1

ANALISIS DINAMIK MODEL MATEMATIKA

PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR TIPE SEIS

MELALUI TRANSPORTASI ANTAR-DUA KOTA

M. Ivan Ariful Fathoni

Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia

Email: m.ivan@fathonisme.com

Abstrak. Pada artikel ini dibahas model matematika tipe SEIS (Susceptible Exposed Infective Susceptible) untuk

menggambarkan penyebaran penyakit melalui transportasi antar-dua kota. Dari hasil analisis, titik kesetimbangan

yang diperoleh yaitu titik bebas penyakit dan endemi. Syarat keberadaan dan kestabilan titik kesetimbangan

ditentukan oleh angka reproduksi dasar yang dicari dengan menggunakan metode pendekatan operator generasi

selanjutnya. Titik kesetimbangan bebas penyakit selalu ada, serta bersifat stabil jika angka reproduksi dasar lebih

kecil atau sama dengan satu, sedangkan titik kesetimbangan endemi hanya ada dan bersifat stabil jika angka

reproduksi dasar lebih besar dari satu. Pada artikel ini juga dibahas kasus lain dengan pembatasan populasi yang

bepergian. Selanjutnya, untuk mengetahui pengaruh dari transportasi, dilakukan analisis perubahan laju penularan

melalui transportasi. Pada bagian akhir dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan hasil analisis yang diperoleh.

Kata Kunci: sistem dinamik, SEIS, transportasi, operator generasi selanjutnya, titik kesetimbangan, kestabilan.

1. PENDAHULUAN

Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh sebuah agen biologi. Beberapa jenis

penyakit menular seperti SARS dan Penyakit Tangan, Kaki, dan Mulut, transportasi atau perjalanan

antarwilayah merupakan faktor penting dalam proses penyebaran penyakit tersebut.

Dalam beberapa literatur telah dibahas beberapa model penyebaran penyakit menular

antarwilayah, seperti model dengan perjalanan antar-dua populasi, yaitu kasus transmisi campak di

pulau Karibia (Sattenspiel dan Dietz, 1995), serta model epidemi tipe SIS (Susceptible Infective

Susceptible) dengan penularan melalui transportasi (Cui, dkk., 2006). Beberapa penyakit menular

memiliki periode laten, adanya periode laten menjadi alasan pembentukan model epidemi tipe SEIS

(Susceptible Exposed Infective Susceptible) (Wan dan Cui, 2007), model tersebut dijadikan rujukan

utama dalam artikel ini.

Pada artikel ini dianalisis model penyebaran penyakit menular tipe SEIS melalui transportasi

antar-dua kota berdasarkan model yang dikonstruksi oleh Wan dan Cui. Dari model tersebut dicari

angka reproduksi dasar dan titik kesetimbangan model beserta syarat keberadaannya. Analisis dinamik

dilakukan untuk mengetahui kestabilan dari titik kesetimbangan model. Selanjutnya, dilakukan

analisis pengaruh transportasi terhadap dinamika penyakit menular. Analisis yang diperoleh diilustrasi

menggunakan simulasi numerik dengan beberapa perubahan nilai parameter.

2. FORMULASI MODEL

Model matematika penyebaran penyakit menular tipe SEIS melalui transportasi antar-dua kota

dimodelkan dengan masing-masing tiga variabel di setiap kota, yaitu 𝑑𝑆1

𝑑𝑡= 𝑎 − 𝑏𝑆1 −

𝛽𝑆1𝐼1

𝑆1 + 𝐼1 + 𝐸1+ 𝑣𝐼1 − 𝛼𝑆1 + 𝛼𝑆2 −

𝛾𝛼𝑆2𝐼2

𝑆2 + 𝐼2 + 𝐸2

(1)

