Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya...

of 209 /209
Analisis Analisis Analisis Analisis Rangkaian Rangkaian Rangkaian Rangkaian Listrik Listrik Listrik Listrik Jilid 3 darpublic Sudaryatno Sudirham

Transcript of Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya...

Page 1: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian Rangkaian Rangkaian Rangkaian ListrikListrikListrikListrik

Jilid 3

darpublic

Sudaryatno Sudirham

Page 2: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

Analisis

Rangkaian Listrik Jilid 3

(Rangkaian Magnetik, Transformator, Mesin

Sinkron, Mesin Asinkron, Analisis Harmonisa)

oleh

Sudaryatno Sudirham

Page 3: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Analisis Rangkaian Listrik (3)

Bandung

are-0710

e-mail: [email protected]

Alamat pos: Kanayakan D-30, Komp ITB, Bandung, 40135.

Page 4: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

iii

Pengantar

Buku ini adalah jilid ke-tiga dari satu seri pembahasan analisis

rangkaian listrik. Penataan ulang serta penambahan materi bahasan

penulis lakukan terhadap buku yang diterbitkan tahun 2002. Dalam

buku ini pembaca diperkenalkan pada teknik konversi energi, serta

persoalan harmonisa dalam sistem tenaga.

Dalam bab pertama diperkenalkan rangkaian magnetik yang

merupakan landasan dikembangkannya mesin-mesin konversi

energi. Tiga bab berikutnya membahas transformator, mesin sinkron,

dan mesin asinkron. Lima bab berikutnya berisi analisis harmonisa,

diawali dengan pembahasan sinyal non sinus di kawasan waktu,

dilanjutkan dengan tinjauan di kawasan fasor, pembebanan non

linier, dampak harmonisa pada piranti, dan diakhiri dengan

pembahasan harmonisa pada sistem tiga fasa.

Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Saran dan

usulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya,

sangat penulis harapkan.

Bandung, 26 Juli 2010

Wassalam,

Penulis.

Page 5: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

iv

<< La plus grande partie du savoir

humain est déposée dans des

documents et des livres,

mémoires en papier

de l’humanité.>>

A. Schopenhauer, 1788 – 1860

Dari Mini-Encyclopédie

France Loisirs

ISBN 2-7242-1551-6

Page 6: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Rangkaian Magnetik 1

Hukum-Hukum. Perhitungan Pada Rangkaian Magnetik.

Rugi-Rugi Dalam Rangkaian Magnetik. Gaya Magnetik.

Induktor

Bab 2: Tansformator 29

Transformator Satu Fasa. Teori Operasi Transformator.

Diagram Fasor. Rangkaian Ekivalen. Impedansi Masukan.

Penentuan Parameter Transformator. Efisiensi dan Regulasi

Tegangan. Konstruksi Transformator. Transformator Pada

Sistem Tiga Fasa

Bab 3: Mesin Sinkron 53

Mesin Kutub Menonjol. Mesin Sinkron Rotor Silindris

Bab 4: Motor Asinkron 69

Konstruksi Dan Cara Kerja. Rangkaian Ekivalen. Penentuan

Parameter Rangkaian. Torka.

Bab 5: Sinyal +on Sinus 89

Pendekatan Numerik Sinyal Nonsinus. Elemen Linier

Dengan Sinyal Nonsinus. Nilai Rata-Rata Dan Nilai Efektif

Sinyal Nonsinus. Daya Pada Sinyal Nonsinus. Resonansi.

Bab 6: Pembebanan +on Linier 111

Tinjauan Di Sisi Beban. Tinjauan Di Sisi Sumber. Contoh

Kasus: Penyearah Setengah Gelombang. Perambatan

Harmonisa. Ukuran Distorsi Harmonisa.

Bab 7: Tinjauan Di Kawasan Fasor 129

Pernyataan Sinyal Nonsinus Dalam Fasor. Impedansi. Nilai

Efektif. Sumber Tegangan Sinusiodal Dengan Beban

Nonlinier. Teorema Tellegen. Transfer Daya. Kompensasi

Daya Reaktif.

Page 7: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

vi

Bab 8: Dampak Harmonisa Pada Piranti 161

Konduktor. Kapasitor. Induktor. Transformator. Tegangan

Maksimum Pada Piranti. Partial Discharge. Alat Ukur

Elektromekanik. Resume.

Bab 9: Harmonisa Pada Sistem Tiga Fasa 189

Komponen Harmonisa Dalam Sistem Tiga Fasa. Relasi

Tegangan Fasa-Fasa dan Fasa-Netral. Hubungan Sumber

Dan Beban. Sumber Bekerja Paralel. Penyaluran Energi ke

Beban. Rangkaian Ekivalen Untuk Analisis.

Daftar Referensi 199

Indeks 201

Biodata 202

Page 8: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

1

BAB 1 Rangkaian Magnetik

Rangkaian magnetik merupakan basis dari sebagian terbesar peralatan

listrik di industri maupun rumah tangga. Motor dan generator dari yang

bekemampuan kecil sampai sangat besar, berbasis pada medan magnetik

yang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita

akan melihat hukum-hukum dasar, perhitungan dalam rangkaian

magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor dan induktansi bersama.

Seperti halnya analisis rangkaian listrik yang dilandasi oleh beberapa

hukum saja, yaitu hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff, analisis rangkaian

magnetik juga dilandasi oleh hanya beberapa hukum saja, yaitu hukum

Faraday dan hukum Ampère. Pembahasan kita akan diawali oleh kedua

hukum tersebut dan setelah itu kita akan melihat rangkaian magnetik,

yang sudah barang tentu melibatkan material magnetik. Walaupun

demikian, di bab ini kita tidak akan membahas mengenai material

magnetik itu sendiri, melainkan hanya akan melihat pada hal-hal yang

kita perlukan dalam kaitannya dengan analisis rangkaian magnetik. Kita

juga hanya akan melibatkan beberapa jenis material saja yang telah sejak

lama digunakan walaupun material jenis baru telah dikembangkan.

Setelah mempelajari bab ini kita akan:

•••• memahami hukum-hukum yang mendasari analisis rangkaian

magnetik;

•••• mampu melakukan perhitungan pada rangkaian magnetik;

•••• memahami dan mampu menghitung rugi-rugi dalam rangkaian

magnetik;

•••• memahami dan mampu melakukan perhitungan-perhitungan

pada induktor.

1.1. Hukum-Hukum

Hukum Faraday. Pada 1831 Faraday (1791-1867) menunjukkan bahwa

gejala listrik dapat dibangkitkan dari magnet. Dari kumpulan catatan

hasil percobaan yang dilakukan oleh Faraday, suatu formulasi matematis

telah diturunkan untuk menyatakan hukum Faraday, yaitu :

Page 9: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

dt

de

λ−= (1.1)

dengan e menunjukkan tegangan induksi [volt] pada suatu kumparan,

dan λ adalah fluksi lingkup yang dicakup oleh kumparan. Jika kumparan

mempunyai lilitan dan setiap lilitan mencakup fluksi magnit sebesar φ

[weber], maka fluksi lingkup adalah λ = φ [weber-lilitan] dan (1.1)

menjadi

dt

de

φ−= (1.2)

Tanda negatif pada (1.1) diberikan oleh Emil Lenz, yang setelah

melanjutkan percobaan Faraday menunjukkan bahwa arah arus induksi

selalu sedemikian rupa sehingga terjadi perlawanan terhadap aksi yang

menimbulkannya. Reaksi demikian ini disebut hukum Lenz.

Hukum Ampère. André Marie Ampère (1775 – 1836), melakukan

percobaan yang terkenal dalam kaitan kemagnitan, yaitu mengenai

timbulnya gaya mekanis antara dua kawat paralel yang dialiri arus listrik.

Besar gaya F dinyatakan secara matematis sebagai

2

21 II

r

lF

πµ

= (1.3)

dengan I1 dan I2 adalah arus di masing-masing konduktor, l adalah

panjang konduktor, dan r menunjukkan jarak antara sumbu kedua

konduktor dan besaran µ merupakan besaran yang ditentukan oleh

medium dimana kedua kawat tersebut berada.

Arus I2 dapat dipandang sebagai pembangkit suatu besaran medan magnit

di sekeliling kawat yang dialirinya, yang besarnya adalah

r

IB

2

2

π

µ= (1.4)

Hasil ini juga diamati oleh dua peneliti Perancis yaitu J.B. Biot dan F.

Savart. Dengan (1.4), maka (1.3) menjadi lebih sederhana yaitu

1BlIF = (1.5)

Persamaan (1.5) ini berlaku jika kedua kawat adalah sebidang. Jika kawat

ke-dua membentuk sudut θ dengan kawat pertama maka (1.5) menjadi

Page 10: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

3

θ= sin1BlIF (1.6)

Secara umum (1.6) dapat ditulis

)( θ= fIBKF B (1.7)

dengan f(θ) adalah suatu fungsi sudut antara medan B dan arus I , dan KB

adalah suatu konstanta untuk memperhitungkan berbagai faktor, seperti

misalnya panjang kawat. Besaran B mempunyai satuan [weber/meter2];

hal ini dapat diturunkan sebagai berikut.

Menurut (1.5), satuan B adalah : ][][

][][

meteramp

newtonB

×=

sedangkan ][

]detik[ ][ ][

][

]detik].[[][

meter

ampvolt

meter

watt

panjang

energinewton ===

sehingga ][

][

][

]detik[ ][

][ ][

]detik[ [amp] ][][

222 meter

weber

meter

volt

meteramp

voltB === .

Jadi B menunjukkan kerapatan fluksi magnetik dengan satuan [weber/m2]

atau [tesla]. Arah B ditentukan sesuai dengan kaidah tangan kanan yang

menyatakan bahwa : jika kawat yang dialiri arus digenggam dengan

tangan kanan dengan ibujari mengarah sejajar aliran arus maka arah B

adalah sesuai dengan arah penunjukan jari-jari yang menggenggam

kawat tersebut.

Permeabilitas. Dalam persamaan (1.3), µ mewakili sifat medium

tempat kedua konduktor berada; besaran ini disebut permeabilitas. Untuk

ruang hampa, permeabilitas ini adalah

70 104 −×π=µ (1.8)

dengan satuan ][

][

meter

henry. Hal ini dapat diturunkan sebagai berikut.

][

][

][ ][

]detik[ ][

][ ][

]detik[ ][ ][

][

][][

220meter

henry

meteramp

volt

meteramp

ampvolt

amp

newton====µ

karena ][ ][

]detik[ ][henry

amp

volt= yaitu satuan induktansi.

Page 11: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Dalam hal mediumnya bukan vakum maka permeabilitasnya dinyatakan

sebagai

0µ×µ=µ r (1.9)

dengan µr adalah permeabilitas relatif, yang merupakan perbandingan

antara permeabilitas medium terhadap vakum.

Intensitas Medan Magnet. Dalam perhitungan-perhitungan rangkaian

magnetik, akan lebih mudah jika kita bekerja dengan besaran magnetik

yang tidak tergantung dari medium. Hal ini terutama kita temui pada

mesin-mesin listrik dimana fluksi magnetik menembus berbagai macam

medium. Oleh karena itu didefinisikan besaran yang disebut intensitas

medan magnetik , yaitu

µ≡

BH (1.10)

dengan satuan ][

][

]/[][

][ ]/[][][

2 meter

amp

ampnewton

meterampnewtonH == .

Dengan pendefinisian ini, H merupakan besaran yang tidak tergantung

dari medium. Secara umum satuan H adalah [lilitan amper]/[meter] dan

bukan [amp]/[meter] agar tercakup pembangkitan medan magnit oleh

belitan yang terdiri dari banyak lilitan.

Hukum Rangkaian Magnetik Ampère . Hukum rangkaian magnetik

Ampère menyatakan bahwa integral garis tertutup dari intensitas medan

magnit sama dengan jumlah arus (ampere turns) yang

membangkitkannya. Hukum ini dapat dituliskan sebagai

mFHdl =∫ (1.11)

Fm dipandang sebagai besaran pembangkit medan magnit dan disebut

magnetomotive force yang disingkat mmf. Besaran ini sama dengan

jumlah ampere-turn yang dilingkupi oleh garis fluksi magnit yang

tertutup.

Dari relasi di atas, diturunkan relasi-relasi yang sangat bermanfaat untuk

perhitungan rangkaian magnetik. Jika panjang total dari garis fluksi

magnit adalah L, maka total Fm yang diperlukan untuk membangkitkan

fluksi tersebut adalah

Page 12: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

5

LL µ

==B

HFm (1.12)

Apabila kerapatan fluksi adalah B dan fluksi menembus bidang yang

luasnya A , maka fluksi magnetnya adalah

BA=φ (1.13)

dan jika (1.13) dimasukkan ke (1.12) akan diperoleh

µφ==

AHFm

LL (1.14)

Apa yang berada dalam tanda kurung pada (1.14) ini sangat menarik,

karena sangat mirip dengan formula resistansi dalam rangkaian listrik.

Persamaan (1.14) ini dapat kita tuliskan

ℜ=

µ=φ m

m

FF

A

L (1.15)

Pada (1.15) ini, Fm merupakan besaran yang menyebabkan timbulnya

fluksi magnit φ. Besar fluksi ini dibatasi oleh suatu besaran ℜ yang kita

sebut reluktansi dari rangkaian magnetik, dengan hubungan

Aµ=ℜ

L (1.16)

Persamaan (1.15) sering disebut sebagai hukum Ohm untuk rangkaian

magnetik. Namun kita tetap harus ingat bahwa penurunan relasi ini

dilakukan dengan pembatasan bahwa B adalah kostan dan A tertentu.

Satuan dari reluktansi tidak diberi nama khusus.

1.2. Perhitungan Pada Rangkaian Magnetik

Perhitungan-perhitungan pada rangkaian magnetik pada umumnya

melibatkan material ferromagnetik. Perhitungan ditujukan pada dua

kelompok permasalahan, yaitu mencari mmf jika fluksi ditentukan

(permasalahan ini kita jumpai pada perancangan) mencari fluksi φ apabila

geometri dari rangkaian magnetik serta mmf diketahui (permasalahan ini

kita jumpai dalam analisis, misalnya jika kita harus mengetahui fluksi

gabungan dari suatu rangkaian magnetik yang dikendalikan oleh lebih

dari satu belitan). Berikut ini kita akan melihat perhitungan-perhitungan

rangkaian magnetik melalui beberapa contoh.

Page 13: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

CO+TOH 1.1 : Suatu toroid terdiri dari dua macam material

ferromagnetik dengan belitan pembangkit medan magnetik yang

terdiri dari 100 lilitan, seperti terlihat pada gambar di samping ini.

Material a adalah besi nikel

(nickel iron) dengan panjang

rata-rata La = 0,4 m. Material b

adalah baja silikon (medium

silicon sheet steel) dengan

panjang rata-rata Lb = 0,2 m.

Kedua bagian itu mempunyai

luas penampang sama, yaitu 0,001 m2. a). Tentukan Fm yang

diperlukan untuk membangkitkan fluksi φ = 6×10−4

weber. b).

Hitung arus yang harus mengalir pada belitan agar nilai fluksi

tersebut tercapai.

Penyelesaian :

Untuk memperoleh Fm total yang diperlukan, kita aplikasikan hukum

rangkaian Ampère pada rangkaian magnetik ini.

bbaambmatotalm HHFFF LL +=+=

Fluksi yang diinginkan di kedua bagian toroid adalah 6×10−4

weber,

sedangkan kedua bagian itu mempunyai luas penampang sama. Jadi

kerapatan fluksi di kedua bagian itu juga sama yaitu

tesla6,0001,0

0006,0==

φ==

ABB ba

Untuk mencapai kerapatan fluksi tersebut, masing-masing material

memerlukan intensitas medan yang berbeda. Intensitas medan yang

diperlukan dapat dicari melalui kurva B-H dari masing-masing

material, yang dapat dilihat di buku acuan. Salah satu kurva B-H

yang dapat kita peroleh adalah seperti dikutip pada Gb.1.1.

Dengan menggunakan kurva B-H ini, kita peroleh

AT/m 65 diperlukan tesla6.0untuk : Material

AT/m 10 diperlukan tesla6.0untuk : Material

==

==

bb

aa

HBb

HBa

Dengan demikian Fm total yang diperlukan adalah

AT 172.0654.010LL =×+×=+= bbaatotalm HHF

+

− E

R

Lb La

Page 14: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

7

b). Karena jumlah lilitan adalah 100, maka besar arus yang harus

mengalir di belitan untuk memperoleh Fm total sebesar 17 AT adalah

A 17,0100

17==I

Gb.1.1. Kurva B − H beberapa material.

Pemahaman :

Dalam pemecahan persoalan di atas, karakteristik medium tidak

dinyatakan oleh permeabilitas medium, melainkan oleh karakteristik

B-H dari masing-masing material. Kita lihat dari kutipan kurva B-H

pada Gb.1.1, bahwa hubungan antara B dan H adalah tidak linier.

Apabila kita menginginkan gambaran mengenai besar permeabilitas

masing-masing material, kita dapat menghitungnya dengan cara

yang diuraikan berikut ini.

Permeabilitas dari material a dan b masing-masing pada titik operasi

ini adalah

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

0 50 100 150 200 250 300 350 400

ickel-iron alloy , 47%

Medium silicon sheet

steel

Soft steel casting

Cast iron

H [ampre-turn / meter]

B

[tes

la]

Page 15: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

7340104

0092,0

rhenry/mete 0092,065

6,0

47740104

06.0

rhenry/mete 06,010

6,0

70

70

=×π

µ=µ→

===µ

=×π

µ=µ→

===µ

bbr

b

bb

aar

a

aa

H

B

H

B

Reluktansi rangkaian magnetik pada bagian toroid dengan material a

dan b masing-masing dapat juga kita hitung, yaitu

21670001,06,0

13

6670001,06,0

4

≈×

=ℜ

≈×

=ℜ

bmb

ama

F

F

Jadi walaupun bagian b dari toroid lebih pendek dari bagian a,

reluktansinya jauh lebih besar. Kedua bagian rangkaian magnetik

yang terhubung seri ini mempunyai reluktansi total sebesar

28340216706670 =+≈ℜ+ℜ=ℜ batot .

Untuk meyakinkan, kita hitung balik fluksi magnet.

weber10628340

17 4 −×==ℜ

=φtot

totalmF

Ternyata hasilnya sesuai dengan apa yang diminta dalam persoalan

ini. Hasil ini menunjukkan bahwa reluktansi magnetik yang

dihubungkan seri berperilaku seperti resistansi yang terhubung seri

pada rangkaian listrik; reluktansi total sama dengan jumlah

reluktansi yang diserikan.

CO+TOH 1.2 : Pada rangkaian magnetik dalam contoh 1.1. di atas,

berapakah fluksi magnetik yang akan dibangkitkan bila arus pada

belitan dinaikkan menjadi 0,35 A ?

Penyelesaian :

Page 16: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

9

Dengan arus 0,35 A, Fm total menjadi

AT 3535,0100 =×=totalmF .

Untuk menghitung besar fluksi yang terbangkit, kita perlu

mengetahui reluktansi total. Untuk itu perlu dihitung reluktansi dari

masing-masing bagian toroid. Hal ini tidak dapat dilakukan karena

untuk menghitung reluktansi tiap bagian perlu diketahui Fm dan B

untuk masing-masing bagian, sedangkan untuk menghitungnya perlu

diketahui besar fluksi φ yang justru ditanyakan.

Dari apa yang diketahui, yaitu Fm total dan ukuran toroid, kita

dapatkan hubungan

4,0

2,035

352,04,0LL

ba

babbaatotalm

HH

HHHHF

−=⇒

=+=+=

Karena luas penampang di kedua bagian toroid sama, yaitu 0,001

m2, maka kerapatan fluksi B juga sama. Dengan batasan ini, kita

mencoba menyelesaikan persoalan dengan cara mengamati kurva B-

H. Kita perkirakan suatu nilai Hb dan menghitung Ha, kemudian kita

mengamati lagi kurva B-H apakah untuk nilai Ha dan Hb ini terdapat

Ba = Bb . Jika tidak, kita koreksi nilai Hb dan dihitung lagi Ha dan

dilihat lagi apakah Ba = Bb. Jika tidak, kita lakukan koreksi lagi, dan

seterusnya sampai akhirnya diperoleh Ba ≈ Bb.

Kita mulai dengan Hb = 100 AT yang memberikan Ha = 37,5. Kedua

nilai ini terkait dengan Bb = 0,75 dan Ba = 0,9 tesla. Ter-nyata Ba ≠

Bb. Kita perbesar Hb agar Ha mengecil dan akan menyebabkan Bb

bertambah dan Ba berkurang. Pada nilai Hb = 110 AT, maka Ha =

32,5 dan terdapat Bb = 0,8 dan Ba = 0,85 tesla. Kita lakukan koreksi

lagi dan akan kita dapatkan Ba ≈ Bb ≈ 0,825 pada nilai Hb = 125 dan

Ha = 25 AT. Dengan nilai ini maka besar fluksi adalah

weber.1025,8001,0825,0 4−×=×=×=φ AB

Perhitungan secara grafis ini tentu mengandung ketidak-telitian. Jika

kesalahan yang terjadi adalah ± 5%, maka hasil perhitungan ini

dapat dianggap memadai.

Pemahaman :

Page 17: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Jika kita bandingkan hasil pada contoh 1.1. dan 1.2. maka akan

terlihat hal berikut.

contoh 1.1. :

weber106 tesla6,0 A 17,0 4−×=φ→=→= BI

contoh 1.2. :

weber1025,8 tesla825,0 A 35,0 4−×=φ→=→= BI

Dapat kita simpulkan bahwa menaikkan arus belitan menjadi dua

kali lipat tidak menghasilkan fluksi dua kali lipat. Hal ini disebabkan

oleh karakteristik magnetisasi material yang tidak linier.

CO+TOH 1.3 : Pada rangkaian magnetik di bawah ini, tentukanlah mmf

yang diperlukan untuk membangkitkan fluksi sebesar 0,0014 weber

di “kaki” sebelah kanan. Rangkaian magnetik ini mempunyai luas

penampang sama yaitu 0,002 m2, kecuali “kaki” tengah yang luasnya

0,0008 m2. Material yang digunakan adalah medium silicon steel.

Penyelesaian :

Rangkaian magnetik ini mempunyai tiga cabang, yaitu

cabang efab dengan reluktansi ℜ1; be dengan reluktansi ℜ2 dan

bcde dengan reluktansi ℜ3.

Rangkaian ekivalen dari rangkaian

magnetik ini dapat digambarkan

seperti di samping ini. Fluksi yang

diminta di kaki kanan adalah φ3 =

0.0014 weber. Karena dimensi kaki

ini diketahui maka kerapatan fluksi dapat dihitung, yaitu

tesla7,0002,0

0014,03 ==B .

0.15 m 0.15 m

0.1

5 m

a b c

d e f

Fm

ℜ1

ℜ2 ℜ3

Page 18: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

11

Berdasarkan kurva B-H dari material yang dipakai, kerapatan fluksi

ini memerlukan H3 sebesar 80 AT/m. Jadi mmf yang diperlukan

adalah

AT 36)15,03(80L33 =××=×= bcdem HF

Rangkaian ekivalen memperlihatkan bahwa ℜ2 terhubung paralel

dengan ℜ3. Hal ini berarti bahwa Fm3 juga harus muncul pada ℜ2,

yaitu reluktansi kaki tengah, dengan kata lain Fm2 = Fm3. Dengan

demikian kita dapat menghitung H2.

AT/m 2400,15

36

L

F

L be

m322 ====

be

mFH

Melihat lagi kurva B-H, kita dapatkan untuk H2 ini tesla125,12 =B .

Luas penampang kaki tengah adalah 0,0008 m2. Maka

weber0009,00008,0125,10008,022 =×=×=φ B

Fluksi total yang harus dibangkitkan di kaki kiri adalah

weber0023,00009,00014,0321 =+=φ+φ=φ

Luas penampang kaki kiri adalah 0,002 m2, sama dengan kaki kanan.

Kerapatan fluksinya adalah

tesla1,15002,0

0023,0

002,0

11 ==

φ=B

Dari kurva B-H, untuk B1 ini diperlukan AT/m 2401 =H ,

sehingga

AT 108)15,03(240L11 =××=×= efabm HF

Jadi total mmf yang diperlukan untuk membangkitkan fluksi sebesar

0,0014 weber di kaki kanan adalah

AT 1803636108321 =++=++= mmmmtot FFFF

Page 19: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

CO+TOH 1.4 : Berapakah mmf yang diperlukan pada contoh 1.3. jika

kaki tengah ditiadakan?

Penyelesaian :

Dengan meniadakan kaki tengah maka fluksi di seluruh rangkaian

magnetik sama dengan fluksi di kaki kanan, yaitu φ = φ3 = 0,0014

weber. Kerapatan fluksi di seluruh rangkaian magnetik juga sama

karena luas penampangnya sama, yaitu

tesla7,0002,0

0014,03 === BB

Dari kurva B-H diperoleh H = 80 AT/m, sehingga mmf yang

diperlukan adalah

AT 72)15,06(80L =××=×= abcdefam HF

Pemahaman :

Dengan menghilangkan kaki tengah, mmf yang diperlukan menjadi

lebih kecil. Bagaimanakah jika kaki tengah diperbesar luas

penampangnya ?

Memperbesar penampang kaki tengah tidak mempengaruhi

kerapatan fluksi di kaki ini sebab Fm3 tetap harus muncul di kaki

tengah. H2 tak berubah, yaitu H2 = Fm3/Lbe = 240 AT/m dan B2 juga

tetap 1,125 tesla. Jika penampang kaki tengah diperbesar, φ2 akan

bertambah sehingga φ1 juga bertambah. Hal ini menyebabkan

meningkatnya B1 yang berarti meningkatnya H1 sehingga Fm1 akan

bertambah pula. Dengan demikian Fm total akan lebih besar.

Penjelasan ini menunjukkan seolah-olah kaki tengah bertindak

sebagai “pembocor” fluksi. Makin besar kebocoran, makin besar

mmf yang diperlukan.

1.3. Rugi-Rugi Dalam Rangkaian Magnetik

Rugi Histerisis. Dalam rekayasa, material ferromagnetik sering dibebani

dengan medan magnit yang berubah secara periodik dengan batas positif

dan negatif yang sama. Pada pembebanan seperti ini terdapat

kecenderungan bahwa kerapatan fluksi, B, ketinggalan dari medan

magnetnya, H. Kecenderungan ini kita sebut histerisis dan kurva B-H

membentuk loop tertutup seperti terlihat pada Gb.1.2. dan kita sebut loop

Page 20: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

13

histerisis. Hal ini telah kita pelajari dalam fisika. Di sini kita akan

membahas akibat dari

karakteristik material seperti

ini dalam rekayasa.

Loop histerisis ini

menunjukkan bahwa untuk

satu nilai H tertentu terdapat

dua kemungkinan nilai B.

Dalam memecahkan

persoalan rangkaian magnetik

pada contoh-contoh di sub-

bab 1.2. kita menggunakan

kurva B-H yang kita sebut

kurva B-H normal atau kurva

magnetisasi normal, dimana

satu nilai H terkait dengan hanya satu nilai B, yaitu kurva B-H pada

Gb.1.1. Itulah sebabnya kesalahan perhitungan sebesar ± 5 % masih

dapat kita terima jika kita menggunakan kurva B-H normal karena

sesungguhnya B tidak mempunyai nilai tunggal, melainkan tergantung

dari riwayat magnetisasi material.

Perhatikan integrasi :

bdcbHdBabdaHdBc

b

b

a

B

B

B

B bidang luas ; bidang luas == ∫∫

dan satuan dari HB :

332.][

meter

joule

meter

meternewto

meter

newton

meterampre

newton

meter

ampereHB =

⋅==×=

Jelaslah bahwa HB mempunyai satuan kerapatan energi. Jadi luas bidang

abda pada Gb.1.2. menyatakan kerapatan energi, yaitu energi magnetik.

Karena luas abda diperoleh dari integrasi ∫HdB pada waktu H dan B naik,

atau dengan kata lain medan magnetik bertambah, maka ia

menggambarkan kerapatan energi yang disimpan ke material. Luas

bidang bdcb yang diperoleh dari integrasi ∫HdB pada waktu medan

magnit berkurang, menggambarkan kerapatan energi yang dilepaskan.

Dari gambar loop histerisis jelas terlihat bahwa luas bdcb < luas abda. Ini

berarti bahwa kerapatan energi yang dilepaskan lebih kecil dari kerapatan

energi yang disimpan. Sisa energi yang tidak dapat dilepaskan

H [AT/m]

B [tesla]

Gb.1.2. Loop histerisis.

a

b

c

d

e

0

Page 21: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

digambarkan oleh luas bidang abca, dan ini merupakan energi yang

diserap oleh material dan tidak keluar lagi (tidak termanfaatkan)

sehingga disebut rugi energi histerisis.

Analisis di atas hanya memperhatikan setengah siklus saja. Untuk satu

siklus penuh, kerapatan rugi energi histerisis adalah luas bidang dari

loop histerisis. Jika kerapatan rugi energi histerisis per siklus (= luas loop

histerisis) kita sebut wh , dan jumlah siklus per detik (frekuensi) adalah f

, maka untuk material dengan volume v m3 besar rugi energi histerisis

per detik atau rugi daya histerisis adalah

[watt] v ikdet

v fwjoule

fwP hhh =

= (1.17)

Untuk menghindari perhitungan luas loop histerisis, Steinmetz

memberikan formula empiris untuk rugi daya histerisis sebagai

)( v nmhh BKfP = (1.18)

dengan Bm adalah nilai maksimum kerapatan fluksi, n mempunyai nilai

antara 1,5 sampai 2,5 tergantung dari jenis material. Kh adalah konstanta

yang juga tergantung dari jenis material; untuk cast steel 0,025; silicon

sheet steel 0,001; permalloy 0,0001.

Rugi Arus Pusar. Jika medan magnetik berubah terhadap waktu, selain

rugi daya histerisis terdapat pula rugi daya yang disebut rugi arus pusar.

Arus pusar timbul sebagai reaksi terhadap perubahan medan magnet. Jika

material berbentuk balok pejal, resistansi material menjadi kecil dan rugi

arus pusar menjadi besar. Untuk memperbesar resistansi agar arus pusar

kecil, rangkaian magnetik disusun dari lembar-lembar material magnetik

yang tipis (antara 0,3 ÷ 0,6 mm). Formula empiris untuk rugi arus pusar

adalah

watt v 222e τ= me BfKP (1.19)

dengan Ke = konstanta yang tergantung dari jenis material; f = frekuensi

(Hz); Bm = kerapatan fluksi maksimum; τ = tebal laminasi; v = volume

material.

Perhatikan bahwa rugi arus pusar sebanding dengan pangkat dua dari

frekuensi, sedangkan rugi histerisis sebanding dengan pangkat satu

frekuensi. Rugi histerisis dan rugi arus pusar secara bersama-sama

Page 22: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

15

disebut rugi-rugi inti. Rugi-rugi inti akan menaikkan temperatur

rangkaian magnetik dan akan menurunkan efisiensi peralatan.

1.4. Gaya Magnetik

Energi yang tersimpan dalam

medan magnetik dapat

digunakan untuk melakukan

kerja mekanik (misalnya

menarik tuas rele). Untuk

mempelajari bagaimana gaya

ini dapat timbul, kurva B-H

normal yang tidak linier

seperti terlihat pada Gb.1.3.a,

kita dekati dengan suatu

kurva linier seperti pada

Gb.1.3.b. Jika kita menaikkan H dari 0 ke H1, maka B naik dari 0 ke B1.

Luas bidang 0ab0 menyatakan kerapatan energi yang tersimpan dalam

material, dan besarnya adalah

311 joule/m

2

1HBw f =

Secara umum, dengan medan magnetik sebesar H dalam suatu material

akan terdapat kerapatan simpanan energi sebesar

3joule/m

2

1BHw f = (1.20)

Perhatikan bahwa (1.20) kita peroleh setelah kita melakukan linierisasi

kurva B-H.

Karena (1.20) menunjukkan kerapatan energi, maka jika kita kalikan

dengan volume dari rangkaian magnetik kita akan mendapatkan energi

total yang tersimpan dalam rangkaian tersebut. Misalkan luas penampang

rangkaian A dan panjangnya L, maka energi total menjadi

joule 2

1L))((

2

1L

2

1mFHBABHAW φ=== (1.21)

Antara fluksi φ dan Fm terdapat hubungan φ = Fm / ℜ , sehingga (1.21)

dapat juga dituliskan

joule 2

1

2

1

2

1 22

ℜφ=ℜ

=φ= mm

FFW (1.22)

Gb.1.3. Linierisasi Kurva B-H.

H H

B B

a) b)

H1 0

a b B1

Page 23: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Untuk memahami timbulnya gaya

magnetik, kita lakukan percobaan

dengan suatu rangkaian magnetik

yang terdiri dari tiga bagian yaitu

gandar, celah udara, dan jangkar,

seperti terlihat pada Gb.1.4.

Rangkaian ini dicatu oleh sumber

tegangan Vs yang diserikan dengan

resistor variabel R. Luas

penampang gandar sama dengan

luas penampang jangkar. Untuk

suatu kedudukan jangkar tertentu,

dengan Vs dan R tertentu, terjadi

eksitasi sebesar Fm yang akan

membuat simpanan energi dalam

rangkaian magnetik ini sebesar

( )jjuuggW ℜφ+ℜφ+ℜφ= 222

2

1 (1.23)

Indeks g, u, dan j berturut-turut menunjukkan gandar, udara dan

jangkar. Karena ketiga bagian rangkaian terhubung seri maka jika

penyebaran fluksi di bagian pinggir di celah udara diabaikan fluksi di

ketiga bagian tersebut akan sama. Kerapatan fluksi juga akan sama di

ketiga bagian tersebut. Dengan demikian maka persamaan (1.23) dapat

kita tulis

( ) totaljugW ℜφ=ℜ+ℜ+ℜφ= 22

2

1

2

1 (1.24)

Besar reluktansi total adalah

AAA

u

j

j

g

gtotal

0

LLL

µ+

µ+

µ=ℜ (1.25)

Karena kita melakukan linierisasi kurva B-H, maka permeabilitas

material menjadi konstan.

Hal ini ditunjukkan oleh kemiringan kurva B-H. Jadi µg dan µj dianggap

konstan sedangkan permeabilitas udara dapat dianggap sama dengan µ0 .

x

Gb.1.4. Rangkaian

magnetik dengan jangkar

gandar

jangkar

Lg

Lj

+

− Vs

R

Page 24: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

17

Percobaan pertama adalah memegang jangkar tetap pada tempatnya dan

menambah eksitasi dengan menurunkan nilai resistor R sehingga arus

catu naik. Eksitasi akan naik menjadi (Fm+∆Fm) dan simpanan energi

pada seluruh rangkaian magnetik akan naik pula. Artinya tambahan

energi sebesar ∆W yang disebabkan oleh tambahan eksitasi sebesar ∆Fm

tersimpan sebagai tambahan energi di semua bagian rangkaian yaitu

gandar, jangkar dan celah udara.

Untuk percobaan kedua, kita kembalikan dulu eksitasi pada keadaan

semula dengan mengembalikan R pada nilai semula sehingga eksitasi

kembali menjadi Fm dan kita jaga konstan. Jangkar kita lepaskan

sehingga celah udara menjadi (x−∆x). Berkurangnya celah udara ini akan

menyebabkan reluktansi ℜu menurun sehingga secara keseluruhan ℜtot

juga menurun. Menurunnya ℜtot akan memperbesar fluksi karena eksitasi

Fm dipertahankan tetap. Ini berarti bahwa simpanan energi dalam

rangkaian magnetik bertambah.

Pertambahan simpanan energi yang terjadi pada percobaan ke-dua ini

berbeda dengan pertambahan energi pada percobaan pertama. Pada

percobaan pertama pertambahan energi berasal dari pertambahan

masukan, yaitu ∆Fm . Pada percobaan ke-dua, Fm dipertahankan tetap.

Oleh karena itu satu-satunya kemungkinan pertambahan energi adalah

dari gerakan jangkar. Jadi perubahan posisi jangkar memberikan

tambahan simpanan energi dalam rangkaian magnetik. Penafsiran kita

dalam peristiwa ini adalah bahwa perubahan posisi jangkar telah

menurunkan energi potensial jangkar. Penurunan energi potensial

jangkar itu diimbangi oleh naiknya simpanan energi pada rangkaian

magnetik sesuai dengan prinsip konservasi energi.

Jika dx adalah perubahan posisi jangkar (∆x→0), Fx adalah gaya mekanik

pada jangkar pada posisi x, maka perubahan energi potensial jangkar

adalah

dxFdW xj = (1.26)

Perubahan energi tersimpan dalam rangkaian magnetik adalah dW.

Karena tidak ada masukan energi dari luar (sumber listrik) maka

dWdxFdWdxFdWdW xxj −=→=+=+ 0 (1.27)

Karena Fm kita jaga konstan, kita dapat memasukkan persamaan (1.22)

bentuk yang ke-dua ke (1.27) sehingga kita peroleh

Page 25: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( )dx

d

dx

dFF

dx

dF

FddWdxF

tottot

tot

mtotmx

totmx

ℜφ−=

ℜ−=ℜ−=→

ℜ−=−=

2

2

212

12

2

1

2

1

2

1

) (2

1

(1.28)

Dengan persamaan (1.28) ini kita dapat menghitung gaya mekanik pada

jangkar rele elektromekanik, plunger, dan lain-lain peralatan listrik yang

memanfaatkan gaya magnetik.

CO+TOH 1.5 : Turunkanlah formulasi gaya magnetik pada rangkaian

magnetik Gb.1.4 jika reluktansi inti besi, baik gandar maupun

jangkar, diabaikan terhadap reluktansi celah udara.

Penyelesaian : Dengan hanya memperhitungkan reluktansi celah

udara saja, maka persamaan (1.28) menjadi

dx

L

2

1L

2

1

2

1

0

2

0

22 uuux

d

AAdx

d

dx

dF

µφ

−=

µφ−=

ℜφ−=

newton maka 2)2(L

Karena0

2

AF

dx

xd

dx

dx

u

µφ

=−=−=

Pemahaman : Apakah pengabaian reluktansi inti besi terhadap

reluktansi celah udara ini cukup wajar ? Kita akan melihatnya

dengan ukuran nyata seperti berikut.

Misalkan panjang rata-rata gandar Lg = 3×15 cm = 0,45 m. Panjang

jangkar Lj = 0,15 m. Luas penampang gandar maupun jangkar A =

(5 cm × 4 cm ) = 0,002 m2. Dengan ukuran-ukuran ini maka

reluktansi gandar dan jangkar adalah

00

00

75

002,0

15,0L

225

002,0

45,0L

µµ=

×µµ=

µ=ℜ

µµ=

×µµ=

µ=ℜ

rrj

jj

rrg

gg

A

A

Dengan menganggap luas penampang sama dengan jangkar dan

lebar celah 1 mm, maka celah udara mempunyai reluktansi

Page 26: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

19

000

1

002,0

001,02L

µ=

×µ×

=ℜA

uu .

Perbandingan antara reluktansi celah udara dan jumlah reluktansi

gandar dan jangkar adalah :

300/300

/1

0

0 r

rjg

u µ=

µµ

µ=

ℜ+ℜ

ℜ.

Kalau kita mengambil nilai µr seperti pada hasil perhitungan dalam

pemahaman contoh 1.1, yaitu untuk baja silikon µr = 7340 dan

untuk besi nickel µr =47740, maka

24300

7340 :silikon bajauntuk ≈=

ℜ+ℜ

jg

u ;

159300

47740 : nickel besiuntuk ≈=

ℜ+ℜ

jg

u .

Makin tinggi permeabilitas material yang kita pakai, reluktansi celah

udara makin dominan sehingga reluktansi jangkar dan gandar wajar

untuk tidak diperhitungkan.

1.5. Induktor

Perhatikan rangkaian

induktor (Gb.1.5).

Apabila resistansi belitan

dapat diabaikan, maka

menurut hukum

Kirchhoff

dt

diLevev

f==→=+− 1111 0 (1.29)

Persamaan (1.29) adalah persamaan rangkaian listrik yang terdiri dari

sumber v1 dan beban induktor L. Tegangan e1 adalah tegangan jatuh

pada induktor, sesuai dengan konvensi pasif pada dalam analisis

rangkaian listrik.

Gb.1.5. Rangkaian induktor.

φ ≈ +

e1

1

if

+

v1

Page 27: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Sekarang kita lihat rangkaian magnetiknya dengan menganggap inti

induktor ideal (luas kurva histerisis material inti sama dengan nol).

Dalam rangkaian magnetik terdapat fluksi magnetik φ yang ditimbulkan

oleh arus if. Perubahan fluksi φ akan membangkitkan tegangan induksi

pada belitan sesuai dengan hukum Faraday dan hukum Lenz.

dt

det

φ−= 1 (1.30)

Tanda “−” pada (1.30) mempunyai arti bahwa tegangan induksi et harus

mempunyai polaritas yang akan dapat memberikan arus pada rangkaian

tertutup sedemikian rupa sehingga arus tersebut akan memberikan fluksi

lawan terhadap fluksi pembangkitnya, yaitu φ. Menurut kaidah tangan

kanan, polaritas tersebut adalah seperti polaritas e1 pada Gb.1.5. Jadi

tanda “−” pada (1.30) terpakai untuk menetapkan polaritas et sedangkan

nilai et tentulah sama dengan tegangan jatuh e1. Jadi

dt

diLe

dt

de

ft ==

φ= 11 (1.31)

Persamaan (1.31) menunjukkan bahwa φ dan if berubah secara

bersamaan. Jika φ berbentuk sinus maka ia harus dibangkitkan oleh arus

if yang juga berbentuk sinus dengan frekuensi sama dan mereka sefasa.

Arus if sendiri berasal dari sumber tegangan yang juga harus berbentuk

sinus. Jadi dalam sistem ini baik tegangan, arus maupun fluksi

mempunyai frekuensi sama dan dengan demikian konsep fasor yang kita

pelajari di Bab-5 dapat kita gunakan untuk melakukan analisis pada

sistem ini, yang merupakan gabungan dari rangkaian listrik dan

rangkaian magnetik. Jika resistansi belitan diabaikan, persamaan (1.29)

dan (1.31) dapat kita tulis dalam bentuk fasor sebagai

LjjLj ftf IEEIE ω==Φω=ω= 111 ; (1.32)

dengan Φ adalah fluksi dalam bentuk fasor.

Dengan memperhatikan (1.32), diagram fasor tegangan , arus, dan fluksi

dari induktor tanpa memperhitungkan rugi-rugi inti dan resistansi belitan

adalah seperti pada Gb.1.6.a. dimana arus yang membangkitkan fluksi

yaitu Iφ sama dengan If.

