Analisis ketimpangan distribusi pendapatan dengan fungsi … · 2015-09-03 · Analisis Ketimpangan...

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN

FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2011

ABSTRAK

AYU LEMBAYUNG. Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Menggunakan Fungsi

Produksi Cobb-Douglas. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO

BUDIARTI.

Dalam tulisan ini dipelajari model pertumbuhan ekonomi Moav (2002). Model Moav

memperlihatkan adanya ketimpangan sosial antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan

masyarakat berpenghasilan tinggi. Ketimpangan sosial tersebut disebabkan oleh distribusi

pendapatan yang tidak merata. Pada model Moav ini ada suatu daerah ambang, dimana daerah

ambang menjadi tolak ukur untuk menentukan apakah suatu masyarakat masuk ke kelompok

berpenghasilan rendah atau tinggi. Fungsi produksi yang digunakan pada tulisan ini adalah fungsi

produksi Cobb-Douglas.

Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Maple 13 dan Mathematica 7. Secara

keseluruhan dari kasus yang diamati, masyarakat berpenghasilan tinggi mencapai kondisi stabil

lebih dulu, disusul oleh daerah ambang, dan yang terakhir adalah masyarakat berpenghasilan

rendah.

Kata kunci : ketimpangan, pertumbuhan ekonomi-Moav

ABSTRACT

AYU LEMBAYUNG. Analysis of Unequal Income Distribution with Cobb-Douglas Production

Function. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.

This paper studies the economic growth model by Moav (2002). Moav model shows the

existence of unequal income distribution between low-income with high-income community. That

kind of unequal income distribution is caused by uneven distribution of income. On this Moav

model, there is one area called the threshold. Threshold becomes a benchmark to determining

whether a society is categorized into low- or high- income community. The production function used in this paper is the Cobb-Douglas function.

The dynamics of this model is described as difference equation of low-income, threshold, and

high-income community. Simulation study on the model is carried out using Maple 13 and

Mathematica 7.0 software. Overall, from the observed case, high-income community will reach a

stable condition earlier, followed by the threshold, and then the low-income community.

Keywords : Moav-economic growth, unequal income distribution

Judul : Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi Produksi

Cobb-Douglas

Nama : Ayu Lembayung

NRP : G54070054

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP. 19631228 198903 2 001 NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan

pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah

Pemodelan Matematika dengan judul Analisis Ketimpangan Distribusi Pendapatan dengan Fungsi

Produksi Cobb-Douglas. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian

Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S dan Ir. Ibu Retno Budiarti, M.S selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis; kepada

Bapak Dr. Hadi Sumarno, M.S selaku penguji;

2. Ayahanda Muslim Narbuko dan Ibunda Diana Ilyas yang banyak memberi nasihat dan

dukungan, perhatian serta do’a yang tak terkira, Kakakku Ratih Widdyastuti yang selalu

memberi semangat belajar dan mengingatkan tiada henti, serta Reza Ikhsan atas segenap

perhatian dan semangat, kesabaran serta do’anya selama penyusunan skrispi;

3. Keluarga Besar Ilyas: Mamatin, Bu Ita, Om Andi, Bukde Rum, Bukde Lastri-Pakde

Mukhlis, Bukde Eni-Pakde Uus, Bukde Wiwi-Pakde Iyan, Abang Kai, Mba Riri, Fadli,

Rani, A’ Didit, Lala, A’ Teguh, Alan, Lintang, Akbar, Ajie, dan A’ Kiki atas dukungan,

perhatian dan do’a yang tak terkira.

4. Keluarga besar dan staf Departemen MatematikaFMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu

Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam

penyusunan skripsi;

5. Teman-teman satu bimbingan: Mutia, Diana, dan Dika yang selalu saling mengingatkan

dan membantu dalam penyusunan skripsi;

6. Teman-teman terbaikku di kampus: Sri, Mutia, Rahma, Della, Tyas, Fajar, Denda, Rofi,

Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat dan bantuan serta mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi;

7. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Mutia, Sri, Rahma, Tyas, Della, Fajar,

Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora, Lugina,

Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil, Ikhsan,

Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin, Imam,

Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro atas segenap

dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen

Matematika;

8. Kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: kak nia, kak wira, kak copi, kak arum, kak tami,

kak apri, kak supri, kak slamet, kak diah dkk yang telah memberikan banyak informasi

dan motivasinya;

9. Keluarga besar kosan Ginastri: Cefti, Novia, Rina dkk yang telah memberikan bantuan,

informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan skripsi;

10. Keluarga besar kosan Puri 9: Nuning, Riska, Susan, dan Ibu Yanti yang telah

memberikan bantuan, informasi, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan

skripsi;

11. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari

pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Agustus 2011

Ayu Lembayung

ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN

FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

AYU LEMBAYUNG

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Tangerang pada tanggal 21 April 1989 sebagai anak ke dua dari dua

bersaudara, anak dari pasangan Muslim Narbuko dan Diana Ilyas. Tahun 2001 penulis lulus dari

SDN Pondok Pinang 10 Pagi Jakarta Selatan. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 48 Jakarta

