkan matriks CA.

(CA )mn=C Amn −3(1 23 4)=(−3 −6

−9 −12)

4 Perkalian Matriks

Perkalian matriks A dan matriks B dapat dilakukan,

jika jumlah elemen pada kolom matriks A sama

dengan jumlah elemen pada baris matriks B.

( AB )mn=∑s=1

k

AmsBsn

atau

( AB )mn=Am1B1n+Am2B2n+…+AmkBkn

(1 3 52 4 6)(1 2

3 45 6 )=(1×1+3×3+5×5 1×2+3×4+5×6

2×1+4×3+6×5 2×2+4×4+6×6)=(35 4444 56 )

‘13 6



1.4 Transpose Matriks

Transpose matriks A, disimbolkan dengan AT, diperoleh dari mengubah baris matriks A

menjadi kolom matriks A.

AmnT =Anm

(a bc d )

T

=(a cb d)

Contoh operasi transpose matriks:

(1 23 45 6 )

T

=(1 3 52 4 6)

1. ( AT )T=A

2. ( AB )T=AT×BT

1.5 Determinan Matriks

Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali elemen-elemen

pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan

matriks hanya berlaku untuk matriks bujur sangkar. Determinan dari matriks A dinotasikan

det A atau IAI. Berikur penyelesaian untuk memperoleh determinan matriks A (2x2 dan 3x3)

menggunakan Metode Sarrus.

Determinan matriks 2x2:

Determinan matriks 3x3:

‘13 7



Arah garis hijau : negatif

Arah garis biru : positif

Contoh:

Tentukan nilai determinan dari matriks berikut ?

A=(−1 2 54 −3 10 2 3)

Solusi:

det A=|−1 2 54 −3 10 2 3|

−1 24 −30 2

det A=[ (−1×−3×3 )+ (2×1×0 )+(5×4×2 ) ]− [(0×−3×5 )+(2×1×−1 )+ (3×4×2 ) ]det A=27

1.6 Invers Matriks

Matriks A dikalikan dengan inversnya maka akan diperoleh matriks identitas.

A=(a bc d)

A−1= 1det A

Adj ( A )= 1ad−bc ( d −b

−c a )A× A−1=I=(1 0

0 1)Untuk lebih memahami invers matriks, diberikan contoh sebagai berikut:

Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A?

A=(−2 1−7 4) ,B=(−4 1

−7 2)Solusi:

Matriks B merupakan invers dari matrik A jika memenuhi persamaan AB = I.

AB=(−2 1−7 4)(−4 1

−7 2)=( 8−7 −2+228−28 −7+8)=(1 0

0 1)Karena AB = I, maka matriks H merupakan invers dari matriks G atau (H = G-1).

‘13 8



Arah garis hijau : negatif

Arah garis biru : positif

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.com/2014/11/soal-dan-pembahasan-determinan-matriks.html?en

Sifat-sifat invers matriks:

1. AI = IA = I

2. AA-1 = A-1A = I

3. ( A−1 )−1=A

4. ( AB )−1=A−1×B−1

5. (kA )−1=1kA−1

6. ( AT )−1=( A−1 )T

Contoh:

Carilah matriks X yang memenuhi persamaan berikut:

(2 33 5)X=( 5 3

−2 2)Solusi:

AX = B, sehingga:

X= 1ad−bc ( d −b

−c a )B

X= 12.5−3.3 ( 5 −3

−3 2 )( 5 3−2 2)=( 25+6 15−6

15−10 9+18 )X=(31 9

5 27)

‘13 9



2 DAFTAR PUSTAKALerner, D. (2008). Lecture notes on linear algebra. Department of Mathematics University of Kansas.

Matrix (mathematics). (2015, March 16). Diambil kembali dari Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Square_matrices

Pengertian dan Jenis-jenis Matriks. (2015, March 16). Diambil kembali dari Blogspot: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.com/2014/10/pengertian-dan-jenis-jenis-matriks.html

‘13 10



Analisis Struktur 2 - Modul 2

Documents

Transcript of Analisis Struktur 2 - Modul 2