Page 28: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

21

Dalam praktek, inti induktor tidaklah bebas dari rugi-rugi. Pada

pembebanan siklis (dalam hal ini secara sinus) rugi-rugi inti

menyebabkan fluksi yang dibangkitkan oleh if ketinggalan dari if sebesar

γ yang disebut sudut histerisis. Keadaan ini diperlihatkan pada Gb.1.6.b.

dimana arus magnetisasi If mendahului φ sebesar γ. Melihat kenyataan

ini, If dapat dipandang sebagai terdiri dari dua komponen yaitu Iφ yang

diperlukan untuk membangkitkan φ, dan Ic yang diperlukan untuk

mengatasi rugi-rugi inti. Jadi arus magnetisasi menjadi If = Iφ + Ic.

Komponen Ic merupakan arus fiktif yang jika dikalikan dengan E1 akan

memberikan rugi-rugi inti

watt)90cos(o

11 γ−== fcc IEEIP (1.33)

Apabila resistansi belitan tidak dapat diabaikan, maka V1 ≠ E1 . Misalkan

resistansi belitan adalah R1 , maka

111 RfIEV += (1.34)

Diagram fasor dari keadaan terakhir ini diperlihatkan oleh Gb.1.6.c.

Dalam keadaan ini, daya masuk yang diberikan oleh sumber, selain

untuk mengatasi rugi-rugi inti juga diperlukan untuk mengatasi rugi daya

pada belitan yang kita sebut rugi-rugi tembaga, Pcu.

Jadi θ=+=+= cos112

ffccucin IVRIPPPP (1.35)

dengan V1 dan If adalah nilai-nilai efektif dan cosθ adalah faktor daya.

CO+TOH 1.6 : Sebuah reaktor dengan inti besi mempunyai 400 lilitan.

Reaktor ini dihubungkan pada jaringan bertegangan 115 volt, 60 Hz.

Dengan mengabaikan resistansi belitan, hitung nilai maksimum

fluksi magnetnya. Jika fluksi maknit dibatasi tidak boleh lebih dari

1,2 tesla, berapakah luas penampang intinya?

Gb.1.6. Diagram fasor induktor

a). ideal

E1=Et

If =Iφ

Φ

c). ada resistansi

belitan

Φ

Ic

If

IfR

1 V1 θ

E1=Et

Φ

Ic

If

b). ada rugi-rugi inti

γ

E1=Et

Page 29: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Penyelesaian: Dengan mengabaikan resistansi belitan maka

weber00108,0602400

2115

1152

111

=×π×

=Φ⇒

=Φω

→=

maks

maksVE

Agar kerapatan fluksi tidak lebih dari 1,2 tesla maka

.cm 9m 1,2

00108,0

2,1 12

22 ==Φ

≥⇒≤Φ maksmaks A

A

Induktansi. Menurut (1.15) besarnya fluksi magnetik adalah

ℜ=

µ=φ m

m

FF

A

L.

Dengan mengabaikan fluksi bocor, iFm = dan jika φ ini

dimasukkan ke (1.31) akan diperoleh

dt

diL

dt

dii

dt

d

dt

d

fff=

ℜ=

ℜ=

φ 211

11

sehingga

µ=

ℜ=

L 2

1

21 A

L (1.36)

Induktansi Bersama. Jika pada induktor Gb.1.5. kita tambahkan belitan

kedua, maka pada belitan kedua ini akan diimbaskan tegangan oleh φ

seperti halnya pada belitan pertama. Besar tegangan imbas ini adalah

dt

dii

dt

d

dt

de

ff

ℜ=

ℜ=

φ= 121

222 (1.37)

Jika belitan kedua ini tidak dialiri arus (dalam keadaan terbuka), kita tahu

dari pembahasan di bab terdahulu mengenai induktansi bersama bahwa

dt

diM

dt

diM

dt

diLe

ff=+= 2

22

sehingga kita peroleh induktansi bersama

µ=

ℜ=

L 12

12 A

M (1.38)

Page 30: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

23

Pembahasan di atas memperlihatkan bahwa rangkaian induktor dapat kita

analisis dari sudut pandang rangkaian listrik dengan mengaplikasikan

hukum Kirchhoff yang kemudian menghasilkan persamaan (1.29). Kita

dapat pula memandangnya sebagai rangkaian magnetik dan

mengaplikasikan hukum Faraday dimana fluksi magnetik yang berubah

terhadap waktu (dibangkitkan oleh arus magnetisasi if) menimbulkan

tegangan induksi pada belitan.

CO+TOH 1.7 : Hitunglah resistansi dan induktansi selenoida (inti

udara) dengan diameter rata-rata 1 cm dan panjangnya 1 m dan

dengan 1000 lilitan kawat tembaga berdiameter 0,5 mm.

Penyelesaian :

Induktansi:

H 106,98

1

)4/10()104(10

L

6

4762

1

21

−−

×=

π××π=

µ=ℜ

=A

L

Resistansi :

Ω=××π

×π×Ω×=ρ=

−− 77,2

4/)105,0(

101000]m.[100173,0

23

26

A

lR

CO+TOH 1.8 : Dua buah kumparan, masing-masing 1250 lilitan dan

140 lilitan, digulung pada satu inti magnetik yang mempunyai

reluktansi 160 000. Hitung induktansi bersama, dengan mengabaikan

fluksi bocor.

Penyelesaian :

Induktansi bersama :

H 1,1094,1160000

140125012 ≈=×

=ℜ

=

M

CO+TOH 1.9 : Dua kumparan (inti udara) masing-masing mempunyai

1000 lilitan diletakkan paralel sejajar sedemikian rupa sehingga 60%

fluksi yang dibangkitkan oleh salah satu kumparan melingkupi

kumparan yang lain. Arus sebesar 5 A di salah satu kumparan

membangkitkan fluksi 0,05 mWb. Hitunglah induktansi masing-

masing kumparan dan induktansi bersama.

Page 31: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Penyelesaian :

Arus 5 A membangkitkan fluksi 0,05 mWb. Dengan jumlah lilitan

1000 maka reluktansi dapat dihitung

8

310

1005,0

51000=

×

×=ℜ

Induktansi masing-masing

mH. 10H 1010

1000 2

8

22

===ℜ

= −L

Fluksi yang melingkupi kumparan yang lain 60% dari fluksi yang

dibangkitkan di salah satu kumparan. Reluktansi bersama adalah

88

10667,16,0

10

6.0×==

ℜ=ℜM

Induktansi bersama

mH 6 H 106,010667,1

10001000 2

8

21 =×=×

×=

ℜ= −

M

M

Catatan Tentang Diagram Fasor. Dalam menurunkan fasor tegangan

induksi Et , kita berangkat dari persamaan (1.30) dengan mengambil

tanda “−” sebagai penentu polaritas. Hasilnya adalah Et merupakan

tegangan jatuh pada belitan, sama dengan E1, dan hal ini ditunjukkan

oleh persamaan (1.32). Kita dapat pula memandang tegangan

terbangkit Et sebagai tegangan naik Et = −E1, dengan mengikut

sertakan tanda “−” pada (1.30) dalam perhitungan dan bukan

menggunakannya untuk menentukan polaritas. Jika ini kita lakukan

maka

ft Ljj IEE ω−=−=Φω−= 11 (1.39)

Dengan memperhatikan (1.39), diagram fasor tegangan, arus, dan fluksi

untuk induktor ideal adalah seperti pada Gb.1.7.a. Di sini fasor tegangan

terbangkit Et berada 90o dibelakang fluksi pembangkitnya yaitu Φ.

Fasor Φ sefasa dengan Iφ = If dan tertinggal 90o dari E1.

Gb.1.7.b. dan Gb.1.7.c. adalah diagram fasor induktor dengan

memperhitungkan rugi-rugi inti dan tembaga.

Gb.28.7. Diagram fasor induktor riil.

Page 32: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

25

Gb.1.7. Diagram fasor induktor riil.

a). Induktor ideal.

E1

If =Iφ

Φ

Et

b). ada rugi-rugi inti

c). ada resistansi belitan

VL

Φ

Ic

If

γ Et

VL

Φ

Ic

If

If R1

Vs θ

Et

Page 33: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Soal-Soal

1. Sepotong kawat tembaga panjangnya 40 cm bergerak memotong

medan magnetik pada arah tegak lurus pada panjangnya. Jika

kerapatan medan magnetik adalah 1 Wb/m2, dan kecepatan gerak

kawat adalah 40 m/detik dengan arah tegak lurus pada arah medan,

hitunglah emf yang terinduksi pada kawat. Hitunglah emf jika arah

gerak membentuk sudut 30o terhadap arah medan.

2. Sebuah kumparan terbuat dari kawat halus dan terdiri dari 500 lilitan.

Luas rata-rata kumparan adalah 600 cm2. Kumparan ini berputar

dengan kecepatan 1500 putaran per menit dalam medan magnetik

uniform yang kerapatannya 100 mWb/m2. Hitunglah nilai puncak dan

nilai rata-rata dari emf yang terinduksi pada kumparan.

3. a). Sebuah konduktor lurus panjang 1 m dialiri arus searah 50 A.

Konduktor ini berada dalam medan magnit dengan kerapatan 1

Wb/m2. Hitunglah gaya mekanis yang bekerja pada konduktor jika

konduktor dipertahankan tetap pada tempatnya. b). Jika konduktor

tersebut digerakkan melawan gaya yang bekerja padanya dengan

kecepatan 10 m/detik. Hitunglah daya mekanis yang diperlukan untuk

menggerakkan konduktor.

4. Sebuah rangkaian magnetik

dibangun dari bahan baja silikon

dengan ukuran ditunjukkan pada

gambar berikut.

a). Untuk memperoleh fluksi

sebesar 30×10−4

weber berapakah

mmf diperlukan?

b). Jika jumlah lilitan adalah 100,

berapakah arus pada lilitan?

5. Jika kaki kanan dari rangkaian magnetik pada soal nomer 7 dipotong

sehingga terbentuk celah udara selebar 0,1 berapakah arus yang harus

mengalir pada belitan untuk mempertahankan fluksi sebesar 30×10−4

weber.

6. Sebuah elektromagnet terbuat dari besi tuang mempunyai celah udara

2 mm dan panjang jalur besinya 30 cm. Tentukan jumlah lilitan-amper

yang diperlukan untuk memperoleh kerapatan fluksi 0,8 Wb/m2.

Abaikan fluksi bocor.

←30 cm →

← 40 cm → 10 cm

Page 34: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

27

7. Sebuah cincin besi tuang dengan penampang bulat berdiameter 3 cm

mempunyai panjang rata-rata 80 cm. Cincin ini dililit kumparan secara

merata dengan jumlah lilitan 500. (a) Hitung arus yang diperlukan

untuk memperoleh fluksi 0,5 mWb dalam cincin. (b) Jika cicin

dipotong sehingga terbentuk celah udara setebal 2 mm, berapakah

fluksi magnetnya jika arus pada kumparan tetap seperti pada

pertanyaan (a)?. (c) Untuk mempertahankan fluksi sebesar 0,5 mWb,

berapakah arus yang harus mengalir pada kumparan? Anggaplah

kerapatan fluksi pada celah udara sama dengan kerapatan fluksi dalam

cincin.

8. Sebuah cincin besi dengan panjang rata-rata 50 cm dan celah udara

selebar 1mm, diberi kumparan dengan 200 lilitan. Jika permeabilitas

besi adalah 400 pada waktu kumparan dialiri arus 1 A, hitunglah

kerapatan fluksi dalam cincin.

9. Fluksi magnetik dalam suatu inti berubah secara sinusoidal dengan

frekuensi 500 siklus per detik dan nilai maksimum kerapatan fluksinya

adalah 0,5 Wb/m2. Rugi-rugi arus pusar adalah 15 watt. Berapakah

rugi-rugi arus pusar dalam inti ini jika frekuensinya 750 siklus per

detik dan kerapatan fluksi maksimum 0,4 Wb/m2.

10. Rugi-rugi total (arus pusar + histerisis) dari suatu contoh inti magnet

adalah 1500 watt pada frekuensi 50 Hz. Jika kerapatan fluksi dijaga

konstan sedangkan frekuensinya dinaikkan 50%, rugi-rugi total itu

menjadi 2800 watt. Hitung masing-masing rugi arus pusar dan rugi

histerisis pada kedua macam frekuensi tersebut.

11. Sebuah rele elektromekanik dengan bentuk magnet tapal-kuda

memerlukan eksitasi 1800 lilitan-amper untuk menggerakkan jangkar

dengan sela udara 1,25 mm. Jika luas tiap sepatu kutubnya adalah 2

cm2 dan panjang jalur rangkaian magnetiknya adalah 50 cm, hitunglah

: (a) gaya pada jangkar pada saat jangkar akan bergerak (anggap

rangkaian magnetik tidak jenuh); (b) jika posisi akhir pada keadaan

rele tertutup terdapat celah udara 0,1 mm, hitung gaya yang diperlukan

untuk membuka rele tanpa mengubah eksitasi.

Page 35: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

28 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

12. Hitunglah resistansi dan induktansi selenoida (inti udara) dengan

diameter rata-rata 1 cm dan panjangnya 20 cm dan dengan 1000 lilitan

kawat tembaga berdiameter 0,2 mm.

13. Hitunglah induktansi sebuah toroida (inti udara) yang berdiameter

rata-rata 20 cm, diameter penampang 2 cm, dengan 1000 lilitan kawat

tembaga.

14. Sebuah cincin baja mempunyai diameter rata-rata 60 cm dan luas

penampang 20 cm2. Dengan eksitasi sebesar 40 lilitan-amper per cm

timbul fluksi dengan kerapatan 1,2 Wb/m2 dalam cincin. Jika jumlah

lilitan pada cincin ini adalah 500, hitunglah induktansinya.

15. Cincin baja pada soal nomer 17 dipotong sepanjang 1 cm sehingga

membentuk “cincin terbuka” dengan celah udara 1 cm. Dengan jumlah

lilitan tetap 500 dan kerapatan fluksi dipertahankan tetap 1,2 Wb/m2,

hitung arus eksitasi dan induktansinya.

16. Dua buah kumparan, masing-masing 1250 lilitan dan 140 lilitan,

digulung pada satu inti magnetik yang mempunyai reluktansi 160 000.

Hitumg induktansi bersama, dengan mengabaikan fluksi bocor.

17. Dua buah kumparan, masing-masing 50 dan 500 lilitan digulung

secara berdampingan pada inti magnetik yang luas penampangnya 100

cm2 dan panjang rata-rata 150 cm. Jika permeabilitas inti adalah 4000,

hitunglah induktansi bersama dengan mengangabaikan fluksi bocor.

Page 36: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

29

BAB 2 Transformator

Salah satu komoditi yang ditawarkan oleh teknik elektro adalah

pemenuhan kebutuhan energi. Energi yang tersedia di alam harus

dikonversikan ke bentuk energi listrik untuk ditransmisikan ke tempat

yang memerlukan. Beberapa piranti untuk mengonversikan energi secara

konvensional akan kita pelajari di bab-bab berikut ini; piranti konversi

energi non-konvensional belum akan kita bahas. Kita juga membatasi

diri hanya pada pembahasan tiga macam mesin konversi energi dan dari

setiap macam kita hanya akan melihat beberapa tipe saja. Macam mesin

listrik yang akan kita bahas adalah:

1. Mesin konversi dari energi listrik ke energi listrik, yaitu

transformator.

2. Mesin konversi dari energi mekanik ke energi listrik, yaitu

generator listrik.

3. Mesin konversi dari energi listrik ke energi mekanik, yaitu

motor listrik.

Di bab ini kita akan mempelajari transformator; setelah mempelajari bab

ini kita akan

• memahami cara kerja transformator;

• mampu menggambarkan diagram fasor transformator;

• mampu melakukan perhitungan-perhitungan pada

transformator satu fasa melalui hasil uji beban nol dan uji

hubung singkat;

• memahami berbagai hubungan transformator untuk sistem tiga

fasa;

• mampu melakukan perhitungan-perhitungan tegangan pada

berbagai hubungan transformator tiga fasa.

2.1. Transformator Satu Fasa

Transformator banyak digunakan dalam teknik elektro. Dalam sistem

komunikasi, transformator digunakan pada rentang frekuensi audio

sampai frekuensi radio dan video, untuk berbagai keperluan. Kita

mengenal misalnya input transformers, interstage transformers, output

transformers pada rangkaian radio dan televisi. Transformator juga

Page 37: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

30 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

dimanfaatkan dalam sistem komunikasi untuk penyesuaian impedansi

agar tercapai transfer daya maksimum.

Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transformator

berkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengan transformator

tegangan tinggi ini penyaluran daya listrik dapat dilakukan dalam jarak

jauh dan susut daya pada jaringan dapat ditekan. Di jaringan distribusi

listrik banyak digunakan transformator penurun tegangan, dari tegangan

menengah 20 kV menjadi 380 V untuk distribusi ke rumah-rumah dan

kantor-kantor pada tegangan 220 V. Transformator daya tersebut pada

umumnya merupakan transformator tiga fasa. Dalam pembahasan ini kita

akan melihat transformator satu fasa lebih dulu.

Kita telah mempelajari transformator ideal pada waktu membahas

rangkaian listrik. Berikut ini kita akan melihat transformator tidak ideal

sebagai piranti pemroses daya. Akan tetapi kita hanya akan membahas

hal-hal yang fundamental saja, karena transformator akan dipelajari

secara lebih mendalam pada pelajaran mengenai mesin-mesin listrik.

Mempelajari perilaku transformator juga merupakan langkah awal untuk

mempelajari konversi energi elektromekanik. Walaupun konversi energi

elektromekanik membahas konversi energi antara sistem mekanik dan

sistem listrik, sedangkan transformator merupakan piranti konversi

energi listrik ke listrik, akan tetapi kopling antar sistem dalam kedua hal

tersebut pada dasarnya sama yaitu kopling magnetik.

2.2. Teori Operasi Transformator

Transformator Dua Belitan Tak Berbeban. Jika pada induktor Gb.1.5.

kita tambahkan belitan ke-dua, kita akan memperoleh transformator dua

belitan seperti terlihat pada Gb.2.1. Belitan pertama kita sebut belitan

primer dan yang ke-dua kita sebut belitan sekunder.

Jika fluksi di rangkaian magnetiknya adalah tmaks ωΦ=φ sin , maka

fluksi ini akan menginduksikan tegangan di belitan primer sebesar

+ E2 −

2 1

If

Gb.2.1. Transformator dua belitan.

φ

Vs

+

E1

− ≈

Page 38: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

31

tdt

de maks ωωΦ=

φ= cos111 (2.1)

atau dalam bentuk fasor

efektif nilai ; 02

0 1o1o

11 =∠Φω

=∠= E

Emaks

E (2.2)

Karena ω = 2π f maka

maksmaks ff

E Φ=Φπ

= 11

1 44.42

2 (2.3)

Di belitan sekunder, fluksi tersebut menginduksikan tegangan sebesar

maksfE Φ= 22 44.4 (2.4)

Dari (2.3) dan (2.4) kita peroleh

masi transforrasio 2

1

2

1 =≡= a

E

E (2.5)

Perhatikan bahwa E1 sefasa dengan E2 karena dibangkitkan oleh fluksi

yang sama. Karena E1 mendahului φ dengan sudut 90o maka E2 juga

mendahului φ dengan sudut 90o. Jika rasio transformasi a = 1, dan

resistansi belitan primer adalah R1 , diagram fasor tegangan dan arus

adalah seperti ditunjukkan oleh Gb.2.2.a. Arus If adalah arus magnetisasi,

yang dapat dipandang sebagai terdiri dari dua komponen yaitu Iφ (90o

dibelakang E1) yang menimbulkan φ dan Ic (sefasa dengan E1) guna

mengatasi rugi inti. Resistansi belitan R1 dalam diagram fasor ini muncul

sebagai tegangan jatuh IfR1.

Fluksi Bocor. Fluksi di belitan primer transformator dibangkitkan oleh

arus yang mengalir di belitan primer. Dalam kenyataan, tidak semua

Gb.2.2. Diagram fasor transformator tak berbeban

a). tak ada fluksi bocor

E1=E2

φ

Ic

If

If R1

V1

b). ada fluksi bocor

E1=E2 Iφ

φ

Ic

If

IfR1

V1

φl jIfXl

Page 39: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

32 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

fluksi magnit yang dibangkitkan tersebut akan melingkupi baik belitan

primer maupun sekunder. Selisih antara fluksi yang dibangkitkan

oleh belitan primer dengan fluksi bersama (yaitu fluksi yang melingkupi

kedua belitan) disebut

fluksi bocor. Fluksi bocor

ini hanya melingkupi

belitan primer saja dan

tidak seluruhnya berada

dalam inti transformator

tetapi juga melalui udara.

(Lihat Gb.2.3). Oleh

karena itu reluktansi yang

dihadapi oleh fluksi bocor

ini praktis adalah

reluktansi udara. Dengan demikian fluksi bocor tidak mengalami gejala

histerisis sehingga fluksi ini sefasa dengan arus magnetisasi. Hal ini

ditunjukkan dalam diagram fasor Gb.2.2.b.

Fluksi bocor, secara tersendiri akan membangkitkan tegangan induksi di

belitan primer (seperti halnya φ menginduksikan E1). Tegangan induksi

ini 90o mendahului φl1 (seperti halnya E1 90

o mendahului φ) dan dapat

dinyatakan sebagai suatu tegangan jatuh ekivalen, El1 , di rangkaian

primer dan dinyatakan sebagai

11 XjI fl =E (2.6)

dengan X1 disebut reaktansi bocor rangkaian primer. Hubungan tegangan

dan arus di rangkaian primer menjadi

1111111111 XjRR l IIEEIEV ++=++= (2.7)

Diagram fasor dengan memperhitungkan adanya fluksi bocor ini adalah

Gb.2.2.b.

Transformator Berbeban. Rangkaian transformator berbeban resistif, RB,

diperlihatkan oleh Gb.2.4. Tegangan induksi E2 (yang telah timbul dalam

keadaan tranformator tidak berbeban) akan menjadi sumber di rangkaian

sekunder dan memberikan arus sekunder I2. Arus I2 ini membangkitkan

fluksi yang berlawanan arah dengan fluksi bersama φ dan sebagian akan

bocor (kita sebut fluksi bocor sekunder).

E2

Gb.2.3. Transformator tak berbeban.

Fluksi bocor belitan primer.

≈ Vs φl1

If φ

Page 40: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

33

Fluksi bocor ini, φl2 , sefasa dengan I2 dan menginduksikan tegangan El2

di belitan sekunder yang 90o mendahului φl2. Seperti halnya untuk belitan

primer, tegangan El2 ini diganti dengan suatu besaran ekivalen yaitu

tegangan jatuh ekivalen pada reaktansi bocor sekunder X2 di rangkaian

sekunder. Jika resistansi belitan sekunder adalah R2 , maka untuk

rangkaian sekunder kita peroleh hubungan

2222222222 XjRR l IIVEIVE ++=++= (2.8)

dengan V2 adalah tegangan pada beban RB.

Sesuai dengan hukum Lenz, arus sekunder membangkitkan fluksi yang

melawan fluksi bersama. Oleh karena itu fluksi bersama akan cenderung

mengecil. Hal ini akan menyebabkan tegangan induksi di belitan primer

juga cenderung mengecil. Akan tetapi karena belitan primer terhubung ke

sumber yang tegangannya tak berubah, maka arus primer akan naik. Jadi

arus primer yang dalam keadaan transformator tidak berbeban hanyalah

arus magnetisasi If , bertambah menjadi I1 setelah transformator

berbeban. Pertambahan arus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksi

bersama φ dipertahankan dan E1 juga tetap seperti semula. Dengan

demikian maka persamaan rangkaian primer (2.7) tetap terpenuhi.

Pertambahan arus primer dari If menjadi I1 adalah untuk mengimbangi

fluksi lawan yang dibangkitkan oleh I2 sehingga φ dipertahankan. Jadi

haruslah

( ) ( ) 02211 =−− III f (2.9)

Pertambahan arus primer (I1 − If) disebut arus penyeimbang yang akan

mempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besar pula arus

penyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besar pula arus primer.

Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dari primer ke sekunder. Dari

(2.9) kita peroleh arus magnetisasi

Gb.2.4. Transformator berbeban.

φ

Vs

φl1

I1

≈ V2 φl2

I2

RB

Page 41: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

34 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( )a

f

212

1

21

IIIII −=−= (2.10)

2.3. Diagram Fasor

Dengan persamaan (2.7) dan (2.8) kita dapat menggambarkan secara

lengkap diagram fasor dari suatu transformator. Penggambaran kita

mulai dari belitan sekunder dengan langkah-langkah:

Gambarkan V2 dan I2 . Untuk beban resistif, I2 sefasa dengan V2.

Selain itu kita dapat gambarkan I’2 = I2/a yaitu besarnya arus

sekunder jika dilihat dari sisi primer.

Dari V2 dan I2 kita dapat menggambarkan E2 sesuai dengan

persamaan (2.8) yaitu

2222222222 XjRR l IIVEIVE ++=++=

Sampai di sini kita telah menggambarkan diagram fasor rangkaian

sekunder.

Untuk rangkaian primer, karena E1 sefasa dengan E2 maka E1 dapat

kita gambarkan yang besarnya E1 = aE2.

Untuk menggambarkan arus magnetisasi If kita gambarkan lebih

dulu φ yang tertinggal 90o dari E1. Kemudian kita gambarkan If yang

mendahului φ dengan sudut histerisis γ. Selanjutnya arus belitan

primer adalah I1 = If + I’2.

Diagram fasor untuk rangkaian primer dapat kita lengkapi sesuai

dengan persamaan (2.7), yaitu

XjRR l 111111111 IIEEIEV ++=++=

Dengan demikian lengkaplah diagram fasor transformator berbeban.

Gb.2.5. adalah contoh diagram fasor yang dimaksud, yang dibuat dengan

mengambil rasio transformasi 1/2 = a > 1

φ γ

V2 I2 I

’2

If

I1

I2R2

jI2X2 E2

E1

I1R1

jI1X1

V1

Gb.2.5. Diagram fasor lengkap,

transformator berbeban resistif . a > 1

Page 42: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

35

CO+TOH 2.1 : Belitan primer suatu transformator yang dibuat untuk

tegangan 220 V(rms) mempunyai jumlah lilitan 160. Belitan ini

dilengkapi dengan titik tengah (center tap). a). Berapa persenkah

besar fluksi maksimum akan berkurang jika tegangan yang kita

terapkan pada belitan primer adalah 110 V(rms)? b). Berapa

persenkah pengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan 55 V

(rms) pada setengah belitan primer? c). Berapa persenkah

pengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan 110 V (rms)

pada setengah belitan primer? d). Jika jumlah lilitan di belitan

sekunder adalah 40, bagaimanakah tegangan sekunder dalam kasus-

kasus tersebut di atas?

Penyelesaian :

a). Dengan mengabaikan resistansi belitan, fluksi maksimum Φm

adalah

ω=

ω=

ω=Φ

160

222022

1

1

1

1

V

Em

Jika tegangan 110 V diterapkan pada belitan primer, maka

ω=

ω

′=Φ′

160

21102

1

1

Vm

Penurunan fluksi m aksimum adalah 50 %, Φ′m = Φm / 2.

b). Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer,

ω=

ω=

ω

′′=Φ ′′

160

2110

80

255

)2/1(

2

1

1

Vm

Penurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ″m = Φm / 2.

c). Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan maka

ω=

ω=

ω

′′′=Φ ′′′

160

2220

80

2110

)2/1(

2

1

1

Vm

Tidak terjadi penurunan fluksi maksimum, Φ′″m =Φm.

d). Dengan 1/2 = 160/40 = 4 maka jika tegangan primer 220 V,

tegangan sekunder adalah 55 V. Jika tegangan primer 110 V,

tegangan sekundernya 229.5 V. Jika tegangan 55 V diterapkan

pada setengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 27.5 V.

Page 43: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

36 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan primer,

tegangan sekunder adalah 55 V.

CO+TOH 2.2 : Sebuah transformator satu fasa mempunyai belitan

primer dengan 400 lilitan dan belitan sekunder 1000 lilitan. Luas

penampang inti efektif adalah 60 cm2. Jika belitan primer

dihubungkan ke sumber 500 V (rms) yang frekuensinya 50 Hz,

tentukanlah kerapatan fluksi maksimum dalam inti serta tegangan di

belitan sekunder.

Penyelesaian :

Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor, maka

2

11

weber/m94.0006.0

00563.0 : maksimum fluksi Kerapatan

weber00563.0502400

2500500

2

==→

=×π×

=Φ→=Φω

=

m

mm

B

V

Tegangan belitan sekunder adalah V 1250500400

10002 =×=V

CO+TOH 2.3 : Dari sebuah transformator satu fasa diinginkan suatu

perbandingan tegangan primer / sekunder dalam keadaan tidak

berbeban 6000/250 V. Jika frekuensi kerja adalah 50 Hz dan fluksi

dalam inti transformator dibatasi sekitar 0.06 weber, tentukan jumlah

lilitan primer dan sekunder.

Penyelesaian :

Pembatasan fluksi di sini adalah fluksi maksimum. Dengan

mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,

75.184506000

250

45006.0502

260006000

2

2

11

1

=×=⇒

=××π

=→=Φω

=

V m

Pembulatan jumlah lilitan harus dilakukan. Dengan melakukan

pembulatan ke atas, batas fluksi maksimum Φm tidak akan

terlampaui. Jadi dapat kita tetapkan

lilitan 48020250

6000 lilitan 20 12 =×=⇒=⇒

Page 44: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

37

2.4. Rangkaian Ekivalen

Transformator adalah piranti listrik. Dalam analisis, piranti-piranti listrik

biasanya dimodelkan dengan suatu rangkaian listrik ekivalen yang

sesuai. Secara umum, rangkaian ekivalen hanyalah penafsiran secara

rangkaian listrik dari suatu persamaan matematik yang menggambarkan

perilaku suatu piranti. Untuk transformator, ada tiga persamaan yang

menggambarkan perilakunya, yaitu persamaan (2.7), (2.8), dan (2.10),

yang kita tulis lagi sebagai satu set persamaan (2.11).

a

XjRXjR f

22

1

22

21222222111111

dengan

; ;

III

IIIIIVEIIEV

==′

′+=++=++= (2.11)

Dengan hubungan E1 = aE2 dan I′2 = I2/a maka persamaan ke-dua dari

(2.11) dapat ditulis sebagai

; ; dengan

)()(

22

222

222

22222

22

222

221222221

XaXRaRaVV

XjR

XajRaaXjaRaa

=′=′=′

′′+′′+′=

′+′+=⇒′+′+=

IIV

IIVEIIVE

(2.12)

Dengan (2.12) maka (2.11) menjadi

21222221111111 ; ; IIIIIVEIIEV ′+=′′+′′+=++= fXjRaXjR

(2.13)

I′2 , R′2 , dan X′2 adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunder yang

dilihat oleh sisi primer. Dari persamaan (2.13) dibangunlah rangkaian

ekivalen transformator seperti Gb.2.6. di bawah ini.

Gb.2.6. Rangkaian ekivalen diturunkan dari persamaan (2.13).

Pada diagram fasor Gb.2.5. kita lihat bahwa arus magnetisasi dapat

dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu Ic dan Iφ . Ic sefasa

dengan E1 sedangkan Iφ 90o dibelakang E1. Dengan demikian maka

impedansi Z pada rangkaian ekivalen Gb.2.6. dapat dinyatakan sebagai

Z

R′2

If B

jX′2 R1 jX1

I1 I′2

V1 E1 V′2=aV2

Page 45: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

38 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

hubungan paralel antara suatu resistansi Rc dan impedansi induktif jXφ

sehingga rangkaian ekivalen transformator secara lebih detil menjadi

seperti Gb.2.7.

Gb.2.7. Rangkaian ekivalen transformator lebih detil.

Rangkaian Ekivalen Yang Disederhanakan. Pada transformator yang

digunakan pada tegangan bolak-balik yang konstan dengan frekuensi

yang konstan pula (seperti misalnya transformator pada sistem tenaga

listrik), besarnya arus magnetisasi hanya sekitar 2 sampai 5 persen dari

arus beban penuh transformator. Keadaan ini bisa dicapai karena inti

transformator dibangun dari material dengan permeabilitas magnetik

yang tinggi. Oleh karena itu, jika If diabaikan terhadap I1 kesalahan yang

terjadi dapat dianggap cukup kecil. Pengabaian ini akan membuat

rangkaian ekivalen menjadi lebih sederhana seperti terlihat pada Gb.2.8.

2.5. Impedansi Masukan

Resistansi beban B adalah RB = V2/I2. Dilihat dari sisi primer resistansi

tersebut menjadi

B

jXe =j(X1+ X′2) Re = R1+R′2

I1=I′2

V1 V′2

Gb.29.8. Rangkaian ekivalen transformator

disederhanakan dan diagram fasornya.

I′2

I′2Re

jI′2Xe V′2

V1

R′2

If

B

jX′2 R1 jX1

I1 I′2

V1 E1

V′2=aV2

jXc Rc

Ic Iφ

Page 46: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

39

BB RaI

Va

aI

aV

I

VR

2

2

22

2

2

2

2

/===

′=′ (2.14)

Dengan melihat rangkaian ekivalen yang disederhanakan Gb.2.10,

impedansi masukan adalah

eBein jXRaRZ ++== 2

1

1

I

V (2.15)

2.6. Penentuan Parameter Transformator

Dari rangkaian ekivalen lengkap Gb.2.7. terlihat ada enam parameter

transformator yang harus ditentukan, R1 , X1 , R′2 , X′2 , Rc , dan Xφ .

Resistansi belitan primer dan sekunder dapat diukur langsung

menggunakan metoda jembatan. Untuk menentukan empat parameter

yang lain kita memerlukan metoda khusus seperti diuraikan berikut ini.

Uji Tak Berbeban ( Uji Beban +ol ). Uji beban nol ini biasanya

dilakukan pada sisi tegangan rendah karena catu tegangan rendah

maupun alat-alat ukur tegangan rendah lebih mudah diperoleh. Sisi

tegangan rendah menjadi sisi masukan yang dihubungkan ke sumber

tegangan sedangkan sisi tegangan tinggi terbuka. Pada belitan tegangan

rendah dilakukan pengukuran tegangan masukan Vr, arus masukan Ir, dan

daya (aktif) masukan Pr. Karena sisi primer terbuka, Ir adalah arus

magnetisasi yang cukup kecil sehingga kita dapat melakukan dua

pendekatan. Pendekatan yang pertama adalah mengabaikan tegangan

jatuh di reaktansi bocor sehingga Vr sama dengan tegangan induksi Er.

Pendekatan yang kedua adalah mengabaikan kehilangan daya di

resistansi belitan sehingga Pr menunjukkan kehilangan daya pada Rcr (Rc

dilihat dari sisi tegangan rendah) saja.

θ==

θ==⇒

θ=θ=⇒

−=θ→

==θ=

φφ

φ

sin ;

cos

sin ; cos

sin

cos ; :masukan kompleks Daya

22

r

r

r

rr

r

r

cr

rcr

rrrcr

r

rr

rr

r

r

rrrr

I

V

I

VX

I

V

I

VR

IIII

S

PS

IV

P

S

PIVS

(2.16)

Page 47: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

40 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Uji Hubung Singkat. Uji hubung singkat dilakukan di sisi tegangan

tinggi dengan si`si tegangan rendah dihubung-singkat. Sisi tegangan

tinggi menjadi sisi masukan yang dihubungkan dengan sumber tegangan.

Tegangan masukan harus cukup rendah agar arus di sisi tegangan rendah

masih dalam batas nominalnya. Pengukuran di belitan tegangan tinggi

dilakukan seperti halnya pada uji beban nol, yaitu tegangan masukan Vt,

arus masukan It, dan daya (aktif) masukan Pt. Tegangan masukan yang

dibuat kecil mengakibatkan rugi-rugi inti menjadi kecil sehingga kita

dapat membuat pendekatan dengan mengabaikan rugi-rugi inti. Dengan

demikian kita dapat menggunakan rangkaian ekivalen yang

disederhanakan Gb.2.9. Daya Pt dapat dianggap sebagai daya untuk

mengatasi rugi-rugi tembaga saja, yaitu rugi-rugi pada resistansi ekivalen

yang dilihat dari sisi tegangan tinggi Ret.

22

2

2

;

etetet

tetettt

t

tetettt

RZXI

VZZIV

I

PRRIP

−=→=→=

=→=

(2.17)

Dalam perhitungan ini kita memperoleh nilai Ret = R1 + R′2 . Nilai

resistansi masing-masing belitan dapat diperoleh dengan pengukuran

terpisah sebagaimana telah disebutkan di atas.

Untuk reaktansi, kita memperoleh nilai Xet = X1 + X′2 . Kita tidak dapat

memperoleh informasi untuk menentukan reaktansi masing-masing

belitan. Jika sekiranya nilai reaktansi masing-masing belitan diperlukan

kita dapat mengambil asumsi bahwa X1 = X′2 . Kondisi ini sesungguhnya

benar adanya jika transformator dirancang dengan baik.

CO+TOH 2.5 : Pada sebuah transformator 25 KVA, 2400/240 volt, 50

Hz, dilakukan uji beban nol dan uji hubung singkat.

Uji beban nol pada sisi tegangan rendah memberikan hasil

Vr = 240 volt, Ir = 1.6 amper, Pr = 114 watt

Uji hubung singkat yang dilakukan dengan menghubung-singkat

belitan tegangan rendah memberikan hasil pengukuran di sisi

tegangan tinggi

Vt = 55 volt, It = 10.4 amper, Pt = 360 watt

Page 48: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

41

a). Tentukanlah parameter transformator dilihat dari sisi tegangan

tinggi. b). Berapakah rugi-rugi inti dan rugi-rugi tembaga pada

beban penuh ?

Penyelesaian :

a). Uji beban nol dilakukan di sisi tegangan rendah. Jadi nilai Rc dan

Xφ yang akan diperoleh dari hasil uji ini adalah dilihat dari tegangan

rendah, kita sebut Rcr dan Xφr.

Ω=×

==Ω=×

==

−×=θ=

×==θ

φφ 158

95.06.1

240 ; 500

3.06.1

240

cos

240

95.06.1240

114)6.1240(sin ; 3.0

6.1240

114cos

22

I

VX

II

VR

VI

P

rc

cr

Jika dilihat dari sisi tegangan tinggi :

Ω==

Ω=×

==

φφ k 8.15

k 50500240

2400

2

22

rt

crct

XaX

RaR

Resistansi ekivalen dan reaktansi bocor ekivalen diperoleh dari uji

hubung singkat. Uji hubung singkat yang dilakukan di sisi tegangan

tinggi ini memberikan

Ω===→Ω===

Ω===

1.433.329.5 29.54.10

55

; 33.3(10.4)

360

22

22

ett

tet

t

tet

XI

VZ

I

PR

b). Pada pembebanan penuh fluksi bersama dalam inti transformator

hampir sama dengan fluksi dalam keadaan beban nol. Jadi rugi-rugi

inti pada pembebanan penuh adalah 114 Watt. Rugi-rugi tembaga

tergantung dari besarnya arus. Besarnya arus primer pada beban

penuh adalah sama dengan arus sisi tegangan tinggi pada percobaan

hubung singkat, yaitu

W36033.3)4.10(A 4.102400

25000 221

11 =×==→=== etcu RIP

V

SI

Page 49: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

42 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Karena pada uji hubung singkat arus sisi tegangan tinggi dibuat

sama dengan arus beban penuh, maka rugi-rugi tembaga adalah

penunjukan wattmeter pada uji hubung singkat.

2.7. Efisiensi dan Regulasi Tegangan

Efisiensi suatu piranti didefinisikan sebagai

[watt]masukan daya

[watt]keluaran daya=η (2.18)

Karena daya keluaran sama dengan daya masukan dikurangi rugi-rugi

daya, maka efisiensi dapat dinyatakan sebagai

[watt]masukan daya

[watt] daya rugi-rugi1−=η (2.19)

Formulasi (2.19) ini lebih sering digunakan. Untuk transformator rugi-

rugi daya dapat segera diperoleh melalui uji beban nol dan uji hubung

singkat, yaitu jumlah rugi inti dan rugi tembaga.

Regulasi tegangan transformator didefinisikan sebagai perubahan

besarnya tegangan sekunder bila arus berubah dari beban penuh ke beban

nol dengan tegangan primer dijaga tetap. Jadi

2

21

2

21

2

21

penuhbeban 2

penuhbeban 2nolbeban 2

/

Tegangan Regulasi

V

VV

V

VV

V

VV

′−=

−=

−=

−=

a

aa

V

VV

(2.25)

Dengan memperhatikan diagram fasor Gb.2.9. maka (2.25) menjadi

2

222 )(Tegangan Regulasi

V

VIV

′−+′+′= ee jXR

(2.26)

CO+TOH 2.6 : Transformator pada contoh 2.5. mencatu beban 25 KVA

pada faktor daya 0.8. a). Hitunglah efisiensinya. b). Hitunglah

regulasi tegangannya.

Penyelesaian :

a).

% 97.6atau 976.020

474.01 : Efisiensi

KW 208.025000 :keluaran Daya

KW 0.474 W474360114 : daya rugi Total

o

=−=η

=×=

==+=+

P

P cuc

b). Mengambil V2 sebagai referensi : V′2 = 10×240 = 2400∠0o V.

Page 50: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

43

% 2.2atau 022.0

2400

2400)1.433.3(8.364.1002400 Tegangan Reg.

8.364.108.0cos10/)240/25000(/

oo

o122

−+−∠+∠=

−∠=−∠==′ −

j

aII

2.8. Konstruksi Transformator

Dalam pembahasan transformator, kita melihat transformator dengan satu

inti dua belitan. Belitan primer digulung pada salah satu kaki inti dan

belitan sekunder digulung pada kaki inti yang lain. Dalam kenyataan

tidaklah demikian. Untuk mengurang fluksi bocor, belitan primer dan

sekunder masing-masing dibagi menjadi dua bagian dan digulung di

setiap kaki inti. Belitan primer dan sekunder digulung secara konsentris

dengan belitan sekunder berada di dalam belitan primer. Dengan cara ini

fluksi bocor dapat ditekan sampai hanya beberapa persen dari fluksi

bersama. Pembagian belitan seperti ini masih mungkin dilanjutkan untuk

lebih menekan fluksi bocor, dengan beaya yang sudah barang tentu lebih

tinggi.

Dua tipe konstruksi yang biasa digunakan pada transformator satu fasa

adalah core type (tipe inti) dan shell type (tipe sel). Gb.2.9.a.

memperlihatkan konstruksi tipe inti dengan belitan primer dan sekunder

yang terbagi dua. Belitan tegangan rendah digulung dekat dengan inti

yang kemudian dilingkupi oleh belitan tegangan tinggi. Konstruksi ini

sesuai untuk tegangan tinggi karena masalah isolasi lebih mudah

ditangani. Gb.2.9.b. memperlihatkan konstruksi tipe sel. Konstruksi ini

sesuai untuk transformator daya dengan arus besar. Inti pada konstruksi

ini memberikan perlindungan mekanis lebih baik pada belitan.