Selatan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 32 Jakarta Selatan dan pada tahun yang sama

penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat

Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai sekretaris staf Departemen PSDM periode 2008/2009. Selain itu,

penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain divide komisi disiplin pada

acara MPKMB 2008, divisi acara Math Expo pada tahun 2008, divisi dokumentasi pada acara

Math League pada tahun 2008, divisi kreatif pada acara MPD Matematika pada tahun 2009, divisi

publikasi dan dokumentasi Lomba Karya Cipta Mahasiswa pada tahun 2009, divisi danus

Matematika Ria (Pesta Sains) pada tahun 2009, dan divisi acara pada acara MPD Matematika pada

tahun 2010.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………........ ix

DAFTAR LAMPIRAN ……………………………………………………………... ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang …………………………………………………………………. 1

1.2 Tujuan .................………………………………………………………………. 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Istilah Ekonomi ……………………..………………………………………...... 1

2.2 Sistem Persamaan Diferensial...……………………………………………….... 3

III PEMBAHASAN

3.1 Model Produksi dan Harga ………...…………………………………………… 4

3.2 Titik Tetap/Titik Equilibrium ……….…………………………………………... 5

3.3 Model Individu ….……………………………………………………………… 5

3.4 Pembentukkan Modal Manusia ………………………………………………… 6

3.5 Dinamika Kondisi Mapan ……………………………………………………… 6

3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan ……………………………………………… 6

IV SIMULASI

4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan ………………………………………………… 8

4.2 Simulasi Pertumbuhan Modal per Kapita ……………………………………… 10

V KESIMPULAN ……………………………………………………………………… 10

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………….. 11

LAMPIRAN …………………………………………………………………………. 12

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1. Kondisi Mapan Saat ……………………………………………………… 7

2. Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan rendah …………………………. 9

3. Kurva Total Kekayaan Daerah Ambang ……...…………………………………....... 9

4. Kurva Total Kekayaan Masyarakat Berpenghasilan Tinggi ………...……….............. 10

5. Kurva Kondisi Kesetimbangan Distribusi Pendapatan ……………………................. 10

6. Kurva Pertumbuhan Modal per Kapita ..………………………...……………………. 10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Mendapatkan Persamaan …………………………………………………………... 15

2. Mendapatkan Persamaan ……………………………………………………….. 15

3. Menentukan Tingkat Pengembalian Modal dan Tingkat Upah……………………….. 16

4. Mendapatkan Persamaan Warisan …………………………………………………….. 17

5. Mendapatkan Persamaan Total Kekayaan …………………………………………….. 17

6. Mendapatkan Persamaan …………………………………………………………… 18



9. Simulasi Gambar 2 dengan Menggunakan Software Maple 13………..……………… 19

10. Simulasi Gambar 3 dengan Menggunakan Software Maple 13 ……………………….. 19

11. Simulasi Gambar 4 dengan Menggunakan Software Maple 13……………………….. 19

12. Simulasi Gambar 5 dengan Menggunakan Software Maple 13 ……………………….. 19

13. Simulasi Gambar 6 dengan Menggunakan Software Mathematica 7 ...……………….. 22

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi adalah proses

kenaikan output per kapita yang terus

menerus dalam jangka panjang. Simon

Kuznet mendefinisikan pertumbuhan

ekonomi suatu negara sebagai kemampuan

negara tersebut untuk menyediakan barang–

barang ekonomi yang terus meningkat bagi

penduduknya, pertumbuhan kemampuan ini

berdasarkan pada kemajuan teknologi dan

kelembagaan serta penyesuaian ideologi

yang dibutuhkan.

Pertumbuhan ekonomi tersebut

merupakan salah satu indikator keberhasilan

pembangunan. Dengan demikian makin tinggi pertumbuhan ekonomi biasanya

makin tinggi pula kesejahteraan masyarakat,

meskipun terdapat indikator lain yaitu

distribusi pendapatan.

Distribusi pendapatan yang tidak merata

mengakibatkan adanya ketimpangan sosial.

Ketimpangan sosial yang terjadi dalam

pertumbuhan ekonomi ini di masyarakat

dipengaruhi oleh sistem dinamika yang

menghasilkan keseimbangan dari

pendapatan masyarakat yang berpenghasilan

rendah dengan masyarakat yang

berpenghasilan tinggi.

Dalam kasus ketimpangan pendapatan

pada pertumbuhan ekonomi ini, akan

dikembangkan model perekonomian

terbuka, di mana evaluasi pendapatan dalam setiap kelompok masyarakat diatur oleh

sistem dinamik yang menghasilkan

keseimbangan antara masyarakat

berpenghasilan tinggi dengan yang

berpenghasilan rendah.

Distribusi pendapatan dan pembangunan

ekonomi menunjukkan ketidaksempurnaan

pasar modal. Hal ini menunjukkan bahwa

ketimpangan pendapatan dalam

pertumbuhan ekonomi mempengaruhi

kinerja perekonomian dalam waktu jangka

panjang.

Perekonomian setiap periode pasti

berbeda dengan perekonomian pada periode

sebelum atau sesudahnya. Oleh karena itu,

ketimpangan sosial dalam pertumbuhan

ekonomi ini, sedikit banyak dipengaruhi oleh model overlapping generation (OLG).

