Circuit Analysis

Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan FasorFasor, Impedansi, Metoda AnalisisFasor dan ImpedansiMengapa Fasor?

Sudut fasaFrekuensi sudutAmplitudoAnalisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-tegangan elemen-elemen adalah

Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagaiEnergi listrik, dengan daya ribuan mega watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus.Bentuk gelombang sinus sangat luas digunakan.

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu sendiri, yaitu Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial dan integral akan terhindarkan Fungsi Eksponensial

Hal itu dimungkinkan karenaada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu

Ini adalah fungsi eksponensial kompleksBerikut ini kita akan melihat ulang bilangan kompleksBagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan untuk menyatakan sinyal sinusIdentitas EulerBilangan KompleksPengertian Tentang Bilangan Kompleks

Tinjau Persamaan:

Akar persamaan adalah:Bilangan tidak nyata (imajiner)

x

Tak ada nilai untuk negatif

dengan a dan b bagian nyata dari s Re(s) = a bagian imajiner dari s Im(s) = b Re(sumbu nyata)Im(sumbu imajiner)as = a + jbjbBilangan kompleks didefinisikan sebagai|S|cos = Re (S)|S| sin = Im (S) = tan1(b/a)

bagian nyata dari Sbagian imaginer dari SBilangan kompleksS = |S|cos + j|S|sina ReImS = a + jbjb(sumbu nyata)(sumbu imajiner) ReImS = a + jb | S |jbaRepresentasi Grafis Bilangan Kompleks-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5ReIm4321

-1-2-33 + j4= 5cos + j5sin5ContohPenjumlahan

Perkalian

Pembagian

+--Operasi-Operasi Aljabar Bilangan KompleksPengurangan

diketahui:maka:Contoh

Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagaidengan e adalah fungsi eksponensial riil

Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:

danIni identitas Euler Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:dapat dituliskan sebagai:Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar |S| = 10sudut fasa: = 0,5 rad S = 10 e j0,5 Bentuk Polar

Bentuk Sudut Siku

S = 3 + j4

Bentuk Sudut SikuS = 5e j 0,93Bentuk Polar

S = 3 j4 Bentuk Sudut SikuS = 5e j 0,93Bentuk PolarContoh

Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut: S = a + jb S* = a jbReImReImBilangan kompleks S mempunyai konjugat S* Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb S* = p + jq S = p jqKompleks KonjugatDalam Bentuk FasorPernyataan Sinyal Sinushanya amplitudo A dan sudut fasa yang diperhatikan karena diketahui sama untuk seluruh sistem Sinyal Sinus di kawasan waktu :

Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleksA e j(t+) = A {cos(t + ) + j sin(t + )} = V v = Re(V) = Re ( A e j t e j )sehingga dapat ditulis dalam bentuk:Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga tak perlu selalu dituliskan V = A e j dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks : dan sinyal sinus

Re dan e j tidak ditulis lagiInilah yang disebut FasorFasor

Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan makaV|A|ImReajbPenulisan dan Penggambaran FasorPenulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

menjadi:menjadi:Pada frekuensi = 500

menjadi:menjadi:Pada frekuensi = 1000ContohA|A|ImRe A|A|A* ajb ajb

maka negatif dari A adalahdan konjugat dari A adalah

Fasor Negatif dan Fasor KonjugatPerkalian

Pembagian

Penjumlahan dan Pengurangan

Jika diketahui :maka :Operasi-Operasi Fasor

Diketahui:maka :ReI3-4-3Im216,9o 5ContohImpedansiImpedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebutImpedansi di Kawasan Fasor

impedansifasor teganganfasor arusCatatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s yang akan kita pelajari kemudian

+ vR iR

Kawasan fasorKawasan waktuImpedansiresistansi resistor di kawasan waktubernilai sama denganimpedansinya di kawasan fasor

ResistorResistoriL + vL

Kawasan fasorImpedansiInduktor

Kawasan waktuhubungan diferensialhubungan linieriC+ vC `

Kawasan fasorImpedansi

Kapasitor

Kawasan waktuhubungan diferensialhubungan linierImpedansi dan Admitansi

Impedansi: ZAdmitansi: Y = 1 / Z

Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier. Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda.Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus Impedansi adalah pernyataan elemen.Impedansi Secara UmumKaidah Rangkaian dan Diagram Fasor