𝑑𝐸1

𝑑𝑡=

𝛽𝑆1𝐼1

𝑆1 + 𝐼1 + 𝐸1− (𝑏 + 𝑐)𝐸1 − 𝛼𝐸1 + 𝛼𝐸2 +

𝛾𝛼𝑆2𝐼2

𝑆2 + 𝐼2 + 𝐸2

𝑑𝐼1

𝑑𝑡= 𝑐𝐸1 − 𝑣𝐼1 − 𝛼𝐼1 + 𝛼𝐼2 − 𝑒𝐼1

𝑑𝑆2

𝑑𝑡= 𝑎 − 𝑏𝑆2 −

𝛽𝑆2𝐼2

𝑆2 + 𝐼2 + 𝐸2+ 𝑣𝐼2 − 𝛼𝑆2 + 𝛼𝑆1 −

𝛾𝛼𝑆1𝐼1

𝑆1 + 𝐼1 + 𝐸1

𝑑𝐸2

𝑑𝑡=

𝛽𝑆2𝐼2

𝑆2 + 𝐼2 + 𝐸2− (𝑏 + 𝑐)𝐸2 − 𝛼𝐸2 + 𝛼𝐸1 +

𝛾𝛼𝑆1𝐼1

𝑆1 + 𝐼1 + 𝐸1

𝑑𝐼2

𝑑𝑡= 𝑐𝐸2 − 𝑣𝐼2 − 𝛼𝐼2 + 𝛼𝐼1 − 𝑒𝐼2,

dengan 𝑆𝑖, 𝐸𝑖, dan 𝐼𝑖 mewakili banyaknya populasi susceptible, exposed, dan infective di kota 𝑖, 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 ≥ 0 (𝑖=1,2). Kedua kota diasumsikan identik, sehingga parameter yang digunakan di kedua

kota sama, yaitu 𝑎 adalah laju kelahiran, 𝑏 adalah laju kematian alami, 𝑐 adalah laju perkembangan

individu exposed menjadi infective, 𝑣 adalah laju individu infective yang kembali rentan, 𝑒 adalah laju

2

kematian alami dan yang disebabkan oleh penyakit (𝑒 > 𝑏), 𝛼 adalah laju transportasi antar-dua kota, 𝛽

adalah laju penularan dalam kota, dan 𝛾𝛼 adalah laju penularan melalui transportasi antar-dua kota.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Angka Reproduksi Dasar dan Titik Kesetimbangan

Angka reproduksi dasar pada artikel ini ditentukan dengan metode pendekatan operator generasi

selanjutnya (Castillo-Chavez, dkk., 2002). Angka reproduksi dasar yang diperoleh dari model (1) yaitu

ℛ0𝛾 = 𝜌(𝐹𝑉−1) =𝑐(𝛽 + 𝛾𝛼)

(𝑏 + 𝑐)(𝑣 + 𝑒), (2)

dengan 𝜌(𝐹𝑉−1) adalah spectral radius dari matriks 𝐹𝑉−1 (Gradshteyn dan Ryzhik, 2007). Jika ℛ0𝛾 ≤

1, maka model mempunyai titik kesetimbangan tunggal yaitu titik titik kesetimbangan bebas penyakit

𝑃𝛾0(𝑆𝛾

0, 𝐸𝛾0, 𝐼𝛾

0, 𝑆𝛾0, 𝐸𝛾

0, 𝐼𝛾0) = (

𝑎

𝑏, 0,0,

𝑎

𝑏, 0,0). (3)

Jika ℛ0𝛾 > 1, selain mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit, model juga memiliki titik

kesetimbangan endemi 𝑃𝛾

∗(𝑆𝛾∗, 𝐸𝛾

∗, 𝐼𝛾∗, 𝑆𝛾

∗, 𝐸𝛾∗, 𝐼𝛾

∗), (4)

dengan

𝑆𝛾∗ =

𝑎(𝑐 + 𝑣 + 𝑒)

(ℛ0𝛾 − 1)(𝑏𝑣 + 𝑏𝑒 + 𝑐𝑒) + 𝑏(𝑐 + 𝑣 + 𝑒), 𝐸𝛾

∗ =𝑎(ℛ0𝛾 − 1)(𝑣 + 𝑒)

(ℛ0𝛾 − 1)(𝑏𝑣 + 𝑏𝑒 + 𝑐𝑒) + 𝑏(𝑐 + 𝑣 + 𝑒), 𝐼𝛾

∗ =𝑐𝑎(ℛ0𝛾 − 1)

(ℛ0𝛾 − 1)(𝑏𝑣 + 𝑏𝑒 + 𝑐𝑒) + 𝑏(𝑐 + 𝑣 + 𝑒).