Model ini merupakan model kunci secara

makroekonomi modern yang

mengaplikasikan siklus kehidupan manusia.

Oleh karena itu, karya ilmiah ini akan

merumuskan model dinamika sistem

ekonomi yang dalam pertumbuhannya masih

mengalami ketimpangan antara masyarakat

berpenghasilan rendah dengan masyarakat

berpenghasilan tinggi.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:

1. Menganalisis model pertumbuhan

ekonomi yang menunjukkan adanya

ketimpangan antara masyarakat berpenghasilan rendah dengan

masyarakat berpenghasilan tinggi.

2. Melakukan simulasi terhadap model

tersebut.

2

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa

definisi dan penjelasan istilah yang

digunakan dalam karya ilmiah ini.

2.1 Istilah Ekonomi

Pertumbuhan Ekonomi

Pertumbuhan ekonomi adalah

perkembangan kegiatan dalam

perekonomian yang menyebabkan barang

dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat

bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi

menunjukkan persentase kenaikan

pendapatan nasional riil pada suatu tahun

tertentu, dibandingkan dengan pendapatan

nasional riil pada tahun sebelumnya.

(Mankiw 2003)

Fungsi Produksi

Fungsi produksi untuk suatu barang

tertentu, dengan

menyatakan input capital dan menyatakan efisiensi modal manusia

sedangkan tanda titik–titik pada fungsi

produksi di atas menunjukkan kemungkinan

digunakannya input produksi lain,

memperlihatkan jumlah output maksimum

yang diperoleh dengan menggunakan

berbagai alternatif kombinasi input produksi.

Fungsi produksi Cobb–Douglas

dimana dan kesemuanya merupakan

konstanta positif. Jika , fungsi

Cobb–Douglas memperlihatkan return to

scale yang meningkat, jika ,

fungsi ini memperlihatkan return to scale

yang menurun, jika , fungsi Cobb-

Douglas memperlihatkan return to scale konstan.

(Nicholson 2002)

Return to Scale

Return to scale adalah keadaan ketika

output meningkat sebagai respon adanya

kenaikan yang proporsional dari seluruh input. Jika diketahui fungsi produksi

dan semua input dikalikan

dengan suatu bilangan positif , maka

Return to scale dapat diklasifikasikan

menjadi:

1. Return to scale konstan, jika efek

dalam output

2. Return to scale berkurang, jika efek

dalam output

3. Return to scale meningkat, jika

efek dalam output

(Nicholson 2002)

Faktor Produksi

Faktor produksi adalah variabel–variabel

input yang digunakan dalam proses produksi

untuk menghasilkan output.

(Mankiw 2003)

Produk Marjinal

Misalkan didefinisikan fungsi produksi

dengan menyatakan input

capital dan menyatakan efisiensi modal

manusia. Produk marjinal dari suatu input

adalah output tambahan yang dapat

diperoleh dengan menambah input yang

bersangkutan 1 unit, sedangkan input–input

lain dianggap konstan. Secara matematis

dinotasikan sebagai berikut:

Produk marjinal per kapita

Produk marjinal modal manusia

(Nicholson 2002)

Tingkat Pengembalian

Tingkat di mana barang saat ini dapat

ditransformasikan menjadi barang masa

mendatang. Misalnya, tingkat pengembalian

satu periode sebesar 10 persen menyiratkan

bahwa melepaskan satu unit keluaran pada

periode ini akan menghasilkan 1.10 unit

keluaran dalam periode berikutnya.

(Nicholson 2002)

3

Kondisi Mapan / Steady State

Ekonomi yang berada pada kondisi

mapan adalah suatu keadaan dimana modal

per kapita pada periode sekarang sama

dengan modal per kapita pada periode

sebelumnya.

(Zhang 2006)

Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas adalah fungsi yang

menunjukkan kepuasan seseorang dari

mengonsumsi barang dan jasa, yang

dinotasikan sebagai berikut:

dengan adalah kegunaan/utilitas total,

dan merupakan banyaknya

produk yang dikonsumsi.

Fungsi utilitas Cobb-Douglass

dimana dan adalah konstanta positif.

(Nicholson 2002)

Teori Pertumbuhan Neoklasik

Teori pertumbuhan aliran neoklasik

menjelaskan tentang penyebab terjadinya

pertumbuhan ekonomi. Teori pertumbuhan

ekonomi ini menekankan pada efisiensi

tenaga kerja dan stok modal sebagai

penyebab utama pertumbuhan ekonomi.

Fungsi produksinya dapat ditulis sebagai

berikut:

dengan adalah output pada saat , adalah stok modal pada saat , adalah

efisiensi tenaga kerja,pada saat dan adalah waktu.

(Mankiw 2003)

Bentuk spesifik dari hubungan teori

pertumbuhan neoklasik dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas yang

menambahkan faktor perubahan teknologi

sebagai penyebab pertumbuhan ekonomi.

Model Pertumbuhan Tanpa

Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara

umum ditulis sebagai berikut:

Nilai dan masing–masing adalah

elastisitas pendapatan terhadap modal dan

efisiensi modal manusia.