Gb.7.9. Dua tipe konstruksi transformator.

T : jumlah lilitan tegangan tinggi

R : jumlah lilitan tegangan rendah.

R / 4

T / 2

R / 2

T / 2

R / 4

T /

2

R / 2 R / 2

T /

2

a). tipe inti. a). tipe sel.

Page 51: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

44 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

2.9. Transformator Pada Sistem Tiga Fasa

Pada sistem tiga fasa, penaikan dan penurunan tegangan dapat dilakukan

dengan dua cara yaitu :

(a) menggunakan tiga unit transformator satu fasa,

(b) menggunakan satu unit transformator tiga fasa.

Transformator tiga fasa mempunyai inti dengan tiga kaki dan setiap kaki

mendukung belitan primer dan sekunder. Untuk penyaluaran daya yang

sama, penggunaan satu unit transformator tiga fasa akan lebih ringan,

lebih murah dan lebih efisien dibandingkan dengan tiga unit

transformator satu fasa. Akan tetapi penggunaan tiga unit transformator

satu fasa juga mempunyai beberapa kelebihan dibandingkan dengan satu

unit transformator tiga fasa. Misalnya beaya awal yang lebih rendah, jika

untuk sementara beban dapat dilayani dengan dua unit saja dan unit

ketiga ditambahkan jika penambahan beban telah terjadi. Terjadinya

kerusakan pada salah satu unit tidak mengharuskan pemutusan seluruh

penyaluran daya. Pemilihan cara mana yang lebih baik, tergantung dari

berbagai pertimbangan keadaan-khusus. Pada dasarnya kedua cara adalah

sama. Berikut ini kita akan melihat hubungan primer-sekunder

transformator, dengan melihat pelayanan sistem tiga fasa melalui tiga unit

transformator satu fasa.

Hubungan ∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆. Pada waktu menghubungkan tiga transformator satu

fasa untuk melayani sistem tiga fasa, hubungan sekunder harus

diperhatikan agar sistem tetap seimbang. Diagram hubungan ini

diperlihatkan pada Gb.2.10. Fasa primer disebut dengan fasa U-V-W

sedangkan fasa sekunder disebut fasa X-Y-Z. Fasor tegangan fasa primer

kita sebut VUO , VVO , VWO dengan nilai VFP , dan tegangan fasa sekunder

kita sebut VXO , VYO , VZO dengan nilai VFS. Nilai tegangan saluran

(tegangan fasa-fasa) primer dan sekunder kita sebut VLP dan VLS . Nilai

arus saluran primer dan sekunder masing-masing kita sebut ILP dan ILS

sedang nilai arus fasanya IFP dan IFS . Rasio tegangan fasa primer

terhadap sekunder aVV FSFP =/ . Dengan mengabaikan rugi-rugi untuk

hubungan ∆-∆ kita peroleh :

aI

I

I

Ia

V

V

V

V

FS

FP

LS

LP

FP

FP

LS

LP 1

3

3 ; ==== (2.27)

Page 52: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

45

Gb.2.10. Hubungan ∆-∆.

Hubungan ∆∆∆∆-Y. Hubungan ini diperlihatkan pada Gb.2.11.

Tegangan fasa-fasa pimer sama dengan tegangan fasa primer, sedangkan

tegangan fasa-fasa sekunder sama dengan √3 kali tegangan fasa sekunder

dengan perbedaan sudut fasa 30o. Dengan mengabaikan rugi-rugi kita

peroleh

aI

I

I

Ia

V

V

V

V

FS

FP

LS

LP

FS

FP

LS

LP 33 ;

33==== (2.28)

Fasor tegangan fasa-fasa sekunder mendahului primer 30o.

Gb.2.11. Hubungan ∆-Y

Hubungan Y-Y. Hubungan ini diperlihatkan pada Gb.2.12.

Tegangan fasa-fasa pimer sama dengan √3 kali tegangan fasa primer

dengan perbedaan sudut fasa 30o, tegangan fasa-fasa sekunder sama

dengan √3 kali tegangan fasa sekunder dengan perbedaan sudut fasa 30o.

Perbandingan tegangan fasa-fasa primer dan sekunder adalah

VUV = VUO

VXY

VXO

VYO

VZO

VUV = VUO

VXY = VXO

U

V

W

X

Y

Z

VUO VXO

VVO VYO

VWO VZO

U

V

W

X

Y

Z

VUO VXO

VVO VYO

VWO VZO

Page 53: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

46 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

aI

I

I

Ia

V

V

V

V

FS

FP

LS

LP

FS

FP

LS

LP 1 ;

3

3==== (2.29)

Antara fasor tegangan fasa-fasa primer dan sekunder tidak terdapat

perbedaan sudut fasa.

Gb2.12. Hubungan Y-Y

Hubungan Y-∆∆∆∆. Hubungan ini terlihat pada Gb.2.13.

Tegangan fasa-fasa pimer sama dengan √3 kali tegangan fasa primer

dengan perbedaan sudut fasa 30o, sedangkan tegangan fasa-fasa sekunder

sama dengan tegangan fasa sekunder. Dengan mengabaiakan rugi-rugi

diperoleh

3

1

3 ; 3

3

aI

I

I

Ia

V

V

V

V

FS

FP

LS

LP

FS

FP

LS

LP ==== (2.30)

Fasor tegangan fasa-fasa primer mendahului sekunder 30o.

VUV VXY

VXO

VYO

VZO

VUO

VVO

VWO

U

V

W

X

Y

Z

VUO VXO

VVO VYO

VWO VZO

Page 54: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

47

Gb.2.13. Hubungan Y-∆

CO+TOH 2.7 : Sebuah transformator penurun tegangan 3 fasa,

tegangan primernya dihubungkan pada sumber 6600 V dan

mengambil arus 10 A. Jika rasio transformasi adalah 12, hitunglah

tegangan saluran sekunder, arus saluran sekunder dan daya keluaran

untuk hubungan-hubungan berikut : (a) ∆-∆ ; (b) Y-Y ; (c) ∆-Y ;

(d) Y-∆ .

Penyelesaian :

a). Untuk hubungan ∆-∆ :

A. 120101233

33

; V 55012

6600

=×====

=====

LPFPFSLS

LPFPFSLS

IaaIII

a

V

a

VVV

b). Untuk hubungan Y-Y :

VUV

VXY = VXO

VYO

VZO

VUO

VVO

VWO

U

V

W

X

Y

Z

VUO VXO

VVO VYO

VWO VZO

Page 55: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

48 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

A. 1201012

; V 55012

66003

333

=×=====

=====

LPFPFSLS

LPFPFSLS

aIaIII

a

V

a

VVV

c). Untuk hubungan ∆-Y :

A. 3,693

1012

3

; V 953312

6600333

=====

=====

LPFPFSLS

LPFPFSLS

IaaIII

a

V

a

VVV

d) Untuk hubungan Y-∆ :

.A 20831012333

; V 3183

6600

12

1

3

1

=××====

=====

LPFPFSLS

LPFPFSLS

aIaIII

V

aa

VVV

Dengan mengabaikan rugi-rugi daya keluaran sama dengan daya

masukan.

kVA. 3,1143106,63 =×=== LPLPmasukankeluaran IVSS

Soal-Soal

1. Sebuah transformator satu fasa diinginkan untuk menurunkan

tegangan bolak-balik 50 Hz dari 20 kV ke 250 V dalam keadaan tak

berbeban. Jika fluksi magnetik dalam inti transformator adalah sekitar

0.08 Wb, tentukan jumlah lilitan belitan primer dan sekundernya.

2. Sebuah transformator tipe inti hendak digunakan untuk menurunkan

tegangan bolak-balik 50 Hz, dari 3000 ke 220 V. Inti berpenampang

persegi dengan ukuran 20 cm × 20 cm. Hitunglah jumlah lilitan pada

kedua belitan jika kerapatan fluksi pada inti dibatasi 1 Wb/m2.

3. Jumlah lilitan belitan primer dan sekunder transformator satu fasa

adalah 200 dan 100 lilitan dan resistansinya 0,255 Ω dan 0,074 Ω.

Hitunglah resistansi belitan primer dilihat di sekunder, resistansi

sekunder dilihat di primer, dan resistansi total di sisi primer.

Page 56: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

49

4. Pada test transformator dengan belitan sekunder dihubung singkat,

diperoleh data sebagai berikut : tegangan primer 60 V, arus 100 A,

daya masukan 1,2 kW. Hitunglah resistansi dan reaktansi

transformator dilihat di sisi primer.

5. Sebuah transformator 40 kVA, 2000/250 V, mempunyai resistansi

belitan primer 1,15 Ω dan resistansi belitan sekunder 0,0155 Ω.

Hitunglah rugi-rugi tembaga total dalam keadaan beban penuh.

6. Sebuah transformator 220/110 V, 50 Hz, mempunyai impedansi

0,3+j0,8 Ω di belitan 220 V dan 0,1+j0,25 Ω di belitan 100 V.

Hitunglah arus di kedua belitan jika terjadi hubung singkat di sisi

tegangan rendah sedangkan sisi tegangan tinggi terhubung pada

tegangan 220 V.

7. Data test pada transformator 15 kVA, 2200/440 V, 50 Hz adalah

sebagai berikut. Test hubung singkat : P = 620 W, I = 40 A, V = 25 V.

Test beban nol : P = 320 W, I = 1 A, V = 440 V.

Hitunglah regulasi tegangan pada pembebanan penuh dengan faktor

daya 0,8 lagging (abaikan arus magnetisasi). Hitung pula efisiensi

pada pembebanan tersebut.

8. Data test pada transformator 110 kVA, 4400/440 V, 50 Hz adalah

sebagai berikut. Test hubung singkat : P = 2000 W, I = 200 A, V = 18

V. Test beban nol : P = 1200 W, I = 2 A, V = 4400 V.

Hitunglah regulasi tegangan pada pembebanan penuh dengan faktor

daya 0,8 lagging (abaikan arus magnetisasi). Hitung pula efisiensi

pada pembebanan tersebut.

9. Data test pada transformator 30 kVA, 2400/240 V, 50 Hz adalah

sebagai berikut. Test hubung singkat : P = 1050 W, I = 18,8 A, V = 70

V. Test beban nol : P = 230 W, I = 3,0 A, V = 240 V.

Jika transformator ini dibebani 12,5 A dengan faktor daya 0,8 lagging

pada sisi 240 V, hitunglah tegangan pada sisi primer dan hitung pula

efisiensinya pada pembebanan tersebut

10. Pada pembebanan penuh transformator 150 kVA, rugi-rugi tembaga

adalah 1600 W dan rugi-rugi besi 1400 W. Hitung efisiensi pada

pembebanan 25%, 33% dan 100% dari beban penuh untuk faktor

daya 1 dan 0,8 lagging. Abaikan pengaruh kenaikan temperatur dan

arus magnetisasi.

Page 57: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

50 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

11. Efisiensi transformator satu fasa 400 kVA adalah 98,77% pada

pembebanan penuh dengan faktor daya 0,8 dan 99,13% pada setengah

beban penuh dengan faktor daya 1. Hitunglah rugi-rugi besi serta

rugi-rugi tembaga pada beban pebuh.

12. Sebuah transformator 6600/440 V, 50 Hz, terhubung ∆-Y dibebani

motor 50 HP, 440 V, faktor daya 0,85, dan efisiensinya 90%. Dengan

mengabaikan arus magnetisasi pada transformator, hitunglah arus di

belitan primer dan sekunder jika motor bekerja pada beban penuh.

13. Tentukan jumlah lilitan per fasa di setiap belitan dari sebuah

transformator 3 fasa dengan rasio tegangan 20000/2000 V, pada

frekuensi 50 Hz dengan hubungan ∆-Y. Luas penampang inti 600 cm2

dan kerapatan fluksi sekitar 1,2 Wb/m2.

14. Tentukan jumlah lilitan per fasa di setiap belitan dari sebuah

transformator 3 fasa dengan rasio tegangan 12000/400 V, pada

frekuensi 50 Hz dengan hubungan Y-∆. Luas penampang inti 400 cm2

dan kerapatan fluksi sekitar 1,2 Wb/m2.

15. Tegangan primer transformator 3 fasa terhubung ∆-Y adalah 12000 V

(fasa-fasa). Pada pembebanan dengan faktor daya 0,8 lagging

tegangan sekunder yang terhubung Y adalah 410 V (fasa-fasa).

Resistansi dan reaktansi ekivalen adalah 1 dan 5%. Tentukan perban-

dingan jumlah lilitan primer/sekunder

Page 58: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

51

BAB 3 Mesin Sinkron

Setelah mempelajari bab ini kita akan

• memahami cara kerja generator sinkron;

• memahami hubungan jumlah kutub, kecepatan perputaran,

frekuensi, dan mampu menghitung tegangan imbas pada

jangkar;

• mampu menggambarkan diagram fasor dan memahami

rangkaian ekivalen mesin sinkron rotor silindris;

• mampu melakukan perhitungan sederhana pada mesin sinkron

melalui karakteristik celah udara dan karakteristik hubung

singkat.

Kita telah melihat bahwa pada transformator terjadi alih energi dari sisi

primer ke sisi sekunder. Energi di ke-dua sisi transformator tersebut sama

bentuknya (yaitu energi listrik) akan tetapi mereka mempunyai peubah

sinyal (yaitu tegangan dan arus) yang berbeda besarnya. Kita katakan

bahwa transformator merupakan piranti konversi energi dari energi listrik

ke energi listrik.

Kita perhatikan pula bahwa peubah-peubah sinyal di sisi sekunder

transformator muncul karena fluksi di inti transformator merupakan

fungsi waktu. Fluksi fungsi waktu ini dibangkitkan oleh arus di sisi

primer, yang juga merupakan fungsi waktu. Fluksi fungsi waktu dapat

pula dibangkitkan dengan cara lain misalnya secara mekanis; cara inilah

yang dilaksanakan pada piranti konversi energi dari energi mekanis ke

energi listrik atau disebut konversi energi elektromekanik. Konversi

energi elektromekanik ini tidak hanya dari mekanis ke listrik tetapi juga

dari listrik ke mekanis, dan dilandasi oleh dua hukum dasar yang kita

kenal yaitu hukum Faraday dan hukum Ampere. Secara matematis kedua

hukum ini dinyatakan dalam persamaan (1.1) dan (1.7)

(1.1) dt

d

dt

de

φ−=

λ−= dan (1.7) )( θ= fiBKF B

Persamaan (1.1) menunjukkan bagaimana tegangan dibangkitkan dan

persamaan (1.7) menunjukkan bagaimana gaya mekanis ditimbulkan.

Berikut ini kita akan mempelajari mesin konversi energi yang sangat luas

digunakan di pusat-pusat pembangkit listrik, yang disebut generator

Page 59: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

52 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

sinkron. Ada dua macam konstruksi yang akan kita lihat yaitu konstruksi

kutub tonjol dan konstruksi rotor silindris.

3.1. Mesin Kutub Menonjol

Skema konstruksi mesin ini adalah seperti terlihat pada Gb.3.1.a. Mesin

ini terdiri dari bagian stator yang mendukung belitan-belitan a1a11 sampai

c2c22 pada alur-alurnya, dan bagian rotor yang berputar yang mendukung

kutub-kutub magnit. Belitan pada stator tempat kita memperoleh energi

disebut belitan jangkar. Belitan pada rotor yang dialiri arus eksitasi

untuk menimbullkan medan magnit disebut belitan eksitasi. Pada gambar

ini ada empat kutub magnit. Satu siklus kutub S-U pada rotor memiliki

kisar sudut (yang kita sebut sudut magnetis atau sudut listrik) 360o. Kisar

sudut 360o ini melingkupi tiga belitan di stator dengan posisi yang

bergeser 120o antara satu dengan lainnya. Misalnya belitan a1a11 dan

belitan b1b11 berbeda posisi 120o, belitan b1b11 dan c1c11 berbeda posisi

120o, dan mereka bertiga berada di bawah satu kisaran kutub S-U. Tiga

belitan yang lain, yaitu a2a22, b2b22, dan c2c22 berada dibawah satu kisaran

kutub S-U yang lain dan mereka juga saling berbeda posisi 120o.

a). skema konstruksi b). belitan c). fluksi magnetik

Gb.3.1. Mesin sinkron kutub tonjol

Karena mesin yang tergambar ini merupakan mesin empat kutub (dua

pasang kutub) maka satu perioda siklus mekanik (perputaran rotor) sama

dengan dua perioda siklus magnetik. Jadi hubungan antara sudut kisaran

mekanik dan sudut kisaran magnetik adalah

][2][ derajatderajat mekanikmagnetik θ×=θ

atau secara umum

a1

S

U

S

U a2 a1

b1 a11 c1

b2 c2

b11

c22

a22

b22

c11 φ

φ φ

180o mekanis = 360

o

Page 60: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

53

][2

][ derajatp

derajat mekanikmagnetik θ×=θ (3.1)

dengan p adalah jumlah kutub.

Kecepatan sudut mekanik adalah

mekanikmekanik

mekanik fdt

d 2π=

θ=ω (3.2)

Frekuensi mekanik fmekanik adalah jumlah siklus mekanik per detik yang

tidak lain adalah kecepatan perputaran rotor per detik. Biasanya

kecepatan perputaran rotor dinyatakan dengan jumlah rotasi per menit

(rpm). Jadi jika kecepatan perputaran rotor adalah n rpm, maka jumlah

siklus per detik adalah 60

n atau

60

nfmekanis = siklus per detik.

Kecepatan sudut magnetik adalah

magnetikmagnetik

magnetik fdt

d 2π=

θ=ω (3.3)

Dengan hubungan (3.1) maka (3.3) menjadi

120

2

602

2 2

22

npnpf

ppmekanikmekanikmagnetik π=π=π=ω=ω

yang berarti 120

npf magnetik = siklus per detik (3.4)

Perubahan fluksi magnetik akan membangkitkan tegangan induksi di

setiap belitan. Karena fluksi magnetik mempunyai frekuensi

Hz 120

npf magnetik = maka tegangan pada belitanpun akan mempunyai

frekuensi

Hz 120

npf tegangan = (3.5)

Dengan (3.5) ini jelaslah bahwa untuk memperoleh frekuensi tertentu,

kecepatan perputaran rotor harus sesuai dengan jumlah kutub. Jika

diinginkan f = 50 Hz misalnya, untuk p = 2 maka n = 3000 rpm; jika p =

4 maka n = 1500 rpm; jika p = 6 maka n = 1000 rpm, dan seterusnya.

Page 61: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

54 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Konstruksi mesin dengan kutub menonjol seperti pada Gb.3.1. sesuai

untuk mesin putaran rendah tetapi tidak sesuai untuk mesin putaran

tinggi karena kendala-kendala mekanis. Untuk mesin putaran tinggi

digunakan rotor dengan konstruksi silindris.

Dengan pergeseran posisi belitan 120o magnetik untuk setiap pasang

kutub, maka kita mendapatkan tegangan sistem tiga fasa untuk setiap

pasang kutub, yaitu ea1 pada belitan a1a11 , eb1 pada b1b11 , dan ec1 pada

c1c11 . Demikian pula kita memperoleh tegangan ea2 , eb2 dan ec2 pada

belitan-belitan di bawah pasangan kutub yang lain. Jadi setiap pasang

kutub akan membangkitkan tegangan sistem tiga fasa pada belitan-

belitan yang berada dibawah pengaruhnya. Tegangan yang sefasa,

misalnya ea1 dan ea2 , dapat dijumlahkan untuk memperoleh tegangan

yang lebih tinggi atau diparalelkan untuk memperoleh arus yang lebih

besar.

Tegangan yang terbangkit di belitan pada umumnya diinginkan

berbentuk gelombang sinus tAv ω= cos , dengan pergeseran 120o untuk

belitan fasa-fasa yang lain. Tegangan sebagai fungsi waktu ini pada

transformator dapat langsung diperoleh di belitan sekunder karena

fluksinya merupakan fungsi waktu. Pada mesin sinkron, fluksi

dibangkitkan oleh belitan eksitasi di rotor yang dialiri arus searah

sehingga fluksi tidak merupakan fungsi waktu. Akan tetapi fluksi yang

ditangkap oleh belitan stator harus merupakan fungsi waktu agar

persamaan (1.1) dapat diterapkan untuk memperoleh tegangan. Fluksi

sebagai fungsi waktu diperoleh melalui putaran rotor. Jika φ adalah

Gb.3.2. Perhitungan fluksi.

180o mekanis = 360

o magnetik

φs

a1

a11

θ

Page 62: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

55

fluksi yang dibangkitkan di rotor dan memasuki celah udara antara rotor

dan stator dengan nilai konstan maka, dengan mengabaikan efek

pinggir, laju pertambahan fluksi yang ditangkap oleh belitan stator

adalah

magnetikmagnetiks

dt

d

dt

dωφ=

θφ=

φ (3.6)

Karena 120

2 2

npfmagnetikmagnetik π=π=ω , maka

60

np

dt

d s πφ=φ

(3.7)

Dari (3.4) kita peroleh tegangan pada belitan, yaitu

60

np

dt

dv s πφ−=

φ−= (3.8)

Jika φ bernilai konstan, tidaklah berarti (3.8) memberikan suatu t

egangan konstan karena φ bernilai konstan positif untuk setengah

perioda dan bernilai konstan negatif untuk setengah perioda berikutnya.

Maka (3.8) memberikan tegangan bolak-balik yang tidak sinus. Untuk

memperoleh tegangan berbentuk sinus, φ harus berbentuk sinus juga.

Akan tetapi ia tidak dibuat sebagai fungsi sinus terhadap waktu, akan

tetapi sebagai fungsi sinus posisi, yaitu terhadap θmaknetik . Jadi jika

maknetikm θφ=φ cos (3.9)

maka laju pertambahan fluksi yang dilingkupi belitan adalah

( )

magnetikmmmagnetikmagnetikm

magnetikmagnetikmmagnetikm

s

np

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

θ

πφ−=θωφ−=

θθφ−=θφ=

φ=

φ

sin 120

2sin

sincos (3.10)

sehingga tegangan belitan

tf

np

dt

de

mmagnetikm

magnetikms

ωφω=θφπ=

θφπ=φ

−=

sin sin 2

sin60

(3.11)

Persamaan (3.11) memberikan nilai sesaat dari dari tegangan yang

dibangkitkan di belitan stator. Nilai maksimum dari tegangan ini adalah

Page 63: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

56 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Volt mm E φω= (3.12)

dan nilai efektifnya adalah

Volt 44,4

2

2

2

2

m

mmm

rms

f

fE

E

φ=

φπ

=φω

== (3.13)

Dalam menurunkan formulasi tegangan di atas, kita menggunakan

perhitungan fluksi seperti diperlihatkan pada Gb.3.2. yang merupakan

penyederhanaan dari konstruksi mesin seperti diperlihatkan pada

Gb.3.1.a. Di sini ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan yaitu:

1. Belitan terdiri dari hanya satu gulungan, misalnya belitan a1a11,

yang ditempatkan di sepasang alur stator, walaupun gulungan itu

terdiri dari lilitan. Belitan semacam ini kita sebut belitan

terpusat.

2. Lebar belitan, yaitu kisar sudut antara sisi belitan a1 dan a11

adalah 180o magnetik. Lebar belitan semacam ini kita sebut kisar

penuh.

Dalam praktek lilitan setiap fasa tidak terpusat di satu belitan, melainkan

terdistribusi di beberapa belitan yang menempati beberapa pasang alur

stator. Belitan semacam ini kita sebut belitan terdistribusi, yang dapat

menempati stator sampai 1/3 kisaran penuh (60o magnetik). Selain dari

pada itu, gulungan yang menempati sepasang alur secara sengaja dibuat

tidak mempunyi lebar satu kisaran penuh; jadi lebarnya tidak 180o akan

tetapi hanya 80% sampai 85% dari kisaran penuh. Pemanfaatan belitan

terdistribusi dan lebar belitan tidak satu kisar penuh dimaksudkan untuk

menekan pengaruh harmonisa yang mungkin ada di kerapatan fluksi.

Sudah barang tentu hal ini akan sedikit mengurangi komponen

fundamental dan pengurangan ini dinyatakan dengan suatu faktor Kw

yang kita sebut faktor belitan. Biasanya Kw mempunyai nilai antara 0,85

sampai 0,95. Dengan adanya faktor belitan ini formulasi tegangan (3.13)

menjadi

Volt 44,4 mwrms KfE φ= (3.14)

Pada pengenalan ini kita hanya melihat mesin sinkron kutub tonjol dalam

keadaan tak berbeban; analisis dalam keadaan berbeban akan kita pelajari

lebih lanjut pada pelajaran khusus mengenai mesin-mesin listrik.

Selanjutnya kita akan melihat mesin sinkron rotor silindris.

Page 64: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

57

CO+TOH 3.1: Sebuah generator sinkron tiga fasa, 4 kutub, belitan

jangkar terhubung Y, mempunyai 12 alur pada statornya dan setiap

alur berisi 10 konduktor. Fluksi kutub terdistribusi secara sinus

dengan nilai maksimumnya 0,03 Wb. Kecepatan perputaran rotor

1500 rpm. Carilah frekuensi tegangan jangkar dan nilai rms

tegangan jangkar fasa-netral dan fasa-fasa.

Penyelesaian :

Frekuensi tegangan jangkar adalah

Hz 50120

15004

120

=

×==

npf

Jumlah alur per kutub adalah 34

12= yang berarti setiap pasang

kutub terdapat 3 belitan yang membangun sistem tegangan tiga fasa.

Jadi setiap fasa terdiri dari 1 belitan yang berisi 10 lilitan.

Nilai rms tegangan jangkar per fasa per pasang kutub adalah

V 6,6603,0105044,4 44,4 =×××=φ= mak fE

Karena ada dua pasang kutub maka tegangan per fasa adalah : 2 ×

66,6 = 133 V.

Tegangan fasa-fasa adalah 133 √3 = 230 V.

CO+TOH 3.2: Soal seperti pada contoh 3.1. tetapi jumlah alur pada

stator ditingkatkan menjadi 24 alur. Ketentuan yang lain tetap.

Penyelesaian :

Frekuensi tegangan jangkar tidak tergantung jumlah alur. oleh

karena itu frekuensi tetap 50 Hz.

Jumlah alur per kutub adalah 64

24= yang berarti setiap pasang

kutub terdapat 6 belitan yang membangun sistem tegangan tiga fasa.

Jadi setiap fasa pada satu pasang kutub terdiri dari 2 belitan yang

masing-masing berisi 10 lilitan. Nilai rms tegangan jangkar untuk

setiap belitan adalah

V 6,6603,0105044,4 V 44,41 =×××=φ= ma fE .

Page 65: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

58 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Karena dua belitan tersebut berada pada alur yang berbeda, maka

terdapat beda fasa antara tegangan imbas di keduanya. Perbedaan

sudut mekanis antara dua alur yang berurutan adalah

oo

1524

360= mekanik. Karena mesin mengandung 4 kutub atau 2

pasang kutub, maka 1o mekanik setara dengan 2

o listrik. Jadi selisih

sudut fasa antara tegangan di dua belitan adalah 30o listrik sehingga

tegangan rms per fasa per pasang kutub adalah jumlah fasor

tegangan di dua belitan yang berselisih fasa 30o tersebut.

3,338,124)30sin30(cos6,666,66 oo jjak +=++=E

Karena ada 2 pasang kutub maka

V 258)3,33()8,124(2 22 =+×=aE

Tegangan fasa-fasa adalah 258 √3 = 447 V

CO+TOH 3.3: Soal seperti pada contoh 3.1. tetapi jumlah alur pada

stator ditingkatkan menjadi 144 alur, jumlah kutub dibuat 16 (8

pasang), kecepatan perputaran diturunkan menjadi 375 rpm.

Ketentuan yang lain tetap.

Penyelesaian :

Frekuensi tegangan jangkar : Hz 50120

37516=

×=f

Jumlah alur per kutub 916

144= yang berarti terdapat 9 belitan per

pasang kutub yang membangun sistem tiga fasa. Jadi tiap fasa

terdapat 3 belitan. Tegangan di tiap belitan adalah

V 6,6603,0105044,41 =×××=aE ; sama dengan tegangan per

belitan pada contoh sebelumnya karena frekuensi, jumlah lilitan dan

fluksi maksimum tidak berubah.

Perbedaan sudut mekanis antara dua alur yang berturutan adalah

oo

5,2144

360= mekanik. Karena mesin mengandung 16 kutub (8

pasang) maka 1o mekanik ekivalen dengan 8

o listrik, sehingga beda

fasa tegangan pada belitan-belitan adalah o

2085,2 =× listrik.

Tegangan per fasa per pasang kutub adalah jumlah fasor dari

tegangan belitan yang masing-masing berselisih fasa 20o.

Page 66: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

59

( )6,652,180

)40sin20(sin40cos20cos16,66

406,66206,666,66

oooo

oo

j

j

ak

+=

++++=

∠+∠+=E

Karena ada 8 pasang kutub maka tegangan fasa adalah

V 15348,1918)6,65()2,180(8 22 =×=+×=aE

Tegangan fasa-fasa adalah 1534 √3 = 2657 V

3.2. Mesin Sinkron Rotor Silindris

Sebagaimana telah disinggung di atas, mesin kutub tonjol sesuai untuk

perputaran rendah. Untuk perputaran tinggi digunakan mesin rotor

silindris yang skemanya diperlihatkan ada Gb.3.3.

Rotor mesin ini berbentuk silinder dengan alur-alur untuk menempatkan

belitan eksitasi. Dengan konstruksi ini, reluktansi magnetik jauh lebih

merata dibandingkan dengan mesin kutub tonjol. Di samping itu kendala

mekanis untuk perputaran tinggi lebih mudah diatasi dibanding dengan

mesin kutub tonjol. Belitan eksitasi pada gambar ini dialiri arus searah

sehingga rotor membentuk sepasang kutub magnet U-S seperti terlihat

pada gambar. Pada stator digambarkan tiga belitan terpusat aa1 , bb1 dan

cc1 masing-masing dengan lebar kisaran penuh agar tidak terlalu rumit,

walaupun dalam kenyataan pada umumnya dijumpai belitan-belitan

terdistribusi dengan lebar lebih kecil dari kisaran penuh.

Gb.3.3. Mesin sinkron rotor silindris.

a

b

a1

c1 b1

c

U

S

Page 67: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

60 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Karena reluktansi magnetik praktis konstan untuk berbagai posisi rotor

(pada waktu rotor berputar) maka situasi yang kita hadapi mirip dengan

tansformator. Perbedaannya adalah bahwa pada transformator kita

mempunyai fluksi konstan, sedangkan pada mesin sinkron fluksi

tergantung dari arus eksitasi di belitan rotor. Kurva magnetisasi dari

mesin ini dapat kita peroleh melalui uji beban nol. Pada uji beban nol,

mesin diputar pada perputaran sinkron (3000 rpm) dan belitan jangkar

terbuka. Kita mengukur tegangan keluaran pada belitan jangkar sebagai

fungsi arus eksitasi (disebut juga arus medan) pada belitan eksitasi di

rotor. Kurva tegangan keluaran sebagai fungsi arus eksitasi seperti

terlihat pada Gb.3.4. disebut karakteristik beban nol. Bagian yang

berbentuk garis lurus pada kurva itu disebut karakteristik celah udara

dan kurva inilah (dengan ekstra-polasinya) yang akan kita gunakan untuk

melakukan analisis mesin sinkron.

Karakterik lain yang penting adalah karakteritik hubung singkat yang

dapat kita peroleh dari uji hubung singkat. Dalam uji hubung singkat ini

mesin diputar pada kecepatan perputaran sinkron dan terminal belitan

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Arus medan [A]

Teg

an

gan

Fasa-N

etr

al [V

]

Gb30.4. Karakteristik beban-nol dan hubung singkat.

Karakteristik celah udara (linier).

beban-nol

V=V(If )|I =0

hubung singkat

I = I (If ) |V=0

celah udara

V=kIf

0 0

Aru

s fa

sa [

A]

Page 68: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

61

jangkar dihubung singkat (belitan jangkar terhubung Y). Kita mengukur

arus fasa sebagai fungsi dari arus eksitasi. Kurva yang akan kita peroleh

akan terlihat seperti pada Gb.3.4. Kurva ini berbentuk garis lurus karena

untuk mendapatkan arus beban penuh pada percobaan ini, arus eksitasi

yang diperlukan tidak besar sehingga rangkaian magnetiknya jauh dari

keadaan jenuh. Fluksi magnetik yang dibutuhkan hanya sebatas yang

diperlukan untuk membangkitkan tegangan untuk mengatasi tegangan

jatuh di impedansi belitan jangkar.

Perhatikanlah bahwa karakteristik beban-nol dan hubung singkat

memberikan tegangan maupun arus jangkar sebagai fungsi arus medan.

Sesungguhnya arus medan berperan memberikan mmf (lilitan ampere)

untuk menghasilkan fluksi dan fluksi inilah yang mengimbaskan

tegangan pada belitan jangkar. Jadi dengan karakteristik ini kita dapat

menyatakan pembangkit fluksi tidak dengan mmf akan tetapi dengan

arus medan ekivalennya dan hal inilah yang akan kita lakukan dalam

menggambarkan diagram fasor yang akan kita pelajari beikut ini.

Diagram Fasor. Reaktansi Sinkron. Kita ingat bahwa pada

transformator besaran-besaran tegangan, arus, dan fluksi, semuanya

merupakan besaran-besaran yang berubah secara sinusoidal terhadap

waktu dengan frekuensi yang sama sehingga tidak terjadi kesulitan

menyatakannya sebagai fasor. Pada mesin sinkron, hanya tegangan dan

arus yang merupakan fungsi sinus terhadap waktu; fluksi rotor, walaupun

ia merupakan fungsi sinus tetapi tidak terhadap waktu tetapi terhadap

posisi sehingga tak dapat ditentukan frekuensinya. Menurut konsep fasor,

kita dapat menyatakan besaran-besaran ke dalam fasor jika besaran-

besaran tersebut berbentuk sinus dan berfrekuensi sama. Oleh karena itu

kita harus mencari cara yang dapat membuat fluksi rotor dinyatakan

sebagai fasor. Hal ini mungkin dilakukan jika kita tidak melihat fluksi

rotor sebagai dirinya sendiri melainkan melihatnya dari sisi belitan

jangkar. Walaupun fluksi rotor hanya merupakan fungsi posisi, tetapi ia

dibawa berputar oleh rotor dan oleh karena itu belitan jangkar melihatnya

sebagai fluksi yang berubah terhadap waktu. Justru karena itulah terjadi

tegangan imbas pada belitan jangkar sesuai dengan hukum Faraday. Dan

sudah barang tentu frekuensi tegangan imbas di belitan jangkar sama

dengan frekuensi fluksi yang dilihat oleh belitan jangkar.

Kita misalkan generator dibebani dengan beban induktif sehingga arus

jangkar tertinggal dari tegangan jangkar.

Page 69: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

62 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Gb.3.5. Posisi rotor pada saat emaks dan imaks.

Gb.3.5.a. menunjukkan posisi rotor pada saat imbas tegangan di aa1

maksimum. Hal ini dapat kita mengerti karena pada saat itu kerapatan

fluksi magnetik di hadapan sisi belitan a dan a1 adalah maksimum.

Perhatikanlah bahwa pada saat itu fluksi magnetik yang dilingkupi oleh

belitan aa1 adalah minimum. Sementara itu arus di belitan aa1 belum

maksimum karena beban induktif. Pada saat arus mencapai nilai

maksimum posisi rotor telah berubah seperti terlihat pada Gb.3.5.b.

Karena pada mesin dua kutub sudut mekanis sama dengan sudut

magnetis, maka beda fasa antara tegangan dan arus jangkar sama dengan

pegeseran rotasi rotor, yaitu θ. Arus jangkar memberikan mmf jangkar

yang membangkitkan medan magnetik lawan yang akan memperlemah

fluksi rotor. Karena adanya reaksi jangkar ini maka arus eksitasi haruslah

sedemikian rupa sehingga tegangan keluaran mesin dipertahankan.

Catatan : Pada mesin rotor silindris mmf jangkar mengalami reluktansi

magnetik yang sama dengan yang dialami oleh mmf rotor. Hal ini

berbeda dengan mesin kutub tonjol yang akan membuat analisis mesin

kutub tonjol memerlukan cara khusus sehingga kita tidak melakukannya

dalam bab pengenalan ini.

Diagram fasor (Gb.3.6) kita gambarkan dengan ketentuan berikut

1. Diagram fasor dibuat per fasa dengan pembebanan induktif.

2. Tegangan terminal Va dan arus jangkar Ia adalah nominal.

U

S

sumbu emaks

sumbu magnet

(a)

a

a1

a

a1

U

S

sumbu imaks

sumbu magnet

(b)

θ

Page 70: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

63

3. Tegangan imbas digambarkan sebagai tegangan naik; jadi

tegangan imbas tertinggal 90o dari fluksi yang

membangkitkannya.

4. Belitan jangkar mempunyai reaktansi bocor Xl dan resistansi Ra.

5. Mmf (fluksi) dinyatakan dalam arus ekivalen.

Dengan mengambil tegangan terminal jangkar Va sebagai referensi, arus

jangkar Ia tertinggal dengan sudut θ dari Va (beban induktif). Tegangan

imbas pada jangkar adalah

( )laaaa jXR ++= IVE (3.15)

Tegangan imbas Ea ini harus dibangkitkan oleh fluksi celah udara Φa

yang dinyatakan dengan arus ekivalen Ifa mendahului Ea 90o. Arus

jangkar Ia memberikan fluksi jangkar Φa yang dinyatakan dengan arus

ekivalen Iφa. Jadi fluksi dalam celah udara merupakan jumlah dari fluksi

rotor Φf yang dinyatakan dengan arus ekivalen If dan fluksi jangkar. Jadi

affa φ+= III atau afaf φ−= III (3.16)

Dengan perkataan lain arus eksitasi rotor If haruslah cukup untuk

membangkitkan fluksi celah udara untuk membangkitkan Ea dan

mengatasi fluksi jangkar agar tegangan terbangkit Ea dapat

dipertahankan. Perhatikan Gb.3.6. If membangkitkan tegangan Eaa 90o di

belakang If dan lebih besar dari Ea.

Gb.3.6. Diagram fasor mesin sinkron rotor silindris.

Va

Ia IaRa

jIaXl

Ea

Eaa

Iφa

−−−−Iφa

Ifa

If =Ifa− Iφa

θ

γ

Page 71: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

64 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Hubungan antara nilai Ea dan Ifa diperoleh dari karakteristik celah udara,

sedangkan antara nilai Ia dan Iφa diperoleh dari karakteristik hubung

singkat. Dari karakteristik tersebut, seperti terlihat pada Gb.3.6., dapat

dinyatakan dalam bentuk hubungan

fava IkE = dan aia IkI φ= atau

vafa kEI /= dan iaa kII /=φ (3.17)

dengan kv dan ki adalah konstanta yang diperoleh dari kemiringan

kurva. Dari (3.47) dan Gb.3.6. kita peroleh

θ−∠−γ∠=

θ−∠+γ+∠=−= φ

i

a

v

a

i

a

v

aafaf

k

I

k

Ej

k

I

k

E )180()90(

ooIII

(3.18)

Dari (3.18) kita peroleh Eaa yaitu

ai

vaa

i

va

i

a

v

avfvaa

k

kjI

k

kjE

k

I

k

Ejjkjk

IE

IE

+=θ−∠+γ∠=

θ−∠−γ∠−=−=

(3.19)

Suku kedua (3.19) dapat kita tulis sebagai aajX Iφ dengan

i

va

k

kX =φ (3.20)

yang disebut reaktansi reaksi jangkar karena suku ini timbul akibat

adanya reaksi jangkar. Selanjutnya (3.19) dapat ditulis

( )( )aaaa

aalaaaaaaaa

jXR

jXjXRjX

++=

+++=+= φφ

IV

IIVIEE

(3.21)

dengan ala XXX φ+= yang disebut reaktansi sinkron.

Diagram fasor Gb.3.6. kita gambarkan sekali lagi menjadi Gb.3.7. untuk

memperlihatkan peran reaktansi reaksi jangkar dan reaktansi sinkron.

Perhatikanlah bahwa pengertian reaktansi sinkron kita turunkan dengan

memanfaatkan karakteristik celah udara, yaitu karakteristik linier

Page 72: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

65

dengan menganggap rangkaian magnetik tidak jenuh. Oleh karena itu

reaktansi tersebut biasa disebut reaktansi sinkron tak jenuh.

Rangkaian Ekivalen. Dengan pengertian reaktansi sinkron dan

memperhatikan

persamaan (3.21)

kita dapat

menggambarkan

rangkaian

ekivalen mesin

sinkron dengan

beban seperti

terlihat pada

Gb.3.8.

Perhatikanlah bahwa rangkaian ekivalen ini adalah rangkaian ekivalen

per fasa. Tegangan Va adalah tegangan fasa-netral dan Ia adalah arus

fasa.

CO+TOH 3.11 : Sebuah generator sinkron tiga fasa 10 MVA,

terhubung Y, 50 Hz, Tegangan fasa-fasa 13,8 kV, mempunyai

karakteristik celah udara yang dapat dinyatakan sebagai

V 78,53 fa IE = dan karakteristik hubung singkat A 7,2 fa II =

(If dalam ampere). Resistansi jangkar per fasa adalah 0,08 Ω dan

Va

Ia IaRa

jIaXl

Ea

Eaa

Iφa

−−−−Iφa

Ifa

If =Ifa− Iφa

θ

γ

jIaXφa

jIaXa

Gb.3.7. Diagram fasor mesin sinkron rotor silindris;

reaktansi reaksi jangkar (Xφa) dan reaktansi sinkron (Xa).

+ − Eaa

Ra jXa

Beban

+

Va

Gb.3.8. Rangkaian ekivalen mesin sinkron.

Ia

Page 73: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

66 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

reaktansi bocor per fasa 1,9 Ω. Tentukanlah arus eksitasi (arus

medan) yang diperlukan untuk membangkitkan tegangan terminal

nominal jika generator dibebani dengan beban nominal seimbang

pada faktor daya 0,8 lagging.

Penyelesaian :

Tegangan per fasa adalah V 4,79673

13800==aV .

Arus jangkar per fasa : A 4,418313800

1010 6

×=aI .

Reaktansi reaksi jangkar : Ω===φ 92,197,2

78,53

i

va

k

kX

Reaktansi sinkron : Ω=+=+= φ 82,2192,199,1ala XXX

Dengan mengambil Va sebagai referensi, maka Va = 7967,4 ∠0o V

dan Ia = 418,4∠−36,87, dan tegangan terbangkit :

6,73031,1344513,535,912904,7967

)82.2108.0(87,364,41804,7967

)(

oo

o

j

j

jXaRaaaaa

+=∠+∠≈

+−∠+∠=

++= IVE

V 15300)6,7303()1,13445( 22 =+=aaE

Arus eksitasi yang diperlukan adalah

A 5,28478,53

15300===

v

aaf

k

EI

Daya. Daya per fasa yang diberikan ke beban adalah

θ= cosaaf IVP (3.22)

Pada umumnya pengaruh resistansi jangkar sangat kecil dibandingkan

dengan pengaruh reaktansi sinkron. Dengan mengabaikan resistansi

jangkar maka diagram fasor mesin sinkron menjadi seperti Gb.3.9.