3.2 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan

3.2.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Matriks Jacobi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit adalah

𝐽(𝑃𝛾0) = (

𝐴 𝐵𝐵 𝐴

), dengan 𝐴 = (−𝑏 − 𝛼 0 𝑣 − 𝛽

0 −𝑏 − 𝑐 − 𝛼 𝛽0 𝑐 −𝑣 − 𝑒

) dan 𝐵 = (𝛼 0 −𝛾𝛼0 𝛼 𝛾𝛼0 𝑐 𝛼

).

Berdasarkan sifat-sifat determinan diperoleh det(𝐽(𝑃𝛾0) − 𝜆𝐼) = det(𝐴 + 𝐵 − 𝜆𝐼) det(𝐴 − 𝐵 − 𝜆𝐼),

sehingga nilai eigen matriks 𝐽(𝑃𝛾0) dapat diketahui dengan menganalisis nilai eigen matriks 𝐴 + 𝐵 dan

𝐴 − 𝐵. Dari analisis nilai eigen matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵 tersebut dapat disimpulkan jika ℛ0𝛾 ≤ 1 maka

𝑃𝛾0 bersifat stabil, dan jika ℛ0𝛾 > 1 maka 𝑃𝛾

0 bersifat tidak stabil.

3.2.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemi

Matriks Jacobi untuk titik kesetimbangan endemi adalah 𝐽(𝑃𝛾∗) = (

𝐴 𝐵𝐵 𝐴

), dan dibangun matriks

𝐴 + 𝐵 = (−𝑏 − 𝜇1 𝜇2 𝑣 − 𝜇3

𝜇1 −𝑏 − 𝑐 − 𝜇2 𝜇3

0 𝑐 −𝑣 − 𝑒

) , 𝐴 − 𝐵 = (−𝑏 − 2𝛼 − 𝜃1 𝜃2 𝑣 − 𝜃3

𝜃1 −𝑏 − 𝑐 − 2𝛼 − 𝜃2 𝜃3

0 𝑐 −𝑣 − 𝑒 − 2𝛼

),

dengan 𝜇1 =𝑐(𝛽+𝛾𝛼)(ℛ0𝛾−1)

2

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

, 𝜇2 =𝑐(𝛽+𝛾𝛼)(ℛ0𝛾−1)

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

, 𝜇3 =(𝛽+𝛾𝛼)(𝑐+(𝑣+𝑒)ℛ0𝛾)

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

, dan 𝜃1 =𝑐(𝛽−𝛾𝛼)(ℛ0𝛾−1)

2

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

, 𝜃2 =

𝑐(𝛽−𝛾𝛼)(ℛ0𝛾−1)

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

, 𝜃3 =(𝛽−𝛾𝛼)(𝑐+(𝑣+𝑒)ℛ0𝛾)

ℛ0𝛾2(𝑐+𝑣+𝑒)

. Dari matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵 diperoleh hasil jika ℛ0𝛾 > 1, maka

semua nilai eigen dari kedua matriks tersebut negatif, sehingga 𝑃𝛾∗ bersifat stabil.

3.3 Kasus Tanpa Adanya Individu Infective yang Bepergian

Model pada kasus tanpa adanya individu infective yang bepergian antar-dua kota diperoleh dari

sistem persamaan (1) dengan mengambil 𝛾 = 0. Titik kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh

yaitu 𝑃0(𝑆0, 𝐸0, 𝐼0, 𝑆0, 𝐸0, 𝐼0), dengan 𝑆0, 𝐸0 dan 𝐼0 sama seperti titik kesetimbangan (3). Karena 𝛾 = 0,

angka reproduksi dasar pada kasus tanpa adanya individu infective yang bepergian menjadi

ℛ0 =𝛽𝑐

(𝑏 + 𝑐)(𝑣 + 𝑒). (5)

Titik kesetimbangan endemi yang diperoleh yaitu 𝑃∗(𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗, 𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗), dengan 𝑆∗, 𝐸∗ dan 𝐼∗ sama

seperti titik kesetimbangan (4), serta memuat angka reproduksi dasar (5). Titik kesetimbangan 𝑃0

selalu ada, sedangkan 𝑃∗ hanya ada jika ℛ0 > 1. Analisis kestabilan dari titik kesetimbangan

menunjukkan bahwa jika ℛ0 ≤ 1 maka 𝑃0 bersifat stabil, dan jika ℛ0 > 1 maka 𝑃0 bersifat tidak stabil,

sedangkan 𝑃∗ bersifat stabil.