(Mankiw 2003)

Model Pertumbuhan Ekonomi dengan

Perkembangan Teknologi

Dalam model ini, fungsi produksi secara

umum ditulis sebagai berikut:



efisiensi modal manusia dan adalah perkembangan teknologi.

(Mankiw 2003)

Modal

Modal adalah segala barang-barang yang

diciptakan manusia dengan tujuan untuk menghasilkan barang-barang lain atau jasa-

jasa yang akan digunakan masyarakat.

(Sukirno 2004)

Upah

Upah adalah biaya penggunaan satu

pekerja selama satuan waktu tertentu.

(Nicholson 2002)

Elastisitas

Elastisitas adalah ukuran persentase

perubahan suatu variabel yang disebabkan

oleh satu persen perubahan variabel lain.

(Nicholson 2002)

Elastisitas Produksi

Elastisitas produksi adalah ukuran

tingkat perubahan output akibat dari

penggunaan input.

(Nicholson 2002)

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem Dinamik Waktu Diskret

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang

berubah sesuai dengan waktu. Sistem

dinamik dengan waktu diskret dinyatakan

sebagai berikut:

4

dengan merupakan fungsi dari .

(Tu 1994)

Titik Tetap / Titik Equilibrium

Diberikan sistem persamaan diferensial

Titik disebut titik tetap jika Titik tetap disebut juga titik krisis atau titik

kesetimbangan.

(Kreyzig 1993)

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa merupakan

suatu persamaan yang melibatkan turunan

pertama atau ordo lebih tinggi dari fungsi

sebarang atau peubah tak bebas terhadap

peubah bebasnya. Suatu persamaan diferensial biasa orde satu dapat dinyatakan

sebagai berikut

dengan merupakan peubah tak bebas

( dan peubah bebas.

(Farlow 1994)

Persamaan Beda

Konsep persamaan beda (difference

equation) digunakan dalam analisis sistem

dinamik dengan variabel diskret untuk

menunjukkan dinamika/perubahan suatu

variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi

, nilai berubah jika nilai berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya,

misal dan seterusnya.

Pola perubahan digambarkan dengan istilah ‘beda’ (difference).

Misalkan menunjukkan besar

perubahan pada dua periode berurutan,

sehingga dapat ditulis Dengan adalah nilai pada periode ke . Sedangkan menunjukkan nilai

pada suatu periode setelah periode ke . Bentuk di atas dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Misalkan , maka kita dapat

menyatakan dalam hingga

. Hal yang sama berlaku juga sebaliknya,

dalam hal ini jika persamaan berbentuk

. (Chiang & Wainwright 2005)

5

III PEMBAHASAN

Model ketimpangan sosial dalam

pertumbuhan ekonomi ini diusulkan oleh

Moav pada tahun 2002. Model Moav ini

digunakan untuk menunjukkan

ketidaksetaraan antara penduduk

berpenghasilan rendah dengan penduduk

yang berpenghasilan tinggi dalam

pertumbuhan ekonomi.

3.1 Model Produksi dan Harga

Model produksi dan harga dalam model

Moav ini mempertimbangkan pemodelan

overlapping generation (OLG). Dalam

setiap periode perekonomian, pemodelan

OLG ini menghasilkan produk atau

komoditas yang bersifat homogen/tunggal

yang dapat digunakan baik untuk konsumsi

atau pun untuk investasi. Produksi yang

terjadi dalam kurun jangka waktu tertentu

menggunakan teknologi return to scale

konstan.

Output yang dihasilkan pada waktu dengan menggunakan modal dan efisiensi

modal manusia adalah

Investasi dalam modal fisik dan manusia

dibuat satu periode di muka.

Fungsi produksi yang digunakan pada

karya ilmiah ini adalah fungsi produksi

Cobb–Douglas, sehingga persamaan output

tersebut menjadi

dimana investasi dalam modal fisik dan

manusia dibuat satu periode sebelumnya,

dengan asumsi bahwa tingkat pengembalian

modal konstan, dinotasikan oleh . Modal

yang terbatas akan menghasilkan pergerakan

ekonomi internasional.

(bukti pada Lampiran 1).

Dari sifat–sifat fungsi produksi,

diketahui bahwa upah per unit sumber daya

manusia, , secara unik ditentukan

mengingat tingkat pengembalian modal konstan dari waktu ke waktu, karena:

dimana

,

,

, sehingga kita dapatkan

, dengan adalah suatu fungsi pertumbuhan ekonomi sebagai berikut:

Akibatnya adalah konstan.

3.2 Titik Tetap / Titik Equilibrium

Perilaku produsen memiliki fungsi

neoklasik

dengan

dengan adalah efisiensi modal

manusia, adalah total output, dan adalah total modal. sedangkan adalah

jumlah output per kapita, dan adalah

modal per kapita. Perilaku optimal produsen

diperoleh dari produk marjinal yang

menentukan harga faktor–faktor produksi.