Page 74: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

67

Gb.3.9. Diagram fasor mesin sinkron rotor silindris;

resistansi jangkar diabaikan.

Pada Gb.3.9. terlihat bahwa

θ=δ cossin aaaa XIE atau δ=θ sincosa

aaa

X

EI .

Dengan demikian maka (3.22) dapat ditulis sebagai

δ= sina

aaaf

X

EVP (3.23)

Persamaan (3.23) ini

memberikan formulasi daya

per fasa dan sudut δ

menentukan besarnya daya;

oleh karena itu sudut δ

disebut sudut daya (power

angle). Daya Pf merupakan

fungsi sinus dari sudut daya

δ seperti terlihat pada

Gb.3.10.

Untuk 0 < δ < 180o daya

bernilai positif, mesin beroperasi sebagai generator yang memberikan

daya. (Jangan dikacaukan oleh konvensi pasif karena dalam

menggambarkan diagram fasor untuk mesin ini kita menggunakan

Va

Ia

Eaa

θ

jIaXa

δ

θ

-1.1

0

1.1

-180 -90 0 90 180

Pf

δ (o

listrik)

generator

motor

Gb.3.10. Daya fungsi sudut daya.

Page 75: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

68 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

ketentuan tegangan naik dan bukan tegangan jatuh). Untuk 0 > δ >

−180o mesin beroperasi sebagai motor, mesing menerima daya.

Dalam pengenalan mesin-mesin listrik ini, pembahasan mengenai mesin

sikron kita cukupkan sampai di sini. Pembahasan lebih lanjut akan kita

peroleh pada pelajaran khusus mengenai mesin-mesin listrik.

Soal-Soal

1. Sebuah generator sinkron 3 fasa, 50 Hz, 10 kutub, memiliki 90 alur di

statornya. Fluksi maksimum per kutub adalah sekitar 0,2 Wb.

Tentukanlah jumlah lilitan per belitan jika tegangan fasa-fasa yang

diharapkan adalah 12 kV, dengan belitan jangkar terhubung Y.

2. Sebuah generator sinkron 3 fasa, 10 kutub, hubungan Y, kecepatan

perputaran 600 rpm. Jumlah alur stator 120 dengan 8 konduktor tiap

alur; belitan fasa terhubung seri. Jika fluksi maksimum tiap kutub

adalah 0,06 Wb, hitunglah tegangan imbas fasa-netral dan fasa-fasa.

3. Sebuah generator sikron 3 fasa, 1500 kVA, 6600 V, hubungan Y,

mempunyai karakteristik celah udara sebagai V 14,57 fa IV ×= dan

karakteristik hubung singkat A 63,2 fa II ×= . Generator bekerja pada

beban penuh pada faktor daya 0,8 lagging. Jika tegangan jatuh reaktif

dan resistif pada jangkar adalah 8% dan 2% dari tegangan normal,

tentukan eksitasi yang diperlukan.

4. Sebuah generator sikron 3 fasa, 5000 kVA, 6600 V, hubungan Y,

mempunyai karakteristik celah udara sebagai V 44,54 fa IV ×= dan

karakteristik hubung singkat A 87,21 fa II ×= . Generator bekerja

pada beban penuh pada faktor daya 0,6 lagging. Jika reaktansi dan

resistansi jangkar per fasa adalah 1 Ω dan 0,2 Ω, tentukan selang

eksitasi yang diperlukan untuk mempertahankan tegangan jangkar

tetap konstan dari beban nol sampai beban penuh.

5. Sebuah generator sikron 3 fasa, 1500 kVA, 6600 V, hubungan Y,

beroperasi pada beban penuh dengan faktor daya 0,8 lagging.

Karakteristik celah udara menunjukkan V 7,217 fa IV ×= . Generator

ini mempunyai stator dengan 9 alur per kutub dan tiap alur berisi 6

konduktor. Jika tegangan jatuh induktif adalah 10% pada beban

penuh sedangkan resistansi dapat diabaikan. Rotor adalah kutub

tonjol dengan 125 lilitan tiap kutub. Tentukan arus eksitasi pada

beban penuh.

Page 76: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

69

BAB 4 Motor Asinkron

Setelah mempelajari bab ini, kita akan

• Memahami cara kerja motor asinkron.

• Mampu melakukan perhitungan-perhitungan sederhana pada motor

asinkron melalui rangkaian ekivalen.

4.1. Konstruksi Dan Cara Kerja

Motor merupakan piranti

konversi dari energi listrik ke

energi mekanik. Salah satu

jenis yang banyak dipakai

adalah motor asinkron atau

motor induksi. Di sini kita

hanya akan melihat motor

asinkron tiga fasa. Stator

memiliki alur-alur untuk

memuat belitan-belitan yang

akan terhubung pada sistem

tiga fasa. Gb.4.1. hanya

memperlihatkan tiga belitan

pada stator sebagai belitan

terpusat, yaitu belitan aa1 ,

bb1 dan cc1 yang berbeda

posisi 120o mekanik. Susunan belitan ini sama dengan susunan belitan

pada stator generator sinkron. Ketiga belitan ini dapat dihubungkan Y

ataupun ∆ untuk selanjutnya disambungkan ke sumber tiga fasa. Rotor

mempunyai alur-alur yang berisi konduktor dan semua konduktor pada

rotor ini dihubung singkat di ujung-ujungnya. Inilah salah satu konstruksi

rotor yang disebut rotor sangkar (susunan konduktor-konduktor itu

berbentuk sangkar).

Untuk memahami secara fenomenologis cara kerja motor ini, kita melihat

kembali bagaimana generator sinkron bekerja. Rotor generator yang

mendukung kutub magnetik konstan berputar pada porosnya. Magnet

yang berputar ini mengimbaskan tegangan pada belitan stator yang

membangun sistem tegangan tiga fasa. Apabila rangkaian belitan stator

tertutup, misalnya melalui pembebanan, akan mengalir arus tiga fasa

Gb.4.1. Motor asinkron.

a

b

a1

c1 b1

c

Page 77: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

70 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

pada belitan stator. Sesuai dengan hukum Lenz, arus tiga fasa ini akan

membangkitkan fluksi yang melawan fluksi rotor; kejadian ini kita kenal

sebagai reaksi jangkar. Karena fluksi rotor adalah konstan tetapi berputar

sesuai perputaran rotor, maka fluksi reaksi jangkar juga harus berputar

sesuai perputaran fluksi rotor karena hanya dengan jalan itu hukum Lenz

dipenuhi. Jadi mengalirnya arus tiga fasa pada belitan rotor

membangkitkan fluksi konstan yang berputar. Sekarang, jika pada belitan

stator motor asinkron diinjeksikan arus tiga fasa (belitan stator

dihubungkan pada sumber tiga fasa) maka akan timbul fluksi konstan

berputar seperti layaknya fluksi konstan berputar pada reaksi jangkar

generator sinkron. Demikianlah bagaimana fluksi berputar timbul jika

belitan stator motor asikron dihubungkan ke sumber tiga fasa.

Kita akan melihat pula secara skematis, bagaimana timbulnya fluksi

berputar. Untuk itu hubungan belitan stator kita gambarkan sebagai tiga

belitan terhubung Y yang berbeda posisi 120o mekanis satu sama lain

seperti terlihat pada Gb.4.2.a. Belitan-belitan itu masing-masing dialiri

arus ia , ib , dan ic yang berbeda fasa 120o listrik seperti ditunjukkan oleh

Gb.4.2.b. Masing-masing belitan itu akan membangkitkan fluksi yang

berubah terhadap waktu sesuai dengan arus yang mengalir padanya. Kita

perhatikan situasi yang terjadi pada beberapa titik waktu.

Perhatikan Gb.4.2. Pada t1 arus ia maksimum negatif dan arus ib = ic

positif. Ke-tiga arus ini masing-masing membangkitkan fluksi φa , φb dan

φc yang memberikan fluksi total φtot . Kejadian ini berubah pada t2 , t3 , t4

dan seterusnya yang dari Gb.4.2. terlihat bahwa fluksi total berputar

seiring dengan perubahan arus di belitan tiga fasa. Peristiwa ini dikenal

sebagai medan putar pada mesin asinkron.

Kecepatan perputaran dari medan putar harus memenuhi relasi antara

jumlah kutub, frekuensi tegangan, dan kecepatan perputaran sinkron

sebagaimana telah kita kenal pada mesin sinkron yaitu

Hz 120

1

snpf = atau rpm

120 1

p

fns = (4.1)

dengan f1 adalah frekuensi tegangan stator, ns adalah kecepatan

perputaran medan putar yang kita sebut perputaran sinkron. Jumlah

kutub p ditentukan oleh susunan belitan stator. Pada belitan stator seperti

pada contoh konstruksi mesin pada Gb.4.1. jumlah kutub adalah 2,

sehingga jika frekuensi tegangan 50Hz maka perputaran sinkron adalah

3000 rpm.

Page 78: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

71

Gb.4.2. Terbentuknya fluksi magnetik yang berbutar.

Arus positif menuju titik netral,

arus negatif meninggalkan titk netral.

Fluksi total φtot tetap dan berputar.

Untuk membuat jumlah kutub menjadi 4, belitan stator disusun seperti

pada stator mesin sinkron pada Gb.3.1.

Selanjutnya medan magnetik berputar yang ditimbulkan oleh stator akan

mengimbaskan tegangan pada konduktor rotor. Karena konduktor rotor

merupakan rangkaian tertutup, maka akan mengalir arus yang kemudian

berinteraksi dengan medan magnetik yang berputar dan timbullah gaya

sesuai dengan hukum Ampere. Dengan gaya inilah terbangun torka yang

akan membuat rotor berputar dengan kecepatan perutaran n.

Perhatikanlah bahwa untuk terjadi torka, harus ada arus mengalir di

b).

ia ib ic

t

t1 t2 t3 t4

-1.1

0

1.1

-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

ia

ib

ic

ia

ib

ic

ia

ib

ic

φa

φb

φc

φtot φa

φtot

φb

φc

φa

φtot

φb

φc

t1

ia

ib

ic

φa

φb φc

φtot

t2 t3 t4

a).

a a1

b

c

c1

b1

Page 79: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

72 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

konduktor rotor dan untuk itu harus ada tegangan imbas pada konduktor

rotor. Agar terjadi tegangan imbas, maka kecepatan perputaran rotor n

harus lebih kecil dari kecepatan perputaran medan magnetik (yaitu

kecepatan perputaran sinkron ns) sebab jika kecepatannya sama tidak

akan ada fluksi yang terpotong oleh konduktor. Dengan kata lain harus

terjadi beda kecepatan antara rotor dengan medan putar, atau terjadi slip

yang besarnya adalah :

s

s

n

nns

−= (4.2)

Nilai s terletak antara 0 dan 1.

Rotor Belitan. Pada awal perkenalan kita dengan mesin asinkron, kita

melihat pada konstruksi yang disebut mesin asinkron dengan rotor

sangkar. Jika pada rotor mesin asinkron dibuat alur-alur untuk

meletakkan susunan belitan yang sama dengan susunan belitan stator

maka kita mempunyai mesin asinkron rotor belitan. Terminal belitan

rotor dapat dihubungkan dengan cincin geser (yang berputar bersama

rotor) dan melalui cincin geser ini dapat dihubungkan pada resistor untuk

keperluan pengaturan perputaran. Skema hubungan belitan stator dan

rotor diperlihatkan pada Gb.4.3; pada waktu operasi normal belitan rotor

dihubung singkat. Hubungan seperti ini mirip dengan transformator.

Medan putar akan mengimbaskan tegangan baik pada belitan stator

maupun rotor.

Tegangan imbas pada stator adalah :

mwKfE φ= 111 44,4 (4.3)

Gb.4.3. Skema hubungan belitan stator dan rotor

mesin asinkron rotor belitan. Garis putus-putus

menunjukkan hubung singkat pada operasi normal.

belitan stator

E1

belitan rotor

E2

Page 80: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

73

dengan Kw1 adalah faktor belitan stator, ==120

snpf frekuensi tegangan

stator, φm adalah fluksi maksimum di celah udara, 1 adalah jumlah

lilitan belitan stator.

Jika belitan rotor terbuka dan rotor tidak berputar, maka tegangan imbas

pada belitan rotor adalah

mwKfE φ= 222 44,4 (4.4)

dengan Kw2 adalah faktor belitan rotor, ==120

snpf frekuensi tegangan

stator (karena rotor tidak berputar), φm adalah fluksi maksimum di celah

udara sama dengan fluksi yang mengibaskan tegangan pada belitan

stator, 2 adalah jumlah lilitan belitan rotor.

Jika rotor dibiarkan berputar dengan kecepatan perputaran n maka

terdapat slip seperti ditunjukkan oleh (4.2). Frekuensi tegangan imbas

pada rotor menjadi

Hz 120

120

)( 2 fs

nspnnpf ss ==

−= (4.5)

Jadi frekuensi tegangan rotor diperoleh dengan mengalikan frekuensi

stator dengan slip s; oleh karena itu ia sering disebut frekuensi slip.

Tegangan imbas pada belitan rotor dalam keadaan berputar menjadi

222 sEE = (4.6)

Jika rotor tak berputar (belitan rotor terbuka), maka dari (4.56) dan (4.57)

kita peroleh

aK

K

E

E

w

w ==22

11

2

1 (4.7)

Situasi ini mirip dengan transformator tanpa beban.

CO+TOH 4.12 : Tegangan seimbang tiga fasa 50 Hz diberikan kepada

motor asinkron tiga fasa , 4 kutub. Pada waktu motor melayani

beban penuh, diketahui bahwa slip yang terjadi adalah 0,05.

Tentukanlah : (a) kecepatan perputaran medan putar relatif terhadap

stator; (b) frekuensi arus rotor; (c) kecepatan perputaran medan rotor

relatif terhadap rotor; (d) kecepatan perputaran medan rotor relatif

Page 81: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

74 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

terhadap stator; (e) kecepatan perputaran medan rotor relatif

terhadap medan rotor.

Penyelesaian:

(a) Relasi antara kecepatan medan putar relatif terhadap stator

(kecepatan sinkron) dengan frekuensi dan jumlah kutub adalah

120

snpf = . Jadi kecepatan perputaran medan putar adalah

15004

50120120=

×==

p

fns rpm

(b) Frekuensi arus rotor adalah 5,25005,012 =×== sff Hz.

(c) Karena belitan rotor adalah juga merupakan belitan tiga fasa

dengan pola seperti belitan stator, maka arus rotor akan

menimbulkan pula medan putar seperti halnya arus belitan stator

menimbulkan medan putar. Kecepatan perputaran medan putar

rotor relatif terhadap rotor adalah

754

5,2120120 22 =

×==

p

fn Hz

(d) Relatif terhadap stator, kecepatan perputaran medan rotor harus

sama dengan kecepatan perputaran medan stator, yaitu

kecepatan sinkron 1500 rpm.

(e) Karena kecepatan perputaran medan rotor sama dengan

kecepatan perputaran medan stator, kecepatan perputaran

relatifnya adalah 0.

4.2. Rangkaian Ekivalen

Rangkaian ekivalen yang akan kita pelajari adalah rangkaian ekivalen

per fasa.

Rangkaian Ekivalen Stator. Jika resistansi belitan primer per fasa adalah

R1 dan reaktansinya adalah X1, sedangkan rugi-rugi inti dinyatakan

dengan rangkaian paralel suatu resistansi Rc dan reaktansi Xφ seperti

halnya pada transformator. Jika V1 adalah tegangan masuk per fasa pada

belitan stator motor dan E1 adalah tegangan imbas pada belitan stator

oleh medan putar seperti diberikan oleh (4.3), maka kita akan

mendapatkan hubungan fasor

Page 82: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

75

( ) 11111 EIV ++= jXR (4.8)

Fasor-fasor tegangan dan arus serta reaktansi pada persamaan (4.61) ini

adalah pada frekuensi sinkron ωs = 2π f1. Rangkaian ekivalen stator

menjadi seperti pada Gb.4.4. yang mirip rangkaian primer transformator.

Perbedaan terletak pada besarnya If yang pada transformator berkisar

antara 2 − 5 persen dari arus nominal, sedangkan pada motor asinkron

arus ini antara 25 − 40 persen arus nominal, tergantung dari besarnya

motor.

Selain itu reaktansi bocor X1 pada motor jauh lebih besar karena adanya

celah udara dan belitan stator terdistribusi pada permukaan dalam stator

sedangkan pada transformator belitan terpusat pada intinya. Tegangan E1

pada terminal AB pada rangkaian ekivalen ini haruslah merefleksikan

peristiwa yang terjadi di rotor.

Rangkaian Ekivalen Rotor. Jika rotor dalam keadaan berputar maka

tegangan imbas pada rotor adalah 22E . Jika resistansi rotor adalah R22

dan reaktansinya adalah X22 maka arus rotor adalah :

( )2222

2222

jXR +=

EI (4.9)

Perhatikanlah bahwa fasor-fasor tegangan dan arus serta nilai reaktansi

pada persamaan (4.9) ini adalah pada frekuensi rotor ω2 = 2π f2 , berbeda

dengan persamaan fasor (4.8). Kita gambarkan rangkaian untuk

persamaan (4.9) ini seperti pada Gb.4.5.a.

Gb.4.4. Rangkaian ekivalen stator.

If

I1

Ic Iφ

R1 jX1

V1

jXc Rc

E1

A

B

Page 83: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

76 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Menurut (4.6) E22 = sE2 dimana E2 adalah tegangan rotor dengan

frekuensi sinkron ωs. Reaktansi rotor X22 dapat pula dinyatakan dengan

frekuensi sinkron; jika L2 adalah induktansi belitan rotor (yang

merupakan besaran konstan karena ditentukan oleh konstruksinya) maka

kita mempunyai hubungan

2212222 sXLsLX =ω=ω= (4.10)

Di sini kita mendefinisikan reaktansi rotor dengan frekuensi sinkron

212 LX ω= . Karena Resistansi tidak tergantung frekuensi, kita nyatakan

resistansi rotor sebagai R2 = R22. Dengan demikian maka arus rotor

menjadi

22

22

jsXR

s

+=

EI (4.11)

Persamaan fasor tegangan dan arus rotor (4.64) sekarang ini adalah pada

frekuensi sinkron dan persamaan ini adalah dari rangkaian yang terlihat

pada Gb.4.5.b. Tegangan pada terminal rotor A´B´ adalah tegangan

karena ada slip yang besarnya adalah sE2. Dari rangkaian ini kita dapat

menghitung besarnya daya nyata yang diserap rotor per fasa, yaitu

222 RIPcr = (4.12)

Gb.4.5. Pengembangan rangkaian ekivalen rotor.

R22 jX22

I22

E22

A′

B′

R2 jsX2

I2

sE2

A′

B′ a)

s

R2

jX2

I2

E2

A′

B′ c)

b)

s

sR

−12

jX2

I2

E2

A′

B′ d)

R2

Page 84: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

77

Jika pembilang dan penyebut pada persamaan (4.64) kita bagi dengan s

kita akan mendapatkan

22

22

jXs

R+

=E

I (4.13)

Langkah matematis ini tidak akan mengubah nilai I2 dan rangkaian dari

persamaan ini adalah seperti pada Gb.4.5.c. Walaupun demikian ada

perbedaan penafsiran secara fisik. Tegangan pada terminal rotor A´B´

sekarang adalah tegangan imbas pada belitan rotor dalam keadaan rotor

tidak berputar dengan nilai seperti diberikan oleh (4.14) dan bukan

tegangan karena ada slip. Jika pada Gb.4.5.b. kita mempunyai rangkaian

riil rotor dengan resistansi konstan R dan tegangan terminal rotor yang

tergantung dari slip, maka pada Gb.4.28.c. kita mempunyai rangkaian

ekivalen rotor dengan tegangan terminal rotor tertentu dan resistansi

yang tergantung dari slip. Tegangan terminal rotor pada keadaan terakhir

ini kita sebut tegangan celah udara pada terminal rotor dan daya yang

diserap rotor kita sebut daya celah udara, yaitu :

s

RIPg

222 = (4.14)

Daya ini jauh lebih besar dari Pcr pada (4.12). Pada mesin besar nilai s

adalah sekitar 0,02 sehingga Pg sekitar 50 kali Pcr. Perbedaan antara

(4.14) dan (4.12) terjadi karena kita beralih dari tegangan rotor riil yang

berupa tegangan slip ke tegangan rotor dengan frekuensi sinkron. Daya

nyata Pg tidak hanya mencakup daya hilang pada resistansi belitan saja

tetapi mencakup daya mekanis dari motor. Daya mekanis dari rotor ini

sendiri mencakup daya keluaran dari poros motor untuk memutar beban

ditambah daya untuk mengatasi rugi-rugi rotasi yaitu rugi-rugi akibat

adanya gesekan dan angin. Oleh karena itu daya Pg kita sebut daya celah

udara artinya daya yang dialihkan dari stator ke rotor melalui celah udara

yang meliputi daya hilang pada belitan rotor (rugi tembaga rotor) dan

daya mekanis rotor. Dua komponen daya ini dapat kita pisahkan jika kita

menuliskan

−+=

s

sRR

s

R 122

2 (4.15)

Page 85: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

78 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Suku pertama (4.15) akan memberikan daya hilang di belitan rotor (per

fasa) 222 RIPcr = dan suku kedua memberikan daya keluaran mekanik

ekivalen

−=

s

sRIPm

1 2

22 (4.16)

Dengan cara ini kita akan mempunyai rangkaian ekivalen rotor seperti

pada Gb.4.5.d.

Rangkaian Ekivalen Lengkap. Kita menginginkan satu rangkaian

ekivalen untuk mesin asinkron yang meliputi stator dan rotor. Agar dapat

menghubungkan rangkaian rotor dengan rangkaian stator, kita harus

melihat tegangan rotor E2 dari sisi stator dengan memanfaatkan (4.60)

yang memberikan 21 aEE = . Jika E2 pada Gb.4.5.d. kita ganti dengan

21 EE a= , yaitu tegangan rotor dilihat dari sisi stator, maka arus rotor

dan semua parameter rotor harus pula dilihat dari sisi stator menjadi

, '2

'2 RI dan '

2X . Dengan demikian kita dapat menghubungkan

terminal rotor A´B´ ke terminal AB dari rangkaian stator pada Gb.4.4.

dan mendapatkan rangkaian ekivalen lengkap seperti terlihat pada

Gb.4.6.

Aliran Daya. Aliran daya per fasa dalam motor asinkron dapat kita baca

dari rangkaian ekivalen sebagai berikut. Daya (riil) yang masuk ke stator

motor melalui tegangan V1 dan arus I1 digunakan untuk :

• mengatasi rugi tembaga stator : 121 RIPcs =

• mengatasi rugi-rugi inti stator : Pinti

Gb.4.6. Rangkaian ekivalen lengkapmotor asikron.

'2I

s

sR

−1'2

If

I1

R1 jX1

V1 jXc

Rc

A

B

'2R

'2jX

Page 86: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

79

• daya masuk ke rotor, disebut daya celah udara s

RIPg

'22'

2 )(= ,

yang digunakan untuk

• mengatasi rugi-rugi tembaga rotor : '2

2'2 )( RIPcr =

• memberikan daya mekanis rotor

−=

s

sRIPm

1 )(

'2

2'2 , yang terdiri dari :

• daya untuk mengatasi rugi rotasi (gesekan dan

angin) : Protasi

• daya keluaran di poros rotor : Po.

Jadi urutan aliran daya secara singkat adalah :

rotasim PPP −=o ; crgm PPP −= ; csing PPPP −−= inti

Rangkaian Ekivalen Pendekatan. Dalam melakukan analisis motor

asinkron kita sering menggunakan rangkaian ekivalen pendekatan yang

lebih sederhana seperti pada Gb.4.7. Dalam rangkaian ini rugi-rugi

tembaga stator dan rotor disatukan menjadi eRI 2'2 )( . Bagaimana Re

dan Xe ditentukan akan kita bahas berikut ini.

4.3. Penentuan Parameter Rangkaian

Pengukuran Resistansi. Resistansi belitan stator maupun belitan rotor

dapat diukur. Namun perlu diingat bahwa jika pengukuran dilakukan

dengan menggunakan metoda pengukuran arus searah dan pengukuran

dilakukan pada temperatur kamar, harus dilakukan koreksi-koreksi.

Dalam pelajaran lebih lanjut kita akan melihat bahwa resistansi untuk

arus bolak-balik lebih besar dibandingkan dengan resistansi pada arus

searah karena adanya gejala yang disebut efek kulit. Selain dari itu, pada

Gb.4.7. Rangkaian ekivalen pendekatan.

'21 jXjXjXe +=

'21 RRRe +=

s

sR

−1'2

If

I1

V1 jXc

Rc

Page 87: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

kondisi kerja normal, temperatur belitan lebih tinggi dari temperatur

kamar yang berarti nilai resistansi akan sedikit lebih tinggi.

Uji Beban +ol. Dalam uji beban nol stator diberikan tegangan nominal

sedangkan rotor tidak dibebani dengan beban mekanis. Pada uji ini kita

mengukur daya masuk dan arus saluran. Daya masuk yang kita ukur

adalah daya untuk mengatasi rugi tembaga pada beban nol, rugi inti, dan

daya celah udara untuk mengatasi rugi rotasi pada beban nol. Dalam uji

ini slip sangat kecil, arus rotor cukup kecil untuk diabaikan sehingga

biasanya arus eksitasi dianggap sama dengan arus uji beban nol yang

terukur.

Uji Rotor Diam. Uji ini analog dengan uji hubng singkat pada

transformator. Dalam uji ini belitan rotor di hubung singkat tetapi rotor

ditahan untuk tidak berputar. Karena slip s = 1, maka daya mekanis

keluaran adalah nol. Tegangan masuk pada stator dibuat cukup rendah

untuk membatasi arus rotor pada nilai yang tidak melebihi nilai nominal.

Selain itu, tegangan stator yang rendah (antara 10 – 20 % nominal)

membuat arus magnetisasi sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

Rangkaian ekivalen dalam uji ini adalah seperti pada Gb.4.8. Perhatikan

bahwa kita mengambil tegangan fasa-netral dalam rangkaian ekivalen

ini.

Jika Pd adalah daya tiga fasa yang terukur dalam uji rotor diam, Id adalah

arus saluran dan Vd adalah tegangan fasa-fasa yang terukur dalam uji ini,

maka

Gb.4.8. Rangkaian ekivalen motor

asikron pada uji rotor diam.

'21 jXjXjXe +=

'21 RRRe +=

I0

Vfn

Page 88: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

81

'21

22

2

'21

3

3

XXRZX

I

VZ

I

PjXXR

eee

d

de

d

de

+=−==

=

=+=

(4.17)

Jika kita menggunakan rangkaian ekivalen pendekatan, pemisahan antara

X1 dan X2´ tidak diperlukan dan kita langsung memanfaatkan Xe.

CO+TOH 4.12 : Daya keluaran pada poros rotor motor asinkron tiga

fasa 50 Hz adalah 75 kW. Rugi-rugi rotasi adalah 900 W; rugi-rugi

inti stator adalah 4200 W; rugi-rugi tembaga stator adalah 2700 W.

Arus rotor dilihat dari sisi stator adalah 100 A.. Hitunglah efisiensi

motor jika diketahui slip s = 3,75%.

Penyelesaian:

Dari rangkaian ekivalen Gb.4.29., daya mekanik ekivalen adalah

−=

s

sRIPm

1)(

'2

2'2 .

Pm dalam formulasi ini meliputi daya keluaran pada poros rotor dan

rugi rotasi. Daya keluaran 75 kW yang diketahui, adalah daya

keluaran pada poros rotor sedangkan rugi rotasi diketahui 900 W

sehingga

Pm = 75000 + 900 = 75900 W

dan rugi-rugi tembaga rotor adalah

W29570375,01

0375,075900

1)(

'2

2'2 =

−×

=−

==s

sPRIP m

cr

Efisiensi motor adalah

%45,87

%10029579002700420075000

75000

%100

=

×++++

=

×−+

=ηrugirugiP

P

keluaran

keluaran

Page 89: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

82 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

CO+TOH 4.13 : Uji rotor diam pada sebuah motor asinkron tiga fasa

rotor belitan, 200 HP, 380 V, hubungan Y, memberikan data berikut:

daya masuk Pd = 10 kW, arus saluran Id = 250 A, Vd = 65 Vdan

pengukuran resistansi belitan rotor memberikan hasil R1 = 0,02 Ω per

fasa. Tentukan resistansi rotor dilihat di stator.

Penyelesaian :

Menurut (4.70) kita dapat menghitung

Ω=×

== 0533,0)250(3

10000

3 22d

de

I

PR per fasa

Ω=−=−= 0333,002,00533,01'2 RRR e per fasa

CO+TOH 4.14 : Pada sebuah motor asinkron tiga fasa 10 HP, 4 kutub,

220 V, 50 Hz, hubungan Y, dilakukan uji beban nol dan uji rotor

diam.

Beban nol : V0 = 220 V; I0 = 9,2 A; P0 = 670 W

Rotor diam : Vd = 57 V; Id = 30 A; Pd = 950 W.

Pengukuran resistansi belitan stator menghasilkan nilai 0,15 Ω per

fasa. Rugi-rugi rotasi sama dengan rugi inti stator. Hitung: (a)

parameter-parameter yang diperlukan untuk menggambarkan

rangkaian ekivalen (pendekatan); (b) arus eksitasi dan rugi-rugi inti.

Penyelesaian :

a). Karena terhubung Y, tegangan per fasa adalah

V 1273

2201 ==V .

Uji rotor diam memberikan :

Ω=×

== 35,0)30(3

950

)(3 22d

de

I

PR ;

Ω=−=−= 2,015,035,01'2 RRR e

Ω=×

= 1,1303

57

3 d

de

I

VZ ;

Ω=−=−= 14,3)35,0()1,1(2222

eee RZX

Page 90: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

83

b). Pada uji beban nol, arus rotor cukup kecil untuk diabaikan; jadi

arus yang mengalir pada uji beban nol dapat dianggap arus

eksitasi If .

Daya pada uji beban nol 3cos670 00 θ== fIVP

⇒ 19,02,93220

670cos =

×=θ lagging.

Jadi : o

792,92,9 −∠=θ∠=fI .

Rugi inti :

W63215,02,936703 21

200inti =××−=×−= RIPP

CO+TOH 4.15 : Motor pada contoh 4.14. dikopel dengan suatu beban

mekanik, dan pengukuran pada belitan stator memberikan data :

daya masuk 9150 W, arus 28 A, faktor daya 0,82. Tentukanlah : (a)

arus rotor dilihat dari sisi stator; (b) daya mekanis rotor; (c) slip yang

terjadi; (d) efisiensi motor pada pembebanan tersebut jika diketahui

rugi rotasi 500 W.

Penyelesaian :

a). Menggunakan tegangan masukan sebagai referensi, dari data

pengukuran dapat kita ketahui fasor arus stator, yaitu: o

1 3528 −∠=I . Arus rotor dilihat dari sisi stator adalah :

( ) ( )A 183,22

94,62,2198,019,02,957,00,8228

792,93528

o

oo1

'2

−∠=

−=−−−=

−∠−−∠=−=

jjj

fIII

b). Daya mekanik rotor adalah :

W78672,03,22315,02836329150

22

nti

=××−××−−=

−−−= crcsiinm PPPPP

14,3jjX e =

35,0=eR

s

s−12,0

If

I1

127∠0o

V

jXc Rc

Page 91: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

84 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

c). Slip dapat dicari dari formulasi

s

RIPPPP csing

'2

2'2

inti

)(3×=−−= .

0365,015,02836329150

2,03,223)(3

2

2'2

2'2 =

××−−

××==

gP

RIs atau 3,65 %

e). Rugi rotasi = 500 W.

Daya keluaran sumbu rotor :

W73675007867o =−=−= rotasim PPP

Efisiensi motor : %80%1009150

7367%100o =×=×=η

inP

P

4.4. Torka

Pada motor asinkron terjadi alih daya dari daya listrik di stator menjadi

daya mekanik di rotor. Sebelum dikurangi rugi-tembaga rotor, alih daya

tersebut adalah sebesar daya celah udara Pg dan ini memberikan torka

yang kita sebut torka elektromagnetik dengan perputaran sinkron. Jadi

jika T adalah torka elektromagnetik maka

sg TP ω= atau s

gPT

ω= (4.18)

Torka Asut. Torka asut (starting torque) adalah torka yang dibangkitkan

pada saat s = 1, yaitu pada saat perputaran masih nol. Besarnya arus rotor

ekivalen berdasarkan rangkaian ekivalen Gb.4.7. dengan s = 1 adalah

( ) ( )2'21

2'21

1'2

XXRR

VI

+++

= (4.19)

Besar torka asut adalah

( )

( ) ( )2'21

2'21

'2

21

'22'

2

31

31

XXRR

RV

s

RI

PT

s

ss

ga

+++ω=

××ω

=

(4.20)

Page 92: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

85

Pada saat s = 1 impedansi sangat rendah sehingga arus menjadi besar.

Oleh karena itu pada waktu pengasutan tegangan direduksi dengan

menggunakan cara-cara tertentu untuk membatasinya arus. Sudah barang

tentu penurunan tegangan ini akan memperkecil torka asut. Persamaan

(4.20) menunjukkan bahwa jika tegangan dturunkan setengahnya, torka

asut akan turun menjadi seperempatnya.

Torka maksimum. Torka ini penting diketahui, bahkan menjadi

pertimbangan awal pada waktu perancangan mesin dilakukan. Torka ini

biasanya bernilai 2 sampai 3 kali torka nominal dan merupakan

kemampuan cadangan mesin. Kemampuan ini memungkinkan motor

melayani beban-beban puncak yang berlangsung beberapa saat saja.

Perlu diingat bahwa torka puncak ini tidak dapat diberikan secara

kontinyu sebab akan menyebabkan pemanasan yang akan merusak

isolasi.

Karena torka sebanding dengan daya celah udara Pg , maka torka

maksimum terjadi jika alih daya ke rotor mencapai nilai maksimum. Dari

rangkaian ekivalen pendekatan Gb.4.9., teorema alih daya maksimum

mensyaratkan bahwa alih daya ke s

R'2 akan maksimum jika

( )2'21

21

'2 XXR

s

R

m

++= atau

( )2'21

21

'2

XXR

Rsm

++

= (4.21)

Persamaan (4.21) memperlihatkan bahwa sm dapat diperbesar dengan

memperbesar '2R . Suatu motor dapat dirancang agar torka asut

mendekati torka maksimum dengan menyesuaikan nilai resistansi rotor.

Arus rotor pada waktu terjadi alih daya maksimum adalah

Gb.4.9. Rangkaian ekivalen pendekatan.

1R

s

R'2

If

I1

V1 jXc

Rc

)( '21 XXj +

Page 93: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

86 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( ) ( ) ( )

( ) ( )2'21

2'21

211

21

1

2'21

22'

21211

1

2'21

2'2

1

12

222

XXXXRRR

V

XXXXRR

V

XXs

RR

VI

m

'

+++++

=

++

+++

=

++

+

=

(4.22)

Torka maksimum adalah

( )( )

+++

ω=×

ω=

2'21

211

21

'22'

2

2

313

1

XXRR

V

s

RIT

smsm (4.23)

Persamaan (4.23) ini memperlihatkan bahwa torka maksimum tidak

tergantung dari besarnya resistansi rotor. Akan tetapi menurut (4.21) slip

maksimum sm berbanding lurus dengan resistansi rotor. Jadi mengubah

resistansi rotor akan mengubah nilai slip yang akan memberikan torka

maksimum akan tetapi tidak mengubah besarnya torka maksimum itu

sendiri.

Karakteristik Torka – Perputaran. Gb.4.10. memperlihatkan bagaimana

torka berubah terhadap perputaran ataupun terhadap slip. Pada gambar

ini diperlihatkan pula pengaruh resistansi belitan rotor terhadap

karakterik torka-perputaran. Makin tinggi resistansi belitan rotor, makin

besar slip tanpa mengubah besarnya torka maksimum.

0

100

200

300

1

0

sm 0

ns

slip

perputaran

tork

a d

alam

% n

om

inal

Gb.4.10. Karakteristik torka – perputaran.

resistansi rotor rendah

resistansi rotor tinggi

sm1

Page 94: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

87

Aplikasi. Motor dibagi dalam beberapa katagori menurut karakteristik

spesifiknya sesuai dengan kemampuan dalam penggunaannya. Berikut

ini data motor yang secara umum digunakan, untuk keperluan memutar

beban dengan kecepatan konstan dimana tidak diperlukan torka asut yang

terlalu tinggi. Beban-beban yang dapat dilayani misalnya kipas angin,

blower, alat-alat pertukangan kayu, pompa sentrifugal. Dalam keadaan

tertentu diperlukan pengasutan dengan tegangan yang direduksi dan jenis

motor ini tidak boleh dibebani lebih secara berkepanjangan karena akan

terjadi pemanasan.

Pengendalian. Dalam pemakaian, kita harus memperhatikan

pengendaliannya. Pengendalian berfungsi untuk melakukan asut dan

menghentikan motor secara benar, membalik perputaran tanpa

merusakkan motor, tidak mengganggu beban lain yang tersmbung pada

sistem pencatu yang sama. Hal-hal khusus yang perlu diperhatikan dalam

pengendalian adalah : (a) pembatasan torka asut (agar beban tidak rusak);

(b) pembatasan arus asut; (c) proteksi terhadap pembebanan lebih; (d)

proteksi terhadap penurunan tegangan; (e) proteksi terhadap terputusnya

salah satu fasa (yang dikenal dengan single phasing). Kita cukupkan

sampai di sini pembahasan kita mengenai motor asinkron. Pengetahuan

lebih lanjut akan kita peroleh pada pelajaran khusus mengenai mesin-

mesin listrik.

Tabel-4.1. Motor Dalam Aplikasi

HP jumlah

kutub

torka

asut %

torka

maks arus

asut

slip

faktor

daya efisiensi

2 150

4 150

0,5

sampai

200 6 135

0,87

sampai

0,89

87 %

sampai

89 %

8 125

500 %

sampai

1000 %

3 %

sampai

5 %

10 120

12 115

sampai

250 %

tidak

kurang

dari

200 %

14 110

16 105

Soal-Soal

1. Sebuah motor asinkron 3 fasa, 100 HP, 380 V, 50 Hz, mempunyai

rugi-rugi inti stator 4400 W, dan rugi tembaga stator 3000 W. Rugi-

rugi rotasi adalah 1100 W dan arus ekivalen rotor dilihat di stator

adalah 120 A. Pada slip 4%, hitunglah efisiensi motor.

Page 95: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

88 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

2. Sebuah motor asinkron 3 fasa 20 HP, 380 V, 50 Hz, 6 kutub, belitan

stator terhubung Y. Pengukuran resistansi menunjukkan resistansi

belitan stator 0,13 Ω per fasa. Uji rotor diam memberikan resistansi

ekivalen 0,22 Ω dan reaktansi ekivalen 0,52 Ω. Uji beban nol

memberikan rugi-rugi inti 600 W. Jika motor ini beroperasi dengan

slip 3%, hitunglah : (a) arus saluran; (b) faktor daya; (c) daya

keluaran (HP); (d) Torka asut.

3. Sebuah motor asinkron 3 fasa, 2200 V, 50 Hz, 12 kutub, terhubung

Y. Pada uji beban nol, motor menyerap daya 14 kW pada arus

saluran 20 A. Pengukuran resistansi menghasilkan resistansi belitan

stator 0,4 Ω per fasa. Uji rotor diam menghasilan resistansi ekivalen

0,6 Ω dan reaktansi ekivalen 2,0 Ω. Motor beroperasi pada slip 3%.

Hitunglah: (a) arus masukan; (b) faktor daya; (c) besarnya torka.

4. Sebuah motor asinkron 3 fasa, 100 HP, 380 V, 50 Hz, 12 kutub,

belitan stator terhubung Y. Pengukuran resistansi menghasilkan nilai

resistansi belitan stator 0,06 per fasa. Uji beban nol menunjukkan

rugi-rugi inti 4200 W. Uji rotor diam memberikan resistansi ekivalen

0,11 Ω dan reaktansi ekivalen 0,26 Ω per fasa. Jika motor beroperasi

pada beban penuh dan rugi-rugi rotasi diketahui 1800 W,

tentukanlah : (a) arus masukan; (b) faktor daya; (c) efisiensi.

5. Sebuah motor asinkron 3 fasa, rotor belitan terhubung Y, tegangan

masukan 2200 V. Uji beban nol pada tegangan 2200 Vmemberikan

data arus saluran 16,5 A, daya masuk 12,4 kW. Uji rotor diam

dilakukan pada tegangan masuk 450 V memberikan data arus

saluran 176 A dan daya masuk 37,5 kW. Pengukuran resistansi

stator menghasilkan resistansi 0,28 Ω per fasa. Jika motor beropersai

pada slip 2% dan diketahui rugi-rugi rotasi 2 kW, tentukan nilai

parameter untuk menggambarkan rangkaian ekivalen pendekatan.

6. Pada motor soal nomer 5, tentukanlah : (a) slip untuk memberikan

torka maksimum; (b) arus masukan dan faktor daya pada waktu

terjadi torka maksimum; (c) besarnya torka maksimum.

7. Sebuah motor asinkron rotor sangkar, 400 HP, 2200 V, 6 kutub, 50

Hz, belitan stator terhubung Y, mempunyai parameter

Ω=Ω=Ω= 25,0 ; 4,0 ; 2,01 ee XRR

Rugi-rugi inti stator 8800 W dan rugi-rugi rotasi 4800 W. Jika motor

beroperasi pada slip 2%, dengan menggunakan rangkaian ekivalen

pendekatan hitunglah : (a) arus masukan; (b) faktor daya; (c)

besarnya torka; (d) efisiensi.

Page 96: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

89

BAB 5 Sinyal +onsinus Pada Rangkaian Linier

Penyediaan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan

menggunakan sumber tegangan berbentuk gelombang sinus. Arus yang

mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus. Namun

perkembangan teknologi terjadi di sisi beban yang mengarah pada

peningkatan efisiensi peralatan dalam penggunaan energi listrik. Alat-alat

seperti air conditioner, refrigerator, microwave oven, sampai ke mesin

cuci dan lampu-lampu hemat energi makin banyak digunakan dan semua

peralatan ini menggunakan daya secara intermittent. Peralatan elektronik,

yang pada umumnya memerlukan catu daya arus searah juga semakin

banyak digunakan sehingga diperlukan penyearahan arus. Pembebanan-

pembebanan semacam ini membuat arus beban tidak lagi berbentuk

gelombang sinus.

Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang tidak berbentuk

sinus, namun tetap periodik, tersusun dari gelombang-gelombang sinus

dengan berbagai frekuensi. Gelombang periodik nonsinus ini

mengandung harmonisa.

Pembahasan mengenai harmonisa dalam buku ini diharapkan menjadi

pengantar untuk pembahasan mengenai Kualitas Daya. Kajian mengenai

kualitas daya dalam system penyaluran energi listrik mencakup setiap

permasalahan pada sistem tenaga yang berdampak pada penyimpngan

besaran tegangan, arus, dan frekuensi dan berakibat kegagalan kerja

sistem atau kegagalan operasi peralatan di sisi beban.

Perkembangan teknologi di sisi beban telah memunculkan berbagai

beban dengan karakteristik masing-masing serta berbagai pola

pembebanan. Karena beban terikat pada sistem pasokan daya, maka

tuntutan pembebanan juga akan berimbas pada sistem. Setiap sebab yang

akan menurunkan kinerja sistem perlu dihindarkan atau ditekan

seminimal mungkin. Oleh karena itu muncullah permasalahan kualitas

daya.

Kegagalan kerja sistem tidak harus berarti ‘shut down’ dan kegagalan

operasi peralatan tidak harus berarti ‘rusak’. Penurunan efisiensi dan

penurunan life time termasuk dalam katagori kegagalan kerja sistem dan

peralatan. Dengan demikian maka upaya peningkatan kualitas daya

Page 97: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

90 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

merupakan upaya mencegah kegagalan operasi peralatan di sisi beban

(pengguna akhir) maupun meningkatkan kinerja pasokan. Upaya

peningkatan kualitas dituntut baik pada penyaluran dari pembangkit ke

jaringan, di dalam jaringan, maupun pasokan ke beban.

Masalah faktor daya, ketidak-seimbangan, susut energi di jaringan,

power interruption, adalah masalah-masalah yang selalu muncul dalam

sistem distribusi tenaga listrik. Ketidak-seimbangan pembebanan yang

menyebabkan munculnya komponen-komponen arus negative sequence

dan zero sequence juga akan menambah persoalan di jaringan.

Sesungguhnya persoalan kualitas daya tidak hanya terbatas pada usaha

perbaikan apa yang sudah ada, melainkan mencakup antisipasi pada

keadaan mendatang, baik yang didorong oleh perkembangan teknologi

maupun oleh peraturan-peraturan dan juga kepentingan komersial.

Beberapa perkembangan dalam teknologi energi listrik yang perlu

mendapat perhatian adalah:

a) Distributed Generation

Makin menyusutnya persediaan fossil fuel dan kesadaran akan

lingkungan mendorong upaya ke arah energi alternatif dan energi

terbarukan. Wind power, wave energy, photovoltaic, biomass,

fuelcell, mikrohidro, adalah beberapa contoh. Skala pembangkit

alternatif ini relatif kecil dan kebanyakan tersebar pada lokasi yang

berjauhan. Jika daya dari pembangkit yang relatif kecil ini harus

masuk ke jaringan, maka daya masuk ke jaringan melalui jaringan

distribusi.

b) Energy Storage

Teknologi ini sudah sejak lama menjadi perbincangan. Penyimpanan

energi sejauh ini dilaksanakan pada penyimpanan “energi

pembangkit” seperti energi kimia (batere), mekanik (flywheel), hidro

(hydro pumped storage), panas (thermal storage). Pembangkitan

listrik dari simpanan energi ini juga relative berskala kecil, yang bisa

masuk ke jaringan melalui jaringan distribusi.

c) Power Electronic

Perkembangan di bidang power electronic, dengan beban besar yang

merupakan pembebanan nonlinier, memerlukan perhatian agar

pengaruhnya pada sistem penyaluran daya serta dampaknya terhadap

peralatan-peralatan konvensional sistem (seperti transformator)

Page 98: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

91

dapat ditekan. Perkembangan konversi AC/DC, diiringi oleh

pengembangan tapis aktif; walaupun demikian pemantauan kaualitas

daya tetap harus dilakukan.

5.1. Pendekatan +umerik Sinyal +onsinus

Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal

nonsinus untuk menyebut secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi

gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus terdistorsi yang terjadi di

sistem tenaga.

Di Bab-3 telah dibahas bagaimana mencari spektrum amplitudo dan

sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus yang mudah dicari persamaannya.

Berikut ini kita akan membahas cara menentukan spektrum amplitudo

sinyal nonsinus melalui pendekatan numerik, yang digunakan jika kita

menghadapi sinyal nonsinus yang tidak mudah dicari persamaannya.

Cara pendekatan ini dapat dilakukan dengan bantuan komputer

sederhana, terutama jika sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari

suatu pengukuran analog. Dalam praktik, sinyal nonsinus diukur dengan

menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung

spektrum amplitudo dari sinyal nonsinus yang diukur.

Penafsiran Grafis Deret Fourier. Pencarian spektrum amplitudo suatu

sinyal periodik y(t) dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier

dengan formula seperti berikut ini.

>ω=

>ω=

=

2/

2/0

0

2/

2/0

0

2/

2/00

0

0

0

0

0

0

0 ; )sin()(2

0 ; )cos()(2

)(1

T

Tn

T

Tn

T

T

ndttntyT

b

ndttntyT

a

dttyT

a

dengan T0 adalah perioda sinyal.

Integral ∫−2/

2/

0

0

)(T

Tdtty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t)

dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang dalam

rentang satu perioda ini dikalikan dengan (1/T0), yang berarti dibagi

Page 99: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

92 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

dengan T0, akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen

searah a0.

Integral ∫− ω2/

2/0

0

0

)cos()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh

kurva )cos()( 0tnty ω dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika

luas bidang ini dikalikan dengan (2/T0), yang berarti dibagi (T0/2), akan

diperoleh an. Di sini T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0

terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Integral ∫− ω2/

2/0

0

0

)sin()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh

kurva )sin()( 0tnty ω dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika

luas ini dikalikan dengan (2/T0) akan diperoleh bn. Seperti halnya

penghitungan an, T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0

terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka

pencarian koefisien Fourier dapat didekati dengan perhitungan luas

bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan analitis hanya dapat

dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponen-

komponennya diberikan dalam bentuk persamaan yang cukup mudah

untuk diintegrasi.

Prosedur Pendekatan +umerik. Pendekatan numerik integral sinyal y(t)

dalam rentang p ≤ t ≤ q dilakukan sebagai berikut.

1. Kita bagi rentang p ≤ t ≤ q ke dalam m segmen dengan lebar masing-

masing ∆tk; ∆tk bisa sama untuk semua segmen bisa juga tidak,

tergantung dari keperluan. Integral y(t) dalam rentang p ≤ t ≤ q

dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang tersebut.

Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segmen

merupakan sisi kanan segmen di sebelah kirinya, dan sisi kanan suatu

segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah kanannya. Jika sisi kanan

segmen (trapesium) adalah Ak maka sisi kirinya adalah Ak-1, maka

luas segmen ke-k adalah

( ) 2/1 kkkk tAAL ∆×+= − (5.1)

Page 100: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

93

Jadi integral f(t) dalam rentang p ≤ x ≤ q adalah

∑∫=

≈m

k

k

q

pLdttf

1

)( (5.2)

2. Nilai ∆tk dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih

berada dalam batas-batas toleransi yang kita terima. Jika sinyal

diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari koefisien Fourier dari

harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari 10×n

segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak

lebih dari 5%. Untuk harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi

menjadi 50 segmen. Ketentuan ini tidaklah mutlak; kita dapat

memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan

mudah dilakukan namun cukup teliti.

3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti

berikut:

[ ]

[ ]

[ ]∑ ∑

∑∑

∑∑

=

−−

=

−−

=

=∆ω+ω

=

=∆ω+ω

=

=∆+

=

m

k

kbnkkkkn

kanm

k

kkkkn

kam

k

kkk

T

LttnAtnA

Tb

T

LttnAtnA

Ta

T

LtAA

Ta

1 0

1010

0

01

1010

0

0

0

1

1

00

2/2

)sin()sin(2

2/

2

)cos()cos(2

2

1

(5.3)

4. Formula untuk sudut fasa adalah

=ϕ −

n

nn

a

b1tan (5.4)

5. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan

numerik bisa berbeda dengan nilai yang diperoleh secara analitis.

Jika misalkan secara analitis seharusnya diperoleh a1 = 0 dan b1 =

150, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang sedikit

menyimpang, misalnya a1 = 0,01 dan b1 = 150,2.

6. Amplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah 22nnn baA += .

Sudut fasa dihitung dalam satuan radian ataupun derajat dengan

mengingat letak kuadran dari vektor amplitudo seperti telah dibahas

Page 101: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

94 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

pada waktu kita membahas spektrum sinyal dalam Bab-3. Persamaan

sinyal nonsinus adalah

)cos()(

1

022

0 ∑∞

=

ϕ−ω++=

n

nnn tnbaaty (5.5)

Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva

yang tak mudah dicari persamaannya. Prosedur pendekatan numerik

dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan kecermatan. Hasil

pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut

ini.

CO+TOH-5.1:

Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal

periodik y(t) yang dalam satu perioda berbentuk seperti yang

diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa gambar ini

adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam

0,02 detik, yang sesuai dengan frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian: Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t

dengan interval sebesar ∆t = 0,0004 detik, kemudian menentukan Ak

untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi pada t = 0 dan

sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian

selanjutnya dengan segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula

sisi kanan segmen terakhir pada t = T0. Hasil perhitungan yang

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02

y[volt]

t[detik]

Page 102: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

95

diperoleh dimuatkan dalam Tabel-5.1 (hanya ditampilkan sebagian),

dimana sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan

sampai 2 angka di belakang koma.

Tabel-5.1. Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-5.1.

T0 = 0,02 s

∆tk = 0,0004 s

Komp.

searah

Fundamental

f0 = 1/T0 = 50 Hz Harmonisa ke-3

t Ak Lka0 Lka1 Lkb1 Lka3 Lkb3

0 50

0,0004 75 0,025 0,025 0,002 0,024 0,006

0,0008 100 0,035 0,034 0,007 0,029 0,019

0,0012 120 0,044 0,042 0,014 0,025 0,035

: : : : : : :

0,0192 -5 -0,006 -0,006 0,002 -0,003 0,005

0,0196 20 0,003 0,003 0,000 0,003 -0,001

0,02 50 0,014 0,014 -0,001 0,014 -0,001

Jumlah Lk 0,398 0,004 1,501 -0,212 0,211

a0 19,90

a1, b1 0,36 150,05

a3, b3 −21,18 21,13

Ampli-1, ϕ1 150,05 1,57

Ampli-3, ϕ3 29,92 -0,78

Tabel ini memberikan

78,0)18,21/13,21(tan

92,2913,21)18,21( 13,21 ;18,21

57,1)36,0/05,150(tan

05,15005,15036,0 05,150 ;36,0

90,19

13

22333

11

22111

0

−=−=ϕ

=+−=⇒=−=

==ϕ

=+=⇒==

=

Aba

Aba

a

Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke-

dua. Apabila harmonisa ke-dua dihitung , akan memberikan hasil

43,492 =a dan 36,02 −=b

43,49 2 =Aamplitudo dan 01,02 −=ϕ

Page 103: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

96 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal

yang diberikan adalah

)78,06cos(92,29

)01,04cos(43,49)57,12cos(05,15090,19)(

0

00

+π+

+π+−π+=

tf

tftfty

5.2. Elemen Linier Dengan Sinyal +onsinus

Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal

sinus di kawasan waktu berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus.

CO+TOH-5.2: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

(a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C = 30 µF,

dan frekuensi f = 50 Hz, gambarkan (dengan bantuan komputer)

kurva tegangan dan arus kapasitor.

Penyelesaian:

(a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah dt

dvCiC =

Oleh karena itu arus kapasitor adalah

A )07,35sin(50

)37,13sin(60)07,2sin(100

)5,15cos(50

)2,03cos(60)5,0cos(100

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100

+ωω+

+ωω++ωω=

+ωω+

−ωω++ωω=

+ω+−ω++ω=

tC

tCtC

tC

tCtC

dt

tttdCiC

(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.

detik

[V]

vC

iC

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 0.005 0.01 0.015 0.02

[A] 5

2,5

0

−5

−2,5

Page 104: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

97

Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi

nonsinus yang simetris terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata

fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan numerik

memberikan nilai rata-rata

14108,1 −×=rrv V dan 17105 −×=rri A.

5.3. +ilai Rata-Rata Dan +ilai Efektif Sinyal +onsinus

+ilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-

rata sinyal nonsinus y(t) dengan perioda T0 adalah

∫=T

rr dttyT

Y00

)(1

(5.6)

Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal

tersebut.

+ilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T0

adalah

∫=T

rms dttyT

Y0

2

0

)(1

(5.7)

Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y1 = Ym1 sin(ωt + θ)

adalah

2)(sin

1 1

0

221

01

mT

mrms

YdttY

TY =θ+ω= ∫ (5.8)

Nilai efektif sinyal nonsinus ∑∞

=

θ+ω+=1

00 )sin()(

n

nmn tnYYty adalah

∫ ∑

θ+ω+=

=

T

n

nmnrms dttnYYT

Y0

2

1

000

)sin(1

Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan

Page 105: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

98 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

∫ ∑

θ+ω+=

=

T

n

nmnrms dttnYYT

Y0

2

1

000

2 )sin(1 atau

∫ ∑

+

θ+ωθ+ω+

θ+ωθ+ω+

θ+ω

+

θ+ω+=

=

=

=

=

T

n

nmnm

n

nmnm

n

nmn

T

n

nmnrms

dt

tnYtY

tnYtY

tnYY

T

dttnYYT

Y

0

3

0202

2

0101

1

00

0

01

0222

00

2

.................................

)sin()2sin(2

)sin()sin(2

)sin(2

1

)(sin1

(5.9)

Melalui kesamaan trigonometri

)cos()cos(sinsin2 β+α−−α=βα b

dan karena Y0 bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (5.8)

merupakan penjumlahan nilai rata-rata fungsi sinus yang masing-masing

memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol. Oleh

karena itu (5.9) dapat kita tulis

∫ ∑

θ+ω+=

=

T

n

nnmrms dttnYYT

Y0

1

0222

02 )(sin

1 (5.10)

atau

∑ ∫∫∞

=

=

+=

θ+ω+=

1

220

10

022

0

20

2

)(sin11

n

nrms

n

T

nnm

t

rms

YY

dttnYT

dtYT

Y

(5.11)

Persamaan (5.11) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non

sinus sama dengan jumlah kuadrat komponen searah dan kuadrat semua

nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari formulasi yang mudah

untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus

sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y0),

Page 106: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

99

komponen fundamental (y1), dan komponen harmonisa (yh). Komponen

searah adalah nilai rata-rata sinyal, komponen fundamental adalah

komponen dengan frekuensi fundamental ω0, sedangkan komponen

harmonisa merupakan jumlah dari seluruh komponen harmonisa yang

memiliki frekuensi nω0 dengan n > 1. Jadi sinyal nonsinus y dapat

dinyatakan sebagai

hyyyy ++= 10

Akan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri

dari dua komponen saja, yaitu komponen fundamental dan komponen

harmonisa total di mana komponen yang kedua ini mencakup komponen

searah. Alasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses

transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang

sama; hal ini akan kita lihat kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya

kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan cara pandang

ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai

hyyy += 1 (5.12)

dengan )sin( 1011 θ+ω= tYy m

dan ∑=

θ+ω+=k

n

nnmh tnYYy

2

00 )sin( .

Dengan demikian maka relasi (5.11) menjadi

221

2hrmsrmsrms YYY += (5.13)

Dalam praktik, komponen harmonisa yh dihitung tidak melibatkan

seluruh komponen harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita

spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan sampai pada frekuensi

tertinggi yang ditentukan yaitu kω0; sinyal dengan frekuensi di atas batas

frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup

kecil untuk diabaikan.

CO+TOH-5.2: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji

memiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus per

detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi nilai efektif;

(b) uraian harmonisa.

Penyelesaian:

Page 107: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

100 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

(a) Perioda sinyal 0,05 detik dengan persamaan: ttv 400)( = .

Nilai efektif:

V 55,11 3

1600

05,0

1)400(

05,0

105,0

0

305,0

0

2 ≈

== ∫ tdttVrms

(b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam

contoh di Bab-3, yaitu

V 7sin909,0

6sin061,15sin273,1 4sin592,1

3sin122,22sin183,3sin366,610)(

0

000

000

t

ttt

ttttv

ω−

ω−ω−ω−

ω−ω−ω−=

Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental,

tegangan harmonisa, dan tegangan total sebagai berikut.

V 5,42

366,61 ≈=rmsV

V 7,102

909,0

2

061,1

2

273,1

2

592,1

2

122,2

2

183,310

2222222 ≈++++++=hrmsV

V 6,117,105,4 22221 ≈+=+=

hrmsrmsrms VVV

Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai

efektif harmonisa jauh lebih tinggi dari nilai efektif komponen

fundamentalnya.

CO+TOH-5.3: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus

A sin 0ti ω= sampai dengan harmonisa ke-10 adalah:

A )10cos(007.0)8cos(010.0)6cos(018,0

)4cos(042,0 ) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

000

000

ttt

tttti

ω+ω+ω+

ω+ω+−ω+=

Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa,

dan arus total.

Penyelesaian:

Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total

berturut-turut adalah

Page 108: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

101

354,02

5,01 ==rmsI A

5430,2

007,0

2

01,0

2

018,0

2

042,0

2

212,0318,0

222222 =+++++=hrmsI A

5,0354,0354,0 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms III A

Contoh-5.3 ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang

nilai efektif komponen fundamental sama dengan nilai efektif komponen

harmonisanya.

CO+TOH-5.4: Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µF terdiri dari dua

komponen yaitu tv ω= sin2001 dan tv ω= 15sin2015 . Jika

diketahui frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitunglah: (a) nilai

efektif arus yang diberikan oleh v1; (b) nilai efektif arus yang

diberikan oleh v15; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga

arus tersebut sebagai fungsi waktu.

Penyelesaian:

a). Komponen tegangan pertama adalah )100sin(2001 tv π= V. Arus

yang diberikan oleh tegangan ini adalah

ttdtdvi π=ππ×××=×= −− 100cos257,1 100cos1002001020/1020 61

61

Nilai efektifnya adalah: A 89,02

257,11 ==rmsI

b). Komponen tegangan ke-dua adalah )1500sin(2015 tv π= V. Arus

yang diberikan oleh tegangan ini adalah

t

tdtdvi

π=

ππ×××=×= −−

1500cos885,1

1500sin1500201020/10206

156

15

Nilai efektifnya adalah: A 33,12

885,115 ==rmsI

c). Tegangan gabungan adalah

)1500sin(20)100sin(200 ttv π+π=

Arus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah

Page 109: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

102 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

tt

vvdt

ddtdvi

1500cos885,1100cos257,1

)(1020/1020 15166

+π=

+×=×= −−

Arus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang

berbeda frekuensi. Kurva arus ini pastilah berbentuk nonsinus.

Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di

jawaban (a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah

A 60,133,189,0 22215

21 =+=+= rmsrmsrms III

d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut.

CO+TOH-5.5: Arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A, mengalir pada beban

yang terdiri dari resistor 100 Ω yang tersambung seri dengan

induktor 0,5 H. Pada frekuensi 50 Hz: (a) gambarkan kurva tegangan

dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban dan arus

beban.

Penyelesaian:

(a) Arus beban adalah tti ω+ω= 3sin2,0sin2 . Tegangan beban

adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200

tttt

dt

diLiRvvv LR

ωω+ωω+ω+ω=

+=+=

Kurva tegangan dan arus:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 detik

A i1 i i15

Page 110: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

103

(b). Nilai efektif arus beban adalah

A 42,12

2,0

2

2 2223

21 =+=+= rmsrmsrms III

Tegangan beban adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200 ttttv ωω+ωω+ω+ω=

Nilai efektif tegangan beban, dengan ω=100π, adalah

V 272 2

)3,0(20

2

2002222

=ω+

+ω+

=rmsV

5.4. Daya Pada Sinyal +onsinus

Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku pula

pada sinyal nonsinus. Daya nyata memberikan transfer energi netto,

sedangkan daya reaktif tidak memberikan transfer energi netto.

Kita tinjau resistor Rb yang menerima arus berbentuk gelombang

nonsinus

hRb iii += 1

Nilai efektif arus ini adalah 22

12

hrmsrmsRbrms III +=

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsbRbrmsRb RIRIRIP 221

2 +=×= (5.14)

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

2

4

0

−2

−4

A V

detik

v

i

Page 111: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

104 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Formulasi (5.14) tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri

dengan induktansi, karena dalam bubungan seri demikian ini daya nyata

diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya reaktif.

CO+TOH-5.6: Seperti pada contoh-5.5, arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2

A mengalir pada resistor 100 Ω yang tersambung seri dengan

induktor 0,5 H. Jika frekuensi fundamental 50 Hz: (a) gambarkan

dalam satu bidang gambar, kurva daya yang mengalir ke beban

sebagai perkalian tegangan total dan arus beban dan kurva daya yang

diserap resistor sebagai perkalian resistansi dan kuadrat arus resistor;

(b) hitung nilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada pertanyaan b;

(c) berikan ulasan tentang kedua kurva daya tersebut.

Penyelesaian:

(a) Daya masuk ke beban dihitung sebagai: p = v × i

sedangkan daya nyata yang diserap resistor dihitung sebagai: pR =

i2R = vRiR

Kurva dari p dan pR terlihat pada gambar berikut.

(b) Daya rata-rata merupakan daya nyata yang di transfer ke beban.

Daya ini adalah daya yang diterima oleh resistor. Arus efektif

yang mengalir ke beban telah dihitung pada contoh-5.5. yaitu

1,42 A. Daya nyata yang diterima beban adalah

202100)42,1( 22 =×== RIP rmsR W.

Teorema Tellegen mengharuskan daya ini sama dengan daya

rata-rata yang diberikan oleh sumber, yaitu p = vi. Perhitungan

dengan pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata p adalah

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

W p = vi pR = i2R = vRiR

detik

Page 112: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

105

Prr = 202 W

(c) Kurva pR selalu positif; nilai rata-rata juga positif sebesar 202 W

yang berupa daya nyata. Pada kurva p ada bagian yang negatif

yang menunjukkan adanya daya reaktif; nilai rata-rata kurva p

ini sama dengan nilai rata-rata kurva pR yang menunjukkan

bagian nyata dari daya tampak.

CO+TOH-5.7: Tegangan nonsinus pada terminal resistor 20 Ω adalah

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

Tentukan arus efektif yang mengalir dan daya nyata yang diserap

resistor.

Penyelesaian:

Arus yang mengalir adalah

)5,15sin(5,0)2,03sin()5,0sin(5 +ω+−ω++ω== tttR

vi A

Nilai efektif masing-masing komponen arus adalah

2

5,0 ;

2

1 ;

2

5531 === rmsrmsrms III

Arus efektif yang mengalir adalah

A 62,32

25,26

2

25,0

2

1

2

25==++=rmsI

Daya nyata yang diserap resistor adalah

W5,262202

25,0

2

1

2

252 =×

++== RIP rmsR

CO+TOH-5.8: Tegangan nonsinus ttv ω+ω= 3sin10sin100 V, terjadi

pada terminal beban yang terdiri dari resistor 100 Ω tersambung

paralel dengan kapasitor 50 µF. Jika frekuensi fundamental adalah

50 Hz, (a) Tentukan persamaan arus total beban; (b) hitung daya

nyata yang diserap beban.

Penyelesaian:

Page 113: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

106 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

(a). Arus total (i) adalah jumlah arus yang melalui resistor (iR) dan

kapasitor (iC).

ttR

viR ω+ω== 3sin1,0sin

( )ttdt

dvCiC ωω+ωω×== −

3cos30cos10010506

Arus total beban:

tttti ωω+ω+ω+ω= 3cos0015.0cos005,03sin1,0sin

(b). Arus efektif melalui resistor

A 71,02

1,0

2

1 22

=+=RrmsI

Daya nyata yang diserap beban adalah daya yang diserap

resistor:

W5010071,0 2 =×=RP

5.5. Resonansi

Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan berbagai macam

frekuensi, maka ada kemungkinan salah satu frekuensi harmonisa

bertepatan dengan frekuensi resonansi dari rangkaian. Frekuensi

resonansi telah kita bahas di bab sebelumnya. Berikut ini kita akan

melihat gejala resonansi pada rangkaian karena adanya frekuensi

harmonisa.

CO+TOH-5.9: Suatu generator 50 Hz dengan induktansi internal 0,025

H mencatu daya melalui kabel yang memiliki kapasitansi total

sebesar 5 µF. Dalam keadaan tak ada beban tersambung di ujung

kabel, tentukan frekuensi harmonisa sumber yang akan memberikan

resonansi.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah

4,2828105025,0

11

6=

××==ω

−LCr

Page 114: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

107

Hz 4502

4,2828=

π=rf

Inilah frekuensi harmonisa ke-9.

CO+TOH-5.10: Sumber tegangan satu fasa 6 kV, 50 Hz, mencatu beban

melalui kabel yang memiliki kapasitansi total 2,03 µF. Dalam

keadaan tak ada beban terhubung di ujung kabel, induktansi total

rangkaian ini adalah 0,2 H. Tentukan harmonisa ke berapa dari

sumber yang akan membuat terjadinya resonansi pada keadaan tak

ada beban tersebut.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah

rad/det 4,15691003,202,0

11

6=

××==ω

−LCr

atau Hz 78,2492

4,1569=

π=rf

Resonansi terjadi jika sumber mengandung harmonisa ke-5.

Page 115: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

108 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Soal-Soal

1. Hasil penyearahan setengah gelombang tegangan sinusoidal

memberikan tegangan dengan amplitudo 250 V, dan frekuensi dasar

50 Hz. Tuliskan lima komponen pertama sinyal yang tak bernilai nol

dan gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal ini.

2. Sinyal segitiga mempunyai amplitudo 5 V dan perioda 1 milidetik.

Tuliskan lima komponen pertama sinyal yang tak bernilai nol dan

gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal ini.

3. Suatu sinyal gelombang komposit diperoleh dengan menambahkan

tegangan searah 5 V dan geolmbang persegi 1kHz yang memiliki

tegangan puncak-ke-puncak 5 V. Tuliskan lima komponen pertama

sinyal yang tak bernilai nol dan gambarkan spektrum amplitudo dari

sinyal ini.

4. Pulsa pertama dari suatu deret pulsa muncul pada t = 0 dan

menghilang pada t = 1, sedangkan pulsa kedua muncul pada t = 2

dan menghilang pada t = 3. Jika amplitudo pulsa adalah 2 V,

gambarkan bentuk gelombang sinyal ini dan carilah koefisien

Fourier serta gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal ini.

5. Suatu sinyal sinusoidal )/2sin(10 0Ttv π= V diproses melalui

rangkaian pemotong gelombang sedemikian rupa sehingga bagian

gelombang yang berada di bawah 5− V terpotong. Jika perioda T0

adalah 0,1 detik, carilah koefisien Fourier serta gambarkan spektrum

amplitudo dari sinyal ini.

6. Bentuk gelombang )5,01(10 tv −= adalah setengah perioda pertama

dari gelombang periodik yang periodanya 4 detik. Jika diketahui

bahwa koefisien Fourier an = 0 untuk semua n, bagaimanakah bentuk

setengah gelombang yang kedua?

7. Bentuk gelombang )5,01(10 tv −= adalah setengah perioda pertama

dari gelombang periodik dengan perioda 4 detik. Jika diketahui

bahwa koefisien Fourier bn = 0 untuk semua n, bagaimanakah bentuk

setengah gelombang yang kedua?

8. Dengan pendekatan numerik, carilah persamaan gelombang periodik

yang salah satu periodanya tergambar di bawah ini.

Page 116: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

109

9. Suatu resistor 100 Ω yang tersambung paralel dengan induktor 0,5

H, dihubungkan pada sebuah sumber tegangan

ttv ω+ω= 3sin10sin100 dengan frekuensi 50 Hz. (a) Tentukan

persamaan arus sumber dan nilai efektifnya; (b) hitung daya yang

diserap resistor; (c) dengan hanya memperhatikan komponen

fundamental, hitung nilai rata-rata daya yang keluar dari sumber dan

bandingkan dengan daya yang diserap resistor.

10. Sebuah sumber tegangan 50 Hz, 12 kV mempunyai resistansi

internal 1 Ω dan induktansi internal 0,02 H. Sumber ini mencatu

beban melalui kabel yang mempunyai kapasitansi total 2.9 µF.

Tegangan terbangkit di sumber dinyatakan dengan

tte ω+ω= 13sin170sin17000 . Dalam keadaan tak ada beban

terhubung di ujung kabel, hitunglah tegangan maksimum pada kabel.

11. Tegangan sebesar tv ω+= sin300100 V, diterapkan pada beban

berupa resistor 10 Ω melalui kabel yang memiliki kapasitansi toal

0,3 µF. Hitung arus efektif yang keluar dari sumber dan hitung daya

yang diserap oleh beban jika ω = 314.

12. Suatu induktor 0,225 H dihubungkan seri dengan kapasitor 5 µF.

Tentukan frekuensi sumber yang akan memberikan resonansi pada:

(a) frekuensi dasar; (b) harmonisa ke-tiga; (c) harmonisa ke-lima.

v

[V]

t [det]

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 0.005 0.01 0.015 T0

Page 117: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

110 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

13. Suatu tegangan nonsinus mengandung komponen fundamental,

harmonisa ke-3, dan harmonisa ke-5. Nilai puncak tegangan

berturut-turut adalah 2000 V, 400 V, dan 100 V. Tegangan ini

diterapkan pada rangkaian seri R = 10 Ω, kapasitor 30 µF, dan

induktor variabel. Pada frekuensi 50 Hz, hitung nilai induktansi yang

akan menyebabkan resonansi pada harmonisa ke-3, dan harmonisa

ke-5. Hitung pula arus dan tegangan efektif pada waktu terjadi

resonansi.

14. Dua beban paralel terdiri beban resistif 20 Ω dan beban induktif

dengan resistansi 20 Ω seri dengan induktor 0,05 H. Pada terminal

bersama (common point) kedua beban ini dipasang kapasitor 50 µF

paralel dengan kedua beban tersebut. Sebuah tegangan nonsinus

yang tersusun dari komponen fundamental bertegangan puncak 200

V dan harmonisa ke-3 bertegangan puncak 50 V diterapkan pada

terminal bersama dari beban ini. Hitung arus efektif total, daya total,

dan faktor daya dari beban ini. Frekuensi 50 Hz.

Page 118: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

111

BAB 6 Pembebanan +on-Linier

Pada pembebanan nonlinier arus yang mengalir ke beban merupakan arus

periodik nonsinus, walaupun sumber memberikan tegangan sinus.

Pembahasan akan kita lakukan di dua sisi yaitu tinjauan di sisi beban dan

tinjauan di sisi sumber. Tinjauan di sisi beban adalah melihat beban yang

menerima arus nonsinus tanpa mempersoalkan bagaimana sumber

melayani pembebanan yang demikian ini. Tinjauan di sisi sumber adalah

melihat sumber yang bertegangan sinus namun harus memberikan arus

yang nonsinus.

6.1. Tinjauan Di Sisi Beban

Rangkaian yang akan kita tinjau terlihat pada Gb.6.1. Sebuah sumber

tegangan sinus memberikan arus pada resistor Rb melalui saluran dengan

resistansi Rs dan sebuah pengubah arus p.i., misalnya penyearah;

pengubah arus inilah yang menyebabkan arus yang mengalir di Rb

berbentuk gelombang nonsinus.

Menurut teorema Tellegen, transfer daya listrik hanya bisa terjadi melalui

tegangan dan arus. Namun dalam tinjauan dari sisi beban ini, Rb hanya

melihat bahwa ada arus yang diterima olehnya. Cara bagaimana arus ini

sampai ke beban tidaklah penting bagi beban.

hRb iii += 1 (6.1)

dengan )sin( 1011 θ+ω= tIi m

∑=

θ+ω+=k

n

nnmh tnIIi

2

00 )sin(

Inilah arus yang diterima oleh Rb.

inonsinus

Rb

p.i. vs + −

Gb.6.1. Pembebanan nonlinier.

Rs

Page 119: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

112 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsRb RIRIP 221 += (6.2)

6.2. Tinjauan Di Sisi Sumber

Tegangan sumber berbentuk gelombang sinus, yaitu tVv ss 0sinω= .

Daya yang diberikan oleh sumber adalah tegangan sumber kali arus

sumber yang besarnya sama dengan arus beban. Jadi daya keluar dari

sumber adalah

θ+ω+ω+

θ+ωω==

∑=

k

n

nns

ssss

tnIItV

ttIVtitvp

2

000

1001

)sin(sin

)sin(sin)()(

(6.3)

Suku pertama (6.3) memberikan daya

( )

)2cos(2

cos2

2

)2cos(cos)sin(sin

101

11

101110011

θ+ω−θ=

θ+ω−θ=θ+ωω=

tIVIV

tIVttIVp

ss

sss

(26.4)

Suku ke-dua dari persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol akan tetapi

suku pertama mempunyai nilai tertentu. Hal ini berarti ps1 memberikan

transfer energi netto.

Suku kedua (6.3) memberikan daya

[ ]

20

2

0000

sin)sin(sin

shs

n

nnsssh

pp

ttnIVtIVp

+=

ωθ+ω+ω= ∑∞

= (6.5)

Suku pertama persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol. Suku

kedua juga mempunyai nilai rata-rata nol karena yang berada dalam

tanda kurung pada (6.5) berbentuk fungsi cosinus

Page 120: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

113

[ ]

( ) ( ) ∑

∑∞

=

=

θ+ω−−θ+ω+=

ωθ+ω=

2

00

2

00

)1(cos)1(cos2

sin)sin(

n

nnn

s

n

nns

tntnI

V

ttnIVy

yang memiliki nilai rata-rata nol. Hal ini berarti bahwa psh tidak

memberikan transfer energi netto.

Jadi secara umum daya yang diberikan oleh sumber pada pembebanan

nonlinier dapat kita tuliskan sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu

shss ppp += 1 (6.6)

Dari dua komponen daya ini hanya komponen fundamental, ps1, yang

memberikan transfer energi netto. Dengan kata lain hanya ps1 yang

memberikan daya nyata, yaitu sebesar

1111

1 coscos2

θ=θ= rmssrmss

s IVIV

P (6.7)

dengan θ1 adalah beda susut fasa antara vs dan i1. Sementara itu Psh

merupakan daya reaktif.

Menurut teorema Tellegen, daya nyata yang diberikan oleh sumber harus

tepat sama dengan daya yang diterima oleh beban. Daya nyata yang

diterima oleh Rb adalah PRb seperti diberikan oleh persamaan (6.2). Daya

nyata yang diberikan oleh sumber, yaitu Ps1 haruslah diserap oleh Rb dan

Rs.

6.3. Contoh Kasus: Penyearah Setengah Gelombang

Sebagai contoh dalam pembahasan pembebanan nonlinier ini, kita akan

mengamati penyearah setengah gelombang. Dengan penyearah ini, sinyal

sinus diubah sehingga arus mengalir setiap setengah perioda seperti telah

pernah kita temui. Rangkaian penyearah yang kita tinjau terlihat pada

Gb.6.2.a.

Arus penyearah setengah gelombang mempunyai nilai pada setengah

perioda pertama (yang positif); pada setengah perioda ke-dua, ia bernilai

nol. Uraian fungsi ini sampai dengan harmonisa ke-6, telah dihitung pada

Contoh-3.3 di Bab-3, yaitu

Page 121: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

114 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

V )6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+×=

tt

ttIti m

(6.8)

a).

b).

Gb.6.2. Penyearah setengah gelombang dengan beban resistif.

Dalam rangkaian yang kita tinjau ini hanya ada satu sumber yang

mencatu daya hanya kepada satu beban. Pada waktu dioda konduksi, arus

sumber selalu sama dengan arus beban, karena mereka terhubung seri;

tegangan beban juga sama dengan tegangan sumber karena dioda

dianggap ideal sedangkan resistor memiliki karakteristik linier dan

bilateral. Pada waktu dioda tidak konduksi arus beban maupun arus

sumber sama dengan nol. Gb.6.2.b. memperlihatkan bahwa hanya kurva

tegangan sumber yang merupakan fungsi sinus; kurva arus dan daya

merupakan fungsi nonsinus.

Pada persamaan (6.8) arus fundamental dinyatakan dalam fungsi cosinus

yaitu

)57,1cos(5,0 01 −ω= tIi m

Fungsi ini tidak lain adalah pergeseran 1,57 rad atau 90o ke arah positif

dari fungsi cosinus yang ekivalen dengan fungsi sinus

)sin(5,0 01 tIi m ω=

Pernyataan i1 dalam fungsi sinus ini sesuai dengan pernyataan bentuk

gelombang tegangan yang juga dalam fungsi sinus. Dengan pernyataan

vs

is

iR

pR 0 0 90 180 270 360 450 540 630 720

Vs

−Vs

vs

iR

pR pR ωt [o]

vs R vR

Page 122: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

115

yang bersesuaian ini kita dapat melihat beda fasa antara keduanya;

ternyata dalam kasus penyearah setengah gelombang ini, arus

fundamental sefasa dengan tegangan sumber.

CO+TOH-6.1: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi

internal yang dapat diabaikan mencatu beban resistif melalui

penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah

V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban Rb adalah 3,8 Ω. Hitung

daya nyata yang diterima oleh beban dan daya nyata yang diberikan

oleh sumber.

Penyelesaian:

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah 380/3,8 = 100 A.

Persamaan arus sampai harmonisa ke-enam menjadi

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+=

tt

ttti

yang memberikan arus-arus efektif pada beban

A; 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Daya yang diterima beban adalah

( ) kW 5,9 W94888,3221

2 ≈=×+== bhrmsrmsbbrms IIRIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber adalah

tvs 0sin380 ω= . Komponen arus fundamental yang diberikan oleh

sumber adalah sama dengan arus fundamental beban

ttii Rbs 0011 sin50)57,1cos(50 ω=−ω== A

dengan nilai efektif 2/501 =srmsI A

Tak ada beda fasa antara tegangan sumber dan arus fundamentalnya.

Daya dikeluarkan oleh sumber adalah

Page 123: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

116 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

kW 5,92

50

2

380rms 1rms 1 =×== sss IVP

Hasil perhitungan dari kedua sisi tinjauan adalah sama. Daya yang

diberikan oleh komponen fundamental sebagai fungsi waktu adalah

( ) ( )

( ) kW 2cos(119

2cos(12

503802cos(1

2

0

001

1

t

ttIV

p ss

ω−=

ω−×

=ω−=

Gb.6.3 memperlihatkan kurva ps1 pada Contoh-6.1 di atas. Kurva ps1

bervariasi sinusoidal namun selalu positif dengan nilai puncak 19 kW,

dan nilai rata-rata (yang merupakan daya nyata) sebesar setengah dari

nilai puncak yaitu 9,5 kW.

Kurva daya yang dikontribusikan oleh komponen searah, ps0 yaitu suku

pertama (6.5), dan komponen harmonisa psh2 yaitu suku ke-dua

persamaan (6.5), juga diperlihatkan dalam Gb.6.3. Kurva kedua

komponen daya ini simetris terhadap sumbu waktu yang berarti memiliki

nilai rata-rata nol. Dengan kata lain komponen searah dan komponen

harmonisa tidak memberikan daya nyata.

Gb.6.3. Kurva komponen daya yang diberikan sumber.

Konfirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seandainya tidak ada

penyearah antara sumber dan beban, arus pada resistor akan mengalir

sefasa dan sebentuk dengan gelombang tegangan sumber. Daya yang di

keluarkan oleh sumber dalam keadaan ini adalah

kW )2cos1(382

0cos2cos38000

sin38000sin

00

02

02

tt

ttIVp sss

ω+=+ω

=

ω=ω=

t [det]

W ps0

ps1

psh2

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Page 124: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

117

Dalam hal penyearahan setengah gelombang, arus hanya mengalir setiap

setengah perioda. Oleh karena itu daya yang diberikan oleh sumber

menjadi setengahnya, sehingga

kW )2cos1(19 0tp gelsetengah ω+= , dan inilah ps1.

CO+TOH-6.2: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi

internal yang diabaikan, mencatu beban resistif melalui kabel dengan

resistansi 0,2 Ω dan penyearah setengah gelombang. Tegangan

sumber adalah V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban R adalah 3,8

Ω. Hitung daya yang diterima oleh beban.

Penyelesaian:

Rangkaian sistem ini adalah seperti berikut

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah

A 952,08,3

380=

+=mI

Persamaan arus sampai harmonisa ke-6 menjadi

A )6cos(71,1)4cos(09,4

)2cos(14,20)57,1cos(5,4721,30

)6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,095)(

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttti

ω+ω+

ω+−ω+=

ω+ω+

ω+−ω+×=

Nilai efektif arus fundamental dan arus harmonisa total adalah

A 54,332

71,1

2

09,4

2

14,2021,30

A; 33,592

5.47

2222

1

=+++=

==

hrms

rms

I

I

vs=380sinω0t Rb=3,8Ω Rs=0,2Ω

Page 125: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

118 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Daya yang diterima Rb adalah

W85638,3)54,3359,33( 222 =×+== brmsRb RIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber dan arus fundamental

sumber adalah

V sin380 0tvs ω=

A sin5,47)57,1cos(5,47 001 ttii Rbs ω=−ω==

Tidak ada beda fasa antara vs dan is1. Daya nyata yang diberikan oleh

sumber adalah

W90252

5,47

2

3800cos

o1 =×== rmssrmss ivP

Daya ini diserap oleh beban dan saluran. Daya yang diserap saluran

adalah

W7,450 )55,336,33(02,0

)(02,002,0

22

221

2

=+×=

+×=×= hrmsrmssrmssaluran iiiP

Perbedaan angka perhitungan PRb dengan (Ps – Psaluran) adalah sekitar

0,2%.

6.4. Perambatan Harmonisa

Dalam sistem tenaga, beban pada umumnya bukanlah beban tunggal,

melainkan beberapa beban terparalel. Sebagian beban merupakan beban

linier dan sebagian yang lain merupakan beban nonlinier. Dalam keadaan

demikian ini, komponen harmonisa tidak hanya hadir di beban nonlinier

saja melainkan terasa juga di beban linier; gejala ini kita sebut

perambatan harmonisa. Berikut ini akan kita lihat gejala tersebut pada

suatu rangkaian yang mendekati situasi nyata. Gb.6.4. memperlihatkan

rangkaian yang dimaksud.

Page 126: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

119

Gb.6.4. Sumber mencatu beban paralel linier dan nonlinier.