3

3.4 Kasus Tanpa Adanya Individu yang Bepergian

Model pada kasus tanpa adanya individu yang bepergian antar-dua kota diperoleh dari sistem

persamaan (1) dengan mengambil 𝛼 = 0, sehingga model hanya melibatkan satu kota yang meliputi

populasi susceptible, exposed, dan infective. Titik kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh yaitu

𝐸0(𝑆0, 𝐸0, 𝐼0) dengan 𝑆0, 𝐸0 dan 𝐼0 sama seperti titik kesetimbangan (3). Dengan 𝛼 = 0 diperoleh angka

reproduksi dasar yang sama seperti persamaan (5). Titik kesetimbangan endemi yang diperoleh yaitu

𝐸∗(𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗), dengan 𝑆∗, 𝐸∗, dan 𝐼∗ sama seperti titik kesetimbangan (4), serta memuat angka

reproduksi dasar (5). Titik kesetimbangan 𝐸0 selalu ada, sedangkan 𝐸∗ hanya ada jika ℛ0 > 1. Analisis

kestabilan dari titik kesetimbangan menunjukkan bahwa jika ℛ0 ≤ 1 maka 𝐸0 bersifat stabil, dan jika

ℛ0 > 1 maka 𝐸0 bersifat tidak stabil, sedangkan 𝐸∗ bersifat stabil.

3.5 Analisis Pengaruh Transportasi

Dari titik kesetimbangan endemi 𝑃𝛾∗(𝑆𝛾

∗, 𝐸𝛾∗, 𝐼𝛾

∗, 𝑆𝛾∗, 𝐸𝛾

∗, 𝐼𝛾∗) dan 𝑃∗(𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗, 𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗), jika 𝛾 = 0

maka ℛ0𝛾 = ℛ0, 𝑆𝛾∗ = 𝑆∗, 𝐸𝛾

∗ = 𝐸∗, 𝐼𝛾∗ = 𝐼∗, dan 𝑁𝛾

∗ = 𝑁∗. Dan jika 𝛾 > 0, berdasarkan titik 𝑃𝛾∗ diperoleh

𝑑𝑆𝛾∗

𝑑𝛾< 0,

𝑑𝐸𝛾∗

𝑑𝛾> 0,

𝑑𝐼𝛾∗

𝑑𝛾> 0 dan

𝑑𝑁𝛾∗

𝑑𝛾< 0, hal tersebut menunjukkan bahwa saat berada pada kondisi endemi,

meningkatnya 𝛾 mengakibatkan jumlah individu pada populasi susceptible dan jumlah total populasi

di tiap kota berkurang, sedangkan jumlah individu pada populasi exposed dan infective bertambah,

sehingga 𝑆𝛾∗ < 𝑆∗, 𝐸𝛾

∗ > 𝐸∗, 𝐼𝛾∗ > 𝐼∗ dan 𝑁𝛾

∗ < 𝑁∗. Dari 𝑑

𝑑𝛾(

𝑆𝛾∗

𝑁𝛾∗) < 0 dan

𝑑

𝑑𝛾(

𝐸𝛾∗+𝐼𝛾

∗

𝑁𝛾∗ ) > 0 diketahui bahwa

dengan meningkatnya 𝛾, proporsi individu susceptible menurun, sebaliknya, proporsi jumlah individu

yang terkena penyakit (individu exposed dan infective) meningkat. Hal tersebut menunjukkan bahwa

meningkatnya laju penularan melalui transportasi akan memperparah kasus penyebaran penyakit.