Fungsi produk marjinal terhadap modal

menentukan nilai tingkat suku bunga,

sedangkan fungsi produk marjinal terhadap

efisiensi modal manusia menentukan tingkat upah/gaji. Perilaku individu diperoleh dari

fungsi warisan. Fungsi adalah kontinu,

penambahan suatu kondisi tetap diperlukan

pada pengembalian modal, yaitu:


(3.1)

(3.2)

6

Fungsi produksi yang digunakan adalah

fungsi Cobb–Douglas dengan pengaruh

teknologi sebagai berikut



efisiensi modal manusia, sedangkan

adalah perkembangan teknologi. Kita tulis

kondisi marjinal dalam intensitas modal


3.3 Model Individu

Seperti pada OLG, pada model ini

individu hidup juga dalam dua jangka

waktu. Kekayaan awal individu merupakan

kekayaan yang berasal dari orang tua mereka

atau warisan.

Individu hidup dalam dua periode,

memiliki orang tua dan juga anak. Hubungan antara orang tua dan anak

tersebut menciptakan sebuah kelompok.

Ketika individu berada pada periode kedua,

orang tua individu tersebut berada pada

periode pertama. Dengan kata lain, untuk

individu pada periode , individu muda pada

waktu dan tua pada waktu . Individu

yang lahir pada waktu akan

mengalokasikan pendapatannya untuk

individu yang lahir pada waktu , jadi total pendapatan yang diterima oleh individu

pada waktu yaitu , antara

konsumsi rumah tangga individu pada

waktu , , dan warisan atau

harta keturunan, yang diterima individu pada waktu , . Sehingga batasan anggaran adalah

Setiap orang memaksimalkan utilitas waktu

hidupnya, dengan bergantung pada

pemakaian dalam dua periode kehidupan.

Fungsi utilitas yang memaksimumkan untuk

setiap waktu adalah fungsi utilitas yang

diturunkan terhadap , dan turunannya

adalah sama dengan 0,

. Utilitas

waktu hidup mereka dinyatakan sebagai

berikut

dengan dan . Fungsi utilitas

ini dirancang untuk menghasilkan fungsi

warisan. Warisan yang diberikan oleh

individu yang lahir pada periode dinyatakan sebagai berikut

dengan


3.4 Pembentukan Modal Sumber Daya

Manusia

Pada periode pertama yaitu kehidupan

individu diperiode , individu-individu

mencurahkan seluruh waktu mereka untuk

akuisisi modal manusia. Individu-individu

tersebut juga mendapatkan satu unit

efesiensi modal berupa keterampilan tenaga

kerja dasar dari individu , yang

diinvestasikan dalam pendidikan,

keterangan:

= Tingkat modal manusia dalam

bentuk keahlian individu pada

waktu .

Diasumsikan bahwa pengembalian modal

marjinal individu, untuk , adalah

lebih besar daripada pengembalian modal,

. Diasumsikan juga pengembalian

modal, , cukup rendah, yaitu ,

maka

.

3.5 Kondisi Mapan (Steady State) dalam

Persamaan Beda Linear

Pada dasarnya, hubungan antara modal

per kapita dalam waktu dua periode seperti ini akan cukup kompleks dengan persamaan

beda yang non linear sehingga komponen di

dalamnya juga non linear. Persamaan

adalah persamaan non linear. Akan

(3.3)

(3.4)

(3.5)

7

digambarkan nilai pada garis horizontal

(sumbu ) dan nilai pada garis

vertikal (sumbu ). Kemudian tarik garis

, yang secara definisi mewakili titik–titik

nilai yang konstan dari waktu ke waktu.

Garis merupakan garis kepastian karena

di sepanjang garis tersebut , modal per kapita tidak akan berubah

sepanjang waktu. Dengan kata lain,

perekonomian berada pada kondisi mapan.

Modal per kapita adalah sebagai berikut:

Di luar nilai–nilai kondisi mapan, dapat

menggunakan gambar yang sama untuk

menjelaskan evolusi nilai dari waktu ke

waktu. Gunakan garis untuk

memproyeksikan nilai–nilai keesokan

harinya terhadap nilai–nilai hari ini di sumbu

.

Pemetaan antara dan merupakan pemetaan turun sebelum atau

daerah ambang dan pemetaan naik setelah atau daerah ambang. Kita amati keunikan

yang memotong garis sehingga

. Perpotongan dengan

garis menunjukkan bahwa

perekonomian berada pada kondisi mapan.

Pada Gambar 1, dimulai dengan nilai yang

berada di bawah daerah ambang, per total

kekayaan menurun dari ke , sedangkan untuk nilai yang di atas daerah

ambang, per total kekayaan meningkat dari ke .

3.6 Optimasi dan Evolusi Pendapatan

Dari persamaan di atas, total kekayaan

individu periode kedua dalam kehidupan

secara unik ditentukan atau

dipengaruhi oleh warisan periode kehidupan

pertama yang didefinisikan sebagai berikut

Dari persamaan (3.4) dan (3.6), evolusi

total kekayaan dari suatu kelompok secara

unik ditentukan sebagai berikut:

Syarat-syarat:

, jika

, jika


dengan diketahui. untuk

semua . Pembatasan pada nilai parameter

sangat diperlukan agar dapat menghasilkan

pendekatan model pertumbuhan ekonomi

Moav.