R+ VR I + VL jL

+ VC Rj/C+ VR IHubungan Seri

j/CjL + VL + VC I

Kaidah Pembagi Tegangan

ItotalI3RjLj/CI1I2Kaidah Pembagi ArusDiagram FasorILVLReImArus 90o di belakang teganganL = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A Arus dan Tegangan pada Induktor

Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)Di kawasan waktu:

100 iL(t)vL(t)VAdetikMisalkanC = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA Arus dan Tegangan pada Kapasitor

ICVCReImarus 90o mendahului teganganArus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)detikDi kawasan waktu:

10 iC(t)VmAvC(t)Misalkan

Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) AIVReImarus mendahului teganganBeban KapasitifPada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t 40o) A

IVReImarus tertinggal dari tegangan

Beban Induktif

100j100 j25Vs=2500oV+IVReIm100+20F50mHvs(t) =250 cos500t VTransformasi rangkaian ke kawasan fasorBeban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan

Beban RLC Seri, kapasitifi(t) = 2 cos(500t + 36,87o) AJika kita kembali ke kawasan waktu100j100 j25Vs=2500oV+VL = jXL IVR = RIVsReImVC = jXC II

Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

Fasor Tegangan Tiap Elemen

100j25 j100Vs=2500oV+IVReImPada beban kapasitif |ZL| > |ZC|arus tertinggal dari teganganBeban RLC seri, induktif

Beban RLC Paralel

100j25 j100Vs=2500oV+I

IVReImTeorema RangkaianPrinsip Proporsionalitas

Y = fasor keluaran, X = fasor masukan, K = konstanta proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks Prinsip Superposisi selalu berlaku di kawasan waktu dan berlaku di kawasan fasor bila frekuensi sama Prinsip Superpossi20cos4t V+_83cos4t Aio3H200o+_8 j6Io1 j12830o j6Io2 j12Contoh

RTABvT+VTZTAB+Kawasan waktuKawasan fasorTeorema Thvenin

+j100 10 1000,190o A 2045o V`AB+VTZTABContoh Rangkaian Ekivalen ThveninMetoda Analisisj9 j3 +140 V12 ABCD9 3 Ix j3 I1 I2 I3 I4 + vx +14cos2tV12 ABCD9 3 ix3/2 H 1/6 F1/18 FMetoda Keluaran Satu Satuan

Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan20cos4t V+_93cos2t Aio3H200o+_9 j6Io1 j12930o j12Io2 j6Metoda Superposisi

+18cos2t Vi62 21HAB2H1/8 F

+180o V62AB j4 j2 j4I2+180o V62AB j42

+ VTIAB j4 ZT j2Metoda Rangkaian Ekivalen Thvenin i1 =0.1cos100t A v =10sin100t V200F1H50 ix?ABAB I1 =0.10o AV=1090oVj50 j10050 IxSumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama, = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus. Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaansinx = cos(x90) sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50 paralel dengan induktor j100 Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor 50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix keluar IyAI2j50 j10050I1 =0.10o A Iyj50 j10050I1 I2Metoda Reduksi RangkaianMetoda Tegangan Simpul

I1 =0,10o AV=1090oVj50 j10050 Ix=?AB I =0,10o AV=1090oVj5050ABI1I2I3

Metoda Arus Mesh Course WareAnalisis Rangkaian Listrik Di Kawasan FasorFasor, Impedansi, Metoda Analisis

Sudaryatno Sudirham

58Chart332.82842712472.64575131112.44948974282.236067977521.73205080761.414213562410.94868329810.8944271910.83666002650.77459666920.70710678120.6324555320.54772255750.44721359550.3162277660

Sheet19382.828427124772.645751311162.449489742852.23606797754231.732050807621.4142135624110.90.94868329810.80.8944271910.70.83666002650.60.77459666920.50.70710678120.40.6324555320.30.54772255750.20.44721359550.10.31622776600

Sheet1

Sheet2

Sheet3