3.6 Simulasi Numerik

Dengan menggunakan parameter 𝑎 = 1, 𝑏 = 0.2, 𝑐 = 0.3, 𝑣 = 0.0002, 𝑒 = 0.4, 𝛽 = 0.6, 𝛼 = 0.9 dan

𝛾 = 1 diperoleh ℛ0𝛾 = 2.2489, serta diperoleh 𝑃𝛾0(𝑆𝛾

0, 𝐸𝛾0, 𝐼𝛾

0, 𝑆𝛾0, 𝐸𝛾

0, 𝐼𝛾0) = (5,0,0,5,0,0) dan

𝑃𝛾∗(𝑆𝛾

∗, 𝐸𝛾∗, 𝐼𝛾

∗, 𝑆𝛾∗, 𝐸𝛾

∗, 𝐼𝛾∗) dengan 𝑆𝛾

∗ = 1.7960, 𝐸𝛾∗ = 1.2820, dan 𝐼𝛾

∗ = 0.9610. Hasil simulasi numerik

ditampilkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 diketahui bahwa dengan empat nilai awal yang berbeda,

populasi di kedua kota akan menuju ke titik kesetimbangan endemi, hal tersebut sesuai hasil analisis

yang menyatakan jika ℛ0𝛾 > 1 maka titik kesetimbangan endemi stabil.

Gambar 1. Potret fase untuk ℛ0𝛾 = 2.2489

Syarat keberadaan dan kestabilan titik kesetimbangan bergantung pada angka reproduksi dasar

(2), sehingga jika menggunakan nilai parameter yang sama, dengan mengubah nilai 𝛼, 𝛾, atau 𝛽 akan

diperoleh ℛ0𝛾 yang berbeda. Jika 𝛾 diturunkan menjadi 0, maka diperoleh ℛ0𝛾 = 0.8996 dan titik

kesetimbangan 𝑃𝛾0(𝑆𝛾

0, 𝐸𝛾0, 𝐼𝛾

0, 𝑆𝛾0, 𝐸𝛾

0, 𝐼𝛾0) = (5,0,0,5,0,0), sedangkan titik kesetimbangan 𝑃𝛾

∗ tidak ada,

dengan kata lain keadaannya berubah menjadi bebas penyakit. Demikian juga jika nilai 𝛼 atau 𝛽

diturunkan dengan nilai parameter yang memenuhi akan dapat menghasilkan keadaan bebas penyakit.

Hal tersebut menunjukkan bahwa perubahan 𝛼, 𝛾, atau 𝛽 dapat mengubah keadaan atau dinamika

penyakit menular. Hasil simulasi numerik untuk ℛ0𝛾 = 0.8996 ditampilkan pada Gambar 2. Dari

Gambar 2 diketahui bahwa populasi di kedua kota stabil di 𝑃𝛾0, sehingga sesuai dengan hasil analisis

yang menyatakan jika ℛ0𝛾 ≤ 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil.

2 34 5

00.5

1

0

0.5

1

1.5

Susceptible 1

Potret fase kota pertama

Exposed 1

Infe

ctive

1

2 3 4 5

00.5

11.5

0

0.5

1

1.5

Susceptible 2

Potret fase kota kedua

Exposed 2

Infe

ctive

2Potret fase

Nilai awal (S(0), E(0), I(0))

Titik bebas penyakit (S,E,I)

Titik endemi (S,E,I)

(1.796, 1.282, 0.9609) (1.796, 1.282, 0.9609)

(5, 0, 0)

(2, 0.5, 1.5)(2, 0, 1.5)

(4.9, 0.05, 0.05)

(2, 0.5, 0)

(1.5, 1.5, 1.5)

(4.9, 0.05, 0.05)

(1.5, 0, 0)

(5, 0, 0)(1.5, 0.5, 0)

4

Model pada kasus tanpa adanya individu infective yang bepergian disimulasikan dengan

parameter 𝑎 = 1, 𝑏 = 0.2, 𝑐 = 0.3, 𝑣 = 0.0002, 𝑒 = 0.4, 𝛽 = 1, 𝛼 = 0.9. Dari nilai parameter tersebut

didapatkan ℛ0 = 1.4993, sehingga diperoleh kondisi endemi. Karena angka reproduksi dasar (5) tidak

memuat 𝛼, maka dengan mengubah 𝛼 tidak akan mempengaruhi titik kesetimbangan maupun

kestabilannya. Dengan mengubah 𝛽 menjadi 0.6 didapatkan ℛ0 = 0.8996, dengan kata lain kondisi di

kedua kota berubah menjadi bebas penyakit. Hal tersebut membuktikan bahwa dengan menggunakan

parameter yang sama dan 𝛾 = 0 diperoleh ℛ0 = ℛ0𝛾 . Simulasi numerik untuk ℛ0 = ℛ0𝛾 juga dapat

dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2. Potret fase untuk ℛ0𝛾 = ℛ0 = 0.8996