Tegangan sumber berbentuk sinusoidal murni tVv sms 0sinω= . Sumber

ini mencatu beban melalui saluran yang memiliki resistansi Rs. Beban

yang terhubung di terminal A-B (terminal bersama), terdiri dari beban

linier Ra dengan arus ia dan beban Rb yang dialiri arus nonlinier ib = ib1 +

ibh dengan ib1 adalah komponen fundamental dari ib dan ibh adalah

komponen harmonisa total dari ib.

Pada rangkaian sederhana ini, di sisi beban kita lihat bahwa aplikasi

Hukum Arus Kirchhoff di simpul A, yaitu simpul bersama dari kedua

beban, memberikan

0)(//)( 1 =+++− bhbaAssA iiRvRvv

dan dari sini kita peroleh

)( 1 bhbas

ass

as

aA ii

RR

RRv

RR

Rv +

+−

+= (6.9)

Jadi sebagai akibat pembebanan nonlinier di suatu beban menyebabkan

tegangan di terminal-bersama juga mengandung harmonisa. Akibat

selanjutnya adalah bahwa arus di beban lain yang terhubung ke terminal-

bersama ini juga mengandung harmonisa.

)( 1 bhbas

s

as

s

a

Aa ii

RR

R

RR

v

R

vi +

+−

+== (6.10)

Sementara itu di sisi sumber, dengan tegangan sumber berbentuk sinus

tVv sms 0sinω= , keluar arus yang mengandung harmonisa yaitu

vs Rb Ra

ia ib=ib1+ibh

is

Rs

A

B

Page 127: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

120 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

)(

)()(

1

11

bhbas

a

as

s

bhbbhbas

s

as

s

bas

iiRR

R

RR

v

iiiiRR

R

RR

v

iii

+

++

+=

++++

−+

=

+=

(6.11)

Adanya komponen harmonisa pada arus sumber dan beban yang

seharusnya merupakan beban linier dapat menyebabkan penambahan

penyerapan daya pada saluran. Hal ini akan kita bahas kemudian.

CO+TOH-6.3: Sebuah sumber tegangan 50 Hz, V sin240 0tv ω=

memiliki resistansi dan induktansi internal yang diabaikan. Sumber

ini mencatu beban resistif Ra = 5 Ω melalui saluran yang memiliki

resistansi 1Ω. Sebuah beban resistif lain yaitu Rb = 5 Ω dengan

penyearah setengah gelombang dihubungkan paralel dengan Ra.

Hitunglah: (a) daya nyata yang diserap Ra sebelum Rb dan

penyearah dihubungkan; (b) daya nyata yang diserap Rb sesudah Rb

dan penyearah dihubungkan; (c) daya nyata yang diserap Ra sesudah

Rb dan penyearah dihubungkan; (d) daya nyata yang diserap saluran

Rs; (e) daya nyata yang diberikan sumber; (f) bandingkan daya nyata

yang diberikan oleh sumber dan daya nyata yang diserap oleh bagian

rangkaian yang lain.

Penyelesaian:

(a) Sebelum Rb dan penyearah dihubung-kan, rangkaian adalah

seperti di bawah ini.

Arus efektif yang mengalir dari sumber, daya nyata yang

diserap Ra dan Rs , serta daya nyata yang diberikan sumber

adalah

A 28,28)15/()2/240( =+=RarmsI

is

Rs=1Ω

A

B

Ra = 5Ω vs=

240sinω0t

Page 128: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

121

W4000528,28 2 =×=RaP ; W800128,28 2 =×=RsP

RsRas PPP +==×= W 48002/24028,28

(b) Setelah Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian menjadi

Untuk menghitung iRb kita buat rangkaian ekivalen Thévenin

terlebih dulu di terminal A-B.

V sin200sin24051

500 ttvsTh ω=ω×

+= ;

Ω=+×

= 833,0 51

51sThR

Setelah Rb dihubungkan pada rangkaian ekivalen Thévenin,

rangkaian menjadi

Nilai maksimum arus iRb adalah

A 29,345833,0

200=

+=RbmI

Arus yang melalui Rb menjadi

vs Rb Ra

ia iRb=

iRb1+iRbh

is

Rs

A

B

isTh

0,833Ω

A

B

5Ω vsTh =

200sinω0t

ib=ib1+ibh

Page 129: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

122 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,7)57,1cos(14,179,10

)6cos(018,0)4cos(042,0

)2cos(212,0)57,1cos(5,0318,029,34

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttiRb

ω+ω+

ω+−ω+=

ω+ω+

ω+−ω+×=

Dari sini kita peroleh

A 1.122/62,02/47,12/27,79,10

A 12,122

14,17

2222

1

=+++=

==

Rbhrms

rmsRb

I

I

Daya yang diserap Rb adalah

W14705)1.1212,12( 22 ≈×+=RbP

(c) Untuk menghitung daya yang diserap Ra setelah Rb

dihubungkan, kita kembali pada rangkaian semula. Hukum Arus

Kischhoff untuk simpul A memberikan

Rbs

s

asARb

a

A

s

sA iR

v

RRvi

R

v

R

vv−=

+⇒=++

− 110

( )

AhAbh

bh

bhbas

ass

as

aA

vvit

itt

iiRR

RRv

RR

Rv

−=−ω=

+ω××

−ω×=

++

−+

=

10

00

1

V 6

5sin71,185

sin14,176

15sin240

6

5

)(

V 32,1312

71,1851 ==⇒ rmsAV

)6cos(51,0)4cos(23,1)2cos(06,609,9

)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,79,10

6

5

6

5

000

00

0

ttt

tt

tiv bhAh

ω+ω+ω+=

ω+ω+

ω+×=×=

V 09,102

51,0

2

23.1

2

06,609,9

2222 =+++=⇒ AhrmsV

Daya yang diserap Ra adalah

Page 130: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

123

W34695

09,10

5

32,1312222

1 =+=+=a

Ahrms

a

rmsARa

R

V

R

VP

(d) Tegangan jatuh di saluran adalah

V sin29,54sin71,185sin240 00011 tttvvv Ass ω=ω−ω=−=∆

→ V 39,382

29,541 ==∆ rmssV

→ V 09,10==∆ Ahrmsshrms VV

Daya yang diserap saluran adalah

W1575 1

09,10

1

39,382222

1 =+=∆

+∆

=s

shrms

s

rmssRs

R

V

R

VP

(e) Tegangan sumber adalah

V sin240 0tv ω=

Arus fundamental sumber adalah

A sin29,54 01

1 tR

vi

s

ss ω=

∆=

Daya nyata yang diberikan sumber

W65152

29,54

2

24011 =×==

RIVp rmsssrmss

(f) Bagian lain rangkaian yang menyerap daya nyata adalah Rs,

Ra, dan Rb. Daya nyata yang diserap adalah

W6512146834691575 =++=++= RbRaRsRtotal PPPP

Hasil ini menunjukkan bahwa daya nyata yang diberikan

sumber sama dengan daya nyata yang diserap oleh bagian lain

dari rangkaian (perbedaan angka adalah karena pembulatan-

pembulatan).

Page 131: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

124 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

6.5. Ukuran Distorsi Harmonisa

Hadirnya harmonisa dalam sistem, menimbulkan dampak negatif. Oleh

karena itu kehadirannya perlu dibatasi. Untuk melakukan pembatasan

diperlukan ukuran-ukuran kehadiran armonisa.

Crest Factor. Salah satu ukuran adalah crest factor, yang disefinisikan

sebagai

efektif nilai

puncak nilai =factorcrest

Total Harmonic Distortion (THD). Total Harmonic Distortion,

disingkat THD, digunakan sebagai ukuran untuk melihat berapa besar

pengaruh keseluruhan adanya harmonisa terhadap sinyal sinus. Pengaruh

keseluruhan harmonisa diperbandingkan terhadap komponen

fundamental, karena komponen fundamental-lah yang memberikan

transfer energi nyata.

Untuk tegangan nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsV

V

VTHD

1

= (6.13)

Untuk arus nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsI

I

ITHD

1

= (6.14)

CO+TOH-6.4: Dari Contoh-6.1, dengan nilai puncak arus 100 A,

persamaan arus penyearahan setengah gelombang sampai harmonisa ke-

enam adalah

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+

ω+−ω+=

tt

ttti

Hitunglah crest factor dan THDI.

Penyelesaian: Telah dihitung nilai efektif arus dalam contoh soal

tersebut

Page 132: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

125

A 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Nilai efektif arus adalah

A 7,4931,352/50 22 =+=rmsI

Crest factor adalah: 22,49

100.. ==fc ;

THDI adalah: 12/50

31,35

1

≈==rms

hrmsI

I

ITHD atau 100%

Crest factor dan THD hanyalah tergantung bentuk dan tidak tergantung

dari nilai mutlak arus. Angka yang sama akan kita peroleh jika nilai

puncak arus hanya 1 ampere. Hal ini dapat dimengerti karena persamaan

arus secara umum adalah

ϕ−ω+= ∑

=

maksn

n

nnm tnAAIti

1

00 )cos()(

sehingga dalam perhitungan Irms, I1rms, dan Ihrms faktor Im akan

terhilangkan.

CO+TOH-6.5: Tentukan crest factor dan THD arus yang mengalir dari

sumber tegangan sinusoidal tv 0sin21000 ω= yang mencatu

arus ke beban resistif 10 Ω melalui saklar sinkron yang menutup

setiap paruh ke-dua dari tiap setengah perioda. Kurva tegangan

dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.

Page 133: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

126 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Penyelesaian:

Uraian bentuk gelombang arus seperti pada gambar di atas hanya

memiliki harmonisa ganjil. Pendekatan numerik dari bentuk

gelombang arus seperti yang digambarkan di atas memberikan

spektrum amplitudo sampai harmonisa ke-11 sebagai berikut:

Arus ini tidak memiliki komponen searah. Nilai efektif arus adalah

A 4,69

2

71,8

2

71,8

2

83,14

2

83,14

2

96,44

2

79,830

222222

=

++++++=brmsI

Nilai puncak arus terjadi pada t = 0,005 detik; Ibm = 141,4 A.

Crest factor adalah 24,69

4,141.. ===

brms

bm

I

Ifc

Nilai efektif komponen fundamental dan komponen harmonisa

total, berturut-turut adalah

0.00

83.79

44.96

14.83 14.838.71 8.71

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 0 1 3 5 7 9 11 harmonisa

A

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0,01 0,02

is(t)

vs(t)/5

[V]

[A]

[detik]

Page 134: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

127

A 25,592

79,831 ==rmsI ;

A 14,36

2

71,8

2

71,8

2

83,14

2

83,14

2

96,440

22222

=

+++++=hrmsI

Total Harmonic Distortion arus adalah

%60atau 6,025,59

14,36≈=ITHD .

Dalam menentukan THD data yang diperlukan adalah spektrum

amplitudo; spektrum sudut fasa tidak diperlukan. Namun untuk

keperluan lain spektrum sudut fasa tetap diperlukan.

Page 135: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

128 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Soal-Soal

1. Sebuah tegangan sinusoidal 50 Hz dengan nilai puncak 500 V

mencatu rangkaian melalui sebuah dioda (ideal). Hanya bagian

positif tegangan yang terasakan oleh beban. Beban terdiri dari

dari induktor dan kapasitor terhubung seri; induktor memiliki

resistansi 20 Ω dan induktansi 1 H, sedangkan kapasitor

memiliki kapasitansi 20 µF. Hitung tegangan rata-rata pada

beban, tegangan efektif fundamental, serta tegangan efektif dua

harmonisa di atasnya.

2. Jika beban pada soal nomer 1 diganti dengan resistor 50 Ω,

hitung tegangan rata-rata pada resistor, arus efektif yang melalui

resistor, daya nyata yang diserap resistor, serta faktor daya

beban yang dilihat oleh sumber.

3. Sebuah tegangan sinusoidal 50 Hz dengan nilai puncak 500 V

mencatu rangkaian melalui sebuah penyearah gelombang penuh.

Beban terdiri dari induktor dan kapasitor terhubung seri;

induktor memiliki resistansi 20 Ω dan induktansi 1 H,

sedangkan kapasitor memiliki kapasitansi 20 µF. Hitung

tegangan rata-rata pada beban, tegangan efektif fundamental,

serta tegangan efektif dua harmonisa di atasnya.

4. Jika beban pada soal nomer 3 diganti dengan resistor 50 Ω,

hitung tegangan rata-rata pada resistor, arus efektif yang melalui

resistor, daya nyata yang diserap resistor, serta faktor daya

beban yang dilihat oleh sumber.

5. Jika satu kapasitor sebagai filter diparalelkan dengan resistor

pada soal nomer 2 agar fluktuasi tegangan tidak lebih dari 20%

dari tegangan puncak, gambarkan bentuk gelombang arus

sumber dan tentukan THDI.

6. Jika satu kapasitor sebagai filter diparalelkan dengan resistor

pada soal nomer 4 agar fluktuasi tegangan tidak lebih dari 5%

dari tegangan puncak, gambarkan bentuk gelombang arus

sumber dan tentukan THDI.

Page 136: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

129

BAB 7 Tinjauan di Kawasan Fasor

Dalam bab ini kita akan meninjau sinyal nonsinus melalui pengertian

fasor. Konsep fasor sendiri telah kita bahas di buku bagian pertama.

7.1. Pernyataan Sinyal +onsinus Dalam Fasor

Suatu sinyal sinus di kawasan waktu dinyatakan dengan menggunakan

fungsi cosinus seperti pada persamaan

] cos[)( 0 φ−ω= tVtv A

dengan VA adalah amplitudo sinyal, ω0 adalah frekuensi sudut, dan φ

adalah sudut fasa yang menunjukkan posisi puncak pertama fungsi

cosinus. Pernyataan sinyal sinus menggunakan fungsi cosinus diambil

sebagai pernyataan standar.

Jika seluruh sistem bekerja pada satu frekuensi tertentu, ω, maka sinyal

sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fasor dengan mengambil besar dan

sudut fasa-nya saja. Untuk suatu sinyal sinus yang di kawasan waktu

dinyatakan sebagai )cos()( θ+ω= tAtv maka di kawasan fasor ia

dituliskan dalam format kompleks sebagai θ= jAeV dengan A adalah

nilai puncak sinyal. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan

sudut fasa saja, maka pernyataan sinyal dalam fasor biasa dituliskan

seperti pada (12.5) yaitu

θ+θ=θ∠= sincos jAAAV

yang dalam bidang kompleks digambarkan sebagai diagram fasor seperti

pada Gb.7.1.a. Apabila sudut fasa θ = 0o maka pernyataan sinyal di

kawasan waktu menjadi )cos()( tAtv ω= yang dalam bentuk fasor

menjadi o0 ∠= AV dengan diagram fasor seperti pada Gb.7.1.b. Suatu

sinyal yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai

)2/cos()sin()( π−ω=ω= tAtAtv di kawasan fasor menjadi

o90 −∠= AV dengan diagram fasor seperti Gb.7.1.c

Page 137: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

130 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

a). b).

c). d)

Gb.7.1. Diagram fasor fungsi:

a) )cos()( θ+ω= tAtv ; b) )cos()( tAtv ω= ; c) )sin()( tAtv ω=

d). Fasor a = cosωt dan b = sinωt

Dalam meninjau sinyal nonsinus, kita tidak dapat menyatakan satu sinyal

nonsinus dengan menggunakan satu bentuk fasor tertentu karena

walaupun sistem yang kita tinjau beroperasi pada satu macam frekuensi

(50 Hz misalnya) namun arus dan tegangan yang kita hadapi

mengandung banyak frekuensi. Oleh karena itu satu sinyal nonsinus

terpaksa kita nyatakan dengan banyak fasor; masing-masing komponen

sinyal nonsinus memiliki frekuensi sendiri.

Selain dari pada itu, uraian sinyal sinyal nonsinus ke dalam komponen-

komponennya dilakukan melalui deret Fourier. Bentuk umum komponen

sinus sinyal ini adalah

tnbtnati nnn ω+ω= sincos)(

yang dapat dituliskan sebagai

)cos()( 22nnnn tnbati θ−ω+=

yang dalam bentuk fasor menjadi

nnnn ba θ−∠+= 22I dengan n

n

a

b1tan−=θ

Mengacu pada Gb.7.1.d, diagram fasor komponen sinyal ini adalah

seperti pada Gb.7.2.

Im

Re

tb ω= sin

ta ω= cos

a

b

Im

Re

o90 −∠= AV

Im

Re

θ∠= AV

θ

Im

Re

o0 ∠= AV

Page 138: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

131

Gb.7.2. Fasor komponen arus nonsinus dengan an > 0 dan bn > 0.

Fasor In pada Gb.7.2. adalah fasor komponen arus jika an positif dan bn

positif. Fasor ini leading terhadap sinyal sinus sebesar (90o − θ). Gb.7.3

berikut ini memperlihatkan kombinasi nilai an dan bn yang lain.

Gb.7.3. Fasor komponen arus nonsinus untuk

berbagai kombinasi nilai an dan bn.

θ−∠+= 22 nnn baI

Im

Re an

bn

θ

)180( o22 θ+∠+= nnn baI

Im

Re -an

bn

θ

an < 0, bn > 0

In lagging (900 − θ)

terhadap sinyal sinus

)180( o22 θ−∠+= nnn baI

Im

Re -an

-bn

θ

an < 0, bn < 0

In lagging (900 + θ)

terhadap sinyal sinus

θ∠+= 22 nnn baI

Im

Re an

-bn

θ

an > 0, bn <0

In leading (900 + θ)

terhadap sinyal sinus

Page 139: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

132 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Perlu kita perhatikan bahwa pernyataan fasor dan diagram fasor yang

dikemukakan di atas menggunakan nilai puncak sinyal sebagai besar

fasor. Dalam analisis daya, diambil nilai efektif sebagai besar fasor. Oleh

karena itu kita perlu memperhatikan apakah spektrum amplitudo sinyal

nonsinus diberikan dalam nilai efektif atau nilai puncak.

CO+TOH-7.1: Dalam Contoh-5.3 di Bab-5 uraian di kawasan waktu

arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai maksimum Im A

adalah

A

)10cos(007.0)8cos(010.0

)6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0

)(

00

00

00

ω+ω+

ω+ω+

ω+−ω+

×=

tt

tt

tt

Iti m

Nyatakanlah sinyal ini dalam bentuk fasor.

Penyelesaian:

Formulasi arus i(t) yang diberikan ini diturunkan dari uraian deret

Fourier yang komponen fundamentalnya adalah

tti 01 sin5,00)( ω+= ; jadi sesungguhnya komponen ini adalah

fungsi sinus di kawasan waktu.

Jika kita mengambil nilai efektif sebagai besar fasor, maka

pernyataan arus dalam bentuk fasor adalah

;02

007,0

;02

010,0 ;0

2

018,0 ;0

2

042,0

;02

212,0 ;90

2

5,0 ;318,0

o10

o8

o6

o4

o2

o10

∠=

∠=∠=∠=

∠=−∠==

m

mmm

mmm

I

III

III

I

III

III

Diagram fasor arus-arus pada Contoh-7.1 di atas, dapat kita gambarkan

(hanya mengambil tiga komponen) seperti terlihat pada Gb. 7.4.

Page 140: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

133

Gb.7.4. Diagram fasor arus fundamental,

harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

Persamaan arus pada Contoh-7.1 yang dinyatakan dalam fungsi cosinus

dapat pula dinyatakan dalam fungsi sinus menjadi

A

)10cos(007.0)8cos(010.0

)57,16sin(018,0)57,14sin(021,0

1,57) 2sin(212,0)sin(5,0318,0

)(

00

00

00

ω+ω+

+ω++ω+

+ω+ω+

=

tt

tt

tt

Iti m

Jika komponen sinus fundamental digunakan sebagai referensi

dengan pernyataan fasornya o11 0∠= rmsII , maka masing-masing

komponen arus ini dapat kita nyatakan dalam fasor sebagai:

..;.........902

018,0 ;90

2

042,0

;902

212,0 ;0

2

5,0 ;318,0

o6

o4

o2

o10

∠=∠=

∠=∠==

mm

mmm

II

III

II

III

Diagram fasor-fasor arus ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada

Gb.7.5.

Gb.7.5. Diagram fasor arus fundamental,

harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

Diagram fasor arus pada Gb.7.5 tidak lain adalah diagram fasor pada

Gb.7.4 yang diputar 90o ke arah positif karena fungsi sinus dijadikan

referensi dengan sudut fasa nol. Nilai fasor dan selisih sudut fasa antar

fasor tidak berubah. Dengan menggunakan Gb.7.5. ini, kita lihat bahwa

komponen harmonisa ke-2 ‘leading’ 90o dari komponen fundamental;

demikian juga dengan komponen harmonisa ke-4. Namun fasor

I1 I2 I4

I1

I2 I4

Page 141: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

134 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

harmonisa ke-2 berputar kearah positif dengan frekuensi dua kali lipat

dibanding dengan komponen fundamental, dan fasor harmonisa ke-4

berputar kearah positif dengan frekuensi empat kali lipat dibanding

komponen fundamental. Oleh karena itulah mereka tidak dapat secara

langsung dijumlahkan.

Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan cara

penggambaran fasor seperti pada Gb.7.4 dimana fasor referensi adalah

fasor dari sinyal sinus yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dan

memiliki sudut fasa nol. Hal ini perlu ditegaskan karena uraian arus

nonsinus ke dalam deret Fourier dinyatakan sebagai fungsi cosinus

sedangkan tegangan sumber biasanya dinyatakan sebagai fungsi sinus.

Fasor tegangan sumber akan berbentuk osrmss V 90−∠=V dan relasi-

relasi sudut fasa yang tertulis pada Gb.7.3 akan digunakan.

Contoh-7.2: Gambarkan diagram fasor sumber tegangan dan arus-arus

berkut ini

V sin100sin ttVv srmss ω=ω= , A 301 =rmsI 30o lagging dari

tegangan sumber dan A 502 =rmsI 90o leading dari tegangan

sumber.

Penyelesaian:

7.2. Impedansi

Karena setiap komponen harmonisa memiliki frekuensi berbeda maka

pada satu cabang rangkaian yang mengandung elemen dinamis akan

terjadi impedansi yang berbeda untuk setiap komponen. Setiap

komponen harmonisa dari arus nonsinus yang mengalir pada satu cabang

rangkaian dengan elemen dinamis akan mengakibatkan tegangan

berbeda.

Im

Re

Vs

I1 30o

I2

Page 142: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

135

CO+TOH-7.3: Arus ttti 000 5sin303sin70sin200 ω+ω+ω= A

mengalir melalui resistor 5 Ω yang terhubung seri dengan kapasitor

20 µF. Jika frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitung tegangan

puncak fundamental dan tegangan puncak setiap komponen

harmonisa.

(a) Reaktansi dan impedansi untuk frekuensi fundamental adalah

15,159)1020502/(1 61 =×××π= −

CX →

23,15915,1595 221 =+=Z Ω

Tegangan puncak fundamental adalah

kV 85,3120023,159111 ≈×=×= mm IZV

(b) Impedansi untuk harmonisa ke-3 adalah

05,533/13 == CC XX → 29,5305,535 223 =+=Z Ω

Tegangan puncak harmonisa ke-3 adalah

kV 73,37029,53333 =×=×= mm IZV

(c) Impedansi untuk harmonisa ke-5 adalah

83,315/15 == CC XX → 22,3283,315 225 =+=Z Ω

Tegangan puncak harmonisa ke-5 adalah

kV 97,03022,32555 =×=×= mm IZV

7.3. +ilai Efektif

Sebagaimana telah dibahas dalam bab sebelumnya, sinyal nonsinus

dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu komponen

fundamental dan komponen harmonisa total. Nilai efektif suatu sinyal

periodik nonsinus y, adalah

221 hrmsrmsrms YYY += (7.1)

dengan

rmsY1 : nilai efektif komponen fundamental.

hrmsY : nilai efektif komponen harmonisa total.

Page 143: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

136 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Karena komponen ke-dua, yaitu komponen harmonisa total, merupakan

gabungan dari seluruh harmonisa yang masih diperhitungkan, maka

komponen ini tidak kita gambarkan diagram fasornya; kita hanya

menyatakan nilai efektifnya saja walaupun kalau kita gambarkan

kurvanya di kawasan waktu bisa terlihat perbedaan fasa yang mungkin

terjadi antara tegangan fundamental dan arus harmonisa total.

7.4. Sumber Tegangan Sinusiodal Dengan Beban +onlinier

Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, pembebanan nonlinier

terjadi bila sumber dengan tegangan sinus mencatu beban dengan arus

nonsinus. Arus nonsinus mengalir karena terjadi pengubahan arus oleh

pengubah arus, seperti misalnya penyearah atau saklar sinkron. Dalam

analisis di kawasan fasor pada pembebanan non linier ini kita perlu

memperhatikan hal-hal berikut ini.

7.4.1. Daya Kompleks

Sisi Beban. Jika tegangan pada suatu beban memiliki nilai efektif Vbrms V

dan arus nonsinus yang mengalir padanya memiliki nilai efektif Ibrms A,

maka beban ini menyerap daya kompleks sebesar

VA brmsbrmsb IVS ×= (7.2)

Kita ingat pengertian mengenai daya kompleks yang didefinisikan pada

persamaan (14.9) di Bab-14 sebagai *VI=S . Definisi ini adalah untuk

sinyal sinus murni. Dalam hal sinyal nonsinus kita tidak menggambarkan

fasor arus harmonisa total sehingga mengenai daya kompleks hanya bisa

menyatakan besarnya, yaitu persamaan (7.2), tetapi kita tidak

menggambarkan segitiga daya. Segitiga daya dapat digambarkan hanya

untuk komponen fundamental.

Sisi Sumber. Daya kompleks |Ss| yang diberikan oleh sumber tegangan

sinus tVv sms ω= sin V yang mengeluarkan arus nonsinus bernilai

efektif A 221 shrmsrmsssrms III += adalah

VA 2

srmssm

srmssrmss IV

IVS ×=×= (7.3)

Page 144: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

137

7.4.2. Daya +yata

Sisi Beban. Jika suatu beban memiliki resistansi Rb, maka beban tersebut

menyerap daya nyata sebesar

( ) W221

2bbhrmsrmsbbbrmsb RIIRIP +== (7.4)

di mana rmsbI 1 adalah arus efektif fundamental dan bhrmsI adalah arus

efektif harmonisa total.

Sisi Sumber. Dilihat dari sisi sumber, daya nyata dikirimkan melalui

komponen fundamental. Komponen arus harmonisa sumber tidak

memberikan transfer energi netto.

Wcos 111 ϕ= rmssrmss IVP (7.5)

ϕ1 adalah beda sudut fasa antara tegangan dan arus fundamental sumber,

dan cosϕ1 adalah faktor daya pada komponen fundamental yang disebut

displacement power factor.

7.4.3. Faktor Daya

Sisi Beban. Dengan pengertian daya kompleks dan daya nyata seperti

diuraikan di atas, maka faktor daya rangkaian beban dapat dihitung

sebagai

b

b

S

P=beban f.d. (7.5)

Sisi Sumber. Faktor daya total, dilihat dari sisi sumber, adalah

s

ss

S

P 1.d.f = (7.6)

7.4.4. Impedansi Beban

Reaktansi beban tergantung dari frekuensi harmonisa, sehingga masing-

masing harmonisa menghadapi nilai impedansi yang berbeda-beda.

Namun demikian nilai impedansi beban secara keseluruhan dapat

dihitung, sesuai dengan konsep tentang impedansi, sebagai

Ω= brms

brmsb

I

VZ (7.6)

Page 145: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

138 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Seperti halnya dengan daya kompleks, impedansi beban hanya dapat kita

hitung besarnya dengan relasi (7.6) akan tetapi tidak dinyatakan dalam

format kompleks seperti (a + jb).

7. 5. Teorema Tellegen

Sebagaimana dijelaskan dalam Bab-7, teorema ini menyatakan bahwa di

setiap rangkaian listrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya

yang diserap oleh elemen pasif dengan daya yang diberikan oleh elemen

aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi. Sebagaimana telah

pula disebutkan teorema ini juga memberikan kesimpulan bahwa satu-

satunya cara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatu

bagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya.

Teorema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupun non linier.

Teorema ini juga berlaku baik di kawasan waktu maupun kawasan fasor

untuk daya kompleks maupun daya nyata. Fasor tidak lain adalah

pernyataan sinyal yang biasanya berupakan fungsi waktu, menjadi

pernyataan di bidang kompleks. Oleh karena itu perhitungan daya yang

dilakukan di kawasan fasor harus menghasilkan angka-angka yang sama

dengan perhitungan di kawasan waktu.

7.6. Contoh-Contoh Perhitungan

CO+TOH-7.4: Di terminal suatu beban yang terdiri dari resistor Rb=10

Ω terhubung seri dengan induktor Lb = 0,05 H terdapat tegangan

nonsinus V sin2200100 0tvs ω+= . Jika frekuensi fundamental

adalah 50 Hz, hitunglah: (a) daya nyata yang diserap beban; (b)

impedansi beban; (c) faktor daya beban;

Penyelesaian:

(a) Tegangan pada beban terdiri dari dua komponen yaitu komponen

searah dan komponen fundamental:

V 1000 =V dan o1 90200 −∠=V

Arus komponen searah yang mengalir di beban adalah

A 1010/100/00 === bb RVI

Arus efektif komponen fundamental di beban adalah

Page 146: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

139

A 74,10

)05,0100(10

200

22

11rms =

×π+==

b

rmsb

Z

VI

Nilai efektif arus rangkaian total adalah

A 14,6874,1010 2221

20 =+=+= rmsbbbrms III

Daya nyata yang diserap beban sama dengan daya yang diserap

Rb karena hanya Rb yang menyerap daya nyata.

W21541068,14 22 =×== bbrmsRb RIP

(b) Impedansi beban adalah rasio antara tegangan efektif dan arus

efektif beban.

V 5100200100 2221

20 =+=+= rmsbrms VVV

Ω=== 24,1568,14

5100

brms

brmsbeban

I

VZ

(c) Faktor daya beban adalah rasio antara daya nyata dan daya

kompleks yang diserap beban. Daya kompleks yang diserap

beban adalah:

VA 328168,145100 =×=×= brmsbrmsb IVS

Sehingga faktor daya beban

656,03281

2154f.d. ===

b

bb

S

P

CO+TOH-7.5: Suatu tegangan nonsinus yang terdeteksi pada terminal

beban memiliki komponen fundamental dengan nilai puncak 150 V

dan frekuensi 50 Hz, serta harmonisa ke-3 dan ke-5 yang memiliki

nilai puncak berturut-turut 30 V dan 5 V. Beban terdiri dari resistor 5

Ω terhubung seri dengan induktor 4 mH. Hitung: (a) tegangan

efektif, arus efektif, dan daya dari komponen fundamental; (b)

tegangan efektif, arus efektif, dan daya dari setiap komponen

harmonisa; (c) tegangan efektif beban, arus efektif beban, dan total

Page 147: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

140 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

daya kompleks yang disalurkan ke beban; (d) Bandingkan hasil

perhitungan (a) dan (c).

Penyelesaian:

(a) Tegangan efektif komponen fundamental

V 1062

1501 ==rmsV

Reaktansi pada frekuensi fundamental

Ω=×××π= − 26,1104502 31LX

Impedansi pada frekuensi fundamental adalah

Ω=+= 16,526,15 221Z

Arus efektif fundamental A 57,2016,5

106

1

11 ===

Z

VI rms

rms

Daya nyata yang diberikan oleh komponen fundamental

W2083557,20 2211 =×== RIP rms

Daya kompleks komponen fundamental

VA 218257,20106111 =×== rmsrms IVS

Faktor daya komponen fundamental

97,02182

2083 f.d.

1

11 ===

S

P

Daya reaktif komponen fundamental dapat dihitung dengan

formulasi segitiga daya karena komponen ini adalah sinus

murni.

VAR 9,53120832182222

12

11 =−=−= PSQ

Page 148: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

141

(b) Tegangan efektif harmonisa ke-3 dan ke-5

V 21,212

303 ==rmsV ; V 54,3

2

55 ==rmsV

Reaktansi pada frekuensi harmonisa ke-3 dan ke-5

Ω=×=×= 77,326,133 13 LL XX ;

Ω=×=×= 28,626,155 15 LL XX

Impedansi pada komponen harmonisa ke-3 dan ke-5:

Ω=+= 26,677,35 223Z ; Ω=+= 03,828,65 22

5Z

Arus efektif komponen harmonisa ke-3 dan ke-5:

A 39,326,6

21,21

3

33 ===

Z

VI rms

rms ;

A 44,003,8

54,3

5

55 ===

Z

VI

rmsrms

Daya nyata yang diberikan oleh harmonisa ke-3 dan ke-5

W4,57539,3 2233 =×== RIP rms ;

W97,0544,0 2255 =×== RIP rms

(c) Daya nyata total yang diberikan ke beban adalah jumlah daya

nyata dari masing-masing komponen harmonisa (kita ingat

komponen-komponen harmonisa secara bersama-sama mewakili

satu sumber)

( )( )

W2174

221

25

23

21

25

23

21531

RIRIRIIRI

RIIIPPPP

hrmsrmsrmsrmsrms

rmsrmsrmsb

+=++=

=×++=++=

Tegangan efektif beban

V 22,1082

5

2

30

2

150 222

=++=brmsV

Arus efektif beban

Page 149: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

142 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

A 86,2044,039,357,20 222 =++=brmsI

Daya kompleks beban

VA 225786,2022,108 =×=×= brmsbrmsb IVS

Daya reaktif beban tidak dapat dihitung dengan menggunakan

formula segitiga daya karena kita tak dapat menggambarkannya.

(d) Perhitungan untuk komponen fundamental yang telah kita

lakukan menghasilkan

W20831 =P , VA 21821 =S , dan

VAR 9,5312

12

11 =−= PSQ .

Sementara itu perhitungan daya total ke beban menghasilkan

W2174=bP , dan VA 2257=bS ; ?=bQ

Perbedaan antara P1 dan Pb disebabkan oleh adanya harmonisa

P3 dan P5 .

RIP rms211 = sedang

( ) RIRIIIPPPP brmsrmsrmsrmsb22

523

21321 =++=++= .

Daya reaktif beban Qb tidak bisa kita hitung dengan cara seperti

menghitung Q1 karena kita tidak bisa menggambarkan segitiga

daya-nya. Oleh karena itu kita akan mencoba memperlakukan

komponen harmonisa sama seperti kita memperlakukan

komponen fundamental dengan menghitung daya reaktif

sebagai nnrmsn XIQ 2= dan kemudian menjumlahkan daya

reaktif Qn untuk memperoleh daya reaktif ke beban Qb.

Dengan cara ini maka untuk beban akan berlaku:

( )5253

231

21531 LrmsLrmsLrmsb XIXIXIQQQQ ++=++=

Hasil perhitungan memberikan

Page 150: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

143

VAR 4,5762,13,439,531

5253

231

21321

=++=

++=++= LrmsLrmsLrmsb XIXIXIQQQQ

Perhatikan bahwa hasil perhitungan

VAR 9,5311211 == Lrms XIQ sama dengan

VAR 9,5312

12

11 =−= PSQ .

Jika untuk menghitung Qb kita paksakan menggunakan

formulasi segitiga daya, walaupun sesungguhnya kita tidak bisa

menggambarkan segitiga daya dan daya reaktif total komponen

hamonisa juga tidak didefinisikan, kita akan memperoleh

VAR 604217422572222 =−=−= bbb PSQ

lebih besar dari hasil yang diperoleh jika daya reaktif masing-

masing komponen harmonisa dihitung dengan formula

nnrmsn XIQ 2= .

CO+TOH-7.6: Sumber tegangan sinusoidal V sin21000 tvs ω=

mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui dioda mewakili

penyearah setengah gelombang. Carilah: (a) spektrum amplitudo

arus; (b) nilai efektif setiap komponen arus; (c) daya kompleks

sumber; (d) daya nyata yang diserap beban; (e) daya nyata yang

berikan oleh sumber; (f) faktor daya yang dilihat sumber; (g)

faktor daya komponen fundamental.

Penyelesaian:

a). Spektrum amplitudo arus penyearahan setengah gelombang ini

adalah seperti berikut.

Page 151: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

144 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Spektrum yang amplitudo ini dihitung sampai harmonisa ke-

10, yang nilainya sudah mendekati 1% dari amplitudo arus

fundamental. Diharapkan error yang terjadi dalam

perhitungan tidak akan terlalu besar.

b). Nilai efektif komponen arus dalam [A] adalah

7.0 ;1 ;8,1 ;3,4

dst ;2,212

04.30 ;50

2

71.70 ;45

10864

21rms0

====

=====

rmsrmsrmsrms

rms

IIII

III

Nilai efektif arus fundamental A 501 =rmsI

Nilai efektif komponen harmonisa total adalah:

A 507,018,13,42,218,312 222222 =+++++×=hrmsI

Nilai efektif arus total adalah

A 7,705050 22221 =+=+= shrmsrmsrms III

c). Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA 7,707,701000 =×=×= rmssrmss IVS

d). Daya nyata yang diserap beban adalah

kW 50 1067,70 22 =×== brmsb RIP

45.00

70.71

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 4 6 8 10 harmonisa

A

Page 152: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

145

e). Sumber memberikan daya nyata melalui arus fundamental.

Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah

11 cosϕ= rmssrmss IVP

Kita anggap bahwa spektrum sudut fasa tidak tersedia,

sehingga perbedaan sudut fasa antara tegangan sumber dan

arus fundamental tidak diketahui dan cosϕ1 tidak diketahui.

Oleh karena itu kita coba memanfaatkan teorema Tellegen

yang menyatakan bahwa daya yang diberikan sumber harus

tepat sama dengan daya yang diterima beban, termasuk daya

nyata. Jadi daya nyata yang diberikan sumber adalah

kW 50== bs PP

f). Faktor daya yang dilihat oleh sumber adalah

7,07,70/50// ==== sbsss SPSPf.d.

g). Faktor daya komponen fundamental adalah

1501000

50000cos

11 =

×==ϕ

rmssrms

s

IV

P

Nilai faktor daya ini menunjukkan bahwa arus fundamental

sefasa dengan tegangan sumber.

h). 100%atau 150

50

1

===rms

hrmsI

I

ITHD

Contoh-7.6 ini menunjukkan bahwa faktor daya yang dilihat sumber

lebih kecil dari faktor daya fundamental. Faktor daya fundamental

menentukan besar daya aktif yang dikirim oleh sumber ke beban,

sementara faktor daya yang dilihat oleh sumber merupakan rasio daya

nyata terhadap daya kompleks yang dikirim oleh sumber. Sekali lagi kita

tekankan bahwa kita tidak dapat menggambarkan segitiga daya pada

sinyal nonsinus.

Sumber mengirimkan daya nyata ke beban melalui arus fundamental.

Jika kita hitung daya nyata yang diserap resistor melalui arus

fundamental saja, akan kita peroleh

kW 2510502211 =×== brmsRb RIP

Page 153: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

146 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Jadi daya nyata yang diserap Rb melalui arus fundamental hanya setengah

dari daya nyata yang dikirim sumber (dalam kasus penyearah setengah

gelombang ini). Hal ini terjadi karena daya nyata total yang diserap Rb

tidak hanya melalui arus fundamental saja tetapi juga arus harmonisa,

sesuai dengan relasi

( ) bbrmsrmsbbrmsRb RIIRIP ×+== 221

2

Kita akan mencoba menganalisis masalah ini lebih jauh setelah melihat

lagi contoh yang lain. Berikut ini kita akan melihat contoh yang berbeda

namun pada persoalan yang sama, yaitu sebuah sumber tegangan

sinusoidal mengalami pembebanan nonlinier.

CO+TOH-7.7: Seperti Contoh-7.6, sumber sinusoidal dengan nilai

efektif 1000 V mencatu arus ke beban resistif Rb=10 Ω, namun

kali ini melalui saklar sinkron yang menutup setiap paruh ke-dua

dari tiap setengah perioda. Tentukan : (a) spektrum amplitudo

arus; (b) nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa total, dan

arus total yang mengalir ke beban; (c) daya kompleks yang

diberikan sumber; (d) daya nyata yang diberikan sumber; (e)

faktor daya yang dilihat sumber; (f) faktor daya komponen

fundamental.

Penyelesaian:

(a) Diagram rangkaian adalah sebagai berikut:

Bentuk gelombang tegangan sumber dan arus beban adalah

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0,01 0,02

iRb(t)

vs(t)/5

[V]

[A] [detik]

Rb

10 Ω vs Vsrms =1000 V

is saklar sinkron

iRb

Page 154: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

147

Spektrum amplitudo arus, yang dibuat hanya sampai harmonisa

ke-11 adalah seperti di bawah ini.

Amplitudo arus harmonisa ke-11 masih cukup besar; masih di

atas 10% dari amplitudo arus fundamental. Perhitungan-

perhitungan yang hanya didasarkan pada spektrum amplitudo

ini tentu akan mengandung error yang cukup besar. Namun hal

ini kita biarkan untuk contoh perhitungan manual ini mengingat

amplitudo mencapai sekitar 1% dari amplitudo arus

fundamental baru pada harmonisa ke-55.

(b) Arus fundamental yang mengalir ke Rb

A 25,592

79,831 ==rmsI

Arus harmonisa total

A 14,36

2

71,8

2

71,8

2

83,14

2

83,14

2

96,440

22222

=

+++++=hrmsI

Arus total : A 4,69 14,3625,59 22 =+=rmsI

(c) Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA 4,694,691000 =×== rmssrmss IVS

0.00

83.79

44.96

14.83 14.838.71 8.71

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 0 1 3 5 7 9 11 harmonisa

A

Page 155: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

148 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

(d) Daya nyata yang diberikan sumber harus sama dengan daya

nyata yang diterima beban yaitu daya nyata yang diserap Rb

karena hanya Rb yang menyerap daya nyata

kW 17,48104,69 22 =×=== brmsbs RIPP

(e) Faktor daya yang dilihat sumber adalah

69,04,69/17,48/ === sss SPf.d.

(f) Daya nyata dikirim oleh sumber melalui arus komponen

fundamental.

11 cosϕ= rmssrmss IVP

813,025,591000

48170cos..

111 =

×==ϕ=

rmssrms

s

IV

Pdf

(g) 61%atau 61,025,59

14,36

1

===rms

hrmsI

I

ITHD

Perhitungan pada Contoh-7.7 ini dilakukan dengan hanya mengandalkan

spektrum amplitudo yang hanya sampai harmonisa ke-11. Apabila

tersedia spektrum sudut fasa, koreksi perhitungan dapat dilakukan.

Contoh-7.8: Jika pada Contoh-7.7 selain spektrum amplitudo diketahui

pula bahwa persamaan arus fundamental dalam uraian deret Fourier

adalah

( ))sin(7,0)cos(5.0)( 001 ttIti m ω+ω−=

Lakukan koreksi terhadap perhitungan yang telah dilakukan pada

Contoh-7.7.