Agar persamaan beda ini berada dalam

kondisi mapan maka .

Diasumsikan tingkat total kekayaan individu

yang tidak menerima warisan, , lebih besar

dari tingkat upah . Berdasarkan persamaan

Dari persamaan di atas, untuk menghasilkan

suatu kondisi yang mapan maka . Dapat disimpulkan bahwa individu yang berpenghasilan rendah

terperangkap dalam

jerat kemiskinan, sehingga pendapatan yang diterima individu tersebut hanya

diperoleh dari gaji saja, , karena

Gambar 1 Evolusi Pendapatan.

(3.6)

(3.8)

8


Diasumsikan bahwa tingkat

pengembalian modal manusia, , dan

besarnya tingkat maksimum pendidikan, , adalah cukup besar, sehingga seorang

individu yang menerima warisan akan memberikan warisan yang lebih besar

pada keturunannya

Asumsi ini dinyatakan dengan

Asumsi ini menghasilkan berbagai

kelompok berdasarkan tingkat total

kekayaan. Individu pada periode dapat dikatakan memiliki total kekayaan tinggi

jika total kekayaan individu tersebut lebih

besar dari total kekayaan individu periode .

Dari persamaan (3.7) dan ingin

menghasilkan kondisi mapan maka 1= = . Dapat dilihat bahwa ada total kekayaan yang berada di atas kisaran

perangkap kemiskinan (pendapatan tinggi) yang ditentukan oleh

(3.9)


Dalam dinamika ekonomi, terdapat

ambang penghasilan, . Dari persamaan (3.7) dan ingin menghasilkan

kondisi mapan maka . Persamaan ambang ditentukan oleh

(3.10)


Dapat dilihat bahwa kelompok yang

memiliki total kekayaan di bawah ambang

batas konvergen ke tingkat masyarakat berpenghasilan rendah, yang

dicirikan oleh rendahnya modal manusia dan

tidak adanya warisan dari generasi

sebelumnya dan kelompok yang memiliki

total kekayaan di atas ambang batas

konvergen ke tingkat pendapatan berpenghasilan tinggi yang dicirikan oleh

tingginya tingkat modal manusia dan

besarnya warisan yang diterima dari

generasi sebelumnya.

Oleh karena itu, terjadilah ketimpangan

sosial dan dengan memberikan total

kekayaan awal rata–rata di atas tingkat

ambang , ketimpangan sosial akan mempengaruhi investasi pada modal

manusia dan output dalam jangka panjang.

Jadi, sistem dinamika, yang digambarkan dalam

persamaan

, menerangkan

adanya tiga titik tetap, yaitu : titik tetap

berpenghasilan tinggi, titik tetap

berpenghasilan rendah, titik tetap ambang

batas pendapatan. Kelompok dengan

penghasilan awal di bawah ambang batas konvergen ke kondisi stabil total kekayaan

rendah, kelompok dengan penghasilan awal

di atas ambang batas konvergen ke kondisi

stabil total kekayaan tinggi.

Untuk keturunan yang tidak

mendapatkan warisan dari generasi

sebelumnya, dan tidak adanya investasi pada

modal manusia mencirikan adanya

perangkap kemiskinan. Kecilnya

kecenderungan untuk memberikan warisan

untuk keturunan berikutnya adalah cukup

rendah seperti pada produk dengan

pengembalian modal manusia yang kecil,

, adalah kurang dari satu, lalu perangkap

perangkap kemiskinan akan tetap ada

bersamaan dengan keseimbangan

pendapatan yang tinggi.

V SIMULASI

4.1 Simulasi Distribusi Pendapatan pada

Saat Kondisi Mapan (Steady State)

dalam Persamaan Beda Linear

Persamaan beda linear dalam

sebelumnya sudah dijelaskan pada

persamaan (3.7), yang dapat ditulis sebagai

berikut

Syarat-syarat:

, jika

,

jika

Parameter-parameter yang digunakan

untuk mensimulasikan model di atas adalah

konstan sehingga konstan.

Simulasi dari model tersebut merupakan

simulasi total kekayaan masyarakat

berpenghasilan rendah, daerah ambang, dan

masyarakat berpenghasilan tinggi terhadap

modal per kapita pada saat kondisi mapan.

Oleh karena itu, untuk simulasi ini dibagi

menjadi tiga kasus. Kasus 1 untuk total

kekayaan masyarakat berpenghasilan

rendah, Kasus 2 untuk total kekayaan daerah

ambang, dan Kasus 3 untuk total kekayaan


Kasus 1

Simulasi total kekayaan terhadap modal

per kapita pada saat kondisi mapan untuk

masyarakat berenghasilan rendah dengan

model total kekayaan

simulasi menggunakan software Maple 12

(Program dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 2 Kurva total kekayaan terhadap

modal per kapita pada saat

kondisi mapan untuk

masyarakat berpenghasilan

rendah.