Model pada kasus tanpa adanya individu yang bepergian disimulasikan dengan parameter 𝑎 =

1, 𝑏 = 0.2, 𝑐 = 0.3, 𝑣 = 0.0002, 𝑒 = 0.4, dan 𝛽 = 1. Dari nilai parameter tersebut didapatkan ℛ0 = 1.4993,

sehingga mengakibatkan kondisi endemi. Dengan mengubah 𝛽 menjadi 0.6 diperoleh ℛ0 = 0.8996,

sehingga kondisinya berubah menjadi bebas penyakit, hal tersebut sesuai dengan hasil analisis yang

menyatakan jika ℛ0 ≤ 1, maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Simulasi numerik yang

diperoleh untuk ℛ0 = 0.8996 pada kasus tanpa adanya individu yang bepergian ini sama seperti

Gambar 2, tetapi hanya terjadi di satu kota.

4. KESIMPULAN

Perubahan kestabilan atau dinamika penyakit menular tipe SEIS melalui transportasi antar-dua

kota dipengaruhi oleh laju penularan dalam kota dan juga faktor transportasi. Untuk kasus tanpa

adanya individu infective yang bepergian atau kasus tanpa adanya individu yang bepergian, perubahan

kestabilan atau dinamika penyakit menular hanya dipengaruhi oleh laju penularan dalam kota. Dari

hasil analisis dan simulasi numerik menunjukkan bahwa meningkatnya laju penularan melalui

transportasi antar-dua kota akan memperparah kasus penyebaran penyakit menular

5. UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis berterima kasih kepada Trisilowati, Agus Suryanto, dan Marsudi, atas bimbingan dan

masukan yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

Castillo-Chavez, C., Fang, Z., dan Huang, W., (2002), On The Computation of ℛ0 and Its Role On

Global Stability, IMA Volumes in Mathematics and Its Applications, 125, hal. 1-22.

Cui, J., Takeuchi, Y., dan Saito, Y., (2006), Spreading Disease with Transport-Related Infection,

Journal of Theoretical Biology, 239, hal. 376-390.

Gradshteyn, I.S. dan Ryzhik, I.M., (2007), Table of Integrals, Series, and Products, Seventh Ed.,

Academic Press. San Diego, hal. 1083.

Liu, X. dan Takeuchi, Y., (2006), Spread of Disease with Transport-Related Infection and Entry

Screening, Journal of Theoretical Biology, 242, hal. 517-528.

Sattenspiel, L. dan Dietz, K., (1995), A Structured Epidemic Model Incorporating Geographic

Mobility Among Regions, Mathematical Biosciences, 128, hal. 71–91.

Wan, Hui dan Cui, J., (2007), An SEIS Epidemic Model with Transport-Related Infection, Journal of

Theoretical Biology, 247, hal. 507-524.

24

6-0.200.20.40.60.8

0

0.5

1

1.5

Susceptible 1

Potret fase kota pertama

Exposed 1

Infe

ctive

1

2 3 4 500.5

11.5

0

0.5

1

1.5

Susceptible 2

Potret fase kota kedua

Exposed 2

Infe

ctive

2

Potret fase

Nilai awal (S(0), E(0), I(0))

Titik bebas penyakit (S,E,I)

Titik endemi (S,E,I)

(5.838, -0.3352, -0.2512)

(5, 0, 0)

(5, 0.1, 1)

(2, 0, 1.5)

(2, 0.5, 0)

(2, 0.5, 1.5)

(5.838, -0.3352, -0.2512)

(5, 0, 0)

(1.5, 1.5, 1.5)

(5, 0.1, 1)

(1.5, 0.5, 0)

(1.5, 0, 0)