Penyelesaian:

Persamaan arus fundamental sebagai suku deret Fourier diketahui:

( ))sin(7,0)cos(5.0)( 001 ttIti m ω+ω−=

Sudut o1 6,57)5.0/7.0(tan ==θ − . Mengacu ke Gb.7.3, komponen

fundamental ini lagging sebesar (90o−57,6

o) = 32,4

o dari tegangan

Page 156: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

149

sumber yang dinyatakan sebagai fungsi sinus. Dengan demikian

maka faktor daya komponen fundamental adalah

844,0)4,32cos(cos.. o11 ==ϕ=df

Dengan diketahuinya faktor daya fundamental, maka kita dapat

menghitung ulang daya nyata yang diberikan oleh sumber dengan

menggunakan nilai faktor daya ini, yaitu

kW 50844.04,591000cos 11 =××=ϕ= rmssrmss IVP

Daya nyata yang dikirim sumber ini harus sama dengan yang

diterima resistor di rangkaian beban sbrmsb PRIP == 2 . Dengan

demikian arus total adalah

A 7,7010/50000/ === bsrms RPI

Koreksi daya nyata tidak mengubah arus fundamental; yang

berubah adalah faktor dayanya. Oleh karena itu terdapat koreksi

arus harmonisa yaitu

A 63,3825,597,70 2221

2 =−=−= rmsrmshrms III

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA 7,707,701000 =×== rmssrmss IVS

Faktor daya total yang dilihat sumber menjadi

7,07,70/50/.. === sss SPdf

65%atau 65,025,59

63,38==ITHD

Perbedaan-perbedaan hasil perhitungan antara Contoh-7.8 (hasil koreksi)

dan Contoh-7.7 telah kita duga sebelumnya sewaktu kita menampilkan

spektrum amplitudo yang hanya sampai pada harmonisa ke-11. Tampilan

spektrum ini berbeda dengan tampilan spektrum dalam kasus penyearah

setengah gelombang pada Contoh-7.6, yang juga hanya sampai hrmonisa

ke-10. Perbedaan antara keduanya terletak pada amplitudo harmonisa

terakhir; pada kasus saklar sinkron amplitudo harmonisa ke-11 masih

sekitar 10% dari amplitudo fundamentalnya, sedangkan pada kasus

Page 157: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

150 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

penyearah setengah gelombang amplitudo ke-10 sudah sekitar 1% dari

ampltudo fundamentalnya.

Pada Contoh-7.8, jika kita menghitung daya nyata yang diterima resistor

hanya melalui komponen fundamental saja akan kita peroleh

kW 1,351025,59 2211 =×== brmsRb RIP

Perbedaan antara daya nyata yang dikirim oleh sumber melalui arus

fundamental dengan daya nyata yang diterima resistor melalui arus

fundamental disebabkan oleh adanya komponen harmonisa. Hal yang

sama telah kita amati pada kasus penyearah setengah gelombang pada

Contoh-7.6.

7.7. Transfer Daya

Dalam pembebanan nonlinier seperti Contoh-7.6 dan Contoh-7.7, daya

nyata yang diserap beban melalui komponen fundamental selalu lebih

kecil dari daya nyata yang dikirim oleh sumber yang juga melalui arus

fundamental. Jadi terdapat kekurangan sebesar ∆PRb; kekurangan ini

diatasi oleh komponen arus harmonisa karena daya nyata diterima oleh

Rb tidak hanya melalui arus fundamental tetapi juga melalui arus

harmonisa, sesuai formula

bbhrmsrmsbRb RIIP )( 221

+=

Padahal dilihat dari sisi sumber, komponen harmonisa tidak memberi

transfer energi netto. Penafsiran yang dapat dibuat adalah bahwa

sebagian daya nyata diterima secara langsung dari sumber oleh Rb , dan

sebagian diterima secara tidak langsung. Piranti yang ada di sisi beban

selain resistor adalah saklar sinkron ataupun penyearah yang merupakan

piranti-piranti pengubah arus; piranti pengubah arus ini tidak mungkin

menyerap daya nyata sebab jika demikian halnya maka piranti ini akan

menjadi sangat panas. Jadi piranti pengubah arus menyerap daya nyata

yang diberikan sumber melalui arus fundamental dan segera

meneruskannya ke resistor sehingga resistor menerima daya nyata total

sebesar yang dikirimkan oleh sumber. Dalam meneruskan daya nyata

tersebut, terjadi konversi arus dari frekuensi fundamental yang diberikan

oleh sumber menjadi frekuensi harmonisa menuju ke beban. Hal ini

dapat dilihat dari besar daya nyata yang diterima oleh Rb melalui arus

harmonisa sebesar

Page 158: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

151

bbhrmsrmsbhrmsRbh RIIRIP ×+== )( 221

2 .

Faktor daya komponen fundamental lebih kecil dari satu, f.d.1 < 1,

menunjukkan bahwa ada daya reaktif yang diberikan melalui arus

fundamental. Resistor tidak menyerap daya reaktif. Piranti selain resistor

hanyalah pengubah arus; oleh karena itu piranti yang harus menyerap

daya reaktif adalah pengubah arus. Dengan demikian, pengubah arus

menyerap daya reaktif dan daya nyata. Daya nyata diteruskan ke resistor

dengan mengubahnya menjadi komponen harmonisa, daya reaktif

ditransfer ulang-alik ke rangkaian sumber.

7.8. Kompensasi Daya Reaktif

Sekali lagi kita memperhatikan Contoh-7.6 dan Contoh-7.7 yang telah

dikoreksi dalam Contoh 7.8. Telah diulas bahwa faktor daya komponen

fundamental pada penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1 yang berarti

arus fundamental sefasa dengan tegangan; sedangkan faktor daya

komponen fundamental pada saklar sinkron f.d.1 = 0,844. Nilai faktor

daya komponen fundamental ini tergantung dari saat membuka dan

menutup saklar yang dalam kasus penyearah setengah gelombang

“saklar” menutup setiap tengah perioda pertama.

Selain faktor daya komponen fundamental, kita melihat juga faktor daya

total yang dilihat sumber. Dalam kasus penyearah setengah gelombang,

meskipun f.d.1 = 1, faktor daya total f.d.s = 0,7. Dalam kasus saklar

sinkron f.d.1 = 0.844 sedangkan faktor daya totalnya f.d.s = 0,7. Sebuah

pertanyaan timbul: dapatkah upaya perbaikan faktor daya yang biasa

dilakukan pada pembebanan linier, diterapkan juga pada pembebanan

nonlinier?

Pada dasarnya perbaikan faktor daya adalah melakukan kompensasi daya

reaktif dengan cara menambahkan beban pada rangkaian sedemikian

rupa sehingga faktor daya, baik lagging maupun leading, mendekat ke

nilai satu. Dalam kasus penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1, sudah

mencapai nilai tertingginya; masih tersisa f.d.s yang hanya 0,7. Dalam

kasus saklar sinkron f.d.1 = 0,844 dan f.d.s = 0,7. Kita coba melihat kasus

saklar sinkron ini terlebih dulu.

CO+TOH-7.9: Operasi saklar sinkron pada Contoh-7.7 membuat arus

fundamental lagging 32,4o dari tegangan sumber yang sinusoidal.

Arus lagging ini menandakan adanya daya rekatif yang dikirim oleh

sumber ke beban melalui arus fundamental. (a) Upayakan

Page 159: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

152 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

pemasangan kapasitor paralel dengan beban untuk memberikan

kompensasi daya reaktif ini. (b) Gambarkan gelombang arus yang

keluar dari sumber.

Penyelesaian:

a). Upaya kompensasi dilakukan dengan memasangkan kapasitor

paralel dengan beban untuk memberi tambahan pembebanan

berupa arus leading untuk mengompensasi arus fundamental

yang lagging 32,4o. Rangkaian menjadi sebagai berikut:

Sebelum pemasangan kapasitor:

A 25,591 =rmsI ; A 63,38=hrmsI ; 7,0.. =sdf

kVA 59,2559,25100011 =×== rmssrms IVS ;

f.d.1 = 0,844;

kW 500,84459,251 =×=P

kVAR 75,312

12

1 =−= PSQs

Kita coba memasang kapasitor untuk memberi kompensasi daya

reaktif komponen fundamental sebesar 31 kVAR

CVZVQ srmsCsrmss ω=×= /221

→ F 991001000

31000

2

1 µ=π×

=srms

s

V

QC ;

kita tetapkan 100 µF

Dengan C = 100 µF, daya reaktif yang bisa diberikan adalah

kVAR 4,31101001001000 62 =××π×= −CQ

Arus kapasitor adalah

∼ Rb vs

is saklar sinkron

iRb

C

iC

Page 160: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

153

A 4,31)100/(1

1000=

π==

CZ

VI

C

srmsCrms .

Arus ini leading 90o dari

tegangan sumber dan

hampir sama dengan nilai

A 75,31)4,32sin( o1 =rmsI

Diagram fasor tegangan dan

arus adalah seperti di

samping ini.

Dari diagram fasor ini kita

lihat bahwa arus o1 4,32sindan IIC tidak saling meniadakan

sehingga beban akan menerima arus )4,32cos( o1rmsI , akan

tetapi beban tetap menerima arus seperti semula. Beban tidak

merasakan adanya perubahan oleh hadirnya C karena ia tetap

terhubung langsung ke sumber. Sementara itu sumber sangat

merasakan adanya beban tambahan berupa arus kapasitif yang

melalui C. Sumber yang semula mengeluarkan arus fundamental

dan arus harmonisa total ke beban, setelah pemasangan

kapasitor memberikan arus fundamental dan arus harmonisa ke

beban ditambah arus kapasitif di kapasitor. Dengan demikian

arus fundamental yang diberikan oleh sumber menjadi

A 05)4,32cos( o11 =≈ rmsrmsC II

turun sekitar 10% dari arus fundamental semula yang 59,25 A.

Arus efektif total yang diberikan sumber menjadi

A 2,6363,3850 22221 =+=+= hrmsrmsCsrmsC III

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA 2,632,631000 =×=sCS

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

8,02,63/50.. ==sCdf

sedikit lebih baik dari sebelum pemasangan kapasitor

7,0.. =sdf

Im

Re

Vs

I1

32,4o

I1cos32,4o

I1sin32,4o IC

Page 161: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

154 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

b). Arus sumber, is, adalah jumlah dari arus yang melalui resistor

seri dengan saklar sinkron dan arus arus kapasitor.

- bentuk gelombang arus yang melalui resistor iRb adalah

seperti yang diberikan pada gambar Contoh-7.7;

- gelombang arus kapasitor, iC, 90o mendahului tegangan

sumber.

Bentuk gelonbang arus is terlihat pada gambar berikut:

Contoh-7.9 ini menunjukkan bahwa kompensasi daya reaktif komponen

fundamental dapat meningkatkan faktor daya total yang dilihat oleh

sumber. Berikut ini kita akan melihat kasus penyearah setengah

gelombang.

Di Bab-3, sub-bab 3.6 buku jilid-1, kita membahas filter kapasitor pada

penyearah yang dihubungkan paralel dengan beban R dengan tujuan

untuk memperoleh tegangan yang walaupun masih berfluktuasi namun

fluktuasi tersebut ditekan sehingga mendekati tegangan

searah. Kita akan

mencoba

menghubungkan

kapasitor seperti pada

Gb.7.3 dengan harapan

akan memperbaiki faktor

daya.

Gb.7.3. Kapasitor paralel dengan beban.

-300

-200

-100

0

100

200

300

vs/5

is

iRb

iC [detik]

[V]

[A]

0 0.005 0.01 0.015 0.02

vs R C

iR iC

is

Page 162: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

155

CO+TOH-7.10: Sumber tegangan sinusoidal V sin21000 tvs ω=

mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui penyearah setengah

gelombang. Lakukan pemasangan kapasitor untuk

“memperbaiki” faktor daya. Frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian:

Keadaan sebelum pemasangan kapasitor dari Contoh-7.5:

tegangan sumber V 1000=srmsV ;

arus fundamental A 501 =rmsI ;

arus harmonisa total A 50=hrmsI

arus efektif total A 7,70=rmsI ;

daya kompleks sumber kVA 7,70=sS ;

daya nyata kW 501 == PPs ;

faktor daya sumber 7,07,70/50/.. === sss SPdf ;

faktor daya komponen fundamental 1.. 1 =df .

Spektrum amplitudo arus maksimum adalah

Gambar perkiraan dibawah ini memperlihatkan kurva tegangan

sumber vs/5 (skala 20%), arus penyearahan setengah gelombang

45.00

70.71

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 4 6 8 10 harmonisa

A

Page 163: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

156 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

iR, dan arus kapasitor iC seandainya dipasang kapasitor (besar

kapasitor belum dihitung).

Dengan pemasangan kapasitor maka arus sumber akan merupakan

jumlah iR + iC yang akan merupakan arus nonsinus dengan bentuk

lebih mendekati gelombang sinusoidal dibandingkan dengan

bentuk gelombang arus penyearahan setengah gelombang iR.

Bentuk gelombang arus menjadi seperti di bawah ini.

Kita akan mencoba menelaah dari beberapa sisi pandang.

a). Pemasangan kapasitor seperti pada Gb.7.3 menyebabkan sumber

mendapat tambahan beban arus kapasitif. Bentuk gelombang arus

sumber menjadi lebih mendekati bentuk sinus. Tidak seperti

dalam kasus saklar sinkron yang komponen fundamentalnya

memiliki faktor daya kurang dari satu sehingga kita punya titik-

tolak untuk menghitung daya reaktif yang perlu kompensasi,

-400

-200

0

200

400

0 0.01 0.02 0.03 iC

vs/5

iR

[V]

[A]

t [s]

iR+iC

iR

-400

-200

0

200

400

0 0.01 0.02 0.03 iC

vs/5

iR

[V]

[A]

t [s]

Page 164: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

157

dalam kasus penyerah setengah gelombang ini f.d.1 = 1; arus

fundamental sefasa dengan tegangan sumber.

Sebagai perkiraan, daya reaktif akan dihitung dengan

menggunakan formula segitiga daya pada daya kompleks total.

kVAR 50507.702222 =−=−= sss PSQ

Jika diinginkan faktor daya 0,9 maka daya reaktif seharusnya

sekitar

kVAR 300,9)sin(cos-1 ≈= ss SQ

Akan tetapi formula segitiga tidaklah akurat karena kita tidak

dapat menggambarkan segitiga daya untuk arus harmonisa. Oleh

karena itu kita perkirakan kapasitor yang akan dipasang mampu

memberikan kompensasi daya reaktif QC sekitar 25 kVAR. Dari

sini kita menghitung kapasitansi C.

kVAR 2510)(1/

1000 622

=ω=ω

== CC

QC

sC

Z

V

Pada frekuensi 50 Hz F 6,7910010

25000

6µ=

π×=C . Kita tetapkan

80 µF

Arus kapasitor adalah

A 13,25)1080100/(1

1000

6=

××π==

−Z

sC

VI

yang leading 90o dari tegangan sumber atau o9013,25 ∠=CI

Arus fundamental sumber adalah jumlah arus kapasitor dan arus

fundamental semula, yaitu

A 2196,559013,25050 ooo11 ∠=∠+∠=+= CsemulasCs III

Nilai efektif arus dengan frekuensi fundamental yang keluar dari

sumber adalah

Page 165: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

158 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

A 755096,55 22221 =+=+= hrmsCrmsssCrms III

Jadi setelah pemasangan kapasitor, nilai-nilai efektif arus adalah:

A 96,551 =CrmssI ; ini adalah arus pada frekuensi fundamental

yang keluar dari sumber sementara arus ke beban tidak

berubah

A 50=hrmsI ; tak berubah karena arus beban tidak berubah.

A 75=sCrmsI ; ini adalah arus yang keluar dari sumber yang

semula A 7,70=rmsI .

Daya kompleks sumber menjadi

kVA 75751000 =×== sCrmssrmssC IVS

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

67,075/50/ === sCssC SPf.d.

Berikut ini adalah gambar bentuk gelombang tegangan dan arus

serta spektrum amplitudo arus sumber.

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.005 0.01 0.015 0.02iC

iRb isC

vs/5

V

A

Page 166: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

159

Pemasangan kapasitor tidak memperbaiki faktor daya total bahkan

arus efektif pembebanan pada sumber semakin tinggi.

Apabila kita mencoba melakukan kompensasi bukan dengan arus

kapasitif akan tetapi dengan arus induktif, bentuk gelombang arus

dan spektrum amplitudo yang akan kita peroleh adalah seperti di

bawah ini.

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.005 0.01 0.015 0.02iC

iRb

isC

vs/5 V

A

45.00

79.14

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 70 1 2 4 6 8 10 harmonisa

A

Page 167: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

160 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Dengan membandingkan Contoh-7.9 dan Contoh-7.10 terlihat bahwa

perbaikan faktor daya dengan cara kompensasi daya reaktif dapat

dilakukan pada pembebanan dengan faktor daya komponen fundamental

yang lebih kecil dari satu. Pada pembebanan di mana arus fundamental

sudah sefasa dengan tegangan sumber, perbaikan faktor daya tidak terjadi

dengan cara kompensasi daya reaktif; padahal faktor daya total masih

lebih kecil dari satu. Daya reaktif yang masih ada merupakan akibat dari

arus harmonisa. Oleh karena itu upaya yang harus dilakukan adalah

menekan arus harmonisa melalui penapisan. Persoalan penapisan tidak

dicakup dalam Analisis Rangkaian Listrik di buku ini melainkan dalam

Elektronika Daya.

A

45.00

79.14

30.04

6.032.60 1.46 0.94

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 70 1 2 4 6 8 10 harmonisa

Page 168: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

161

BAB 8 Dampak Harmonisa Pada Piranti

Dalam analisis rangkaian linier, elemen-elemen rangkaian seperti R, L,

dan C, merupakan idealisasi piranti-piranti nyata yang nonlinier. Dalam

bab ini kita akan mempelajari pengaruh adanya komponen harmonisa,

baik arus maupun tegangan, terhadap piranti-piranti sebagai benda nyata.

Dampak harmonisa ini dapat kita klasifikasi dalam dua kategori yaitu:

a). Dampak terhadap sistem tenaga sendiri antara lain peningkatan

susut energi yaitu energi “hilang” yang tak dapat dimanfaatkan,

yang secara alamiah berubah menjadi panas. [5,6].

Harmonisa menyebabkan peningkatan temperatur pada konduktor

kabel, pada kapasitor, induktor, dan transformator, yang bisa

berakibat pada derating dari alat-alat ini dan justru derating ini

membawa kerugian (finansial) yang lebih besar dibandingkan

dengan dampak langsung yang berupa susut energi.

Harmonisa tidak hanya menyebabkan derating piranti tetapi juga

umur ekonomis piranti. Pembebanan nonlinier tidaklah selalu

kontinyu, melainkan fluktuatif. Oleh karena itu pada selang

waktu tertentu piranti terpaksa bekerja pada batas tertinggi

temperatur kerjanya bahkan mungkin terlampaui pada saat-saat

tertentu.

Kenaikan tegangan bisa terjadi akibat adanya harmonisa yang

dapat menimbulkan micro-discharges bahkan partial-discharges

dalam piranti yang memperpendek umur, bahkan mal-function

bisa terjadi pada piranti.

Harmonisa juga dapat menyebabkan terjadinya overload pada

penghantar netral; kWh-meter memberi penunjukan tidak normal;

rele proteksi juga akan terganggu, bisa tidak mendeteksi besaran

rms bahkan mungkin gagal trip.

b). Dampak pada instalasi di luar sistem tenaga antara lain tmbulnya

noise pada saluran telepon serta komunikasi kabel; digital clock

disa berjalan lebih cepat.

Page 169: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

162 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

8.1. Konduktor

Pada konduktor, komponen arus harmonisa menyebabkan peningkatan

daya nyata yang diserap oleh konduktor dan berakibat pada peningkatan

temperatur konduktor. Daya nyata yang terserap di konduktor ini kita

sebut rugi daya atau susut daya. Karena susut daya ini berbanding lurus

dengan kuadrat arus, maka peningkatannya akan sebanding dengan

kuadrat THD arus; demikian pula dengan peningkatan temperatur.

Misalkan arus efektif nonsinus rmsI mengalir melalui konduktor yang

memiliki resistansi Rs, maka susut daya di konduktor ini adalah

( ) ( )221

221

2 1 Isrmsshrmsrmssrmss THDRIRIIRIP +=+== (8.1)

Jika arus efektif fundamental tidak berubah, faktor ( )21 ITHD+ pada

(8.1) menunjukkan seberapa besar peningkatan susut daya di konduktor.

Misalkan peningkatan ini diinginkan tidak lebih dari 10%, maka THDI

tidak boleh lebih dari 0,32 atau 32%. Dalam contoh-contoh persoalan

yang diberikan sebelumnya, THDI besar terjadi misalnya pada arus

penyearahan setengah gelombang yang mencapai 100%, dan arus melalui

saklar sinkron yang mengalir setiap paruh ke-dua dari tiap setengah

perioda yang mencapai 65%.

CO+TOH-8.1: Konduktor kabel yang memiliki resistansi total 80 mΩ,

menyalurkan arus efektif 100 A, pada frekuensi 50 Hz. Kabel ini

beroperasi normal pada temperatur 70o C sedangkan temperatur

sekitarnya adalah 25o C. Perubahan pembebanan di ujung kabel

menyebabkan munculnya harmonisa pada frekuensi 350 Hz dengan

nilai efektif 40 A. Hitung (a) perubahan susut daya dan (b)

perubahan temperatur kerja pada konduktor.

(a) Susut daya semula pada konduktor adalah

W80008,010021 =×=P

Susut daya tambahan karena arus harmonisa adalah

W12808,04027 =×=P

Susut daya berubah menjadi

W928128800 =+=kabelP

Page 170: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

163

Dibandingkan dengan susut daya semula, terjadi kenaikan susut

daya sebesar 16%.

(b) Kenaikan temperatur kerja di atas temperatur sekitar semula

adalah (70o − 25

o) = 45

o C. Perubahan kenaikan temperatur

adalah

C 2,74516,0oo =×=∆T

Kenaikan temperatur akibat adanya hormonisa adalah

C 52C 2,7C45ooo ≈+=T

dan temperatur kerja akibat adanya harmonisa adalah

C 775225 ooo =+=′T

10% di atas temperatur kerja semula.

CO+TOH-8.2: Suatu kabel yang memiliki resistansi total 0,2 Ω

digunakan untuk mencatu beban resistif Rb yang tersambung di

ujung kabel dengan arus sinusoidal bernilai efektif 20 A. Tanpa

pengubah resistansi beban, ditambahkan penyearah setengah

gelombang (ideal) di depan Rb. (a) Hitunglah perubahan susut daya

pada kabel jika penyaluran daya ke beban dipertahankan tak

berubah. (b) Hitunglah daya yang disalurkan ke beban dengan

mempertahankan arus total pada 20 A; (c) berikan ulasan.

Penyelesaian:

(a) Sebelum pemasangan penyearah, susut daya di kabel adalah

W802,0202 =×=kP

Dengan mempertahankan besar daya tersalur ke beban tidak

berubah, berarti nilai efektif arus fundamental dipertahankan 20

A. THDI pada penyearah setengah gelombang adalah 100%.

Susut daya pada kabel menjadi

( ) W160112,020 22* =+×=kP

Susut daya menjadi dua kali lipat.

(b) Jika arus efektif total dipertahankan 20 A, maka susut daya di

kabel sama seperti sebelum pemasangan penyearah yaitu

Page 171: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

164 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

W802,0202 =×=k

P

Dalam situasi ini terjadi penurunan arus efektif fundamental

yang dapat dihitung melalui relasi kuadrat arus efektif total,

yaitu

20)1( 2221

221

2 =+=+= THDIIII mshmsmsrms

Dengan THD 100%, maka /220221 =rmsI

jadi A 14,142/201 ==rmsI

Jadi jika arus efektif total dipertahankan 20 A, arus fundamental

turun menjadi 70% dari semula. Susut daya di kabel tidak

berubah, tetapi daya yang disalurkan ke beban menjadi

5,07,02 ≈ dari daya semula atau turun menjadi 50%-nya.

(c) Jika penyaluran daya ke beban dipertahankan tetap, susut pada

saluran menjadi dua kali lipat, yang berarti kenaikan temperatur

dua kali lipat. Jika temperatur kerja semula 65oC pada

temperatur sekitar 25o, maka temperatur kerja yang baru bisa

mencapai lebih dari 100oC.

Jika susut daya pada saluran tidak diperkenankan meningkat

maka penyaluran daya ke beban harus diturunkan sampai

menjadi 50% dari daya yang semula disalurkan; gejala ini dapat

diartikan sebagai derating kabel.

8.2. Kapasitor

Ulas Ulang Tentang Kapasitor. Jika suatu dielektrik yang memiliki

permitivitas relatif εr disisipkan antara dua pelat kapasitor yang memiliki

luas A dan jarak antara kedua pelat adalah d, maka kapasitansi yang

semula (tanpa bahan dielektrik)

00 ε=d

AC

berubah menjadi

rCC ε= 0

Page 172: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

165

Jadi kapasitansi meningkat sebesar εr kali.

Diagram fasor arus dan tegangan kapasitor diperlihatkan pada Gb.8.1.

Arus kapasitor terdiri dari dua komponen yaitu arus kapasitif IC ideal

yang 90o mendahului tegangan kapasitor VC , dan arus ekivalen losses

pada dielektrik Irp yang sefasa dengan tegangan.

Gb.8.1. Diagram fasor arus dan tegangan kapasitor.

Daya yang terkonversi menjadi panas dalam dielektrik adalah

δ== tanCCRpCP IVIV (8.2)

atau

δε=δε= tan π2tanω2

000 rr CfCP VVV (8.3)

tanδ disebut faktor desipasi (loss tangent)

εrtanδ disebut faktor kerugian (loss factor)

Pengaruh Frekuensi Pada Dielektrik. Nilai εr tergantung dari frekuensi,

yang secara umum digambarkan seperti pada Gb.8.2.

Gb.8.2. εr dan loss factor sebagai fungsi frekuensi.

im

re IRp

IC Itot

δ

VC

frekuensi

frekuensi listrik

frekuensi optik

power audio radio

εr

loss factor

εr

εrtanδ

Page 173: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

166 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Dalam analisis rangkaian, reaktansi kapasitor dituliskan sebagai

fCX C π

=2

1

Gb.8.2. memperlihatkan bahwa εr menurun dengan naiknya frekuensi

yang berarti kapasitansi menurun dengan naiknya frekuesi. Namun

perubahan frekuensi lebih dominan dalam menentukan reaktansi

dibanding dengan penurunan εr; oleh karena itu dalam analisis kita

menganggap kapasitansi konstan.

Loss factor menentukan daya yang terkonversi menjadi panas dalam

dielektrik. Sementara itu, selain tergantung frekuensi, εr juga tergantung

dari temperatur dan hal ini berpengaruh pula pada loss factor, walaupun

tidak terlalu besar dalam rentang temperatur kerja kapasitor. Oleh karena

itu dalam menghitung daya yang terkonversi menjadi panas dalam

dielektrik, kita melakukan pendekatan dengan menganggap loss factor

konstan. Dengan anggapan ini maka daya yang terkonversi menjadi

panas akan sebanding dengan frekuensi dan sebanding pula dengan

kuadrat tegangan.

Tegangan +onsinus. Pada tegangan nonsinus, bentuk gelombang

tegangan pada kapasitor berbeda dari bentuk gelombang arusnya. Hal ini

disebabkan oleh perbedaan tanggapan kapasitor terhadap komponen

fundamental dengan tanggapannya terhadap komponen harmonisa.

Situasi ini dapat kita lihat sebagai berikut. Misalkan pada terminal

kapasitor terdapat tegangan nonsinus yang berbentuk:

.........)()()()( 531 +++= tvtvtvtv CCCC (8.4)

Arus kapasitor akan berbentuk

.........)(5)(3)()( 503010 +ω+ω+ω= tCvtCvtCvti CCCC (8.5)

Dengan memperbandingkan (8.4) dan (8.5) dapat dimengerti bahwa

bentuk gelombang tegangan kapasitor berbeda dengan bentuk gelombang

arusnya.

CO+TOH-8.3: Sumber tegangan nonsinus memiliki komponen

fundamental dengan nilai puncak 150 V dan frekuensi 50 Hz, serta

harmonisa ke-5 yang memiliki nilai puncak berturut-turut 30 V.

Sebuah kapasitor 500 µF dihubungkan pada sumber tegangan ini.

Gambarkan bentuk gelombang tegangan dan arus kapasitor.

Page 174: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

167

Penyelesaian:

Jika persamaan tegangan

ttvC π+π= 300sin30100sin150 V

maka persamaan arus adalah

t

tiC

ππ×××+

ππ×××=−

500cos5001050030

100cos10010500150

6

6

Bentuk gelombang tegangan dan arus adalah seperti terlihat pada

Gb.8.3.

Gb.8.3. Gelombang tegangan dan arus pada contoh-8.3.

CO+TOH-8.4: Sumber tegangan nonsinus memiliki komponen

fundamental dengan nilai puncak 150 V dan frekuensi 50 Hz, serta

harmonisa ke-3 dan ke-5 yang memiliki nilai puncak berturut-turut

30 V dan 5 V. Sebuah kapasitor 500 µF (110 V rms, 50 Hz)

dihubungkan pada sumber tegangan ini. Hitung: (a) arus efektif

komponen fundamental; (b) THD arus kapasitor; (c) THD

tegangan kapasitor; (d) jika kapasitor memiliki losses dielektrik

0,6 W pada tegangan sinus rating-nya, hitunglah losses dielektrik

dalam situasi ini.

Penyelesaian:

(a) Reaktansi untuk komponen fundamental adalah

Ω=×××π

=−

37,610500502

1

61CX

Arus efektif untuk komponen fundamental

-200

-100

0

100

200

0 0.005 0.01 0.015 0.02 t [detik]

[V]

[A] vC

iC

Page 175: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

168 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

A 7,1637,6

2/1501 ==rmsCI

(b) Reaktansi untuk harmonisa ke-3 dan ke-5 berturut-turut

adalah

Ω== 12,23

13

CC

XX ; Ω== 27,1

5

15

CC

XX

Arus efektif harmonisa

A 1012,2

2/303 ==rmsCI

A 8,227,1

2/55 ==rmsCI

62%atau 62,07,16

8,210 22

1

=+

==rmsC

hrmsI

I

ITHD

(c)

% 20atau 20,0106

5,21

2/150

2

5

2

30

22

1

==+

==rms

hrmsV

V

VTHD

(d) Losses dielektrik dianggap sebanding dengan frekuensi dan

kuadrat tegangan. Pada frekuensi 50 Hz dan tegangan 110 V,

losses adalah 0,6 watt.

W6,0V110,Hz 50 =P

W134,0 6,0110

30

50

1502

V30,Hz 150 =×

×=P

W006,0 6,0110

5

50

2502

V5,Hz 250 =×

×=P

Page 176: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

169

Losses dielektrik total:

W74,0006,0134,06,0 =++=totalP

8.3. Induktor

Induktor Ideal. Induktor yang untuk keperluan analisis dinyatakan

sebagai memiliki induktansi murni L, tidak kita temukan dalam praktik.

Betapapun kecilnya, induktor selalu mengandung resistansi dan kita

melihat induktor sebagai satu induktansi murni terhubung seri dengan

satu resistansi. Oleh karena itu kita melihat tanggapan induktor sebagai

tanggapan beban induktif dengan resistansi kecil. Hanya apabila

resistansi belitan dapat diabaikan, relasi tegangan-arus induktor untuk

gelombang tegangan dan arus berbentuk sinus murni menjadi

dt

diLv

f=

dengan v adalah tegangan jatuh pada induktor, dan if adalah arus eksitasi.

Apabila rugi rangkaian magnetik diabaikan, maka fluksi φ sebanding

dengan if dan membangkitkan tegangan induksi pada belitan induktor

sesuai dengan hukum Faraday dan hukum Lenz.

dt

dei

φ−=

Tegangan induksi ini berlawanan dengan tegangan jatuh induktor v,

sehingga nilai ei sama dengan v.

dt

diL

dt

dee

fi =

φ==

Persamaan di atas menunjukkan bahwa φ dan if berubah secara

bersamaan. Jika φ berbentuk sinus maka ia harus dibangkitkan oleh arus

if yang juga berbentuk sinus dengan frekuensi sama dan mereka sefasa.

Arus if sendiri berasal dari sumber tegangan yang juga harus berbentuk

sinus. Oleh karena itu baik tegangan, arus, maupun fluksi mempunyai

frekuensi sama, sehingga kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk

fasor

Ljj fi IEV ω=Φω==

dengan Φ adalah fluksi dalam bentuk fasor. Relasi ideal ini memberikan

Page 177: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

170 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

maksmaksrms f fV φ=φπ

= 44,42

2

fmaksfmaksrms fL ifLiV 44,42

2=

π=

Relasi ideal memberikan diagram fasor seperti di

samping ini dimana arus yang membangkitkan

fluksi yaitu Iφ sama dengan If.

CO+TOH-8.5: Melalui sebuah kumparan mengalir arus nonsinus yang

mengandung komponen fundamental 50 Hz, harmonisa ke-3, dan

harmonisa ke-5 dengan amplitudo berturut-turut 50, 10, dan 5 A.

Jika daya input pada induktor diabaikan, dan tegangan pada induktor

adalah 75 V rms, hitung induktansi induktor.

Penyelesaian:

Jika induktansi kumparan adalah L maka tegangan efektif komponen

fundamental, harmonisa ke-3 dan ke-5 berturut-turut adalah

LLV rmsL ×=×××= 11100505044,41 V

LLV rmsL ×=×××= 66601015044,43 V

LLV rmsL ×=×××= 5550525044,45 V

sedangkan 25

23

21 rmsrmsrmsLrms VVVV ++= . Jadi

LL ×=++×= 3,14084555066601110075222

Induktansi kumparan adalah

H 0053,03,14084

75==L

Fluksi Dalam Inti. Jika tegangan sinus dengan nilai efektif Vrms dan

frekuensi f diterapkan pada induktor, fluksi magnetik yang timbul dalam

inti dihitung dengan formula

f

Vrmsm ××=φ

44,4

V=Ei

If =Iφ

Φ

Page 178: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

171

mφ adalah nilai puncak fluksi, dan adalah jumlah lilitan. Melalui

contoh berikut ini kita akan melihat fluksi dalam inti induktor bila

tegangan yang diterapkan berbentuk nonsinus.

CO+TOH-8.6: Sebuah induktor dengan 1200 lilitan mendapat tegangan

nonsinus yang terdiri dari komponen fundamental dengan nilai

efektif V1rms = 150 V dan harmonisa ke-3 dengan nilai efektif V3rms =

50 V yang tertinggal 135o dari komponen fundamental. Gambarkan

kurva tegangan dan fluksi.

Penyelesaian:

Persamaan tegangan adalah

)1353sin(250sin2150 o00 −ω+ω= ttvL

Nilai puncak fluksi fundamental

Wb 563 12005044,4

1501 µ=

××=φ m

Fluksi φ1m tertinggal 90o dari tegangan (lihat Gb.8.4). Persamaan

gelombang fluksi fundamental menjadi

Wb )90sin(563 o01 µ−ω=φ t

Nilai puncak fluksi harmonisa ke-3

Wb 6,62120050344,4

503 µ=

×××=φ m

Fluksi φ3m juga tertinggal 90o dari tegangan harmonisa ke-3;

sedangkan tegangan harmonisa ke-3 tertinggal 135o dari tegangan

fundamental. Jadi persamaan fluksi harmonisa ke-3 adalah

Wb )2253sin(6,62 )901353sin(6,62 o0

oo03 µ−ω=−−ω=φ tt

Persamaan fluksi total menjadi

Wb )2253sin(6,62)90sin(563 0o

0 µ−ω+−ω=φ tt

Kurva tegangan dan fluksi terlihat pada Gb.8.4.

Page 179: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

172 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Gb.8.4. Kurva tegangan dan fluksi.

Rugi-Rugi Inti. Dalam induktor nyata, rugi inti menyebabkan fluksi

magnetik yang dibangkitkan oleh if ketinggalan dari if sebesar γ yang

disebut sudut histerisis. Keadaan ini diperlihatkan pada Gb.8.5. dimana

arus magnetisasi If mendahului φ sebesar γ. Diagram fasor ini digambar

dengan memperhitungkan rugi hiterisis

Gb.8.5. Diagram fasor induktor (ada rugi inti)

Dengan memperhitungkan rugi-rugi yang terjadi dalam inti

transformator, If dipandang sebagai terdiri dari dua komponen yaitu Iφ

yang diperlukan untuk membangkitkan φ, dan Ic yang diperlukan untuk

mengatasi rugi-rugi inti. Jadi arus magnetisasi menjadi If = Iφ + Ic.

Komponen Ic merupakan arus fiktif yang jika dikalikan dengan V akan

memberikan rugi-rugi inti

)90cos( o γ−== fcc VIVIP watt (8.6)

Rugi inti terdiri dari dua komponen, yaitu rugi histerisis dan rugi arus

pusar. Rugi histerisis dinyatakan dengan

vfwP hh = (8.7)

Φ

Ic

If

γ

V=Ei

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.01 0.02 0.03 0.04

t [detik]

[V]

[µWb] φ

vL

Page 180: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

173

Ph rugi histerisis [watt], wh luas loop kurva histerisis dalam

[joule/m3.siklus], v volume, f frekuensi. Untuk frekuensi rendah,

Steinmetz memberikan formulasi empiris

( )nmhh BKvfP = (8.8)

di mana Bm adalah nilai kerapatan fluksi maksimum, n tergantung dari

jenis bahan dengan nilai yang terletak antara 1,5 sampai 2,5 dan Kh yang

juga tergantung jenis bahan (untuk silicon sheet steel misalnya, Kh =

0,001). Nilai-nilai empiris ini belum didapatkan untuk frekuensi

harmonisa.

Demikian pula halnya dengan persamaan empiris untuk rugi arus pusar

dalam inti

v222 τ= mee BfKP (8.9)

di mana Ke konstanta yang tergantung material, f frekuensi perubahan

fluksi [Hz], Bm adalah nilai kerapatan fluksi maksimum, τ ketebalan

laminasi inti, dan v adalah volume material inti.

Rugi Tembaga. Apabila resistansi belitan tidak diabaikan, V ≠ E1 .

Misalkan resistansi belitan adalah R1 , maka

11 RfIEV += (8.10)

Diagram fasor dari keadaan terakhir, yaitu dengan memperhitungkan

resistansi belitan, diperlihatkan pada Gb.8.6.

Gb.8.6. Diagram fasor induktor (ada rugi tembaga).

Dalam keadaan ini, daya masuk yang diberikan oleh sumber, selain

untuk mengatasi rugi-rugi inti juga diperlukan untuk mengatasi rugi daya

pada belitan yang kita sebut rugi-rugi tembaga, Pcu. Jadi

θ=+=+= cos12

ffccucin VIRIPPPP (8.11)

dengan V dan If adalah nilai-nilai efektif dan cosθ adalah faktor daya.

Φ

Ic

If

IfR1

V

θ

Ei

Page 181: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

174 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

8.4. Transformator

8.4.1. Ulas Ulang Tentang Transformator

Transformator Berbeban. Rangkaian transformator berbeban dengan

arus beban I2, diperlihatkan oleh Gb.8.7. Tegangan induksi E2 (yang

telah timbul dalam keadaan tranformator tidak berbeban) akan menjadi

sumber di rangkaian sekunder dan memberikan arus sekunder I2. Arus I2

ini membangkitkan fluksi magnetik yang melawan fluksi bersama φ

(sesuai dengan hukum Lenz) dan sebagian akan bocor, φl2; φl2 yang

sefasa dengan I2 menginduksikan tegangan El2 di belitan sekunder yang

90o mendahului φl2.

Gb.8.7. Transformator berbeban.

Dengan adanya perlawanan fluksi yang dibangkitkan oleh arus di belitan

sekunder itu, fluksi bersama akan cenderung mengecil. Hal ini akan

menyebabkan tegangan induksi di belitan primer juga cenderung

mengecil. Akan tetapi karena belitan primer terhubung ke sumber yang

tegangannya tak berubah, maka arus primer akan naik. Jadi arus primer

yang dalam keadaan transformator tidak berbeban hanya berupa arus

magnetisasi If, bertambah menjadi I1 setelah transformator berbeban.

Pertambahan arus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksi bersama

φ dipertahankan dan E1 juga tetap seperti semula. Dengan demikian

maka persamaan rangkaian di sisi primer tetap terpenuhi.

Karena pertambahan arus primer sebesar (I1 − If) adalah untuk

mengimbangi fluksi lawan yang dibangkitkan oleh I2 agar φ

dipertahankan, maka haruslah

( ) ( ) 02211 =−− III f (8.12)

Pertambahan arus primer (I1 − If) disebut arus penyeimbang yang akan

mempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besar pula arus

φ

φl1

I1

V2 φl2

I2

V1

Page 182: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

175

penyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besar pula arus primer.

Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dari primer ke sekunder.

Arus di belitan primer juga memberikan fluksi bocor di belitan primer,

φl1, yang menginduksikan tegangan El1. Tegangan induksi yang

dibangkitkan oleh fluksi-fluksi bocor, yaitu El1 dan El2, dinyatakan

dengan suatu besaran ekivalen yaitu tegangan jatuh ekivalen pada

reaktansi bocor ekivalen, X1 dan X2, masing-masing di rangkaian primer

dan sekunder. Jika resistansi belitan primer adalah R1 dan belitan

sekunder adalah R2, maka kita peroleh hubungan untuk rangkaian di sisi

primer

1111111111 XjRR l IIEEIEV ++=++= (8.13)

dan untuk rangkaian di sisi sekunder

2222222222 XjRR l IIVEIVE ++=++= (8.14)

Rangkaian Ekivalen. Secara umum, rangkaian ekivalen adalah

penafsiran secara rangkaian listrik dari suatu persamaan matematik

yang menggambarkan perilaku suatu piranti. Untuk transformator,

rangkaian ekivalen diperoleh dari tiga persamaan yang diperoleh di atas.

Dengan relasi 112 / EEE ′== a dan 112 III ′== a di mana 21 / a = ,

tiga persamaan tersebut di atas dapat kita tulis kembali sebagai satu set

persamaan sebagai berikut.