Pada Gambar 2, a adalah garis

pemerataan dan b adalah kurva total

kekayaan masyarakat berpenghasilan

rendah. Pada gambar dilihat bahwa kurva

total masyarakat berpenghasilan rendah

sudah memotong garis pemerataan. Hal ini

menunjukkan bahwa masyarakat

berpenghasilan rendah sudah mencapai

kondisi setimbang.

Kasus 2



daerah ambang dengan model kekayaan

simulasi menggunakan software Maple 12

(Program dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 3 Kurva total kekayaan

terhadap modal per kapita

pada saat kondisi mapan

untuk daerah ambang.

a

b

a

c

10


pemerataan dan c adalah kurva total

kekayaan untuk daerah ambang. Pada

gambar dilihat bahwa kurva total daerah

ambang sudah memotong garis pemerataan.

Hal ini menunjukkan bahwa daerah ambang

sudah mencapai kondisi setimbang.

Kasus 3



masyarakat berpenghasilan tinggi dengan

model total kekayaan

menggunakan software Maple 12 (Program

dapat dilihat pada Lampiran 10)


pemerataan dan d adalah kurva total

kekayaan untuk daerah ambang. Pada

gambar dilihat bahwa kurva total masyarakat

berpenghasilan tinggi sudah memotong garis

pemerataan. Hal ini menunjukkan bahwa

masyarakat berpenghasilan tinggi sudah

mencapai kondisi setimbang.

Kasus-kasus yang telah disimulasikan,

yaitu masyarakat berpenghasilan rendah,

daerah ambang, dan masyarakat

berpenghasilan tinggi menunjukkan kondisi

yang telah setimbang, karena pada simulasi

ini ketiga kasus mempunyai persamaan yang

sudah dalam kondisi mapan.

Agar dapat terlihat dengan jelas

perbandingan dari ketiga gambar tersebut,

berikut adalah gambar yang dari ketiga

kasus yang diplotkan dalam satu kurva

Gambar 5 Kurva kondisi kesetimbangan

distribusi pendapatan pada

saat kondisi mapan.

Dapat dilihat pada Gambar 5, masyarakat

yang berpenghasilan tinggi mencapai

kondisi mapan atau setimang lebih dahulu

dibandingkan daerah ambang dan

masyarakat berpenghasilan rendah. Dapat

dilihat juga pada Gambar 5, masyarakat

berpenghasilan tinggi mempunyai total

kekayaan di atas daerah ambang dan

masyarakat berpenghasilan rendah memiliki

total kekayaan di bawah daerah ambang.

Simulasi yang akan dibahas adalah

simulasi untuk pertumbuhan modal per

kapita.

0 5 10 15 20

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

t

kt

Gambar 4 Kurva total kekayaan terhadap

modal per kapita pada saat

kondisi mapan untuk

masyarakat berpenghasilan

tinggi.

4.2 Simulasi Pertumbuhan Modal per

Kapita

Gambar 6 Pertumbuhan Modal per

kapita

a

d

11

Gambar 6 menunjukkan bahwa

pertumbuhan modal per kapita terhadap

waktu mengalami peningkatan karena

pemetaan yang dihasilkan merupakan

pemetaan naik. Kenaikan modal per kapita

tersebut akan membentuk kurva cekung atas

pada yang menandakan bahwa

untuk jangka waktu tersebut peningkatan

modal per kapita akan semakin drastis

sedangkan pada kurva tersebut

akan terus naik hanya saja kenaikannya tidak

begitu drastis bahkan akan menjadi konstan

pada waktu tertentu yang pada akhirnya

perekonomian konvergen ke kondisi mapan.

.

V KESIMPULAN

Pada karya ilmiah ini diberikan sebuah

model pertumbuhan ekonomi yang

diusulkan oleh Moav yang dipengaruhi oleh

model Overlapping-Generation. Model

OLG ini menjelaskan bahwa setiap orang

hanya hidup dalam dua periode.

Total kekayaan pada kondisi mapan

secara unik dilambangkan dengan untuk

total kekayaan masyarakat yang

berpenghasilan rendah, untuk daerah

ambang, dan untuk total kekayaan

masyarakat yang berpenghasilan tinggi.

Total kekayaan yang berada di bawah

daerah ambang, konvergen ke masyarakat

berpenghasilan rendah, sedangkan yang

berada di atas daerah ambang, konvergen ke


Masyarakat yang mempunyai

pendapatan rendah mencapai suatu kondisi

mapan atau kondisi kesetimbangan lebih

lama dibandingkan daerah ambang.

Masyarakat yang berpenghasilan tinggi

mencapai suatu kondisi kesetimbangan lebih

dulu dibandingkan daerah ambang.

Masyarakat berpenghasilan tinggi

mempunyai total kekayaan di atas daerah

ambang, sedangkan masyarakat

berpenghasilan rendah memiliki total

kekayaan di bawah daerah ambang.

Untuk simulasi pertumbuhan modal per

kapita didapatkan kurva yang berbentuk

cekung ke bawah. Modal per kapita akan

meningkat seiring dengan berjalannya

waktu, namun akan konstan ketika mencapai

suatu titik tertentu, hal ini menunjukkan

perekonomian konvergen ke kondisi mapan.