Untuk rangkaian di sisi sekunder, (8.14) kita tuliskan

222221

2 XjRa

IIVE

E ++==

Dari persamaan untuk rangkaian sisi primer (8.13), kita peroleh

111111 XjR IIVE −−=

sehingga persamaan untuk rangkaian sekunder dapat kita tuliskan

22222111111

2 XjRa

XjR

aIIV

IIVEE ++=

−−==

Karena a

21

II = maka persamaan ini dapat kita tuliskan

Page 183: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

176 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( ) ( ) 2122122

22

1222

122

2

12

2

1222222

1

IIV

IIV

IIIIV

V

XXjRR

a

XXj

a

RR

a

Xj

a

RXjR

a

′++′++=

++

++=

++++=

(8.15)

dengan 2

112

11 ;

a

XX

a

RR =′=′

Persamaan (8.15) ini, bersama dengan persamaan (8.12) yang dapat kita

tuliskan ff aaa IIIII −′=−= 112 , memberikan rangkaian ekivalen

untuk transformator berbeban. Akan tetapi pada transformator yang

digunakan pada sistem tenaga listrik, arus magnetisasi hanya sekitar 2

sampai 5 persen dari arus beban penuh transformator. Oleh karena itu,

jika If diabaikan terhadap I1 maka kesalahan dalam menghitung I2 dapat

dianggap kecil. Pengabaian ini akan membuat 112 III ′== a . Dengan

pendekatan ini, dan persamaan (8.15), kita memperoleh rangkaian

ekivalen yang disederhanakan dari transformator berbeban. Gb.8.8.

memperlihatkan rangkaian ekivalen transformator berbeban dan diagram

fasornya.

Gb.8.8. Rangkaian ekivalen transformator dan diagram fasor.

jXe = j(X2+ X′1) Re = R2+R′1

I2 = I′1

V1/a V2

I2

I2Re

V2

V1/a

jI2Xe

Page 184: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

177

8.4.2. Fluksi Dan Rugi-Rugi Karena Fluksi

Seperti halnya pada induktor, transformator memiliki rugi-rugi inti, yang

terdiri dari rugi hiterisis dan rugi arus pusar dalam inti. Fluksi magnetik,

rugi-rugi histerisis, dan rugi-rugi arus pusar pada inti dihitung seperti

halnya pada induktor.

Rugi-Rugi Pada Belitan. Selain rugi-rugi tembaga pada belitan sebesar

Pcu = I2R, pada belitan terjadi rugi-rugi tambahan arus pusar, Pl, yang

ditimbulkan oleh fluksi bocor. Sebagaimana telah dibahas, fluksi bocor

ini menimbulkan tegangan induksi El1 dan El2, karena fluksi ini

melingkupi sebagian belitan; El1 dan El2 dinyatakan dengan suatu

besaran ekivalen yaitu tegangan jatuh ekivalen pada reaktansi bocor

ekivalen, X1 dan X2. Selain melingkupi sebagian belitan, fluksi bocor ini

juga menembus konduktor belitan dan menimbulkan juga arus pusar

dalam konduktor belitan; arus pusar inilah yang menimbulkan rugi-rugi

tambahan arus pusar, Pl.

Berbeda dengan rugi arus pusar yang terjadi dalam inti, yang dapat

diperkecil dengan cara membangun inti dari lapisan lembar tipis material

magnetik, rugi arus pusar pada konduktor tidak dapat ditekan dengan

cara yang sama. Ukuran konduktor harus tetap disesuaikan dengan

kebutuhan untuk mengalirkan arus; tidak dapat dibuat berpenampang

kecil. Oleh karena itu rugi-rugi arus pusar ini perlu diperhatikan karena

nilainya sebanding dengan kuadrat frekuensi, seperti halnya rugi arus

pusar pada inti yang diberikan pada formula empiris (8.9). Rugi arus

pusar pada belitan (stray losses) Pl ini dapat kita analogikan dengan rugi

arus pusar pada inti dan kita nyatakan dengan formula

22mll BfKP = (8.16)

dengan Kl adalah suatu konstanta yang tergantung dari material

konduktor, penampang dan panjang konduktor; f frekuensi, dan Bm nilai

maksimum kerapatan fluksi yang dapat dianggap sebanding dengan nilai

maksimum arus. Namun dalam menghitung Pl kita tidak menggunakan

formula (8.16) melainkan memperhitungkan rugi arus pusar sebagai

proporsi tertentu dari rugi tembaga yang ditimbulkan oleh arus tersebut,

dengan tetap mengingat bahwa rugi arus pusar sebanding dengan kuadrat

ferkuensi. Proporsi ini berkisar antara 2% sampai 15% tergantung dari

ukuran transformator. Kita lihat dua contoh berikut.

Page 185: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

178 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Contoh-8.7: Di belitan primer transformator yang memiliki resistansi

0,05 Ω mengalir arus sinusoidal murni bernilai efektif 40 A.

Hitung rugi daya total pada belitan ini jika rugi arus pusar yang

diakibatkan oleh arus ini adalah 5% dari rugi tembaga Pcu = I2R.

Penyelesaian:

Rugi tembaga W8005,0402 =×=cuP

Rugi arus pusar W48005.0%5 =×=× cuP

Rugi daya total pada belitan 80 + 4 = 84 W.

Contoh-8.8: Di belitan primer transformator yang memiliki resistansi

0,05 Ω mengalir arus nonsinus yang terdiri dari komponen

fundamental bernilai efektif 40 A, dan harmonisa ke-7 bernilai

efektif 6 A. Hitung rugi daya total pada belitan ini jika rugi arus

pusar diperhitungkan 10% dari rugi tembaga Pcu = I2R.

Penyelesaian:

Rugi tembaga total adalah

W8,8105,0)640( 222 =×+== RIP rmscu

Rugi arus pusar komponen fundamental

W805,0401,01,0 2211 =××=×= RIP rmsl

Rugi arus pusar harmonisa ke-7

W8,805,0671,071,0 2227

27 =×××=××= RIP rmsl

Rugi daya total adalah

W6,988,888,8171 =++=++= llcutotal PPPP

Contoh-8.8 ini menunjukkan bahwa walaupun arus harmonisa memiliki

nilai puncak lebih kecil dari nilai puncak arus fundamental, rugi arus

pusar yang ditimbulkannya bisa memiliki proporsi cukup besar. Hal ini

bisa terjadi karena rugi arus pusar sebanding dengan kuadrat frekuensi.

Page 186: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

179

8.4.3. Faktor K

Faktor K digunakan untuk menyatakan adanya rugi arus pusar pada

belitan. Ia menunjukkan berapa rugi-rugi arus pusar yang timbul secara

keseluruhan.

Nilai efektif total arus nonsinus yang dapat menimbulkan rugi arus pusar

adalah

A

1

2∑=

=k

n

nrmsTrms II (8.17)

dengan k adalah tingkat harmonisa tertinggi yang masih diperhitungkan.

Dalam relasi (8.17) kita tidak memasukkan komponen searah karena

komponen searah tidak menimbulkan rugi arus pusar.

Rugi arus pusar total adalah jumlah dari rugi arus pusar yang ditimbulkan

oleh tiap-tiap komponen arus dan tiap-tiap komponen arus menimbulkan

rugi arus pusar sebanding dengan kuadrat frekuensi dan kuadrat arus

masing-masing.

Jika arus nonsinus ini mengalir pada belitan yang memiliki resistansi R0,

dan rugi-rugi arus pusar tiap komponen arus dinyatakan dalam proporsi g

terhadap rugi tembaga yang ditimbulkannya, maka rugi arus pusar total

adalah

W

1

220∑

=

=k

n

nrmsK IngRP (8.18)

Rugi tembaga total yang disebabkan oleh arus ini adalah

W 2

0

1

20 Trms

k

n

nrmscu IRIRP == ∑=

(8.19)

Dengan (8.19) maka (8.18) dapat ditulis sebagai

W20 TrmsK IgKRP = (8.20)

dengan

2

1

22

Trms

k

n

nrms

I

In

K

∑== (8.21)

Page 187: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

180 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

K disebut faktor rugi arus pusar (stray loss factor).

Faktor K dapat dituliskan sebagai

∑∑==

==k

n

pun

k

n Trms

nrms InI

InK

1

2)(

2

12

22

(8.21.a)

dengan Trms

nrmspun

I

II =)(

Faktor K bukanlah karakteristik transformator melainkan karakteristik

sinyal. Walaupun demikian suatu transformator harus dirancang untuk

mampu menahan pembebanan nonsinus sampai batas tertentu.

CO+TOH-8.9: Di belitan primer transformator yang memiliki resistansi

0,08 Ω mengalir arus nonsinus yang terdiri dari komponen

fundamental, harmonisa ke-3, dan harmonisa ke-11 bernilai efektif

berturut-turut 40 A, 15 A, dan 5 A. Hitung: (a) nilai efektif arus

total; (b) faktor K; (c) rugi daya total pada belitan ini jika rugi arus

pusar diperhitungkan 5% dari rugi tembaga.

Penyelesaian:

(a) Nilai efektif arus total adalah

A 4351540 222 =++=TrmsI

(b) Faktor K adalah

59,343

51115340

2

22222

=×+×+

=K

(c) Rugi daya total Ptot, terdiri dari rugi tembaga Pcu dan rugi arus

pusar Pl.

W14808,0432 =×=cuP

W6,2659,314805,0 =××== KgPP cul

W6,1746,26148 =+=totP

Page 188: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

181

8.5. Tegangan Maksimum Pada Piranti

Kehadiran komponen harmonisa dapat menyebabkan piranti

mendapatkan tegangan lebih besar dari yang seharusnya. Hal ini bisa

terjadi pada piranti-piranti yang mengandung R, L, C, yang mengandung

harmonisa sekitar frekuensi resonansinya. Berikut ini kita lihat sebuah

contoh.

CO+TOH-8.8: Sebuah sumber tegangan 50 Hz, 12 kV mempunyai

resistansi internal 1 Ω dan reaktansi internal 6,5 Ω. Sumber ini

mencatu beban melalui kabel yang mempunyai kapasitansi total 2.9

µF. Tegangan terbangkit di sumber adalah

tte 00 13sin170sin17000 ω+ω= . Dalam keadaan tak ada beban

terhubung di ujung kabel, hitunglah tegangan maksimum pada kabel.

Penyelesaian:

Tegangan mengandung harmonisa ke-13. Pada frekuensi

fundamental terdapat impedansi internal

Ω+= 5,61int1 jZ ernal ; Ω=+= 58,65,6122

int1Z

Pada harmonisa ke-13 terdapat impedansi

Ω×+= 5,6131int13 jZ ; Ω=×+= 5,84)5,613(1 22int13Z

Impedansi kapasitif kabel

Ω−=××ω

−=

− 6,1097

109,2 60

1 jj

ZC ;

Ω−=××ω×

−=

− 4,84

109,213 60

13 jj

ZC

Impedansi total rangkaian seri R-L-C

Ω−+= 6,10975,611 jjZ tot ; Ω= 1,10911totZ

Ω−×+= 4,845,613113 jjZ tot ; Ω= 0,113totZ

Page 189: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

182 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Tegangan fundamental kabel untuk frekuensi fundamental

V 17101170001,1091

6,10971

1

11 =×=×= m

tot

Cm e

Z

ZV

V 143151700,1

4,8413

13

1313 =×=×= m

tot

Cm e

Z

ZV

Nilai puncak V1m dan V13m terjadi pada waktu yang sama yaitu pada

seperempat perioda, karena pada harmonisa ke-13 ada 13 gelombang

penuh dalam satu perioda fundamental atau 6,5 perioda dalam

setengah perioda fundamental. Jadi tegangan maksimum yang

diterima kabel adalah jumlah tegangan maksimum fundamental dan

tegangan maksimum harmonisa ke-13.

kV 31,4 V 314161431517101131 ≈=+=+= mmm VVV

Tegangan ini cukup tinggi dibanding dengan tegangan maksimum

fundamental yang hanya 17 kV. Gambar berikut ini memperlihatkan

bentuk gelombang tegangan.

Gb.8.9. Bentuk gelombang tegangan.

8.6. Partial Discharge

Contoh-8.8. memberikan ilustrasi bahwa adanya hamonisa dapat

menyebabkan tegangan maksimum pada suatu piranti jauh melebihi

tegangan fundamentalnya. Tegangan lebih yang diakibatkan oleh adanya

harmonisa seperti ini bisa menyebabkan terjadinya partial discharge

pada piranti, walaupun sistem bekerja normal dalam arti tidak ada

gangguan. Jika hal ini terjadi umur piranti akan sangat diperpendek yang

akan menimbulkan kerugtian besar secara finansial.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0.005 0.01 0.015 0.02

[kV]

v1

v1+v13

[detik]

Page 190: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

183

8.7. Alat Ukur Elektromekanik

Daya sumber diperoleh dengan mengalikan tegangan sumber dan arus

sumber. Proses ini dalam praktik diimplementasikan misalnya pada alat

ukur tipe elektrodinamis dan tipe induksi. Pada wattmeter

elektrodinamis, bagian pengukurnya terdiri dari dua kumparan, satu

kumparan diam dan satu kumparan berputar. Satu kumparan

dihubungkan ke tegangan dan satu kumparan dialiri arus beban. Jika

masing-masing arus di kedua kumparan adalah tIki vv ω= sin1 dan

)sin(2 ϕ+ω= tIki ii , maka kedua arus menimbulkan medan magnit

yang sebanding dengan arus di kedua kumparan. Momen sesaat yang

terjadi sebagai akibat interaksi medan magnetik kedua kumparan

sebanding dengan perkalian kedua arus

)sin(sin3 ϕ+ω×ω= tItIkm ive

Momen sesaat ini, melalui suatu mekanisme tertentu, menyebabkan

defleksi jarum penunjuk (yang didukung oleh kumparan yang berputar) ζ

yang menunjukkan besar daya pada sistem arus bolak balik.

ϕ=ζ cosirmsvrms IkI

Pada alat ukur tipe induksi, seperti kWh-meter elektromekanik yang

masih banyak digunakan, kumparan tegangan dihubungkan pada

tegangan sumber sementara kumparan arus dialiri arus beban. Bagan alat

ukur ini terlihat pada Gb.8.10.

Gb.8.10. Bagan KWh-meter tipe induksi.

Masing-masing kumparan menimbulkan fluksi magnetik bolak-balik

yang menginduksikan arus bolak-balik di piringan aluminium. Arus

induksi dari kumparan arus ber-interaksi dengan fluksi dari kumparan

tegangan dan arus induksi dari kumparan tegangan berinteraksi dengan

fluksi magnetik kumpran arus. Interaksi arus induksi dan fluksi magnetik

tersebut menimbulkan momen putar pada piringan sebesar

βΦΦ= sinive kfM

piringan Al

S1 S1 S2

S2

Page 191: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

184 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

di mana f adalah frekuensi, Φv dan Φi fluksi magnetik efektif yang

ditimbulkan oleh kumparan tegangan dan kumparan arus, β adalah selisih

sudut fasa antara kedua fluksi magnetik bolak-balik tersebut, dan k

adalah suatu konstanta. Momen putar ini dilawan oleh momen lawan

yang diberikan oleh suatu magnet permanen sehingga piringan berputar

dengan kecepatan tertentu pada keadaan keseimbangan antara kedua

momen. Perputaran piringan menggerakkan suatu mekanisme

penghitung.

Hadirnya arus harmonisa di kumparan arus, akan muncul juga pada Φi.

Jika Φv berbentuk sinus murni sesuai dengan bentuk tegangan maka Me

akan berupa hasil kali tegangan dan arus komponen fundamental.

Frekuensi harmonisa sulit untuk direspons oleh kWh meter tipe induksi.

Pertama karena kelembaman sistem yang berputar, dan kedua karena

kWh-meter ditera pada frekuensi f dari komponen fundamental, misalnya

50 Hz. Dengan demikian penunjukkan alat ukur tidak mencakup

kehadiran arus harmonisa, walaupun kehadiran harmonisa bisa

menambah rugi-rugi pada inti kumparan arus.

Page 192: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

185

BAB 9 Harmonisa Dalam Sistem Tiga Fasa

Analisis harmonisa dalam sistem tiga fasa berikut ini dilakukan dengan

anggapan beban seimbang.

9.1. Komponen Harmonisa Dalam Sistem Tiga Fasa

Frekuensi Fundamental. Pada pembebanan seimbang, komponen

fundamental berbeda

fasa 120o antara

masing-masing fasa.

Perbedaan fasa 120o

antar fasa ini timbul

karena perbedaan posisi

kumparan jangkar

terhadap siklus medan

magnet, yaitu sebesar

120o sudut magnetik.

Hal ini dijelaskan pada

Gb.9.1.

Gambar ini

memperlihatkan skema generator empat kutub; 180o sudut mekanis

ekivalen dengan 360o sudut magnetik. Dalam siklus magnetik yang

pertama sebesar 360o magnetik, yaitu dari kutub magnetik U ke U

berikutnya, terdapat tiga kumparan yaitu kumparan fasa-a (a1-a11),

kumparan fasa-b (b1-b11), kumparan fasa-c (c1-c11).

Antara posisi

kumparan fasa-a dan fasa-b terdapat pergeseran sudut magnetik 120o;

antara posisi kumparan fasa-b dan fasa-c terdapat pergeseran sudut

magnetik 120o; demikian pula halnya dengan kumparan fasa-c dan fasa-

a. Perbedaan posisi inilah yang menimbulkan perbedaan sudut fasa

antara tegangan di fasa-a, fasa-b, fasa-c.

Harmonisa Ke-3. Pada harmonisa ke-3 satu siklus komponen

fundamental, atau 360o, berisi 3 siklus harmonisa ke-3. Hal ini berarti

bahwa satu siklus harmonisa ke-3 memiliki lebar 120o dalam skala

komponen fundamental; nilai ini tepat sama dengan beda fasa antara

komponen fundamental fasa-a dan fasa-b. Oleh karena itu tidak ada

180o mekanis = 360o magnetik

S

U

S

U a2 a1

b1

a11 c1

b2 c2

b11

c22 b22

c11

Gb.9.1. Skema generator empat kutub

Page 193: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

186 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

perbedaan fasa antara harmonisa ke-3 di fasa-a dan fasa-b. Hal yang

sama terjadi antara fasa-b dan fasa-c seperti terlihat pada Gb.9.2

Gb.9.2. Tegangan fundamental dan harmonisa ke-3

pada fasa-a, fasa-b, dan fasa-c.

Pada Gb.9.2 tegangan v1a, v1b, v1c, adalah tegangan fundamental dari

fasa-a, -b, dan -c, yang saling berbeda fasa 120o. Tegangan v3a, v3b, v3c,

adalah tegangan harmonisa ke-3 di fasa-a, -b, dan -c; masing-masing

digambarkan terpotong untuk memperlihatkan bahwa mereka sefasa.

Diagram fasor harmonisa

ke-3 digambarkan pada

Gb.9.3. Jika V3a, V3b, V3c

merupakan fasor tegangan

fasa-netral maka tegangan

fasa-fasa (line to line)

harmonisa ke-3 adalah nol.

Hal serupa terjadi pada harmonisa kelipatan tiga yang lain seperti

harmonisa ke-9. Satu siklus fundamental berisi 9 siklus harmonisa yang

berarti lebar satu siklus adalah 40o dalam skala fundamental. Jadi lebar 3

siklus harmonisa ke-9 tepat sama dengan beda fasa antar fundamental,

sehingga tidak ada perbedaan sudut fasa antara harmonisa ke-9 di fasa-a,

fasa-b, dan fasa-c.

Harmonisa ke-5. Gb.9.4. memperlihatkan kurva tegangan fundamental

dan harmonisa ke-5. Tegangan v1a, v1b, v1c, adalah tegangan fundamental

dari fasa-a, -b, dan -c. Tegangan v5a, v5b, v5c, adalah tegangan harmonisa

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 90 180 270 360 [o]

V

v3a

v1b v1c

v3b v3c

v1a

)sin()7203sin(

)3sin()3603sin(

)3sin(

o3

o3

3

ttv

ttv

tv

c

b

a

ω=−ω=

ω=−ω=

ω=

)240sin(

)120sin(

)sin(

o1

o1

1

−ω=

−ω=

ω=

tv

tv

tv

c

b

a

Gb.9.3. Diagram fasor harmonisa ke-3.

V3a

V3b

V3c

Page 194: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

187

ke-5 di fasa-a, -b, dan -c; masing-masing digambarkan terpotong untuk

menunjukkan bahwa mereka berbeda fasa.

Gb.9.4. Fundamental dan harmonisa ke-5

Satu siklus fundamental berisi 5 siklus harmonisa atau satu siklus

harmonisa mempunyai lebar 72o dalam skala fundamental. Perbedaan

fasa antara v5a dan v5b adalah (2

× 72o − 120

o) = 24

o dalam skala

fundamental atau 120o dalam

skala harmonisa ke-5; beda fasa

antara v5b dan v5c juga 120o.

Diagram fasor dari harmonisa

ke-5 terlihat pada Gb.9.5. Jika

V5a, V5b, V5c merupakan fasor

tegangan fasa-netral maka tegangan fasa-fasa (line to line) harmonisa ke-

5 adalah 3 kali lebih besar dari tegangan fasa-netral-nya.

Harmonisa Ke-7. Satu siklus harmonisa ke-7 memiliki lebar 51,43o

dalam skala fundamental. Perbedaan fasa antara v7a dan v7b adalah (3 ×

51,43o − 120

o) = 34,3

o dalam

skala fundamental atau 240o

dalam skala harmonisa ke-7;

beda fasa antara v7b dan v7c

juga 240o. Diagram fasor dari

harmonisa ke-7 terlihat pada

Gb.9.6. Jika V7a, V7b, V7c

merupakan fasor tegangan

fasa-netral maka tegangan

)240sin(

)120sin(

)sin(

o1

o1

1

−ω=

−ω=

ω=

tv

tv

tv

c

b

a

)120sin()12005sin(

)2403sin()6005sin(

)5sin(

oo5

oo5

5

−ω=−ω=

−ω=−ω=

ω=

ttv

ttv

tv

c

b

a

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 90 180 270 360

v1a

V v1b v1c

v5a v5c v5b

[o]

Gb.9.5. Diagram fasor harmonisa ke-5.

V5a

V5c

V5b

Gb.9.6. Diagram fasor harmonisa ke-7.

V7a

V7b

V7c

Page 195: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

188 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

fasa-fasa (line to line) harmonisa ke-7 adalah 3 kali lebih besar dari

tegangan fasa-netral-nya.

9.2. Relasi Tegangan Fasa-Fasa dan Fasa-+etral

Pada tegangan sinus murni, relasi antara tegangan fasa-fasa dan fasa-

netral dalam pembebanan seimbang adalah

fnfnff VVV 732,13 ==

di mana Vff tegangan fasa-fasa dan Vf-n tegangan fasa-netral. Apakah

relasi masih berlaku jika tegangan berbentuk gelombang nonsinus. Kita

akan melihat melalui contoh berikut.

CO+TOH-9.1: Tegangan fasa-netral suatu generator 3 fasa terhubung

bintang mengandung komponen fundamental dengan nilai puncak

200 V, serta harmonisa ke-3, 5, 7, dan 9 dengan nilai puncak

berturut-turut 40, 25, 20, 10 V. Hitung rasio tegangan fasa-fasa

terhadap tegangan fasa-netral.

Penyelesaian:

Dalam soal ini harmonisa tertinggi yang diperhitungkan adalah

harmonisa ke-9, walaupun nilai puncak harmonisa tertinggi ini

masih 5% dari nilai puncak komponen fundamental.

Nilai efektif tegangan fasa-netral fundamental sampai harmonisa

ke-9 berturut-turut adalah nilai puncak dibagi 2 :

V 42,1411 =−nfV ; V 28,283 =−nfV ; V 68,175 =−nfV

V 14,147 =−nfV ; V 07,79 =−nfV

Nilai efektif tegangan fasa-netral total

V 16,146 7,0714,1417,6828,2842,14122222 =++++=−nfV

Nilai efektif tegangan fasa-fasa setiap komponen adalah

V 95,2441 =− ffV ; V 03 =− ffV ; V 26,27 5 =− ffV

V 11,227 =− ffV ; V 09 =− ffV

Nilai efektif tegangan fasa-fasa total

Page 196: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

189

V 35,247 011,2227,62095,244222 =++++=− ffV

Rasio tegangan fasa-fasa terhadap tegangan fasa-netral

70,116,146

35,247==

nf

ff

V

V

Perbedaan nilai perhitungan tegangan efektif fasa-netral dan tegangan

efektif fasa-fasa terlatak pada adanya harmonisa kelipatan tiga; tegangan

fasa-fasa harmonisa ini bernilai nol.

9.3. Hubungan Sumber Dan Beban

9.3.1. Generator Terhubung Bintang

Jika belitan jangkar generator terhubung bintang, harmonisa kelipatan

tiga yang terkandung pada tegangan fasa-netral tidak muncul pada

tegangan fasa-fasa-nya. Kita akan melihatnya pada contoh berikut.

CO+TOH-9.2: Sebuah generator 3 fasa, 50 Hz, terhubung bintang

membangkitkan tegangan fasa-netral yang berbentuk gelombang

nonsinus yang dinyatakan dengan persamaan

V 5sin1003sin200sin800 000 tttv ω+ω+ω=

Generator ini mencatu tiga induktor terhubung segi-tiga yang

masing-masing mempunyai resistansi 20 Ω dan induktansi 0,1 H.

Hitung daya nyata yang diserap beban dan faktor daya beban.

Penyelesaian:

Nilai efektif komponen tegangan fasa-netral adalah

V 2/8001 =rmsfnV ; V 2/2003 =rmsfnV ;

V 2/1005 =rmsfnV .

Tegangan fasa-fasa sinyal nonsinus tidak sama dengan 3 kali

tegangan fasa-netralnya. Akan tetapi masing-masing komponen

merupakan sinyal sinus; oleh karena itu tegangan fasa-fasa masing-

masing komponen adalah 3 kali tegangan fasa-netral-nya.

Page 197: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

190 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( ) V 3/280032/8001 ==rmsffV ; V 03 =rmsffV ;

V 2/31005 =rmsffV

V 4,987)2/3(100)2/3(80022 =+=ffrmsV

Reaktansi beban per fasa untuk tiap komponen

Ω=××π= 42,311,05021X ; Ω== 25,943 13 XX ;

Ω== 08,1575 15 XX

Impedansi beban per fasa untuk tiap komponen

Ω=+= 24,3742,3120 221fZ

Ω=+= 35,9625,9420 223fZ

Ω=+= 35,15808,15720 225fZ

Arus fasa:

A 3,2624,37

2/3800

1

11 ===

f

rmsffrmsf

Z

VI

A 0

1

33 ==

f

rmsffrmsf

Z

VI

A 77,035,158

2/3100

5

55 ===

f

rmsffrmsf

Z

VI

A 32,2677,03,2622 =+=frmsI

Daya nyata diserap beban

kW 41,6 W41566203 2 ≈=××=frmsb IP

Daya kompleks beban

kW 78 W 7796732,264,9873 3 ≈=××=××= fffb IVS

Faktor daya beban

Page 198: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

191

53,078

6,41.. ===

b

b

S

Pdf

9.3.2. Generator Terhubung Segitiga

Jika belitan jangkar generator terhubung segitiga, maka tegangan

harmonisa kelipatan tiga akan menyebabkan terjadinya arus sirkulasi

pada belitan jangkar generator tersebut.

CO+TOH-9.3: Sebuah generator 3 fasa, 50 Hz, terhubung segitiga.

Resistansi dan induktansi per fasa adalah 0,06 Ω dan 0,9 mH. Dalam

keadaan tak berbeban tegangan fasa-fasa mengandung harmonisa ke-

3, -7, -9, dan -15 dengan amplitudo berturut-turut 4%, 3%, 2% dan

1% dari amplitudo tegangan fundamental. Hitunglah arus sirkulasi

dalam keadaan tak berbeban, jika eksitasi diberikan sedemikian rupa

sehingga amplitudo tegangan fundamental 1500 V.

Penyelesaian:

Arus sirkulasi di belitan jangkar yang terhubung segitiga timbul oleh

adanya tegangan harmonisa kelipatan tiga, yang dalam hal ini adalah

harmonisa ke-3, -9, dan -15. Tegangan puncak dan tegangan efektif

masing-masing komponen harmonisa ini di setiap fasa adalah

V 601500%43 =×=mV ; V 2/603 =rmsV

V 301500%29 =×=mV ; V 2/309 =rmsV

V 151500%115 =×=mV ; V 2/1515 =rmsV

Reaktansi untuk masing-masing komponen adalah

Ω=×××π= − 283,0109,0502 31X

Ω=×= 85,03 13 XX

Ω=×= 55,29 19 XX

Ω=×= 24,415 115 XX

Impedansi di setiap fasa untuk komponen harmonisa

Ω=+= 85,085,006,0 223Z

Ω=+= 55,254,206,0 229Z

Page 199: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

192 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Ω=+= 24,424,406,0 2215Z

Arus sirkulasi adalah

A 89,4985,0

2/603 ==rmsI

A 33,855,2

2/309 ==rmsI

A 5,224,4

2/1515 ==rmsI

A 6,505,233,889,48222

)( =++=rmssirkulasiI

9.3.3. Sistem Empat Kawat

Dalam sistem empat kawat, di mana titik netral sumber terhubung ke titik

netral beban, harmonisa kelipatan tiga akan mengalir melalui penghantar

netral. Arus di penghantar netral ini merupakan jumlah dari ketiga arus di

setiap fasa; jadi besarnya tiga kali lipat dari arus di setiap fasa.

CO+TOH-9.4: Tiga kumparan dihubungkan bintang; masing-masing

kumparan mempunyai resistansi 25 Ω dan induktansi 0,05 H.

Beban ini dihubungkan ke generator 3 fasa, 50Hz, dengan

kumparan jangkar terhubung bintang. Tegangan fasa-netral

mempunyai komponen fundamental, harmonisa ke-3, dan ke-5

dengan nilai puncak berturut-turut 360 V, 60 V, dan 50 V.

Penghantar netral menghubungkan titik netral generator dan beban.

Hitung nilai efektif (a) arus saluran (fasa); (b) tegangan fasa-fasa;

(c) arus di penghantar netral; (d) daya diserap beban.

Penyelesaian:

(a) Tegangan fasa-netral efektif setiap komponen

V 4,35

V; 4,42

V; 6,254

5

3

1

=

=

=

rmsfn

rmsfn

rmsfn

V

V

V

Reaktansi per fasa

Page 200: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

193

Ω=××π= 70,1505,05021X

Ω=×= 12,473 13 XX

Ω=×= 54,785 15 XX

Impedansi per fasa

Ω=+= 53,2970,1525 221Z

Ω=+= 35,5312,4725 223Z

Ω=+= 42,8254,7825 225Z

Arus saluran

A 62,853,29

6,2541 ==rmsI

A 795,035,53

4,423 ==rmsI

A 43,042,82

4,355 ==rmsI

A 67,843,0795,062.8 222 =++=rmssaluranI

(b) Tegangan fasa-fasa setiap komponen

V 24,61 V; 0 V; 9,440 531 === −−− ffffff VVV

Tegangan fasa-fasa

V 4452,6109,440 22 =++=− ffV

Arus di penghantar netral ditimbulkan oleh harmonisa ke-3,

yang merupakan arus urutan nol.

A 39,2795,033 3 =×=×= rmsnetral II

(c) Daya yang diserap beban adalah daya yang diserap elemen

resistif 25 Ω, yaitu RIP nf ××= −23 . Arus beban terhubung

bintang sama dengan arus saluran. Jadi daya yang diserap

beban adalah

Page 201: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

194 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

kW 5,64 W 5636 2567,833 22 ==××=××= RIPb

9.3.4. Sistem Tiga Kawat

Pada sistem ini tidak ada hubungan antara titik netral sumber dan titik

netral beban. Arus harmonisa kelipatan tiga tidak mengalir. Kita akan

melihat kondisi ini dengan menggunakan contoh berikut.

CO+TOH-9.5: Persoalan seperti pada contoh-9-4 akan tetapi

penghantar netral yang menghubungkan titik netral generator dan

beban diputus. Hitung nilai efektif (a) arus saluran (fasa); (b)

tegangan fasa-fasa; (c) arus di penghantar netral; (d) daya diserap

beban.

Penyelesaian:

(a) Karena penghantar netral diputus, arus harmonisa ke-3 tidak

mengalir. Arus fundamental dan harmonisa ke-5 telah dihitung

pada contoh-9.4. yaitu

A 62,853,29

6,2541 ==rmsI

A 43,042,82

4,355 ==rmsI

Arus saluran menjadi A 63,843,062,8 22 =+=rmssaluranI

(b) Walaupun arus harmonisa ke-3 tidak mengalir, tegangan fasa-

netral harmonisa ke-3 tetap hadir namun tegangan ini tidak

muncul pada tegangan fasa-fasa. Keadaan ini seperti keadaan

sebelum penghantar netral diputus

V 4452,6109,440 22 =++=− ffV

(c) Arus di penghantar netral = 0 A

(d) Daya yang diserap beban

kW 5,59 W 5589 2563,833 22 ==××=××= RIPb

Page 202: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

195

9.4. Sumber Bekerja Paralel

Untuk mencatu beban yang besar sumber-sumber pada sistem tenaga

harus bekerja paralel. Jika sumber terhubung bintang dan titik netral

masing-masing sumber ditanahkan, maka akan mengalir arus sirkulasi

melalui pentanahan apabila terdapat tegangan harmonisa kelipatan tiga.

CO+TOH-9.6: Dua generator tiga fasa, 20 000 kVA, 10 000 V,

terhubung bintang, masing-masing mempunyai reaktansi jangkar

20% tiap fasa. Tegangan terbangkit mengandung harmonisa ke-3

dengan amplitudo 10% dari amplitudo fundamental. Kedua

generator bekerja paralel, dan titik netral masing-masing

ditanahkan melalui reaktansi 10%. Hitunglah arus sirkulasi di

pentanahan karena adanya harmonisa ke-3.

Penyelesaian:

Tegangan kedua generator adalah

V 10000=ffrmsV

V 5774 3

10000==fnrmsV

Reaktansi jangkar 20% : Ω=×

××= 1

1000000 20

57743%20

2

aX

Reaktansi pentanahan 10% : Ω=×

××= 5,0

1000000 20

57743%10

2

gX

Reaktansi pentanahan untuk urutan nol : Ω=×= 5,15,030X

Tegangan harmonisa ke-3 adalah 10% dari tegangan fundamental :

V 4,5773 =rmsfnV

Kedua generator memiliki Xa dan Xg yang sama besar dengan

tegangan harmonisa ke-3 yang sama besar pula. Arus sirkulasi

akibat tegangan harmonisa ke-3 adalah

( )A 231

5,2

4,577

0

3==

+=

XX

VI

a

rmsfnsirkulasi

Page 203: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

196 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

9.5. Penyaluran Energi ke Beban

Dalam jaringan distribusi, untuk menyalurkan energi ke beban digunakan

penyulang tegangan menengah yang terhubung ke transformator dan dari

transformator ke beban. Suatu kapasitor dihubungkan paralel dengan

beban guna memperbaiki faktor daya. Dalam analisis harmonisa kita

menggunakan model satu fasa dari jaringan tiga fasa.

9.5.1. Penyulang

Dalam model satu fasa, penyulang diperhitungkan sebagai memiliki

resistansi, induktansi, kapasitansi. Dalam hal tertentu elemen ini bisa

diabaikan.

9.5.2. Transformator

Perilaku transformator dinyatakan dengan persamaan

111111 XjR IIEV ++=

222222 XjR IIVE ++=

a

f

22

1

2221 dengan

IIIIII ==′′+=

11111 , , , , XREIV berturut turut adalah tegangan terminal, arus, tegangan

induksi kumparan, resistansi, dan reaktansi bocor rangkaian primer.

22222 , , , , XREIV berturut turut adalah tegangan terminal, arus,

tegangan induksi kumparan, resistansi, dan reaktansi bocor rangkaian

sekunder; V2 sama dengan tegangan pada beban. E1 sefasa dengan E2

karena dibangkitkan (diinduksikan) oleh fluksi yang sama, sehingga nilai

masing-masing sebanding dengan jumlah lilitan, 1 dan 2. Jika

21 / a = maka dilihat dari sisi sekunder nilai E1 menjadi aEE /' 11 = ,

I1 menjadi 11 ' aII = , R1 menjadi R1/a2, X1 menjadi X1/a

2. Rangkaian

ekivalen transformator berbeban menjadi seperti pada Gb.9.7.a. Dengan

mengabaikan arus eksitasi If dan menggabungkan resistansi dan reaktansi

menjadi 21 RRRT +′= dan 21 XXXT +′= maka rangkaian ekivalen

menjadi seperti pada Gb.9.7.b.

Page 204: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

197

(a)

(b)

Gb.9.7. Rangkaian ekivalen transformator berbeban.

9.6. Rangkaian Ekivalen Untuk Analisis

Karena resistansi dan reaktansi transformator diposisikan di sisi

sekunder, maka untuk menambahkan penyulang dan sumber harus pula

diposisikan di sisi sekunder. Tegangan sumber Vs menjadi Vs/a, resistansi

penyulang menjadi Rp/a2, reaktansi penyulang menjadi Xp/a

2 . Jika

resistansi penyulang Rp/a2 maupun resistansi transformator RT diabaikan,

maka rangkaian sumber–penyulang–transformator–beban menjadi seperti

pada Gb.9.8. Bentuk rangkaian yang terakhir ini cukup sederhana untuk

melakukan analisis lebih lanjut. Vs/a adalah tegangan sumber.

Gb.9.8. Rangkaian ekivalen penyaluran energi dari sumber ke

beban dengan mengabaikan semua resistansi dalam rangkaian

serta arus eksitasi transformator.

Apabila kita menggunakan rangkaian ekivalen dengan hanya

memandang arus nonlinier, maka sumber tegangan menjadi bertegangan

nol atau merupakan hubung singkat seperti terlihat pada Gb.9.9.

R′1

If

B

X′1 R2 X2

V1 E1

V2

Xc Rc

Ic Iφ

B

RT XT

∼ V1

V2

B

XT

Vs/a V2

Xp/a2

XC

Page 205: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

198 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Gb.9.9. Rangkaian ekivalen pada pembebanan nonlinier.

Jika kita hanya meninjau komponen harmonisa, dan tetap memandang

bahwa arus harmonisa mengalir ke beban, arah arus harmonisa

digambarkan menuju sisi beban. Namun komponen harmonisa tidak

memberikan transfer energi neto dari sumber ke beban; justru sebaliknya

komponen harmonisa memberikan dampak yang tidak menguntungkan

pada sistem pencatu daya. Oleh karena itu sistem pencatu daya “bisa

melihat” bahwa di arah beban ada sumber arus harmonisa yang mencatu

sistem pencatu daya dan sistem pencatu daya harus memberi tanggapan

terhadap fungsi pemaksa (driving function) ini. Dalam hal terakhir ini

sumber arus harmonisa digambarkan sebagai sumber arus yang mencatu

sistem seperti terlihat pada Gb.9.10.

Gb.9.10. Rangkaian ekivalen untuk analisis arus harmonisa.

XT sumber arus

harmonisa

Xp/a2

XC

B

XT ibeban Xp/a

2

XC

Page 206: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

199

Referensi

1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB

2002, ISBN 979-9299-54-3.

2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk

Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,

Monograf, 2005, limited publication.

3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan

Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.

4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan

Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.

5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,

ISBN 0-07-451899-2.

6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”

; John Wiley & Son Inc, 5th

ed, 1992.

7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric

Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd

ed, 1992.

8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall

International, Inc., 1992.

9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of

Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.

10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,

McGraw-Hill, 1999.

11. Alexander Kusko & Marc T. Thompson, “Power Quality in

Electrical Systems”, Mc. Graw Hill, 2007.

Page 207: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

200 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Daftar +otasi

v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.

V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.

Vrr : tegangan, nilai rata-rata.

Vrms : tegangan, nilai efektif.

Vmaks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.

V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.

|V| : nilai mutlak fasor tegangan.

V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.

i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.

I : arus dengan nilai tertentu, arus searah.

Irr : arus, nilai rata-rata.

Irms : arus, nilai efektif.

Imaks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.

I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.

|I| : nilai mutlak fasor arus.

I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.

p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.

prr : daya, nilai rata-rata.

S : daya kompleks.

|S| : daya kompleks, nilai mutlak.

P : daya nyata.

Q : daya reaktif.

q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.

w : energi.

R : resistor; resistansi.

L : induktor; induktansi.

C : kapasitor; kapasitansi.

Z : impedansi.

Y : admitansi.

Page 208: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

201

I+DEKS a

alih daya 78, 150

Ampère 2, 4

arus pusar 14

c

crest factor 124

d

daya kompleks 136

daya nyata 137

daya reaktif 150

daya, faktor 137

daya, non sinus 103

daya, sudut 67

diagram fasor 33, 61

dielektrik 165

e

efisiensi 42

ekivalen 37, 65, 74, 78, 79, 197

f

faktor K 178

Faraday 1

fluksi bocor 31

Fourier 91

frekuensi sinkron 75

g

gaya 14

generator terhubung ∆ 191

generator terhubung Y 189

h

harmonisa-3, -5, -7 185

histerisis 12

hubungan ∆-∆ 44

hubungan ∆-Y 45

hubungan Y-∆ 46

hubungan Y-Y 45

i

impedansi 38, 134, 137

induktor 19, 168

k

kapasitor 164

kompensasi 150

konduktor 161

l

loss factor 165, 166

m

magnetik 1, 5, 14

medan putar 70

mesin sinkron 50, 52, 59

motor asinkron 69

n

nilai efektif 97, 135

nilai rata-rata 96

non linier 111

nonsinus 88, 91, 129, 166

p

parameter 39, 79

partial discharge 182

permeabilitas 3

r

reaktansi 33, 61, 64

regulasi tegangan 42

resonansi 106

s

setengah gelombang 113

sistem 3-kawat 194

sistem 4-kawat 192

t

tegangan maksimum 180

Tellegen 138

THD 124

torka 84, 85

transformator 29, 32, 39, 43,

173, 196

u

uji beban nol 39, 60, 80

uji hubung singkat 40, 60

uji rotor diam 80

Page 209: Analisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikListrik · PDF fileyang memungkinkan terjadinya konversi energi listrik. Di bab ini kita ... magnetik, rugi-rugi dan gaya magnetik, induktor

202 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Biodata

Nama: Sudaryatno Sudirham

Lahir di Blora pada 26 Juli 1943

Istri: Ning Utari

Anak: Arga Aridarma

Aria Ajidarma.

1971 : Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung.

1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung.

1974 : Tertiary Education Research Center – UNSW − Australia

1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis

1981 : INPT - Toulouse − Perancis; DEA 1982; Doktor 1985.

Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran Listrik”, “Pengantar Teknik

Elektro”, “Pengantar Rangkaian Listrik”, “Material Elektroteknik”,

“Phenomena Gas Terionisasi”, “Dinamika Plasma”, “Dielektrika”,

“Material Biomedika”.

Buku dan Artikel: “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN

979-9299-54-3, 2002, 2005; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi Susut

Energi Jaringan Distribusi”, Penerbit ITB, ISBN 978-979-1344-38-8,

2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral”, Penerbit ITB,

ISBN 978-979-1344-37-1, 2009; “Analisis Rangkaian Listrik (1)”, 2010;

“Analisis Rangkaian Listrik (2)”, 2010; “Analisis Rangkaian Listrik (3)”,

2010; ”Mengenal Sifat Material (1)”, 2010; ”Estimasi Susut Teknik dan

onteknik Jaringan Distribusi”, 2011.

Bidang minat: Power Engineering; Material Science.