DAFTAR PUSTAKA

Chiang CA and Wainwright K. 2005.

Fundamental Methods of

Mathematical Economics. Edisi Ke-

4. Mc Graw-Hill Companies inc,

New York.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equation and Their

Application. Mc Graw-Hill, New

York.

Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik

Lanjutan. Terjemahan Bambang

Sumantri. Gramedia Pustaka Utama,

Jakarta.

Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi.

Edisi Kelima. I Nurmawan,

Penerjemah: CW Kristiaji, editor.

Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Macroeconomics Edition.

Moav O. 2002. Income Distribution and

Macroeconomics: The Persistence of

Inequality in a Convex Framework.

Economics Letters. Vol 75:187-182.

Nicholson. 2002. Teori Mikroekonomi.

Binurpa Aksara, Jakarta.

Sukirno S. 2004. Makroekonomi Teori

Pengantar. PT Raja Grafindo

Persada, Jakarta.

Tu PNV. 1994. Dynamical System. An

Introduction with Application in

Economics and Biology. Second

Revised and Enlarged Edition.

Springer-Verlag, Berlin.

Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical

Systems, Bifurcations and Chaos in

Economics. Elsevier, Amsterdam.

LAMPIRAN

15

Lampiran 1. Mencari Persamaan R

Lampiran 2. Mencari Persamaan

Fungsi produk marjinal diperoleh dari keuntungan optimal:

Misal keuntungan =

Diasumsikan bahwa depresiasi terhadap modal tidak ada

Keuntungan adalah nilai penerimaan total perusahaan dikurangi biaya total yang dikeluarkan

perusahaan, maka

penerimaan total dikurangi biaya produksi

dengan jumlah output yang dihasilkan, unit, dan harga tiap unit yaitu suatu satuan harga,

. Terdapat upah terhadap efisiensi tenaga kerja, dan pengaruh tingkat suku bunga/imbal

hasil, . Sehingga,

Sehingga,

Keuntungan akan maksimum jika

sehingga

Pada saat Break Even Point (BEP) yaitu titik dimana jumlah biaya sama dengan pendapatan maka

keuntungannya nol, sehingga didapatkan persamaan dari upah riil yaitu:

16

, substitusikan suku bunga / imbal hasil maka

Lampiran 3. Menentukan Tingkat Pengembalian Modal dan Tingkat Upah

Fungsi Produksi Cobb – Douglas

, dimana .

Tingkat Produksi Marjinal terhadap modal:

Tingkat Produksi Marjinal terhadap Efisiensi modal Manusia

Sehingga tingkat suku bunga riil dan tingkat depresiasi yaitu:

, dan tingkat upah

17

Lampiran 4. Mencari Persamaan Warisan

untuk memaksimumkan fungsi utilitas maka

Lampiran 5. Mencari Persamaan Total Kekayaan

Diketahui bahwa persamaan keahlian sumber daya manusia yang dipengaruhi oleh keahlian adalah

sebagai berikut:

dan dengan asumsi

18

Diketahui pula persamaan pendapatan individu pada periode kedua secara unik

dipengaruhi oleh warisan periode pertama, yaitu:

Dari persamaan-persamaan diatas, dapat ditentukan solusi unik untuk total kekayaan yang

diterima.

Substitusi ke persamaan diatas. Sehingga didapat

Lampiran 6. Mencari Solusi Unik untuk Masyarakat Berpenghasilan di Bawah Ambang

Batas

Jadi,

Lampiran 7. Mencari Solusi Unik untuk Masyarakat Berpenghasilan di Atas Ambang Batas

Jadi,

19

Lampiran 8. Mencari Solusi Unik untuk Ambang Batas

Jadi,

Lampiran 9. Bukti dengan Perhitungan Manual

Diketahui:

Dengan menggunakan parameter parameter berikut:

konstan sehingga konstan.

Lampiran 10. Simulasi Total Kekayaan Terhadap Modal per Kapita untuk Masyarakat

Berpenghasilan Rendah, Daerah Ambang, dan Masyarakat Berpnghasilan

Tinggi dengan Menggunakan Software Maple 12

Karena k(t+1)=k(t)=k

didefinisikan:

I(t+1)=w=αAk^β=y(k) I(t+1)=((γβθ-1)/(γβw-1))w=u(k)

I(t+1)=(w(γe+1)-R(βθ+e))/1-βR=z(k)

R konstan sehingga k konstan

22

Lampiran 11. Simulasi untuk Menampilkan Pertumbuhan Modal per Kapita dengan

menggunakan software Mathematica 7

RecurrenceTable[{k[t+1](((0.5*3*k[t]^-0.5)/(0.5*3))^-1/0.5),k[0]0.5},k,{t,1,20}]; ListPlot[%,PlotRangeAll,FrameTrue,FrameLabel{t,k (t)}]

0 5 10 15 20

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

t

kt

Analisis ketimpangan distribusi pendapatan dengan fungsi … · 2015-09-03 · Analisis Ketimpangan...

Documents

Transcript of Analisis ketimpangan distribusi pendapatan dengan fungsi … · 2015-09-03 · Analisis Ketimpangan...